解答题中压轴题专项练-2022年初中数学中考备考冲刺

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解答题中压轴题专项练
一、解答题
1．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知点，抛物线的对称轴是直线，连接、．

(1)用含a的代数式求；
(2)若，求抛物线的函数表达式：
(3)在（2）的条件下，当时，y的最小值是-2，求m的值．
2．如图，已知二次函数的图像与轴交于、两点，与轴交于点，其对称轴与轴交于点，连接、．点为抛物线上的一个动点（与点、、不重合），设点的横坐标为，的面积为．

(1)求此二次函数的表达式；
(2)当点在第一象限内时，求关于的函数表达式；
(3)若点在轴上方，的面积能否等于的面积？若能，求出此时点的坐标，若不能，请说明理由．
3．图，在中，，，.动点从点出发，沿以每秒3个单位长度的速度向终点匀速运动．过点作的垂线交射线于点，当点不和点重合时，作点关于的对称点．设点运动时间为秒（）．

(1)求的长；
(2)求的长；（用含的代数式表示）
(3)取的中点．
①连接、，当点在边上，且时，求的长；
②连接，当时，直接写出的值．
4．如图1，△ABC是等腰三角形，AB=AC，以BC为底作等腰直角三角形△DBC，再以AD为直角边作等腰直角三角形△ADE，连接BE、CE，BE与AC交于点O．


(1)求证：BE⊥AC；
(2)如图2，G、F分别是BC、AE的中点，求的值；
(3)如图3，连接QD，若OD=4，求△COE的面积．
5．如图1，在正方形中，点E是边上一点，且点E不与点重合，点F是的延长线上一点，且．

（1）求证：；
（2）如图2，连接，交于点K，过点D作，垂足为H，延长交于点G，连接．
①求证：；
②若，求的长．
6．如图，是的高，，点P是边上一动点，过点P作的平行线L，点Q是直线L上一动点，点P从点B出发，沿匀速运动，点Q从点P出发沿直线L向右匀速运动，点P运动到点A时，同时停止．设点P与点Q在同一时刻开始运动，且运动速度相同，点P的运动距离是x．

(1)求运动过程中，点P与点C之间的最短距离；
(2)当直线L平分的面积时，求x的值；
(3)求点Q与边的距离（用含x的式子表示）；
(4)求当点Q与点C的之间的距离小于时，直接写出x的取值范围．
7．如图，已知抛物线与x轴交于点和，与y轴交于点C．

(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，若点P是线段BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，连接OQ，当线段PQ长度最大时，判断四边形OCPQ的形状并说明理由；
(3)如图2，在（2）的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线交抛物线于点E，且．在y轴上是否存在点F，使得为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．
8．如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且A点坐标为，抛物线的对称轴为直线，连接直线BC．

(1)求抛物线的解析式；
(2)若点D为第一象限内抛物线上一动点，连接AD，交直线BC于点E，连接BD，如图2所示，记△BDE的面积为，△ABE的面积为，求的最大值．
(3)若点M为对称轴上一点，N为平面内一点，是否存在以M，N，B，C为顶点的四边形为矩形，若存在，直接写出满足条件的M点坐标；若不存在，请说明理由．
9．在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于，（点在点的左侧）两点．点是该抛物线上任意一点，过点作平行于轴的直线交于，分别过点，作直线的垂线，垂足分别为点，．

(1)已知：，，．
①如图①，当点的横坐标为1，直线轴且过抛物线与轴的交点时，________，________；
②如图②，当点的横坐标为2，直线的解析式为时，________，________．
(2)由（1）中两种情况的结果，请你猜想在一般情况下与之间的数量关系，并证明你的猜想．
(3)若，点，的横坐标分别为，2，点在直线的上方的抛物线上运动（点不与点，重合），在点的运动过程中，利用（2）中的结论求出的最大面积．
10．如图，中，AB=AC，，BC=6cm，点M，N是边BC上的两个动点，点M从点B出发沿着BC以每秒1cm的速度向终点C运动；点N同时从点C出发沿着CB以每秒2cm的速度向终点B运动．设运动时间为t秒．

(1)当t=1时，求的面积．
(2)当t为何值时，．
(3)当以MN为直径的圆与的边有且只有三个公共点时，请直接写出t的取值范围．
11．如图（1）和图（2），在同一平面内，线段，线段，将这五条线段顺次首尾相接．把固定，点在上可以左右移动，让绕点从开始逆时针旋转角到某一位置时，，将会跟随到的上方或下方．

(1)如图（2），当点，，在同一条直线上时，求证：；
(2)当最大时，求；
(3)连接，则
①长度的最小值为；
②当旋转角时，求出长度的所有可能值．
12．已知：如图，二次函数图象的顶点坐标为C（1，﹣2），直线y=kx+m的图象与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点坐标为（3，0），B点在y轴上．点P为线段AB上的一个动点（点P与点A、B不重合），过点P且垂直于x轴的直线与这个二次函数的图象交于点E．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）设点P的横坐标为x，求线段PE的长（用含x 的代数式表示）；
（3）点D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，若以点P、E、D为顶点的三角形与△AOB相似，请求出P点的坐标．


1．(1)
(2)y=x2+2x-3
(3)
【解析】
(1)
解：将点A的坐标代入抛物线表达式得：9a-3b+c=0①，
∵函数的对称轴为：，
∴b=2a②，
将②代入①得c=-3a，
∴抛物线的表达式为：y=ax2+2ax-3a，
设y=ax2+2ax-3a=0，
解得x=1或-3，
∴B的坐标为（1,0），
∴AB=1-(-3)=4，
∵图象的开口向上，
∴a>0，
当x=0时，y=-3a，
∴C（0,-3a），
∴OC=3a，
∴ ；
(2)
解：∵，
∴a=1，
∴抛物线的表达式为：y=x2+2x-3；
(3)
解：①当m-1≥-1时，即m>0，
函数在x= m-1 时，取得最小值，
即 ，
解得 （负值舍去），
∴；
②当m-1＜-1时，即m＜0，
当x=-1时，函数取得最小值，
而顶点的纵坐标，
故此时，不存在m的值，使得y的最小值是-2；
综上所述，．
2．(1)
(2)（0 (3)能；
【解析】
(1)
解：把、代入二次函数，得
，
解得：，
∴；
(2)
解：如图，过点P作PN⊥y轴于N，作PM⊥x轴于M，连接PB、PC，
，
当点P在第一象限时，
∵点的横坐标为，
∴P(m,),
对于二次函数，令x=0，则y=4，
∴C(0,4),
∵B(8,0)，
∴S△PBC=S梯形PNOB-S△PCN-S△OBC

（0 (3)
解：当P在第一象限时，若S△PBC=S△BOC，
则，
解得：，
∴P点坐标为（4，6），
当P在第二象限，即-2 设直线BC的解析式为y=kx+b，把B(8,0)，C(0,4)代入，得
，解得：，
∴直线BC的表达式为，
所以直线l的表达式为，

所以
解方程组，
得：（舍去），，
∴x=，y=
所以点P坐标为．
3．(1)
(2)
(3)①；②或
【解析】
(1)
解：在中，∠ABC=90°，AC=5，AB=4，
∴．
(2)
解：，
，解得．
当时，点在线段上，
此时，，
．
当时，点在的延长线上，
此时，，
．
综上，
(3)
①，
，
又，
，即，
解得，
．

②当点在的延长线上时，显然，与不可能相等；
当点在线段上时，如下图：


，，
．
，
，
又，
，即，
解得；
当点在的延长线上时，如下图：

，
，
，．
，
，
，
，
，即，
解得．
综上，或．
4．(1)见解析
(2)=；
(3)△COE的面积=2．
【解析】
(1)
证明：∵∠CDB=∠EDA=90°，
∴∠EDB=∠ADC，
在△BDE和△CDA中，，
∴△BDE≌△CDA（SAS），
∴∠DBE=∠DCA，
∵∠BDC=90°，
∴∠COB=90°，即BE⊥AC；
(2)
解：取CE的中点H，连接GH、FH，

∵点G是BC的中点，
∴GH∥BE，GH=BE，
同理，FH∥AC，FH=AC，
∵△BDE≌△CDA，
∴BE=AC．
∵BE⊥AC，
∴GH=FH，GH⊥FH，
∴△HGF为等腰直角三角形，
∴GF=GH，
∵GH=BE，
∴GF=BE，
∵AB=AC，
∴BE=AB，
∴=；
(3)
解：作DM⊥BE于M，DN⊥AC于N，

在△BDE和△BDA中，
，
∴△BDE≌△BDA（SSS），
∴∠BDE=∠BDA=135°，
∴∠CDE=135°-90°=45°，即∠ODC+∠ODE=45°，
∵△BDE≌△CDA，
∴DM=DN，又DM⊥BE，DN⊥AC，
∴OD平分∠AOB，
∴∠BOD=∠AOD=45°，
∴∠COD=∠EOD=135°，
∴∠OCD+∠ODC=45°，
∴∠ODE=∠OCD，
∴△OCD∽△ODE，
∴，即OC•OE=OD2=4，
∴△COE的面积=×OC•OE=2．
5．（1）见解析；（2）①见解析；②．
【解析】
（1）证明：∵四边形是正方形，
．
又，
．
（2）①证明；由（1）得，
．
．
为等腰直角三角形．
又，
点H为的中点．
．
同理，由是斜边上的中线得，
．
．
②∵四边形是正方形，
．
又，
．
．
又为等腰直角三角形，
．
．
四边形是正方形，
．
．
．
．
．
又∵在等腰直角三角形中，
．
．
6．(1)
(2)
(3)当点Q在的内部时，Q与AC的距离为；当点Q在的外部时，Q与AC的距离为
(4)
【解析】
(1)
解：∵AD⊥CB，AD=CD=4，BD=3，
∴，
∵，

根据垂线段最短可知，当点P与H重合时，CP的值最小，最小值为；

(2)
解：由题意BP=x，则AP=5-x，在中，，
，
∵直线L平分△ABC的面积，
∴，
解得 ，（不合题意，舍去），
．
(3)
解：如图，当点Q在内时，作于H．
由，得，即，
解得，，
∴
在中，

当点Q在的外部时，
在中，，

综上，当点Q在的内部时，Q与AC的距离为；当点Q在的外部时，Q与AC的距离为．
(4)
解：，理由如下：
方法一：由得平分．
以C为圆心，以为半径作辅助圆．
∵点Q与点C的距离小于，
∴点Q在的内部．
图中，，都相似，
每个三角形的三边比都是，
假设，则，所以，
由，得，
同理
∴点Q与点C的距离小于时，．

方法二：如下图中，∵QC＜，
∴点Q在射线EF上，
过点Q作QR⊥BC于点R，连接QC．
当QC=时，∵CQ2=QR2+CR2，
∴[4-（5-x）]2+{4-[x-（5-x）]}2=（）2，
整理得64x2-448x+735=0∴x=或，
∴当＜x＜时，
点Q与点C之间的距离小于．

7．(1)
(2)四边形OCPQ是平行四边形，理由见解析
(3)在y轴上存在点F，使得为等腰三角形，此时点F的坐标为或或.
【解析】
(1)
解：把点和代入抛物线，
得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为；
(2)
解：四边形OCPQ是平行四边形.
理由如下：抛物线，
当x=0时，y=4，
∴，
设直线BC的解析式为，
把、代入，
得：，
解得：
∴直线BC的解析式为；
设，则，
∴，
∵-1＜0，
∴PQ有最大值，当x=2时，PQ的最大值为4，此时，
∴PQ=CO=4，
又∵PQ//CO，
∴四边形OCPQ是平行四边形；
(3)
解：在y轴上存在点F，使得为等腰三角形，此时点F的坐标为或或.
理由如下：∵D是OC的中点，
∴点D(0，2)，
∵点D(0，2)、Q(2，-2)，
∴直线DQ的表达式为，
如图，过点Q作轴于点H，

∴则QH//CO，
∴∠AQH =∠ODA，
∵，
∴∠HQA =∠HQE，
∴直线AQ和直线QE关于直线QH对称，
∴设直线QE的表达式为，
把Q(2，-2)代入，
得：-2=4+r，
解得：r=-6，
∴直线QE的表达式为，
联立，
解得：或（舍去），
∴，
设，
∴，
①当BF=EF，即BF2=EF2时，为等腰三角形，
则：，
解得：，
∴；
②当BF=BE，即BF2=BE2时，为等腰三角形，
则：，
解得：，
∴或；
③当EF=BE，即EF2=BE2时，，为等腰三角形，
则：，
化简得：，
∵，
∴方程无解，
即在y轴上不存在点F，使EF=BE，
综上所述，在y轴上存在点F，使得为等腰三角形，此时点F的坐标为或或.
8．(1)
(2)
(3)（1，）；（1，）；（1，）；（1，）；
【解析】
(1)
解： ∵ A（－1，0），抛物线的对称轴，
∴B（3，0），
将 A（－1，0）， B（3，0）代入，
得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为：；
(2)
解：设直线BC的解析式为：，

将 B（3，0），C（0，)代入解析式，得，
解得：，
∴直线BC的解析式为：，
作轴，交直线BC于点G，
设D点的横坐标为，
则，，
∴ ，
作轴，交直线BC于点H，则，
∴，
∴，
∵
∴
∵
∴
∴ 的最大值为．
(3)
解：设M点坐标为（1，n），
①当MN为矩形BMCN的对角线时，如图BM2CN2，BM3CN3，
∵四边形BMCN为矩形，
∴，，，即点C平移到点M的方向与距离与点N平移到点B的方向与距离是一致的，
∵B（3，0），C（0，)，
∴N（2，），
∵，
∴，即，
解得，
∴M2（1，）， M3（1，）；
②当MN为矩形BCNM的边时，如图BCN1M1，
∵四边形BCNM为矩形，
∴，，，即点C平移到点B的方向与距离与点N平移到点M的方向与距离是一致的，
∵B（3，0），C（0，)，
∴N（-2，），
∵，
∴，即，
解得，
∴M1（1，）；
③当MN为矩形BCMN的边时，如图BCM4N4，
∵四边形BCMN为矩形，
∴，，，即点C平移到点B的方向与距离与点M平移到点N的方向与距离是一致的，
∵B（3，0），C（0，)，
∴N（4，），
∵，
∴，即，
解得，
∴M4（1，）；
综上，M点坐标为：（1，）；（1，）；（1，）；（1，）．
【点睛】
9．(1)①2，2；②7，7；
(2)
(3)当时，
【解析】
(1)
解：∵，，，
∴抛物线解析式为：，
①当点的横坐标为1，直线轴且过抛物线与轴的交点时，
∴点，点，点，点，
∴，，，
∴，
故答案为：2，2；
②当点的横坐标为2，直线的解析式为时，
∴点，点，
∴，
∵，
∴，，
∴点，点，
∴，，
∴，
故答案为：7，7；
(2)
猜想：，
证明：设点，点，点的横坐标为：，，，直线的解析式为：，
∴，
∴，
∵，是方程的两根，
∴，，
∴，，
∴



，
∵点，
∴；
∴；
(3)
过点作轴交于，
设点的横坐标为，的面积为，
则，，，
∵


，
∴当时，．

10．(1)
(2)或
(3)且，
【解析】
(1)
如图，过点作于点，

，点M从点B出发沿着BC以每秒1cm的速度向终点C运动；点N同时从点C出发沿着CB以每秒2cm的速度向终点B运动．设运动时间为t秒．
，，
当时，
当时，重合，
当时，
当时，
当时，
(2)
①当在点左侧时，
如图，过点作，使得，连接，














中，

解得
②如图，当在点右侧时，点到达点，点到达点，此时，

综上所述，或
(3)
如图，过的中点作，

根据题意可知当时，

当时，与只有一个交点，与有2个交点，符合题意，此时
即
解得

当时，

同理可得，与只有一个交点，与有2个交点，此时
即
综上所述，，，即且，以MN为直径的圆与的边有且只有三个公共点
11．(1)证明过程见详解
(2)
(3)①；②和
【解析】
(1)
∵E、D、C三点共线，
∴∠EDA=∠CDB，
∵BC=CD=DE=AE，
∴∠A=∠EDA=∠CDB=∠B，
即，
∴△AED≌△BCD，
∴AD=BD；
(2)
当D点向A靠近的过程中角α在不断增大，当C点落在线段AB上时，D点再也无法向A点再靠近，此时α值达到最大，过E点作EN⊥AD于N，如图，

∵AE=DE，EN⊥AD，
∴AN=ND，
∵AE=ED=DC=CB=10，，
∴AD=AB-DC-BC=，
∴AN=ND=，
∴在Rt△AEN中，，
即当α最大时，为；
(3)
①显然，当△AED与△CDB在AB同侧时，线段CE的长度会比△AED与△CDB在AB两侧时的CE值要小，
即当△AED与△CDB在AB同侧时，过E点作EN⊥AB于N点，过C点作CM⊥AB于M点，过C点作CG⊥EN于点G，如图，



∵AE=ED=DC=CB，EN⊥AB，CM⊥AB，
∴根据等腰三角形的性质有AN=ND，DM=MB，
∵AD+DB=AB=，
∴DN+DM=MN=AB=，
在D点运动的过程中，当EC与CG重合时，EC有最小值，
∴CE的最小值为，
②分两种情况讨论：
第一种：当△AED与△CDB在AB同侧时，如图，过E点作EN⊥AB于N点，过C点作CM⊥AB于M点，过C点作CG⊥EN于点G，

∵α=60°，AE=ED，
∴∠EAD=∠EDA=60°，
∴△AED为等边三角形，
∴AD=AE=ED=10，
∴DB=AB-AD=，
∵EN⊥AB，α=60°，
∴在等边△AED中，AN=ND=5，EN=AN=，
∵CM⊥AB，CD=CB，
∴DM=MB=DB=，
∴ND+DM=MN=，
∴在Rt△CMD中，利用勾股定理有，
又∵CG⊥EN，
∴四边形CGNM是矩形，
∴GN=CM=5，GC=MN=，
∴GE=EN-GN=-5，
∴在Rt△ECG中，利用勾股定理有，
第二种情况：当△AED与△CDB在AB两侧时，如图，同理过E点作EN⊥AB于N点，过C点作CM⊥AB于M点，过C点作CG⊥EN交EN的延长线于点G，

同理可以求得GC=MN=，NG=CM=5，EN=，
∴EG=EN+NG=，
∴在Rt△ECG中，利用勾股定理有，
综上，EC的值为和．
12．（1）y=（x﹣1）2﹣2；（2）PE=﹣x2+x；（3）P点坐标为（﹣1，）或（1+，﹣1）．
【解析】
（1）设二次函数的解析式为y=a（x﹣1）2﹣2，
∵A（3，0）在抛物线上，
∴0=a（3﹣1）2﹣2
∴a=，
∴y=（x﹣1）2﹣2，
（2）抛物线与y轴交点B的坐标为（0，），
设直线AB的解析式为y=kx+m，
∴,
∴,
∴直线AB的解析式为y=.
∵P为线段AB上的一个动点，
∴P点坐标为（x，x﹣.）．（0＜x＜3）
由题意可知PE∥y轴，∴E点坐标为（x，x2﹣x﹣），
∵0＜x＜3，
∴PE=（.）﹣（x2﹣x﹣）=﹣x2+.
（3）由题意可知D点横坐标为x=1，又D点在直线AB上，
∴D点坐标（1，﹣1）．
当∠EDP=90°时，△AOB∽△EDP，
∴.
过点D作DQ⊥PE于Q，
∴xQ=xP=x，yQ=﹣1，
∴△DQP∽△AOB∽△EDP，
∴,
又OA=3，OB=，AB=,
又DQ=x﹣1，
∴DP=（x﹣1），
∴,
解得：x=﹣1±（负值舍去）．
∴P（﹣1，）（如图中的P1点）；
②当∠DEP=90°时，△AOB∽△DEP，
∴.
由（2）PE=﹣x2+.，DE=x﹣1，
∴
解得：x=1±，（负值舍去）．
∴P（1+，﹣1）（如图中的P2点）；
综上所述，P点坐标为（﹣1，）或（1+，﹣1）．