人教B版 (2019)选择性必修 第一册第二章　平面解析几何2.6 双曲线及其方程2.6.2 双曲线的几何性质导学案

双曲线的几何性质

【学习目标】

1．了解直线与双曲线的位置关系及其判定方法.

2．会求直线与双曲线相交所得的弦长、弦中点等问题.

【学习过程】

在与椭圆的性质类比中获得双曲线的性质，进一步体会数形结合的思想，掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，培养分析、归纳、推理等能力.

1．直线与双曲线的位置关系及判定

直线：Ax＋By＋C＝0，双曲线：－＝1(a>0，b>0)，

两方程联立消去y，得mx2＋nx＋q＝0.

2．弦长公式

设斜率为k的直线l与双曲线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则：|AB|＝          ，或|AB|＝       

【学习拓展】

题型一　直线与双曲线的位置关系

例1    已知直线y＝kx－1与双曲线x2－y2＝1有且仅有一个公共点，k为何值？

跟踪训练1　

（1）已知双曲线C：x2－y2＝1，F是其右焦点，过F的直线l只与双曲线的右支有唯一的交点，则直线l的斜率等于________

（2）已知直线y＝kx与双曲线4x2－y2＝16.当k为何值时，直线与双曲线：

①有两个公共点；②有一个公共点；③没有公共点.

题型二　双曲线中的相交弦问题

例2　已知曲线C：x2－y2＝1和直线l：y＝kx－1.

（1）若l与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；

（2）若l与C交于A，B两点，O是坐标原点，且△AOB的面积为，求实数k的值.

跟踪训练2　

设双曲线的顶点是椭圆＋＝1的焦点，该双曲线又与直线x－3y＋6＝0交于A，B两点，且OA⊥OB(O为坐标原点).

（1）求此双曲线的方程；

（2）求|AB|.

题型三　直线与双曲线位置关系的综合应用

例3　设双曲线C：－y2＝1(a>0)与直线l：x＋y＝1相交于两个不同的点A、B. 

（1）求双曲线C的离心率e的取值范围；

（2）设直线l与y轴的交点为P，且，求a的值.

跟踪训练3　设A、B分别是双曲线－＝1(a，b>0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为4，焦点到渐近线的距离为.

（1）求此双曲线的方程；

（2）已知直线y＝x－2与双曲线的右支交于D、E两点，且在双曲线的右支上存在点C，使得，求m的值及点C的坐标.

【学习小结】

直线与双曲线相交的问题，常有两种思路：

（1）若问题涉及相交弦的中点坐标，常联立直线与双曲线的方程，消去一个参数，化成关于x(或y)的一元二次方程，然后根据根与系数的关系，把已知条件化为两根和与两根积的形式，从而整体解题.

（2）若问题涉及相交弦的斜率等，需设出两交点坐标，将两交点坐标代入双曲线方程，然后两式相减，得到关于斜率的等式.。上述两种思路都是设而不求，该方法在求解直线与圆锥曲线相交问题时经常使用，应重点掌握.

【达标检测】

1．已知双曲线方程为，过的直线与双曲线只有一个公共点，则的条数共有（   ）

A．4条       B．3条       C．2条        D．1条

2．设双曲线与的离心率分别为，则当在变化时，的最小值是（   ）

A．2         B．4        C．         D．4

3．已知双曲线的左、右焦点分别为，其一条渐近线方程为，点在该双曲线上，则等于            

4．已知双曲线，经过点能否作一条直线，使与双曲线交于、，且点是线段的中点。若存在这样的直线，求出它的方程，若不存在，说明理由。

5．已知直线与双曲线交于两点

（1）若以为直径的圆过坐标原点，求实数的值。

（2）是否存在这样的实数，使两点关于直线对称？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由

6．已知双曲线－＝1(a>0)的一条渐近线方程为3x－4y＝0，则以右焦点为圆心，虚轴长为半径的圆的方程为(　　)

A．(x－5)2＋y2＝36  B．(x＋5)2＋y2＝36    

 C．(x－5)2＋y2＝9  D．(x＋5)2＋y2＝9

7．已知双曲线－＝1 (a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，过F2的直线交双曲线右支于A，B两点.若△ABF1是以B为顶点的等腰三角形，且△AF1F2，△BF1F2的面积之比S△AF1F2∶S△BF1F2＝2∶1，则双曲线的离心率为________.

8．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为，且过点 (，).

（1）求双曲线C的方程.

（2）已知直线x－y＋m＝0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x2＋y2＝5上，求m的值.

9．过点且被点M平分的双曲线的弦所在直线方程