高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.7.1 抛物线的标准方程导学案

抛物线的标准方程

【学习目标】

1．掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念；

2．会求简单的抛物线的方程。

【学习过程】

通过观察抛物线的形成过程，得出抛物线定义，建系得出抛物线标准方程.通过抛物线及其标准方程的应用，体会抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.

1．抛物线的定义

平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)               的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的      ，直线l叫做抛物线的      

2．抛物线标准方程的几种形式

【学习拓展】

探究点一　抛物线定义

如图，我们在黑板上画一条直线EF，然后取一个三角板，将一条拉链AB固定在三角板的一条直角边上，并将拉链下边一半的一端固定在C点，将三角板的另一条直角边贴在直线EF上，在拉锁D处放置一支粉笔，上下拖动三角板，粉笔会画出一条曲线.

问题1　画出的曲线是什么形状？

问题2　|DA|是点D到直线EF的距离吗？为什么？

问题3　点D在移动过程中，满足什么条件？

问题4　在抛物线定义中，条件“l不经过点F”去掉是否可以？

例1　方程＝|x－y＋3|表示的曲线是(　　)

A．圆    B．椭圆    C．双曲线    D．抛物线

跟踪训练1　

（1）若动点P与定点F(1,1)和直线l：3x＋y－4＝0的距离相等，则动点P的轨迹是 (　　)

A．椭圆    B．双曲线    C．抛物线    D．直线

（2）若动圆与圆(x－2)2＋y2＝1相外切，又与直线x＋1＝0相切，则动圆圆心的轨迹是 (　　)

A．椭圆   B．双曲线      C．双曲线的一支   D．抛物线

探究点二　抛物线的标准方程

问题  1　结合求曲线方程的步骤，怎样求抛物线的标准方程？

问题2　抛物线方程中p有何意义？标准方程有几种类型？

问题3　根据抛物线方程如何求焦点坐标、准线方程？

例2　已知抛物线的方程如下，求其焦点坐标和准线方程.

（1）y2＝-6x；   （2）3x2＋5y＝0；

（3）y＝4x2；     （4）y2＝a2x (a≠0).

跟踪训练2　

（1）抛物线方程为7x＋4y2＝0，则焦点坐标为(　　)

A．  B．      C．  D．

（2）抛物线y＝－x2的准线方程是 (　　)

A．x＝  B．x＝1        C．y＝1  D．y＝2

例3　分别求满足下列条件的抛物线的标准方程.

（1）准线方程为2y＋4＝0；

（2）过点(3，－4)；

（3）焦点在直线x＋3y＋15＝0上.

跟踪训练3　

（1）经过点P(4，－2)的抛物线的标准方程为(　　)

A．y2＝x或x2＝y        B．y2＝x或x2＝8y

C．x2＝－8y或y2＝x       D．x2＝y或y2＝－8x

（2）已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点M(m，－3)到焦点F的距离为5，求m的值、抛物线方程及其准线方程.

探究点三　抛物线定义的应用

例4　已知点A(3,2)，点M到F的距离比它到y轴的距离大.

（1）求点M的轨迹方程；

（2）是否存在M，使|MA|＋|MF|取得最小值？若存在，求此时点M的坐标；若不存在，请说明理由.

跟踪训练4　

（1）抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是 (　　)

A．     B．     C．     D．0

（2）已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值是(　　)

A．    B．3    C．      D．

【达标检测】

1．已知抛物线的准线方程为x＝-7，则抛物线的标准方程为 (　　)

A．x2＝-28y  B．y2＝28x     C．y2＝-28x  D．x2＝28y

2．抛物线y2＝2px(p>0)上一点M到焦点的距离是a(a>)，则点M的横坐标是 (　　)

A．a＋    B．a－          C．a＋p    D．a－p

3．已知直线l1：4x-3y＋6＝0和直线l2：x＝-1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是 (　　)

A．2     B．3    C．      D．

4．焦点在y轴上，且过点A(1，-4)的抛物线的标准方程是__________

5．若点到点的距离比它到直线的距离小1，则点的轨迹方程是（　）

　　A．    B．      C．    D．

6．过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，如果，

那么=（   ）

A．10         B．8         C．6           D．4

7．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A、B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线方程为(   )

A．y2＝9x  B．y2＝6x     C．y2＝3x  D．y2＝x

8．抛物线上的两点A、B到焦点的距离之和为10，则线段AB中点到y轴的距离为              

【课堂小结】

1．抛物线的定义中不要忽略条件：点F不在直线l上.

2．确定抛物线的标准方程，从形式上看，只需求一个参数p，但由于标准方程有四种类型，因此，还应确定开口方向，当开口方向不确定时，应进行分类讨论.有时也可设标准方程的统一形式，避免讨论，如焦点在x轴上的抛物线标准方程可设为y2＝2mx (m≠0)，焦点在y轴上的抛物线标准方程可设为x2＝2my (m≠0).