第四篇 押题冲刺卷03-【创奇迹·精品系列卷】备战2022年高考数学冲刺模拟卷（新高考）...

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【创奇迹·精品系列卷】备战2022年高考数学冲刺模拟卷第四篇 押题冲刺卷03（试卷满分150分，考试用时120分钟）姓名___________       班级_________       考号_______________________注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1．已知集合，，则（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】先求出集合的补集，再由交集运算可得答案.【详解】集合，，则所以，故选：B.2．已知复数，（i为虚数单位），若是纯虚数，则实数（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】先求出，再根据纯虚数概念求解即可.【详解】是纯虚数，所以且，可得．故选：A.3．已知，则“”是“函数为奇函数”的（       ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】先将函数化简为，根据三角函数奇偶性判断即可.【详解】根据题意；先判断充分性，因为，所以，所以函数为奇函数，故充分性成立；再判断必要性，因为为奇函数，所以，因为，所以当时，解得，符合题意；当时，解得，符合题意，故必要性不成立.故选：A.4．己知的展开式的所有项系数之和为81，则展开式中含的项的系数为（       ）A．56 B．60 C．68 D．72【答案】A【解析】【分析】通过赋值，求得参数的值，再根据的产生，结合二项式展开式的通项公式即可求得结果.【详解】因为的展开式的所有项系数之和为81，故令，则，解得，又对，其展开式中项是：由中的常数项与的项相乘得到，或由中的项与的项相乘得到，故的展开式中含的系数为.故选：A.5．已知，则（       ）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】将要求值的三角函数式展开、合并同类项，应用辅助角公式化简即可求值【详解】因为所以故选：A6．已知曲线C：的左、右顶点分别为，，点P在双曲线C上，且直线与的斜率之积等于2，则C的离心率为（       ）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】设出点P的坐标，由给定条件列式求出，再利用离心率计算公式求解作答.【详解】依题意，，设点，则，有，由直线与的斜率之积等于2得：，所以C的离心率.故选：B7．口袋中装有编号为①、②的2个红球和编号为①、②、③、④、⑤的5个黑球，小球除颜色、编号外形状大小完全相同，现从中取出1个小球，记事件为“取到的小球的编号为②”，事件为“取到的小球是黑球”，则下列说法正确的是（       ）A．与互斥 B．与对立 C． D．【答案】C【解析】【分析】利用互斥事件、对立事件的意义判断A，B；利用古典概率求出判断C，D作答.【详解】依题意，取到的小球为黑球且编号为②，事件与同时发生，则与不互斥，也不对立，A，B都不正确；由古典概率得：，，，于是得，C正确，D不正确.故选：C8．已知奇函数定义域为R，其函数图象连续不断，当时，，则（       ）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】令，根据导数可知其在上单调递增，由可知AB错误，同时得到，，，结合奇偶性知C错误，D正确.【详解】对于AB，令，则，，当时，，在上单调递增，，即，，，AB错误；对于C，由A的推理过程知：当时，，则当时，，，，又为奇函数，，，C错误．对于D，由A的推理过程知：，又，，，则，D正确．故选：D.  二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知，是两个正数，4是与的等比中项，则下列说法正确的是（       ）A．的最小值是1 B．的最大值是1C．的最小值是 D．的最大值是【答案】BC【解析】【分析】根据等比中项整理得，直接由基本不等式可得的最大值，可判断AB；由展开后使用基本不等式可判断CD.【详解】因为，所以，所以，可得，当且仅当时等号成立，所以的最大值为1，故错误，B正确．因为，故的最小值为，无最大值，故C正确，D错误．故选：BC10．在中，，，，则下列四个结论中正确的是（       ）A．B．若，则为锐角三角形.C．若，则为直角三角形D．若，则为直角三角形【答案】ACD【解析】【分析】三角形中向量首尾相接，可知选项A正确；通过向量数量积的性质可知选项B、C正确与否；将展开，结合余弦定理，可求出，可知选项D正确.【详解】中，，，，.，则只能判定∠ACB是锐角，不能判定是锐角三角形，故B错.，则，则直角三角形，故C正确.，即，，又因为，所以，所以，则为直角三角形，故D正确.故选：ACD.11．已知圆，圆，下列说法正确的是（       ）A．若（O为坐标原点）的面积为2，则圆的面积为B．若，则圆与圆外离C．若，则是圆与圆的一条公切线D．若，则圆与圆上两点间距离的最大值为6【答案】BC【解析】【分析】分别求出两圆的圆心及半径，求出根据的面积为2，求得，即可求得圆的半径，即可判断A；求出圆心距，根据圆与圆外离求得的范围，即可判断B；根据，求得两圆的圆心及半径，从而可判断两圆的位置关系，再根据圆心到直线的距离即可判断C；根据，求得两圆的圆心及半径，再根据圆与圆上两点间距离的最大值为即可判断D.【详解】解：依题意，圆半径，，圆半径，对于选项A，，则，所以，则圆的面积为，选项A错误；对于选项B，，，若圆与圆外离，则，即，得或，选项B正确；对选项C，当时，，，，，所以圆与圆外切，且，所以两圆的公切线中有两条的斜率为1，设切线方程为，则，解得或，则一条切线方程为，即，选项C正确；对于选项D，当时，，，，，，圆与圆上两点间距离的最大值为，选项D错误.故选：BC.12．如图，在棱长为1的正方体中，P是上的动点，则（       ）A．直线与是异面直线B．平面C．的最小值是2D．当P与重合时，三棱锥的外接球半径为【答案】ABD【解析】【分析】选项A，利用平面可说明直线与是异面直线；选项B，先证明平面平面，再由平面，得平面；选项C，通过作辅助线，将的最小值转化为求的值，在中，利用勾股定理求出的值；选项D，认识到当P与重合时，三棱锥的外接球与正方体的外接球是同一个，利用正方体来求外接球半径.【详解】A选项，因为直线与平面相交于点，直线在平面内，所以由线线位置关系知，直线与是异面直线，故选项A正确；B选项，连接，，由正方体性质，易知，，，所以四边形为平行四边形，有，又平面，平面，所以平面，同理可证平面，又，都在平面内，且相交于点，所以平面平面，又平面，所以平面，故选项B正确；C选项，延长到，使得，连接，在上取点，使得，则，有.故.过点作，交于点，在中，因为，所以，又，所以，，，，所以的最小值为，故选项C错误；D选项，当P与重合时，三棱锥的外接球即为正方体的外接球，又正方体的棱长为1，故其外接球半径，故选项D正确.故选：ABD. 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．函数满足：①定义域为R，②，③.请写出满足上述条件的一个函数，___________.【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】由题可得函数为定义在R上的奇函数，且为增函数，即得.【详解】∵函数定义域为R，关于原点对称，又，即，∴函数为奇函数，又，∴函数为增函数，又函数是定义在R上的奇函数，且为增函数，故函数可为.故答案为：（答案不唯一）.14．已知，则_______．【答案】【解析】【分析】由诱导公式化简得，平方后计算得，从而计算出，再由诱导公式以及余弦的二倍角公式代入求解得答案.【详解】，则，所以，因为，所以，，则.故答案为：15．已知分别是双曲线的左､右焦点，P是第一象限内双曲线C的渐近线上一点，设，若λ的最大值为，则双曲线C的渐近线方程为___________.【答案】【解析】【分析】根据题意，设，，进而结合题意，根据基本不等式得，此时根据等号成立的条件求解得答案.【详解】解：根据题意，双曲线的渐近线中经过第一象限的渐近线方程为，故设，，，当且仅当“”时取“”，此时，离心率，，，曲线C的渐近线方程为.故答案为：16．在数列中，给定，且函数的导函数有唯一的零点，则______；设函数且，则______．【答案】     2     【解析】【分析】空1：求导利用函数零点定义即可求得空2：利用引入辅助角公式对化简，构造新函数，利用导数判断新函数的单调性并结合夹逼原理求得【详解】空1：因为有唯一的零点，为偶函数，则，可得，，数列为等差数列．所以，又因为，令，则为奇函数，因为，所以在上单增．由题意得，∵数列是公差不为0的等差数列，其中，则，假设，∵∴，假设，同理可得，综上，．故答案为：、 四．解答题：本小题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知，向量，，．(1)求的最大值；(2)在中，内角所对的边分别为，，若为边的中点，，且         ，求的长．（从①；②；③的面积为，这三个条件中任选一个补充在上面的横线上并作答）【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）根据平面向量数量积坐标运算、二倍角和辅助角公式可化简得到，根据正弦型函数的最值可求得；（2）利用可求得；若选①，利用正弦定理可求得，再用余弦定理可得，进而在利用余弦定理求得；若选②，利用余弦定理求得后，再次利用余弦定理求得；若选③，利用三角形面积公式求得后，再利用余弦定理求得.(1)，当时，.(2)由（1）得：，即，，，，解得：；若选条件①，，，，在中，由正弦定理得：，由余弦定理得：，解得：（舍）或，，在中，由余弦定理得：，解得：.若选条件②，在中，由余弦定理得：，解得：（舍）或，，在中，由余弦定理得：，解得：.若选条件③，，，，在中，由余弦定理得：，解得：.18．数列的前n项和为，且，记为等比数列的前n项和，且，．(1)求数列和的通项公式；(2)设数列满足，求数列的前n项和．【答案】(1)，；(2).【解析】【分析】（1）利用与的关系求出数列的通项，解方程组求出等比数列的通项的基本量即得的通项公式；（2）利用错位相减法求解即可.(1)解：当时，．当时，也满足上式，故数列的通项公式为．设的公比为q，当时，由题意可知，，显然不成立．当时，依题意得，解得，所以．(2)解：由（1）得，则①，②①—②得：，所以19．甲，乙，丙三人各自独立地加工同一种零件，已知甲加工的零件是一等品且乙加工的零件不是一等品的概率是，乙加工的零件是一等品且丙加工的零件也是一等品的概率是，甲加工的零件是一等品且丙加工的零件也是一等品的概率是.记事件A，B，C分别是甲，乙，丙三人各自加工的零件是一等品.(1)分别求出事件A，B，C的概率；(2)从甲，乙，丙三人加工的零件中随机各取1个进行检验，记这3个零件是一等品的个数为，求随机变量的分布列.【答案】(1)(2)分布列见解析【解析】【分析】（1）根据题意，①，②，③，再解方程组即可得答案；（2）的可能取值为0，1，2，3，再根据独立事件的概率公式求对应取值的概率，列分布列即可；(1)解：根据题意，①，②，③；由②③得④，将④代入①得，解得，所以，(2)由(1)得，的可能取值为0，1，2，3.所以，的分布列为：0123P 20．在如图所示的几何体中，四边形是矩形，平面，，，为与的交点，点H为棱的中点.(1)求证：平面；(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【解析】【分析】（1）连接，根据三角形的中位线，证得，利用线面平行的判定定理，即可证得平面；（2）以A为坐标原点，以，，所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，分别求得平面和平面的法向量，结合向量的夹角公式，即可求解.(1)证明：如图所示，连接，因为四边形是矩形，，所以是的中点，因为H是的中点，所以，因为平面，平面，所以平面.(2)解：由条件可知，，两两垂直，以A为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，如图所示则，，，，可得，，，设平面的法向量为，所以，取，可得，所以.设平面的法向量为，所以，取，可得，所以，所以，由图可知二面角为钝角，所以二面角的余弦值为.21．已知离心率为的椭圆的右顶点为.(1)求的标准方程；(2)过点作两条相互垂直的直线，.若与的另一交点为，交抛物线于，两点，求面积的最小值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）基本量的计算，易求（2）以直线的斜率为参数，通过联立方程解出点坐标，由抛物线的焦点弦长表示出，代点到直线的距离公式求出高，从而表示出的面积，换元求其最值(1)依题意，又，所以则所以的标准方程为(2)显然的斜率存在，设：则：由消去，整理得所以所以所以即设，消去，整理得所以因为恰好为抛物线的焦点所以：即点到直线的距离所以设（）则设，则记，（）则当时，；当时，所以在上单调递增，在上单调递减所以即所以即22．已知函数，其中(1)讨论函数的单调性；(2)若函数的导函数在区间上存在零点，证明：当时，【答案】(1)答案不唯一，具体见解析(2)证明见解析【解析】【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）根据导函数在上存在零点，则在上有解，则有，即，得到函数的最小值，构造函数，，利用导数判断出其单调性，结合不等式传递性可证．(1)函数的定义域是，，①时，，令，解得：，令，解得：，故在递减，在递增；②时，令，解得：或，令，解得：，故在递增，在递减，在递增；③时，，在递增；④时，令，解得：或，令，解得：，故在递增，在递减，在递增；综上：时，在递减，在递增，时，在递增，在递减，在递增；时，在递增；时，在递增，在递减，在递增；(2)因为，又因为导函数在上存在零点，所以在上有解，则有，即，且当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，设，，则，则，所以在上单调递减，所以在上单调递减，则，所以，则根据不等式的传递性可得，当时，【点睛】本题考查利用导数表示曲线上某点处的斜率，考查函数的单调性，考查导数的综合应用以及分类讨论思想，转化思想，属于难题．