第四篇押题冲刺卷01-【创奇迹·精品系列卷】备战2022年高考数学冲刺模拟卷（新高考）...

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【创奇迹·精品系列卷】备战2022年高考数学冲刺模拟卷第四篇 押题冲刺卷01（试卷满分150分，考试用时120分钟）姓名___________       班级_________       考号_______________________注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1．设集合，若，则由实数a组成的集合为（       ）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】由题设可知集合是集合的子集，集合可能为空集，故需分类讨论【详解】解析：由题意，当时，的值为；当时，的值为；当时，的值为，故选：D2．已知是关于x的方程的一个根，其中，则（       ）A．18 B．16 C．9 D．8【答案】A【解析】【分析】将复数代入原方程计算【详解】由题意得，化简得，所以解得所以．故选：A3．不等式“”是“”成立的（       ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】先分别解出不等式和，利用集合法判断.【详解】的解集即为集合A，则.的解集即为集合B，则.因为AB，所以不等式“”是“”成立充分不必要条件.故选：A4．设函数，则 （       ）A．是偶函数，且在单调递增 B．是偶函数，且在单调递减C．是奇函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减【答案】D【解析】【分析】利用函数奇偶性的定义可判断出函数的奇偶性，分析函数解析式的结构可得出函数的单调性.【详解】函数的定义域为，，所以函数为奇函数.而，可知函数为定义域上的减函数，因此，函数为奇函数，且是上的减函数.故选：D.5．设数列的前项和为，若，则（       ）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】根据题目所给递推关系，利用，求得为等比数列，首项为3公比为2，即可得解.【详解】由 ①，当时，可得，当时，②，作差可得：，所以，所以为等比数列，首项为3公比为2，所以.故选：C6．已知，则（       ）A．2 B． C．1 D．0【答案】A【解析】【分析】先由求出，再计算即可.【详解】，解得，.故选：A.7．将甲、乙、丙、丁4名医生随机派往①，②，③三个村庄进行义诊活动，每个村庄至少派1名医生，A表示事件“医生甲派往①村庄”；B表示事件“医生乙派往①村庄”；C表示事件“医生乙派往②村庄”，则（       ）A．事件A与B相互独立 B．事件A与C相互独立C． D．【答案】D【解析】【分析】由古典概率公式求出，再利用相互独立事件的定义判断A，B；用条件概率公式计算判断C，D作答.【详解】将甲、乙、丙、丁4名医生派往①，②，③三个村庄义诊的试验有个基本事件，它们等可能，事件A含有的基本事件数为，则，同理，事件AB含有的基本事件数为，则，事件AC含有的基本事件数为，则，对于A，，即事件A与B相互不独立，A不正确；对于B，，即事件A与C相互不独立，B不正确；对于C，，C不正确；对于D，，D正确.故选：D8．已知抛物线的焦点为F，过F且倾斜角为的直线l与抛物线相交于A，B两点，，过A，B两点分别作抛物线的切线，交于点Q．下列说法正确的是(       )A．B．(O为坐标原点)的面积为C．D．若，P是抛物线上一动点，则的最小值为【答案】A【解析】【分析】设l的方程，和抛物线方程联立，得到根与系数关系，求出，根据求出p的值.A：用导数求出切线斜率，验证两斜率之积是否为－1；B：利用三角形面积公式即可求解；C：根据抛物线焦点弦的几何性质可判断；D：数形结合，利用抛物线的定义转化为P到准线的距离即可求出最值.【详解】∵l过点F且倾斜角为，∴直线l的方为，与抛物线方程联立，得，设，则，，∴，，又，∴，∴；不妨设，当时，，∴过A的切线斜率为，同理可得过B的切线斜率为，∴，∴，故A正确；，故B错误；，故C错误；设点M到准线的距离为d，若，则，则D错误．故选：A．  二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．在研究某种产品的零售价（单位：元）与销售量（单位：万件）之间的关系时，根据所得数据得到如下所示的对应表：12141618201716141311利用最小二乘法计算数据，得到的回归直线方程为：，则下列说法中正确的是（       ）A．B．C．回归直线必过点(16，14.2)D．若该产品的零售价定为22元，则销售一定是9.7万件【答案】BC【解析】【分析】先算出x，y的平均值，由于平均值必定在回归直线上，可以算出 ，得到回归直线方程.【详解】根据题目所给的条件， ，   ，根据最小二乘法原理， 必定在回归直线上，代入回归直线方程 ，得   ， =-0.75 ，故A错误，B正确，C正确，由于回归直线方程是对未来的预计值，并非准确值，故D错误.故选：BC.10．关于函数，下列说法正确的是（       ）A．函数的图象可由函数的图象向左平移个单位得到B．的图象关于直线对称C．的表达式可以改写为D．若函数在的值域为，则m的取值范围是【答案】BD【解析】【分析】对于A，由平移规则可判断；对于B，代入检验可判断；对于C，利用诱导公式可判断；对于D，根据值域建立不等式后可判断.【详解】对于A，由函数的图象向左平移个单位可得到函数的图象，所以A选项错误；对于B，当时，，所以B选项正确；对于C，，所以C选项错误；对于D，由得，又函数在的值域为，得，解得，所以D选项正确．故选：BD11．以下四个命题表述错误的是（       ）A．直线恒过定点B．圆上有且仅有个点到直线的距离都等于C．曲线与恰有四条公切线，则实数的取值范围为D．已知圆，为直线上一动点，过点向圆引条切线，其中为切点，则的最小值为【答案】ACD【解析】【分析】对于A，整理直线方程，可化为，当且时，无论取何值，方程恒成立，解方程组即可解得定点，即可判断正误；对于B，求出圆心到直线的距离，结合圆的半径，得出到直线距离为的两条直线与圆的位置关系，即可得出结论；对于C，根据两圆有四条公切线，所以两圆相离，即圆心距大于半径之和，解出的范围即可判断；对于D，当为圆心到直线垂线与直线交点时，切线最短，根据勾股定理求出即可判断正误．【详解】对于A，因为直线，即，令，解得，即直线恒过定点，故A错误；对于B，因为圆的圆心是，半径为，则圆心到直线的距离为，故圆上有且仅有个点到直线的距离都等于，故B正确；对于C，曲线，即，圆心为，半径为，曲线，即，圆心为，半径为，若两圆恰有四条公切线，则两圆相离，则，解得，故C错误；对于D，因为，故当最小时，最小，又最小值为圆心到直线的距离，即，故的最小值为，故D错误．故选ACD．12．在正方体中，点为线段上一动点，则（       ）A．对任意的点，都有B．三棱锥的体积为定值C．当为中点时，异面直线与所成的角最小D．当为中点时，直线与平面所成的角最大【答案】ABD【解析】【分析】证明平面，得线线垂直判断A，根据线面平行及体积公式判断B， 由，作出异面直线所成的角，并计算其余弦值，可判断C，由平面平面，所以直线与平面所成的角等于直线与平面所成的角，然后求出线面角的正切值，可得角最大值，判断D．【详解】连接，正方形中，，又平面，平面，所以，（下面要用到正方体的棱与相应面上的直线垂直就不再证明了，方法相同）．，平面，所以平面，平面，所以，同理，，平面，所以平面，平面，所以，A正确；正方体中平面，因此到平面的距离不变，即三棱锥的高不变，又面积不变，所以三棱锥即三棱锥的体积不变，B正确．连接，因为，所以（或其补角）是异面直线与的所成的角．设正方体的棱长为，设，则在中，，由，得，，中，，时，，时，设，，，即时，取得最大值，所以与重合时，取得最小值，C错误；因为平面平面，所以直线与平面所成的角等于直线与平面所成的角，由上讨论知就是直线与平面所成的角，中，，所以时，取得最大值，而为锐角，最大，此时是中点．D正确．故选：ABD．【点睛】本题考查棱锥的体积，空间直线的垂直，异面直线所成的角，线面角等知识，需要掌握的知识点较多，难度较大．要确定空间角的大小，需要通过定义作出此角（化为平面上的角），然后计算其某个三角函数值，由三角函数性质得最值． 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．若直线与直线平行，其中、均为正数，则的最小值为______.【答案】【解析】【分析】由两直线平行可得出，利用基本不等式可求得的最小值.【详解】由已知可得，则，因为、均为正数，利用基本不等式可得，当且仅当时，等号成立.故的最小值为.故答案为：.14．若的展开式中第5项的二项式系数最大，则___________．（写出一个即可）【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根据二项展开式的二项式系数，列出不等式组，结合组合数的公式，即可求解.【详解】由题意，二项式的展开式中第5项的二项式系数最大，可得，即，解得，所以或或.故答案为：（答案不唯一）.15．在三棱锥中，，平面，三棱锥的顶点都在球的球面上.若三棱锥的体积为，则球的表面积为___________.【答案】【解析】【分析】依题意设，根据锥体的体积求出，即可求出外接圆的半径，设三棱锥外接球的半径，则，即可求出外接球的表面积；【详解】解：依题意设，则，即，解得，设外接圆的半径为，则，设三棱锥外接球的半径，则，所以球的表面积；故答案为：16．已知函数，其单调增区间为_______；若对于，都有，则的取值范围是______.【答案】          【解析】【分析】利用导数单调性求函数增减区间，将去绝对值后构造新函数将不等式恒成立问题转化为新函数的单调性问题再进行求解.【详解】，，令，得出，故的单调增区间为.时，，单调递减，设，即可转化为，令，在上单调递增，不等式才能恒成立，则，解得.令，时单调递增，时单调递减，，.故答案为：，.【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效. 四．解答题：本小题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．在①且，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答该问题．问题：锐角的内角的对边分别为，且_________．(1)求A；(2)求的最大值．【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）选① 由向量垂直的坐标表示化简求出A的正切得解，选②根据三角形中三角函数的运算化简求出A的余弦即可得解，选③由两角和差的余弦函数公式化简求解即可；（2）由余弦定理及均值不等式求出，再由正弦定理即可求出的最大值.(1)若选①．若选②, ， .若选③，由正弦定理得，，即，又.(2)在三角形中，由正弦定理：，由余弦定理：，，又，，当b=c=4等号成立.故最大值为18．设等差数列的首项为1，数列满足：，，且（）．(1)求等差数列的通项公式；(2)求数列的前n项和．【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)根据题意将代入递推公式中，求出，进而得出等差数列的公差，利用定义法求出等差数列的通项公式；(2)由(1)可知的通项公式，代入递推公式，变形可得，即为常数列，求出，利用裂项相消求和法即可求出.(1)因为所以当时，，则所以等差数列的公差为2，由等差数列的通项公式可得：(2)由（1）可知，代入中可得：，故数列为常数列，又，故，则：所以19．如图所示在多面体中，平面，四边形是正方形，，，，.(1)求证：直线平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【解析】【分析】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可证得直线平面；（2）利用空间向量法可求得平面与平面夹角的余弦值.(1)证明：因为平面，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、、、，设平面的法向量为，，，，则，取，可得，所以，，，平面，所以，平面.(2)解：设平面的法向量为，，，则，取，可得，.因此，平面与平面夹角的余弦值为.20．甲、乙两名选手争夺一场乒乓球比赛的冠军.比赛采取三局两胜制，即某选手率先获得两局胜利时比赛结束，且该选手夺得冠军.根据两人以往对战的经历，甲、乙在一局比赛中获胜的概率分别为，，且每局比赛的结果相互独立.(1)求甲夺得冠军的概率；(2)比赛开始前，工作人员买来一盒新球，共有6个.新球在一局比赛中使用后成为“旧球”，“旧球”再在一局比赛中使用后成为“废球”.每局比赛前裁判员从盒中随机取出一颗球用于比赛，且局中不换球，该局比赛后，如果这颗球成为废球，则直接丢弃，否则裁判员将其放回盒中.记甲、乙决出冠军后，盒内新球的数量为X，求随机变量X的分布列与数学期望.【答案】(1)(2)分布列见解析，【解析】【分析】（1）记事件“甲在第i局比赛中获胜”，，事件“甲在第i局比赛中未胜”.，记事件“甲夺得冠军”，分析事件A包含的情况，直接求概率；（2）X的可能取值：3，4，5.分析比赛过程，分别求概率，写出分布列，计算数学期望.(1)记事件“甲在第i局比赛中获胜”，，事件“甲在第i局比赛中未胜”.显然，，.记事件“甲夺得冠军”，则.(2)设甲乙决出冠军共进行了Y局比赛，易知或.则，故.记“第i局比赛后抽到新球”，“第i局比赛后抽到旧球”.因为每个求最多使用两次，故X的取值为：3，4，5.由题意知比赛前盒内有6颗新球.比赛1局后，盒内必为5颗新球1颗旧球，此时，.若发生，则比赛2局后，盒内有4颗新球，2颗旧球，此时，.若发生，则比赛2局后，盒内有5颗新球，故下次必取得新球.即.于是.故X的分布列为X345P 故X的数学期望.21．已知两点分别在轴和轴上运动，且，若动点满足，设动点的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程；(2)过点作直线的垂线，交曲线于点（异于点），求面积的最大值.【答案】(1)；(2).【解析】【分析】（1）利用给定条件，结合向量运算的坐标表示用点G的坐标表示出即可求解作答.（2）设出直线的方程，与E的方程联立，借助韦达定理求出长，利用均值不等式求出的最大值即可计算作答(1)依题意，设，则，，因，则，解得，而，即，于是得，即，所以曲线的方程为.(2)依题意，直线垂直于且与曲线交于、两点，则直线的斜率存在且不为0，设直线：，，，由消去并整理得：，，，，，由（1）知，直线MN的斜率，则，直线过点，即，而点在曲线上，，于是得，即，，即，，当且仅当时取“=”，此时，则有，所以面积的最大值为.【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的几何图形面积范围或最值问题，可以以直线的斜率、横(纵)截距、图形上动点的横(纵)坐标为变量，建立函数关系求解作答.22．已知函数（为自然对数的底数）．(1)当时，求的极值；(2)若函数在上有三个不同的极值点，求实数的取值范围．【答案】(1)极小值为，无极大值；(2).【解析】【分析】（1）由题可得，进而即得；（2）由题可得在区间上有两个不同根，且均不为1，构造函数，利用导数研究函数的最值即得.(1)当时，，令，则，又因为的定义域为，故当时，，单调递减；当时，，单调递增，，无极大值.(2)∵，在区间上有三个不同的极值点，所以在区间上有三个不同的穿过轴的根，又因为故只需在区间上有两个不同根，且均不为1，即，令，记，则，由，得，所以h(x)在区间上单调递减，在区间（1，2）上单调递增，所以，又，，所以.故.