江西省宜春市高安市部分学校2021-2022学年八年级（下）第一次月考数学试卷（含解析）

江西省宜春市高安市部分学校2021-2022学年八年级（下）第一次月考数学试卷

一、选择题（本大题共6小题，共18分）

1. 下列为最简二次根式的是

A.  B.  C.  D.

2. 下列运算正确的是

A.  B.
C.  D.

3. 在实数范围内要使成立，则的取值范围是

A.  B.  C.  D.

4. 已知的三个内角分别为、、，三边分别为、、，下列条件不能判定是直角三角形的是

A. ：：：： B.
C.  D. ：：：：

5. 如图，一棵大树树干与地面垂直在一次强台风中于离地面米处折断倒下，倒下后的树顶与树根的距离为米，则这棵大树在折断前的高度为

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

6. 已知实数满足条件，那么的值为

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

7. 若代数式有意义，则的取值范围是______．
8. 若最简二次根式和是同类二次根式，那么______．
9. 在中，斜边，则的值为______．
10. 禅城区某一中学现有一块空地如图所示，现计划在空地上种草皮，经测量，，，，，若每种植平方米草皮需要元，总共需投入______元．
    
     

11. 直角三角形的一直角边长，斜边长，则其斜边上的高是______．
12. 如图，在中，，，，为边上的高，点为射线上一动点，当点运动到使为等腰三角形时，的长度为______ ．

三、解答题（本大题共11小题，共84分）

13. 计算：
    ；
    ．
14. 解方程．
    ；
    ．
15. 先化简，再求值：，其中．
16. 如图，在等腰中，，点是边上的一点，且，，判断的形状，并说明理由．
    
     

17. 有一只喜鹊在一棵高的小树上觅食，它的巢筑在距离该树的一棵大树上，大树高，且巢离树顶部当它听到巢中幼鸟的叫声，立即赶过去，如果它飞行的速度为，那它至少需要多少时间才能赶回巢中？
18. 已知，化简：．
    已知，，求的值．
19. 如图，长方形纸片，，将长方形纸片折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕为．
    求证：．
    若，，求的长．
     

20. 如图，边长为的正方形，点在边上，点在边上，且，．
    求的长；
    请判断的形状，并说明理由．
    
    
     

21. 阅读材料，并回答问题：
    形如，的数可以化简，其化简的目的主要把原数分母中的无理数化为有理数，如，，这样的化简过程叫做分母有理化．
    我们把叫做的有理化因式，叫做的有理化因式．
    问题：的有理化因式是______，的有理化因式是______．
    应用：分母有理化．
    拓展：比较大小与．
22. 先阅读，后解答：
    由根式的性质计算下列式子得：
    ，，，，．
    由上述计算，请写出的结果为任意实数．
    利用中的结论，直接写出下列问题的结果：
    ______；
    化简：______．
    应用：
    若，则的取值范围是______．
23. 如图，长方形中，，，为边上一点，．
    求的长；
    点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿着边向终点运动，连接设点运动的时间为秒．
    当为何值时，是等腰三角形；
    当______时，．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：．是最简二次根式，故本选项符合题意；
B.被开方数中的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C.被开方数中的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D.，被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，满足以下两个条件的二次根式是最简二次根式：被开方数中的因数是整数，因式是整式，被开方数中不含有能开得尽方的因数和因式．
 

2.【答案】

【解析】解：．与不能合并，所以选项不符合题意；
B.原式，所以选项不符合题意；
C.原式，所以选项不符合题意；
D.原式，所以选项符合题意；
故选：．
根据二次根式的加减法对、进行判断；根据二次根式的除法法则对进行判断；根据二次根式的乘法法则对进行判断．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键．
 

3.【答案】

【解析】解：原式，
，
解得：，
故选：．
根据二次根式的性质及绝对值的意义列不等式求解．
本题考查二次根式的性质及绝对值的意义，理解绝对值的概念，掌握是解题关键．
 

4.【答案】

【解析】解：、：：：：，，故不能判定是直角三角形；
B、，，，故能判定是直角三角形；
C、，，故能判定是直角三角形；
D、，故能判定是直角三角形；
故选：．
由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方或最大角是否是即可．
本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，可利用勾股定理的逆定理和直角三角形的定义判断．
 

5.【答案】

【解析】解：是直角三角形，，，
，
大树的高度．
故选：．
先根据勾股定理求出大树折断部分的高度，再根据大树的高度等于折断部分的长与未断部分的和即可得出结论．
本题考查的是勾股定理的应用，解答此题的关键是先根据勾股定理求出的长度，再根据大树的高度进行解答．
 

6.【答案】

【解析】解：负数没有平方根，
，即，
原式可化为：，即，
两边平方得：，
解得：．
故选C．
根据负数没有平方根，得到大于等于，然后根据的范围化简绝对值，移项后两边平方即可求出所求式子的值．
本题考查的是非负数的性质，先根据题意求出的取值范围是解答此题的关键．
 

7.【答案】且

【解析】解：由题意可知：，
解得：且，
故答案为：且．
根据二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件即可求出答案．
本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数，分式的分母不等于是解题的关键．
 

8.【答案】

【解析】解：最简二次根式和是同类二次根式，
，
解得：．
故答案为：．
由于最简二次根式和是同类二次根式，根据同类二次根式的定义即可得到关于的方程，解方程即可求解．
此题主要考查了同类二次根式的定义，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．
 

9.【答案】

【解析】解：中，为斜边，
，
．
故答案为：．
利用勾股定理将转化为，再求值．
本题考查了勾股定理．正确判断直角三角形的直角边、斜边，利用勾股定理得出等式是解题的关键．
 

10.【答案】

【解析】解：在中，
，
．
在中，，，
而，
即，
，
，
．
所以需费用：元．
故答案为：．
仔细分析题目，需要求得四边形的面积才能求得结果．连接，在直角三角形中可求得的长，由、、的长度关系可得三角形为一直角三角形，为斜边；由此看，四边形由和构成，则容易求解．
本题考查了勾股定理及其逆定理的相关知识，通过勾股定理由边与边的关系也可证明直角三角形，这样解题较为简单．
 

11.【答案】

【解析】解：设斜边上的高为，
由勾股定理得，直角三角形另一条直角边为：，
由三角形的面积公式可得，，
解得，，
故答案为：．
根据勾股定理求出直角三角形另一条直角边，根据三角形的面积公式计算即可．
本题考查的是勾股定理，三角形的面积，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．
 

12.【答案】或

【解析】解：，，
，
，
，
，
当时，
，
，
，
当，
综上所述：或．
故答案为：或．
根据直角三角形的性质得到，根据含的角的直角三角形的性质得到，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
本题考查了含的角的直角三角形的性质，勾股定理等腰三角形的性质，熟练掌握含的角的直角三角形的性质是解题的关键．
 

13.【答案】解：

；


．

【解析】先对二次根式进行化简，然后再计算即可；
分别进行负整数指数幂、绝对值、零指数幂、二次根式运算，再求和即可．
本题考查实数的运算，熟练掌握负整数指数幂、绝对值、零指数幂、二次根式化简是解题的关键．
 

14.【答案】解：方程变形得：，
开方得：；
方程整理得：，
开立方得：，
解得：．

【解析】方程变形后，利用平方根定义开方即可求出解；
方程整理后，利用立方根定义开立方即可求出解．
此题考查了解一元二次方程直接开平方法，熟练掌握平方根、立方根的定义是解本题的关键．
 

15.【答案】解：


，
当时，原式

．

【解析】先算括号里，再算括号外，然后把的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解是解题的关键．
 

16.【答案】解：是直角三角形，
理由是：，，
，
，，
，
是直角三角形．

【解析】求出长，求出，再根据勾股定理的逆定理得出即可．
本题考查了勾股定理的逆定理和等腰三角形的性质，能熟记勾股定理的逆定理是解此题的关键．
 

17.【答案】解：如图，由题意知，，．
过点作于则，，
在中，
．
，
．
答：喜鹊至少需要才能赶回巢中．

【解析】根据题意，构建直角三角形，利用勾股定理解答．注意提取信息，理清题意．
本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
 

18.【答案】解：，
，，




；
，，






．

【解析】根据，进行计算即可解答；
根据完全平方公式可得，然后把，的值代入进行计算即可解答．
本题考查了完全平方公式，二次根式的化简求值，熟练掌握，以及完全平方公式是解题的关键．
 

19.【答案】解：由题意得：；
四边形为矩形，
，
，
，
；
由题意知：；
设，则，
由勾股定理得：
，
解得：．
即的长为．

【解析】根据翻折变换的性质，结合矩形的性质证明，根据全等三角形的性质即可得到结论；
根据勾股定理列出关于线段的方程即可解决问题．
该题主要考查了翻折变换的性质及其应用问题；解题的关键是灵活运用全等三角形的性质、勾股定理等几何知识点来解题．
 

20.【答案】解：四边形是正方形，
，，
；
是直角三角形，理由如下：
，，
，，
，，
，
，即是直角三角形．

【解析】由勾股定理可求的长；
利用勾股定理可求，的长，由勾股定理的逆定理可求解．
本题考查了正方形的性质，勾股定理，利用勾股定理求线段的长是解题的关键．
 

21.【答案】解：； 
；
，
，
而
，
，，
．

【解析】

【分析】
本题考查了分母有理化，二次根式比较大小．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
利用有理化因式的定义求解；
把分子分母都乘以 即可；
通过比较两个数的倒数的方法比较它们的大小．
【解答】
解： 的有理化因式是 ， 的有理化因式为 ；
故答案为 ； ；
见答案；
见答案．   

22.【答案】；
  ；
   ；
 

【解析】解：见答案；
，
，
，
，
，
，
；
故答案为：，；
，
当时，，，
所以原式．
当时，，．
所以原式，
当时，，，
所以原式．
，
所以的取值范围是，
故答案为：．
将分为正数、、负数三种情况得出结果；
当时，根据中的结论可知，得其相反数，即得；
先将被开方数化为完全平方式，再根据公式得结果；
根据式得：，然后分三种情况讨论：当时，当时，当时，分别计算，哪一个结果为，哪一个就是它的取值范围．
本题考查了二次根式的性质，明确两个性质：
任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式；
；尤其是第个性质的运用．
 

23.【答案】

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
由勾股定理可得，
的长为；
由题知，，，
若是等腰三角形，分一下三种情况：
Ⅰ当时，
即，
解得，
Ⅱ当时，
过点作于点，

，
由题知四边形是矩形，
，
即，
解得，
Ⅲ当时，
过点作于，

四边形是矩形，
，，
，
在中，由勾股定理得，
即，
解得，
综上，的值为或或时，是等腰三角形；
若时，则是直角三角形，
过点作于，

四边形是矩形，
由知，，，
由勾股定理得，
，，
由勾股定理得，
即，
解得，
故答案为：．
根据四边形是矩形求得长度，再利用勾股定理求即可；
分，，三种情况分别求值即可；
若，则是直角三角形，用表示出和，再利用勾股定理求出值即可．
本题主要考查矩形的性质、勾股定理及等腰三角形的性质等知识，熟练掌握矩形的性质、勾股定理及等腰三角形的性质是解题的关键．