2020-2021学年山西省阳泉市平定县八年级（下）期末数学试卷

这是一份2020-2021学年山西省阳泉市平定县八年级（下）期末数学试卷，共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年山西省阳泉市平定县八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（每小题2分，共20分）
1．（2分）计算的结果是（　　）
A．3 B．﹣3 C．9 D．﹣9
2．（2分）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2分）学校组织爱国诗词朗诵比赛，有17位同学晋级决赛，每位选手得分各不相同．小红想要确定自己是否进入前8名；除了知道自己的得分以外，她还要了解这17名同学得分的（　　）
A．方差 B．中位数 C．众数 D．平均数
4．（2分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝2，BC＝4．四边形ADEC是正方形，则正方形ADEC的面积是（　　）

A．8 B．12 C．18 D．20
5．（2分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b的图象如图所示，那么根据图象，下列结论正确的是（　　）

A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0 C．k＜0，b＜0 D．k＜0，b＞0
6．（2分）某果农将直径从65mm至85mm的苹果每相差5mm分为1个等级，共分A，B，C，D四个等级，它们每箱的价格依次是20元，30元，40元，50元．某天这四个等级苹果销售数量的百分比如图所示，则这天销售的苹果每箱平均价格为（　　）

A．35元 B．31.5元 C．30.5元 D．30元
7．（2分）如图，在▱ABCD中，CE平分∠DCB，AE＝2，DC＝6，则▱ABCD的周长是（　　）

A．16 B．18 C．20 D．24
8．（2分）如图，正方形ABCD中，点E是对角线BD上的一点，且BE＝AB，连接CE，AE，则∠DAE的度数为（　　）

A．22.5° B．25° C．30° D．32.5°
9．（2分）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，AD⊥BC于D，则AD的长为（　　）

A．1 B． C．2 D．
10．（2分）如图是甲、乙两个动点在某时段速度随时间变化的图象，下列结论错误的是（　　）

A．点乙前3秒运动的路程为36cm
B．甲、乙两点到第3秒时运动的路程相等
C．甲、乙两点在第3秒时的速度相等
D．在4至8秒内甲的速度都大于乙的速度
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）已知△ABC的面积为12，AB边上的高为AB的3倍，则AB的长为 　 　．
12．（3分）甲、乙两人进行飞镖比赛，每人投5次，所得平均环数相等，甲所得环数的方差为5，乙所得环数如下：2，6，5，8，4，那么成绩较稳定的是 　 　．（填“甲”或“乙”）

13．（3分）如图，直线y＝kx+b经过点A（﹣1，m）和点B（﹣3，0），直线y＝﹣2x过点A，则关于x的不等式﹣2x＜kx+b的解集为 　 　．

14．（3分）如图所示的网格是正方形网格，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D都在格点上，则∠DAB+∠CAB的度数是 　 　度．

15．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4，点P为AB上一动点，PD⊥BC于D，PE⊥AC于E，则DE的最小值为 　 　．

三、解答题（本大题共8小题，共65分）
16．（10分）（1）计算：．
（2）计算：．
17．（5分）如图，已知一次函数的图象经过点A（﹣2，﹣5）和B（4，4），与x轴交于点C，与y轴交于点D．
（1）求一次函数的表达式；
（2）根据函数图象，直接写出当﹣5＜y＜0时，x的取值范围．

18．（7分）请阅读下列材料，并完成相应的任务．
勾股定理的证明．
勾股定理，是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”，而且在高等数学和其他学科中也有着极为广泛的应用．正因为这样，世界上几个文明古国都已发现并且进行了广泛深入的研究，我国三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作注时，利用“弦图”巧妙地给出了勾股定理的证明，这个证明是有史以来四百多种证明中最巧妙的证法之一．
在西方勾股定理也称毕达哥拉斯定理．其中，美国第二十任总统詹姆斯•伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话．他将两个直角三角形拼成一个梯形（如图），根据基本活动经验：“表示同一个量（这里指梯形的面积）的两个代数式相等”进行证明．
任务：
（1）勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么 　 　．
（2）根据阅读内容，图中梯形的面积分别可以表示为 　 　和 　 　．
（3）根据（2）中的结果，写出证明过程．

19．（8分）某校认真组织学生学习中国共产党的百年奋斗历史，举办了一次“知史爱党，知史爱国”的知识竞赛，现随机抽取某年级20名学生的测试成绩（满分100分，学生成绩均为整数）进行整理，绘制成统计图．根据以上信息，解答下列问题：

（1）请直接写出该组数据的中位数是 　 　分，众数是 　 　分．
（2）请计算这组数据的平均数，并回答（1）中的两个统计量，哪个更能反映这组学生测试成绩的“平均水平”；
（3）该年级共有160名学生都参加了本次测试，估计该年级学生成绩不低于“平均水平”的学生人数约有多少人？
20．（8分）如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，AB的中点，点F是CB延长线上的一点，且CF＝3BF，连接DB，EF．
（1）求证：四边形DEFB是平行四边形；
（2）若∠ACB＝90°，AC＝12cm，DE＝4cm，求四边形DEFB的周长．

21．（8分）为了更好地运用信息技术辅助教学，某校计划购买A，B两种型号的笔记本电脑共11台．已知A型笔记本电脑每台4500元，B型笔记本电脑每台5500元．设购买A型笔记本电脑x台，购买两种型号的笔记本电脑共需要费用y元．
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）若购买B型笔记本电脑的数量大于A型笔记本电脑的数量，请给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用．

22．（9分）综合与实践：正方形折纸中的数学．
已知正方形纸片ABCD的边长为acm．
动手操作：
第一步：如图1，将正方形ABCD对折，使AB与DC重合，把这个正方形展平，得到折痕EF；
第二步：如图2，再将正方形纸片的右下角向上翻折，使点C与点E重合，边BC翻折至B'E的位置，得到折痕MN，若EF与MN交于点G，B'E与AB相交于点H．
问题解决：

（1）在图2中，四边形EMCG的形状是 　 　；直线CG和HE的位置关系是 　 　；
（2）在图2中，若a＝4，求DM的长；
拓广探索：
（3）如图3，若P是边AD上的一点（点A，D除外），再将正方形纸片的右下角向上翻折，使点C与点P重合，边BC翻折至B'P的位置，得到折痕MN，若B'P与AB相交于点H．求△AHP的周长．
23．（10分）综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与x轴，y轴分别交于点A，B，与直线交于点C．直线与x轴交于点D，若点P是线段AD上的一个动点，点P从点D出发沿DA方向，以每秒2个单位长度匀速运动到点A（到A停止运动）．设点P的运动时间为ts．
（1）求点A和点B的坐标；
（2）当△ACP的面积为12时，求t的值；
（3）试探究，在点P运动过程中，是否存在t的值，使△ACP为直角三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．


2020-2021学年山西省阳泉市平定县八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题2分，共20分）
1．（2分）计算的结果是（　　）
A．3 B．﹣3 C．9 D．﹣9
【分析】根据二次根式的性质＝|a|进行计算即可．
【解答】解：原式＝|﹣3|＝3，
故选：A．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质，关键是掌握＝|a|．
2．（2分）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据同类二次根式的定义进行解答．
【解答】解：的被开方数是2．
A.，被开方数是5，所以与不是同类二次根式，故本选项不合题意；
B.，与不是同类二次根式，故本选项不合题意；
C.，被开方数是2，所以与是同类二次根式，故本选项符合题意；
D.，被开方数是6，所以与不是同类二次根式，故本选项不合题意；
故选：C．
【点评】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．
3．（2分）学校组织爱国诗词朗诵比赛，有17位同学晋级决赛，每位选手得分各不相同．小红想要确定自己是否进入前8名；除了知道自己的得分以外，她还要了解这17名同学得分的（　　）
A．方差 B．中位数 C．众数 D．平均数
【分析】17人成绩的中位数是第8名的成绩．参赛选手要想知道自己是否能进入前8名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可．
【解答】解：由于总共有17个人，且他们的分数互不相同，第8的成绩是中位数，要判断是否进入前8名，故应知道中位数的多少．
故选：B．
【点评】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．
4．（2分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝2，BC＝4．四边形ADEC是正方形，则正方形ADEC的面积是（　　）

A．8 B．12 C．18 D．20
【分析】在△ABC中，通过勾股定理得AC2＝20，从而解决问题．
【解答】解：在△ABC中，∠B＝90°，
由勾股定理得：AC2＝AB2+BC2＝22+42＝20，
∵四边形ADEC是正方形，
∴S正方形ADEC＝AC2＝20，
故选：D．
【点评】本题主要考查了勾股定理，熟记勾股定理内容：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，是解题的关键．
5．（2分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b的图象如图所示，那么根据图象，下列结论正确的是（　　）

A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0 C．k＜0，b＜0 D．k＜0，b＞0
【分析】根据函数图象经过的象限，可以判断k和b的正负情况，从而可以解答本题．
【解答】解：由图象可得，
一次函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限，
∴k＜0，b＞0，
故选：D．
【点评】本题考查一次函数图象与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
6．（2分）某果农将直径从65mm至85mm的苹果每相差5mm分为1个等级，共分A，B，C，D四个等级，它们每箱的价格依次是20元，30元，40元，50元．某天这四个等级苹果销售数量的百分比如图所示，则这天销售的苹果每箱平均价格为（　　）

A．35元 B．31.5元 C．30.5元 D．30元
【分析】根据加权平均数定义即可求出这天销售的苹果每箱平均价格．
【解答】解：这天销售的苹果每箱平均价格是：
20×20%+30×55%+40×15%+50×10%＝31.5（元），
故选：B．
【点评】本题考查了加权平均数、扇形统计图，解决本题的关键是掌握加权平均数的定义．
7．（2分）如图，在▱ABCD中，CE平分∠DCB，AE＝2，DC＝6，则▱ABCD的周长是（　　）

A．16 B．18 C．20 D．24
【分析】利用平行四边形的性质以及角平分线的性质得出∠BEC＝∠BCE，进而得出BE＝BC＝AD求出即可．
【解答】解：在▱ABCD中，CE平分∠BCD，
∴∠DCE＝∠ECB，AB∥DC，AB＝DC，
∴∠BEC＝∠DCE，
∴∠BEC＝∠BCE，
∴BE＝BC＝AD，
∵AB＝DC＝6，AE＝2，
∴BE＝BC＝AD＝4，
∴平行四边形ABCD的周长＝2（4+6）＝20．
故选：C．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及角平分线的性质，得出BE＝BC＝AD是解题关键．
8．（2分）如图，正方形ABCD中，点E是对角线BD上的一点，且BE＝AB，连接CE，AE，则∠DAE的度数为（　　）

A．22.5° B．25° C．30° D．32.5°
【分析】根据正方形的性质得到∠ABD＝45°，∠BAD＝90°，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠BAE＝67.5°，然后计算∠BAD﹣∠BAE即可．
【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ABD＝45°，∠BAD＝90°，
∵BE＝AB，
∴∠BAE＝∠BEA＝×（180°﹣45°）＝67.5°，
∴∠DAE＝∠BAD﹣∠BAE＝90°﹣67.5°＝22.5°．
故选：A．
【点评】本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形．
9．（2分）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，AD⊥BC于D，则AD的长为（　　）

A．1 B． C．2 D．
【分析】首先由勾股定理得AB，AC，BC的三边长，从而有AB2+AC2＝BC2，得∠BAC＝90°，再根据S△ABC＝，代入计算即可．
【解答】解：由勾股定理得：AB＝，AC＝，BC＝，
∵AB2+AC2＝25，BC2＝25，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴∠BAC＝90°，
∴S△ABC＝，
∴，
∴AD＝2，
故选：C．
【点评】本题主要考查了勾股定理，通过勾股定理计算出三边长度，判断出∠BAC＝90°是解题的关键．
10．（2分）如图是甲、乙两个动点在某时段速度随时间变化的图象，下列结论错误的是（　　）

A．点乙前3秒运动的路程为36cm
B．甲、乙两点到第3秒时运动的路程相等
C．甲、乙两点在第3秒时的速度相等
D．在4至8秒内甲的速度都大于乙的速度
【分析】选项A，根据前4s内，乙的速度﹣时间图象是一条平行于x轴的直线，即速度不变，速度×时间＝路程．
选项B，甲是一条过原点的直线，则速度均匀增加，求出甲第3秒的速度即可比较；
选项C，由选项A、B可得甲乙的速度；
选项D，图象在上方的，说明速度大．
【解答】解：A．根据图象可得，乙前4秒的速度不变，为12米/秒，则行驶的路程为12×3＝36米，故A不合题意；
B．每秒增加的速度为：32÷8＝4（米/秒），3×4＝12（米/秒），甲前3秒的运动路程为4+8+12＝24（米），所以甲、乙两点到第3秒时运动的路程不相等，故B符合题意；
C．甲、乙两点在第3秒时的速度相等，均为12米/秒，故C不合题意；
D．在4至8秒内甲的速度图象一直在乙的上方，所以甲的速度都大于乙的速度，故D不合题意．
故选：B．
【点评】此题考查了一次函数的应用，弄清函数图象表示的意义是解本题的关键．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）已知△ABC的面积为12，AB边上的高为AB的3倍，则AB的长为 　　．
【分析】由题意可设AB边上的高为h，则h＝3AB，根据三角形面积公式有方程，解出方程中AB的值即可得答案．
【解答】解：设AB边上的高为h，则h＝3AB，
根据三角形面积公式有：，
即，解得：AB＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了三角形的面积公式，牢固掌握三角形面积公式是解题的关键．
12．（3分）甲、乙两人进行飞镖比赛，每人投5次，所得平均环数相等，甲所得环数的方差为5，乙所得环数如下：2，6，5，8，4，那么成绩较稳定的是 　乙　．（填“甲”或“乙”）

【分析】先根据方差的定义计算出乙成绩的方差，再与甲成绩的方差比较大小，方差小的成绩更稳定，据此可得答案．
【解答】解：乙组数据的平均数＝（2+6+5+8+4）÷5＝5，
乙组数据的方差S2乙＝×[（2﹣5）2+（6﹣5）2+（5﹣5）2+（8﹣5）2+（4﹣5）2]＝4，
∵S2甲＞S2乙，
∴成绩较为稳定的是乙．
故答案为：乙．
【点评】本题考查平均数和方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
13．（3分）如图，直线y＝kx+b经过点A（﹣1，m）和点B（﹣3，0），直线y＝﹣2x过点A，则关于x的不等式﹣2x＜kx+b的解集为 　x＞﹣1　．

【分析】不等式﹣2x＜kx+b的解集，就是指直线y＝﹣2x落在直线y＝kx+b的下方的自变量的取值范围．
【解答】解：观察图象可知，当x＞﹣1时，直线y＝﹣2x落在直线y＝kx+b的下方，
∴不等式﹣2x＜kx+b解集为x＞﹣1，
故答案为x＞﹣1．
【点评】本题主要考查一次函数与一元一次不等式之间的联系．根据函数图象即可得到不等式的解集．
14．（3分）如图所示的网格是正方形网格，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D都在格点上，则∠DAB+∠CAB的度数是 　45　度．

【分析】作C点关于AB的对称点E，连接DE，利用勾股定理得出AD，DE，AE的长，进而利用勾股定理的逆定理解答即可．
【解答】解：作C点关于AB的对称点E，连接AE，DE，如图所示：

∴∠CAB＝∠EAB，
由勾股定理得：AD＝，DE＝，AE＝，
∴AD2+DE2＝AE2，
∴△AED是直角三角形，
∵AD＝DE，
∴∠DAE＝45°＝∠DAB+∠BAE＝∠DAB+∠CAB，
故答案为：45．
【点评】此题考查勾股定理，关键是根据勾股定理得出AD，DE，AE的长解答．
15．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4，点P为AB上一动点，PD⊥BC于D，PE⊥AC于E，则DE的最小值为 　2　．

【分析】连接CP，根据矩形的性质可知：DE＝CP，当DE最小时，则CP最小，根据垂线段最短可知当CP⊥AB时，则CP最小，再根据三角形的面积为定值即可求出CP的长．
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，
∴AB＝4，
连接CP，如图所示：
∵PD⊥AC于点D，PE⊥CB于点E，
∴四边形DPEC是矩形，
∴DE＝CP，
当DE最小时，则CP最小，根据垂线段最短可知当CP⊥AB时，则CP最小，
∴DE＝CP＝，
故答案为：2．

【点评】本题考查了勾股定理的运用、矩形的判定和性质以及直角三角形的面积的不同求法，题目难度不大，设计很新颖，解题的关键是求DE的最小值转化为其相等线段CP的最小值．
三、解答题（本大题共8小题，共65分）
16．（10分）（1）计算：．
（2）计算：．
【分析】（1）先分别化简每个二次根式，然后算除法，最后算加减；
（2）先利用乘法分配律和完全平方公式计算乘方和乘法，然后再算加减．
【解答】解：（1）原式＝（2+5）÷﹣6×
＝2+5﹣2
＝5；
（2）原式＝﹣2+1+2+5
＝+6．
【点评】本题考查二次根式的混合运算，掌握计算顺序和运算法则是解题关键．
17．（5分）如图，已知一次函数的图象经过点A（﹣2，﹣5）和B（4，4），与x轴交于点C，与y轴交于点D．
（1）求一次函数的表达式；
（2）根据函数图象，直接写出当﹣5＜y＜0时，x的取值范围．

【分析】（1）根据待定系数法即可求得；
（2）求得C的坐标，根据图象即可求得．
【解答】解：（1）设一次函数的表达式为y＝kx+b，
∵一次函数的图象经过点A（﹣2，﹣5）和B（4，4），
∴，解得，
∴一次函数的表达式为y＝x﹣2；
（2）令y＝0，则x＝，
∴C（，0），
∵A（﹣2，﹣5），
∴当﹣5＜y＜0时，x的取值范围是﹣2＜x＜．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，数形结合是解题的关键．
18．（7分）请阅读下列材料，并完成相应的任务．
勾股定理的证明．
勾股定理，是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”，而且在高等数学和其他学科中也有着极为广泛的应用．正因为这样，世界上几个文明古国都已发现并且进行了广泛深入的研究，我国三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作注时，利用“弦图”巧妙地给出了勾股定理的证明，这个证明是有史以来四百多种证明中最巧妙的证法之一．
在西方勾股定理也称毕达哥拉斯定理．其中，美国第二十任总统詹姆斯•伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话．他将两个直角三角形拼成一个梯形（如图），根据基本活动经验：“表示同一个量（这里指梯形的面积）的两个代数式相等”进行证明．
任务：
（1）勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么 　a2+b2＝c2　．
（2）根据阅读内容，图中梯形的面积分别可以表示为 　ab+　和 　ab　．
（3）根据（2）中的结果，写出证明过程．

【分析】（1）根据勾股定理可得．
（2）利用整体法和分割法求梯形面积．
（3）将（2）式中两式联立．
【解答】解：（1）根据勾股定理得：a2+b2＝c2，
故答案为a2+b2＝c2，
（2）利用整体法，梯形的面积为S＝＝ab+，
利用分割法，梯形的面积为S＝＝ab．
故答案为ab+，ab．
（3）将（2）式两式联立得，ab+＝ab．
即，
∴a2+b2＝c2．
【点评】本题主要考查勾股定理的验证，解题关键是利用面积相等建立等量关系，判定勾股定理成立．
19．（8分）某校认真组织学生学习中国共产党的百年奋斗历史，举办了一次“知史爱党，知史爱国”的知识竞赛，现随机抽取某年级20名学生的测试成绩（满分100分，学生成绩均为整数）进行整理，绘制成统计图．根据以上信息，解答下列问题：

（1）请直接写出该组数据的中位数是 　75　分，众数是 　80　分．
（2）请计算这组数据的平均数，并回答（1）中的两个统计量，哪个更能反映这组学生测试成绩的“平均水平”；
（3）该年级共有160名学生都参加了本次测试，估计该年级学生成绩不低于“平均水平”的学生人数约有多少人？
【分析】（1）根据中位数、众数的意义结合频数分布直方图中的信息进行计算即可；
（2）计算这20名学生成绩的平均数，再与（1）中的中位数、众数比较得出结论；
（3）求出“成绩不低于平均水平”的人数所占的百分比，即可求出相应的人数．
【解答】解：（1）将这20名学生的成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为＝75，因此中位数是75，
这20名学生成绩出现次数最多的是80，共出现5次，因此众数是80，
故答案为：75，80；
（2）这20名学生成绩的平均数为：＝75，
因此（1）中的中位数更能反映这组学生测试成绩的“平均水平”；
（3）160×＝80（人），
答：该年级学生成绩不低于“平均水平”的学生人数约有80人．
【点评】本题考查频数分布直方图，中位数、众数、平均数以及样本估计总体，理解平均数、中位数、众数的意义，掌握平均数、中位数、众数的计算方法是正确解答的关键．
20．（8分）如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，AB的中点，点F是CB延长线上的一点，且CF＝3BF，连接DB，EF．
（1）求证：四边形DEFB是平行四边形；
（2）若∠ACB＝90°，AC＝12cm，DE＝4cm，求四边形DEFB的周长．

【分析】（1）证DE是△ABC的中位线，得DE∥BC，BC＝2DE，再证DE＝BF，即可得出四边形DEFB是平行四边形；
（2）由（1）得：BC＝2DE＝8（cm），BF＝DE＝4cm，四边形DEFB是平行四边形，得BD＝EF，再由勾股定理求出BD＝10（cm），即可求解．
【解答】（1）证明：∵点D，E分别是AC，AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，BC＝2DE，
∵CF＝3BF，
∴BC＝2BF，
∴DE＝BF，
∴四边形DEFB是平行四边形；
（2）解：由（1）得：BC＝2DE＝8（cm），BF＝DE＝4cm，四边形DEFB是平行四边形，
∴BD＝EF，
∵D是AC的中点，AC＝12cm，
∴CD＝AC＝6（cm），
∵∠ACB＝90°，
∴BD＝＝＝10（cm），
∴平行四边形DEFB的周长＝2（DE+BD）＝2（4+10）＝28（cm）．
【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、勾股定理等知识；熟练掌握三角形中位线定理，证明四边形DEFB为平行四边形是解题的关键．
21．（8分）为了更好地运用信息技术辅助教学，某校计划购买A，B两种型号的笔记本电脑共11台．已知A型笔记本电脑每台4500元，B型笔记本电脑每台5500元．设购买A型笔记本电脑x台，购买两种型号的笔记本电脑共需要费用y元．
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）若购买B型笔记本电脑的数量大于A型笔记本电脑的数量，请给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用．

【分析】（1）根据题意，可以写出y关于x的函数表达式；
（2）根据购买B型电脑的数量大于A型电脑的数量，可以得到x的取值范围，再根据一次函数的性质解答即可．
【解答】解：（1）由题意，得：y＝4500x+5500（11﹣x）＝﹣1000x+60500，
∴y与x之间的函数表达式为y＝﹣1000x+60500；
（2）由题意，得：x＜11﹣x，
解得x＜5.5，
由y＝﹣1000x+60500，
∵﹣1000＜0，
∴y随x的增大而减小，
∵x＜5.5且x为整数，
∴当x＝5时，y有最小值，y最小＝﹣1000×5+60500＝55500，
此时11﹣x＝11﹣5＝6（台），
答：购买A型电脑5台，B型电脑6台，费用最省，所需费用为55500元．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．
22．（9分）综合与实践：正方形折纸中的数学．
已知正方形纸片ABCD的边长为acm．
动手操作：
第一步：如图1，将正方形ABCD对折，使AB与DC重合，把这个正方形展平，得到折痕EF；
第二步：如图2，再将正方形纸片的右下角向上翻折，使点C与点E重合，边BC翻折至B'E的位置，得到折痕MN，若EF与MN交于点G，B'E与AB相交于点H．
问题解决：

（1）在图2中，四边形EMCG的形状是 　菱形　；直线CG和HE的位置关系是 　CG⊥HE　；
（2）在图2中，若a＝4，求DM的长；
拓广探索：
（3）如图3，若P是边AD上的一点（点A，D除外），再将正方形纸片的右下角向上翻折，使点C与点P重合，边BC翻折至B'P的位置，得到折痕MN，若B'P与AB相交于点H．求△AHP的周长．
【分析】（1）先证明四边形CGEM是平行四边形，再利用邻边相等，证明是菱形．
（2）利用折叠，CM＝EM，在Rt△EDM中使用勾股定理．
（3）将线段HP转化为BN和DP的和．
【解答】解：（1）∵右下角沿MN折叠，C点与E点重合．
∴CG＝EG，∠CGM＝∠EGM，∠EMG＝∠CMG，EM＝CM，
∵EF∥CD，
∴∠EGM＝∠CMG，
∴∠CGM＝∠EMG，
∴CG∥EM，
∵EF∥CD，
∴四边形EMCG是平行四边形，
∵EM＝CM，
∴四边形EMCG是菱形，
∵∠HEM＝∠BCD＝90°，
∴HE⊥ME，
∵ME∥CG，
∴HE⊥CG．
故答案为菱形，CG⊥HE．
（2）设DM＝m，则CM＝4﹣m，
∵右下角沿MN折叠，C点与E点重合．
∴CM＝EM＝4﹣m，
∵E为AD中点，
∴DE＝2，
在Rt△DEM中，DE＝2，CM＝4﹣m，DM＝m，
∴22+m2＝（4﹣m）2，
解得m＝，
∴DM＝．
（3）过点C作CK⊥HP，连接CH，CP，如图，
，
∵正方形纸片的右下角向上翻折，使点C与点P重合，
∴∠HPM＝∠BCD＝90°
∴CK∥PM，
∴∠MPC＝∠KCP，
由折叠可得，MP＝MC，
∴∠MPC＝∠MCP，
∴∠KCP＝∠MCP，
在△CDP和△CKP中，
，
∴△CDP≌△CKP（AAS），
∴DP＝KP，CK＝CD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD，
∴BC＝CK，
在Rt△CBH和Rt△CKH中，
，
∴Rt△CBH≌Rt△CKH（HL），
∴BH＝KH，
∴△AHP的周长为AH+HP+AP＝AH+KH+KP+AP＝AH+BH+DP+AP＝2AD＝2a．
【点评】本题主要考查正方形折叠的问题，解题关键是利用图形在折叠前后对应边相等，对应角的相等的特性，为证明平行四边形和菱形，以及三角全等提供前提条件，继而求解题目．
23．（10分）综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与x轴，y轴分别交于点A，B，与直线交于点C．直线与x轴交于点D，若点P是线段AD上的一个动点，点P从点D出发沿DA方向，以每秒2个单位长度匀速运动到点A（到A停止运动）．设点P的运动时间为ts．
（1）求点A和点B的坐标；
（2）当△ACP的面积为12时，求t的值；
（3）试探究，在点P运动过程中，是否存在t的值，使△ACP为直角三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）在y＝x+2中，令y＝0得x+2＝0，即可求出A（﹣2，0），在y＝x+2中，令x＝0得y＝2，故B（0，2）；
（2）过C作CH⊥x轴于H，连接CP，由﹣x+＝0，解得D（14，0），从而AD＝16，由可得C（2，4），故CH＝4，又DP＝2t，可得AP＝16﹣2t，根据△ACP的面积为12，列方程（16﹣2t）×4＝12，即可解得t＝5；
（3）①当∠ACP＝90°时，过C作CH⊥x轴于H，求出AC2＝32，AH＝4，表示出AP＝16﹣2t，CP2＝16+（12﹣2t）2，由AC2+CP2＝AP2，可得32+16+（12﹣2t）2＝（16﹣2t）2，即可解得t＝4；
②当∠APC＝90°时，PD＝12，即可得t＝＝6．
【解答】解：（1）在y＝x+2中，令y＝0得x+2＝0，
解得x＝﹣2，
∴A（﹣2，0），
在y＝x+2中，令x＝0得y＝2，
∴B（0，2）；
（2）过C作CH⊥x轴于H，连接CP，如图：

在中，令y＝0得：
﹣x+＝0，解得x＝14，
∴D（14，0），
∴AD＝16，
由得：，
∴C（2，4），
∴CH＝4，
∵点P从点D出发沿DA方向，以每秒2个单位长度匀速运动到点A，
∴DP＝2t，
∴AP＝AD﹣DP＝16﹣2t，
∵△ACP的面积为12，
∴AP•CH＝12，即（16﹣2t）×4＝12，
解得t＝5；
（3）存在，理由如下：
①当∠ACP＝90°时，过C作CH⊥x轴于H，如图：

∵A（﹣2，0），C（2，4），
∴AC2＝（﹣2﹣2）2+（4﹣0）2＝32，AH＝4，
由（2）知AP＝16﹣2t，CH＝4，
∴HP＝AP﹣AH＝12﹣2t，
∴CP2＝CH2+HP2＝16+（12﹣2t）2，
∵AC2+CP2＝AP2，
∵∠ACP＝90°，
∴32+16+（12﹣2t）2＝（16﹣2t）2，
解得t＝4；
②当∠APC＝90°时，如图：

此时AP＝4，
∴PD＝12，
∴t＝＝6，
综上所述，t的值为4或6．
【点评】本题考查一次函数综合应用，涉及一次函数图象上点坐标的特征，三角形面积，直角三角形的判定等知识，解题的关键是用含t的代数式表示△ACP的边长．