2020-2021学年重庆市江北区八年级（下）期末数学试卷

这是一份2020-2021学年重庆市江北区八年级（下）期末数学试卷，共32页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年重庆市江北区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请用2B铅笔将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑.
1．（4分）下列各组数据中能作为直角三角形的三边长的是（　　）
A．1，2，2 B．1，1， C．13，14，15 D．6，8，10
2．（4分）下列函数中，y随x的增大而减小的函数是（　　）
A．y＝3x B．y＝4x﹣1 C．y＝﹣x﹣2 D．y＝3x﹣1
3．（4分）已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0的解为x＝1，则k值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．﹣3
4．（4分）某地连续10天的最高气温统计如下：
最高气温（℃）
22
23
24
25
天数
1
2
3
4
这组数据的中位数和众数分别是（　　）
A．23.5，24 B．24，25 C．25，24 D．24.5，25
5．（4分）某中学人数相等的甲、乙两班学生参加了同一次数学测验，班平均分和方差分别为＝89分，＝89分，S甲2＝247，S乙2＝290，那么成绩较为整齐的是（　　）
A．甲班 B．乙班
C．两班一样整齐 D．无法确定
6．（4分）已知y是x的正比例函数，且函数图象经过点（4，﹣6），则在此正比例函数图象上的点是（　　）
A．（2，3） B．（﹣4，6） C．（3，﹣2） D．（﹣6，4）
7．（4分）若菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6和8，则这个菱形的周长是（　　）
A．20 B．24 C．40 D．48
8．（4分）对于一次函数y＝﹣x+4，下列结论错误的是（　　）
A．函数的图象与x轴的交点坐标是（0，4）
B．函数值随自变量的增大而减小
C．函数的图象不经过第三象限
D．函数的图象向下平移4个单位长度得y＝﹣x的图象
9．（4分）在正方形ABCD中，对角线AC＝BD＝8cm，点P为AB边上的任一点，则点P到AC、BD的距离之和为（　　）
A．4cm B．5cm C．4cm D．8cm
10．（4分）如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是2，4，6，8，10，选取其中三块（可重复选取）按图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（　　）

A．2，8，10 B．4，6，10 C．6，8，10 D．4，4，8
11．（4分）有两个一元二次方程：M：ax2+bx+c＝0；N：cx2+bx+a＝0，其中a﹣c≠0，以下列四个结论中，错误的是（　　）
A．如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根
B．如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x＝1
C．如果7是方程M的一个根，那么是方程N的一个根
D．如果方程M有两根符号相同，那么是方程N的两根符号也相同
12．（4分）小明家、公交车站、学校在一条笔直的公路旁（小明家、学校到这条公路的距离忽略不计），一天，小明从家出发去上学，沿这条公路步行到公交车站恰好乘上一辆公交车，公交车沿这条公路匀速行驶，小明下车时发现还有4分钟上课，于是他沿这条公路跑步赶到学校（上、下车时间忽略不计），小明与家的距离s（单位：米）与他所用时间t（单位：分钟）之间的函数关系如图所示，已知小明从家出发7分钟时与家的距离为1200米，从上公交车到他到达学校共用10分钟，下列说法：
①小明从家出发5分钟时乘上公交车；
②公交车的速度为400米/分钟；
③小明下公交车后跑向学校的速度为100米/分钟；
④小明上课没有迟到．
其中正确的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共计24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上.
13．（4分）一元二次方程x2+2x＝0的解是　 　．
14．（4分）在Rt△ABC中，两直角边的长分别为7和24，则其斜边上的中线长为 　 　．
15．（4分）从一个班抽测了6名男生的身高，将测得的每一个数据（单位：cm）都减去165.0cm，其结果如下：﹣2.8，0.1，﹣8.3，1.2，10.8，﹣7.0，这6名男生的平均身高约为 　 　cm．（结果保留到小数点后第一位）
16．（4分）如图，四边形ABCD是周长为24的菱形，点A的坐标是（4，0），则点D的坐标为 　 　．

17．（4分）函数y＝x+的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C在函数y＝x+的图象上，若△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C共有 　 　个．
18．（4分）如图，△ABC中，点E在边AC上，EB＝EA，∠A＝2∠CBE，CD垂直于BE的延长线于点D，BD＝9，AC＝11.5，则边BC的长为 　 　．

三、解答题（本大题共8小题，前面7小题每小题10分，第8小题8分，共78分）解答时每小题都必须写出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.
19．（10分）解方程：
（1）2x2﹣3x＝0；
（2）x2﹣7x+8＝0．
20．（10分）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，M为边AC延长线上一定点．

（1）用直尺和圆规在边BC的延长线上求作一点N，使得∠CMN＝∠BAC，并连接BM、AN（不写作法和证明，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的情况下，若AC＝CM，猜想四边形ABMN是哪种特殊的四边形？并证明你的猜想．
21．（10分）某校八年级两个班，各选派10名学生参加学校举行的“汉字听写大赛”预赛，各参赛选手的成绩如下：
八（1）班：91，92，93，93，93，94，98，88，98，100；
八（2）班：93，93，93，95，96，96，98，89；98，99．
通过整理，得到数据分析表如下：
班级
最高分
平均分
中位数
众数
方差
八（1）班
100
a
93
93
12
八（2）班
99
95
b
c
8.4
（1）直接写出表中a，b，c的值；
（2）依据数据分析表，有人说：“八（1）班的最高分100大于八（2）班的最高分99，八（1）班的成绩比八（2）班好”，但也有人说八（2）班的成绩比较好，请给出两条支持八（2）班成绩好的理由．
22．（10分）在一次函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式﹣﹣利用函数图象研究其性质﹣﹣运用函数解决问题的学习过程．在画函数图象时，我们通过描点或平移的方法画出了所学的函数图象．以下是我们研究函数y＝a|x|+b性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．
（1）根据下表信息，求这个函数的解析式，并求出m、n的值；
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
…
y
…
﹣6
﹣4
m
0
2
n
﹣2
﹣4
﹣6
…
（2）在给定的平面直角坐标系中画出该函数图象，判断下列关于该函数性质的说法是否正确，正确的在答题卡上相应的括号内打“√”，错误的在答题卡上相应的括号内打“×”；
①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为y轴．（ 　 　）
②当x＞0时，y随x的增大而减小；当x＜0时，y随x的增大而增大．（ 　 　）
（3）请在同一平面直角坐标系中再画出函数y＝2x﹣1的图象，结合你所画的函数y＝a|x|+b的图象，直接写出不等式a|x|+b＞2x﹣1的解集 　 　．

23．（10分）某商店经销甲、乙两种商品，现有如下信息：
信息1：甲、乙两种商品的进货单价之和是3元；
信息2：甲商品零售单价比进货单价多1元，乙商品零售单价比进货单价的2倍少1元；
信息3：按零售单价购买甲商品3件和乙商品2件，共付了12元．
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）求甲、乙两种商品的零售单价；
（2）该商店平均每天卖出甲乙两种商品各600件，经调查发现，甲种商品零售单价每降0.1元，甲种商品每天可多销售120件，商店决定把甲种商品的零售单价下降m（m＞0）元．在不考虑其他因素的条件下，当m为多少时，商店每天销售甲、乙两种商品获取的总利润为1200元？
24．（10分）在整数的除法运算中，只有能整除与不能整除两种情况，当不能整除时，就会产生余数，现在我们利用整数的除法运算来研究一种数﹣﹣“少2数”．
定义：对于一个自然数，如果这个数除以7余数为5，且除以5余数为3，则称这个数为“少2数”．
例如：33÷7＝4……5，33÷5＝6……3，所以33是“少2数”；43÷5＝8……3，但43÷7＝6……1，所以43不是“少2数”．
（1）判断68和89是否为“少2数”？请说明理由；
（2）求大于100且小于200的所有“少2数”．
25．（10分）如图所示，直线l：y＝﹣x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，在y轴上有一点C（0，4）．
（1）求△AOB的面积；
（2）动点M从A点以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动，求△COM的面积S与M的移动时间t之间的函数关系式；
（3）当动点M在x轴上移动的过程中，在平面直角坐标系中是否存在点N，使以点A，C，N，M为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

26．（8分）如图AB＝10，C为AB上一动点（不含端点和中点），以AC，BC为边向上作正方形AEDC，CFGB．连接EF并作DH平行EF交直线FG于H，再以CD，DH为边作平行四边形CDHJ，连接BJ．
（1）求∠CBJ的度数．
（2）当四边形BJHG的面积为15时，求AC的长．
（3）当△BCJ是等腰三角形时，直接写出AC的长．


2020-2021学年重庆市江北区八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请用2B铅笔将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑.
1．（4分）下列各组数据中能作为直角三角形的三边长的是（　　）
A．1，2，2 B．1，1， C．13，14，15 D．6，8，10
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形判定则可．
【解答】解：A、12+22≠22，不能构成直角三角形，故不符合题意；
B、12+12≠（）2，不能构成直角三角形，故不符合题意；
C、132+142≠152，不能构成直角三角形，故不符合题意；
D、62+82＝102，能构成直角三角形，故符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
2．（4分）下列函数中，y随x的增大而减小的函数是（　　）
A．y＝3x B．y＝4x﹣1 C．y＝﹣x﹣2 D．y＝3x﹣1
【分析】根据一次函数的性质，k＜0，y随x的增大而减小，找出各选项中k值小于0的选项即可．
【解答】解：A、B、D选项中的函数解析式k值都是正数，y随x的增大而增大，
C选项y＝﹣x﹣2中，k＝﹣1＜0，y随x的增大而减少．
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数的性质，主要利用了当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小．
3．（4分）已知关于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0的解为x＝1，则k值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．﹣3
【分析】把x＝1代入方程x2+2x﹣k＝0得到关于k的方程，然后解关于k的方程即可．
【解答】解：把x＝1代入方程x2+2x﹣k＝0，得1+2﹣k＝0，
解得k＝3．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
4．（4分）某地连续10天的最高气温统计如下：
最高气温（℃）
22
23
24
25
天数
1
2
3
4
这组数据的中位数和众数分别是（　　）
A．23.5，24 B．24，25 C．25，24 D．24.5，25
【分析】根据众数和中位数的定义就可以求解．
【解答】解：在这一组数据中25是出现次数最多的，故众数是25；
处于这组数据中间位置的两个个数都是24，那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是＝24；
故这组数据的中位数与众数分别是24，25．
故选：B．
【点评】本题为统计题，考查众数与中位数的意义，解题的关键是正确分析表格中的数据．
5．（4分）某中学人数相等的甲、乙两班学生参加了同一次数学测验，班平均分和方差分别为＝89分，＝89分，S甲2＝247，S乙2＝290，那么成绩较为整齐的是（　　）
A．甲班 B．乙班
C．两班一样整齐 D．无法确定
【分析】根据方差的大小进行判断即可．
【解答】解：甲、乙两个班的平均分相同，而S甲2＜S乙2，
因此甲班的成绩比较整齐，
故选：A．
【点评】本题考查方差，理解“方差是反应一组数据离散程度的统计量，方差越小，数据就越稳定、越整齐”是正确判断的关键．
6．（4分）已知y是x的正比例函数，且函数图象经过点（4，﹣6），则在此正比例函数图象上的点是（　　）
A．（2，3） B．（﹣4，6） C．（3，﹣2） D．（﹣6，4）
【分析】利用待定系数法可求出正比例函数解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征可找出点（﹣4，6）在此正比例函数图象上，此题得解．
【解答】解：设正比例函数解析式为y＝kx（k≠0）．
∵正比例函数图象经过点（4，﹣6），
∴﹣6＝4k，
∴k＝﹣．
∵当x＝﹣4时，y＝﹣x＝6，
∴点（﹣4，6）在此正比例函数图象上．
故选：B．
【点评】本题考查了待定系数法求正比例函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b是解题的关键．
7．（4分）若菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6和8，则这个菱形的周长是（　　）
A．20 B．24 C．40 D．48
【分析】由菱形的性质可得AC与BD互相平分，AC⊥BD，利用勾股定理可求边长，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC与BD互相平分，AC⊥BD，
菱形的边长＝＝＝5，
∴个菱形的周长＝4×5＝20，
故选：A．
【点评】本题考查了菱形的性质，求出菱形的边长是解题的关键．
8．（4分）对于一次函数y＝﹣x+4，下列结论错误的是（　　）
A．函数的图象与x轴的交点坐标是（0，4）
B．函数值随自变量的增大而减小
C．函数的图象不经过第三象限
D．函数的图象向下平移4个单位长度得y＝﹣x的图象
【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质，一次函数图象与系数的关系以及一次函数图象与几何变换进行分析判断．
【解答】解：A、函数的图象与x轴的交点坐标是（4，0），故符合题意；
B、由于y＝﹣x+4中的k＝﹣1＜0，所以函数值随自变量的增大而减小，故不符合题意；
C、由于y＝﹣x+4中的k＝﹣1＜0，b＝4＞0，所以函数的图象不经过第三象限，故不符合题意；
D、一次函数y＝﹣x+4的图象向下平移4个单位长度得到y＝﹣x+4﹣4＝﹣x，即y＝﹣x的图象，故不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数的性质、平移的性质以及一次函数图象上点的坐标特征，逐一分析四条结论的正误是解题的关键．
9．（4分）在正方形ABCD中，对角线AC＝BD＝8cm，点P为AB边上的任一点，则点P到AC、BD的距离之和为（　　）
A．4cm B．5cm C．4cm D．8cm
【分析】先根据正方形ABCD中，对角线的长为8cm，即可得到AO＝BO＝4cm，再根据面积法即可得AO×BO＝AO×PE+BO×PF，进而得出PE+PF＝4cm．
【解答】解：如图所示，连接PO，

∵正方形ABCD中，对角线的长为8cm，
∴AO＝BO＝4cm，
又∵∠AOB＝90°，PE⊥AO，PF⊥BO，
∴AO×BO＝AO×PE+BO×PF，
即4×4＝4PE+4PF，
∴PE+PF＝4cm，
即点P到AC、BD的距离之和是4cm，
故选：A．
【点评】本题主要考查了正方形的性质的运用，解题时注意：正方形的对角线相等且互相垂直平分．等面积法的运用是本题的关键．
10．（4分）如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是2，4，6，8，10，选取其中三块（可重复选取）按图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（　　）

A．2，8，10 B．4，6，10 C．6，8，10 D．4，4，8
【分析】运用勾股定理将符合条件的三种情形列举出来，分别计算直角三角形的面积，比较大小即可．
【解答】解：当选取的三块纸片的面积分别是4，6，10时，围成的直角三角形的面积是，
当选取的三块纸片的面积分别是2，8，10时，围成的直角三角形的面积是，
当选取的三块纸片的面积分别是2，4，6时，围成的直角三角形的面积是，
∵，
因为当选取2，4，8；2，4，10；4，6，8；6，8，10；四种情况时，都不能构成直角三角形，
∴要使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是4，6，10．
故选：B．
【点评】本题主要考查了勾股定理，实数的大小比较，以及三角形的面积，运用分类思想是解题的关键．
11．（4分）有两个一元二次方程：M：ax2+bx+c＝0；N：cx2+bx+a＝0，其中a﹣c≠0，以下列四个结论中，错误的是（　　）
A．如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根
B．如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x＝1
C．如果7是方程M的一个根，那么是方程N的一个根
D．如果方程M有两根符号相同，那么是方程N的两根符号也相同
【分析】根据M、N两方程根的判别式相同，即可得出A正确；用方程M﹣方程N，可得出关于x的一元二次方程，解方程即可得出x的值，从而得出B错误．将x＝7代入方程M中，方程两边同时除以49即可得出是方程N的一个根，C正确；根据“和符号相”，即可得出D正确；综上即可得出结论．
【解答】解：A、在方程ax2+bx+c＝0中Δ＝b2﹣4ac，在方程cx2+bx+a＝0中Δ＝b2﹣4ac，
∴如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根，正确；
B、M﹣N得：（a﹣c）x2+c﹣a＝0，即（a﹣c）x2＝a﹣c，
∵a﹣c≠0，
∴x2＝1，解得：x＝±1，错误．
C、∵7是方程M的一个根，
∴49a+7b+c＝0，
∴a+b+c＝0，
∴是方程N的一个根，正确；
D、∵和符号相同，
∴如果方程M有两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同，正确；
故选：B．
【点评】本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及一元二次方程的解，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．
12．（4分）小明家、公交车站、学校在一条笔直的公路旁（小明家、学校到这条公路的距离忽略不计），一天，小明从家出发去上学，沿这条公路步行到公交车站恰好乘上一辆公交车，公交车沿这条公路匀速行驶，小明下车时发现还有4分钟上课，于是他沿这条公路跑步赶到学校（上、下车时间忽略不计），小明与家的距离s（单位：米）与他所用时间t（单位：分钟）之间的函数关系如图所示，已知小明从家出发7分钟时与家的距离为1200米，从上公交车到他到达学校共用10分钟，下列说法：
①小明从家出发5分钟时乘上公交车；
②公交车的速度为400米/分钟；
③小明下公交车后跑向学校的速度为100米/分钟；
④小明上课没有迟到．
其中正确的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据图象可以确定他家与学校的距离，公交车时间是多少，他步行的时间和公交车的速度和小明从家出发到学校所用的时间．
【解答】解：①小明从家出发乘上公交车的时间为7﹣（1200﹣400）÷400＝5分钟，①正确；
②公交车的速度为（3200﹣1200）÷（12﹣7）＝400米/分钟，②正确；
③小明下公交车后跑向学校的速度为（3500﹣3200）÷3＝100米/分钟，③正确；
④上公交车的时间为12﹣5＝7分钟，跑步的时间为15﹣12＝3分钟，因为3＜4，小明上课没有迟到，④正确；
故选：D．
【点评】本题考查利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横、纵坐标表示的意义是解题的关键，注意，在解答时，单位要统一．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共计24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上.
13．（4分）一元二次方程x2+2x＝0的解是　0或﹣2　．
【分析】本题应对方程进行变形，提取公因式x，将原式化为两式相乘的形式，再根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0”来解题．
【解答】解：原方程可变形为：x（x+2）＝0，解得x1＝0，x2＝﹣2．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
14．（4分）在Rt△ABC中，两直角边的长分别为7和24，则其斜边上的中线长为 　　．
【分析】根据勾股定理先求出斜边的长，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，两直角边的长分别为7和24，
由勾股定理可得：斜边为，
∴斜边上的中线为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了勾股定理，以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟记定理是解题的关键，属于简单题．
15．（4分）从一个班抽测了6名男生的身高，将测得的每一个数据（单位：cm）都减去165.0cm，其结果如下：﹣2.8，0.1，﹣8.3，1.2，10.8，﹣7.0，这6名男生的平均身高约为 　164.0　cm．（结果保留到小数点后第一位）
【分析】根据算术平均数的计算方法进行计算即可．
【解答】解：165.0+＝165.0+（﹣1）＝164.0（cm），
故答案为：164.0．
【点评】本题考查算术平均数，掌握算术平均数的计算方法是正确计算的前提．
16．（4分）如图，四边形ABCD是周长为24的菱形，点A的坐标是（4，0），则点D的坐标为 　（0，﹣2）　．

【分析】由菱形的性质可得AD＝6，AC⊥BD，在Rt△AOD中，由勾股定理可求OD，即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是周长为24的菱形，
∴AD＝6，AC⊥BD，
∵点A的坐标是（4，0），
∴AO＝4，
∴DO＝＝＝2，
故点D坐标为（0，﹣2），
故答案为：（0，﹣2）．
【点评】本题考查了菱形的性质，勾股定理，掌握菱形的四边相等是解题的关键．
17．（4分）函数y＝x+的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C在函数y＝x+的图象上，若△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C共有 　5　个．
【分析】分别画出函数y＝x+的图象，函数y＝x+的图象，结合图象可得到使△ABC为等腰三角形的点C，答案可得．
【解答】解：如图：

由图象得：满足条件的点C共有5个，
故答案为：5．
【点评】本题主要考查了一次函数图象上的点的坐标的特征，等腰三角形的判定与性质．利用一次函数的图象求解是解题的关键．
18．（4分）如图，△ABC中，点E在边AC上，EB＝EA，∠A＝2∠CBE，CD垂直于BE的延长线于点D，BD＝9，AC＝11.5，则边BC的长为 　3　．

【分析】延长BD到F，使得DF＝BD，连接CF，过点C作CH∥AB，BF于点H，则△BCF是等腰三角形，得出BC＝CF，再证明HF＝CH，EH＝CE，AC＝BH，求出DH、CH的长，最后由勾股定理求出CD的长与BC的长即可．
【解答】解：延长BD到F，使得DF＝BD，连接CF，如图所示：
∵CD⊥BF，
∴△BCF是等腰三角形，
∴BC＝CF，
过点C作CH∥AB，交BF于点H，
∴∠ABD＝∠CHD＝2∠CBD＝2∠F，
∴HF＝CH，
∵EB＝EA，
∴∠ABE＝∠BAE，
∵CH∥AB，
∴∠ABE＝∠CHE，∠BAE＝∠ECH，
∴∠CHE＝∠ECH，
∴EH＝CE，
∵EA＝EB，
∴AC＝BH，
∵BD＝9，AC＝11.5，
∴DH＝BH﹣BD＝AC﹣BD＝11.5﹣9＝，
∴HF＝CH＝DF﹣DH＝BD﹣DF＝9﹣2.5＝，
在Rt△CDH中，由勾股定理得：CD＝＝＝6，
在Rt△BCD中，由勾股定理得：BC＝＝＝3，
故答案为：3．

【点评】本题考查了勾股定理、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；作辅助线构建等腰三角形是解题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，前面7小题每小题10分，第8小题8分，共78分）解答时每小题都必须写出必要的演算过程或推理步骤，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.
19．（10分）解方程：
（1）2x2﹣3x＝0；
（2）x2﹣7x+8＝0．
【分析】（1）利用因式分解法求解即可；
（2）利用公式法求解即可．
【解答】解：（1）∵2x2﹣3x＝0，
∴x（2x﹣3）＝0，
则x＝0或2x﹣3＝0，
解得x1＝0，x2＝1.5；
（2）∵x2﹣7x+8＝0，
∴a＝1，b＝﹣7，c＝8，
则Δ＝（﹣7）2﹣4×1×8＝17＞0，
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
20．（10分）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，M为边AC延长线上一定点．

（1）用直尺和圆规在边BC的延长线上求作一点N，使得∠CMN＝∠BAC，并连接BM、AN（不写作法和证明，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的情况下，若AC＝CM，猜想四边形ABMN是哪种特殊的四边形？并证明你的猜想．
【分析】（1）利用尺规作∠CMN＝∠CAB即可．
（2）连接BM，AN，四边形ABMN是菱形．根据对角线垂直的平行四边形是菱形证明即可．
【解答】解：（1）如图，点N即为所求．


（2）连接BM，AN，四边形ABMN是菱形．
理由：在△ACB和△MCN中，
，
∴△ACB≌△MCN（ASA），
∴BC＝CN，
∵AC＝CM，
∴四边形ABMN是平行四边形，
∵AM⊥BN，
∴四边形ABMN是菱形．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，全等三角形的判定和性质，菱形的判定等知识，解题的关键是证明三角形全等解决问题，属于中考常考题型．
21．（10分）某校八年级两个班，各选派10名学生参加学校举行的“汉字听写大赛”预赛，各参赛选手的成绩如下：
八（1）班：91，92，93，93，93，94，98，88，98，100；
八（2）班：93，93，93，95，96，96，98，89；98，99．
通过整理，得到数据分析表如下：
班级
最高分
平均分
中位数
众数
方差
八（1）班
100
a
93
93
12
八（2）班
99
95
b
c
8.4
（1）直接写出表中a，b，c的值；
（2）依据数据分析表，有人说：“八（1）班的最高分100大于八（2）班的最高分99，八（1）班的成绩比八（2）班好”，但也有人说八（2）班的成绩比较好，请给出两条支持八（2）班成绩好的理由．
【分析】（1）利用平均数，中位数，以及众数的定义计算所求即可；
（2）从平均分，以及中位数角度考虑，合理即可．
【解答】解：（1）八（1）班的平均分a＝×（91+92+93+93+93+94+98+88+98+100）＝94；
将八（2）班的成绩从小到大排列为：89，93，93，93，95，96，96，98，98，99．
八（2）班的中位数b＝＝95.5；
八（2）班的成绩出现最多的是93，
∴八（2）班的成绩的众数c＝93；
故答案为：94，95.5，93；
（2）八（2）班的平均分高于八（1）班；八（2）班的成绩的中位数为95.5，大于八（1）班的成绩的中位，故八（2）班成绩好．
【点评】此题考查了方差，算术平均数，中位数，以及众数，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
22．（10分）在一次函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式﹣﹣利用函数图象研究其性质﹣﹣运用函数解决问题的学习过程．在画函数图象时，我们通过描点或平移的方法画出了所学的函数图象．以下是我们研究函数y＝a|x|+b性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．
（1）根据下表信息，求这个函数的解析式，并求出m、n的值；
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
4
…
y
…
﹣6
﹣4
m
0
2
n
﹣2
﹣4
﹣6
…
（2）在给定的平面直角坐标系中画出该函数图象，判断下列关于该函数性质的说法是否正确，正确的在答题卡上相应的括号内打“√”，错误的在答题卡上相应的括号内打“×”；
①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为y轴．（ 　√　）
②当x＞0时，y随x的增大而减小；当x＜0时，y随x的增大而增大．（ 　√　）
（3）请在同一平面直角坐标系中再画出函数y＝2x﹣1的图象，结合你所画的函数y＝a|x|+b的图象，直接写出不等式a|x|+b＞2x﹣1的解集 　﹣2＜x＜　．

【分析】（1）观察表格，函数图象经过点（﹣1，0），（0，2），将这两点的坐标分别代入y＝a|x|+b，利用待定系数法即可求出这个函数的表达式；把x＝﹣2代入所求的解析式，即可求出m，将x＝1代入所求的解析式，即可求出n；
（2）根据表格数据，描点连线即可画出该函数的图象，根据图象即可判断该函数性质的说法是否正确；
（3）在同一平面直角坐标系中画出直线y＝x﹣1与函数y＝a|x|+b的图象，找出直线y＝x﹣1落在y＝a|x|+b的图象下方的部分对应的自变量的取值范围即可．
【解答】解：（1）∵函数y＝a|x|+b的图象经过点（﹣1，0），（0，2），
∴，解得，
∴这个函数的表达式是y＝﹣2|x|+2；
∴当x＝﹣2时，m＝﹣2×|﹣2|+2＝﹣2，
当x＝1时，n＝﹣2×|1|+2＝0．
∴m＝﹣2，n＝0；

（2）函数y＝﹣2|x|+2的图象如图所示：
①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为y轴．正确；
②当x＞0时，y随x的增大而减小；当x＜0时，y随x的增大而增大，正确；
故答案为：√；√；

（3）在同一平面直角坐标系中画出直线y＝2x﹣1与函数y＝﹣2|x|+2的图象，如图．
把y＝2x﹣1代入y＝﹣2x+2，得2x﹣1＝﹣2x+2，解得x＝，
根据图象可知，不等式a|x|+b＞2x﹣1的解集是x＜．
故答案为：x＜．

【点评】本题考查了两条直线的交点问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解．也考查了用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的图象与性质，综合性较强，难度适中．画出函数的图象利用数形结合是解题的关键．
23．（10分）某商店经销甲、乙两种商品，现有如下信息：
信息1：甲、乙两种商品的进货单价之和是3元；
信息2：甲商品零售单价比进货单价多1元，乙商品零售单价比进货单价的2倍少1元；
信息3：按零售单价购买甲商品3件和乙商品2件，共付了12元．
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）求甲、乙两种商品的零售单价；
（2）该商店平均每天卖出甲乙两种商品各600件，经调查发现，甲种商品零售单价每降0.1元，甲种商品每天可多销售120件，商店决定把甲种商品的零售单价下降m（m＞0）元．在不考虑其他因素的条件下，当m为多少时，商店每天销售甲、乙两种商品获取的总利润为1200元？
【分析】（1）设甲商品的零售单价为x元，乙商品的零售单价为y元，由“甲、乙两种商品的进货单价之和是3元，按零售单价购买甲商品3件和乙商品2件，共付了12元”列出方程组，可求解；
（2）由“商店每天销售甲、乙两种商品获取的总利润为1200元”列出方程可求解．
【解答】解：（1）设甲商品的零售单价为x元，乙商品的零售单价为y元，
由题意可得：，
解得：，
答：甲商品的零售单价为2元，乙商品的零售单价为3元，
（2）由题意可得：甲的进货单价＝2﹣1＝1（元），乙商品进货单价＝＝2（元），
则（2﹣1﹣m）（600+×120）+（3﹣2）×600＝1200，
解得：m＝0（不合题意舍去），m＝0.5，
答：当m为0.5时，商店每天销售甲、乙两种商品获取的总利润为1200元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找出正确的等量关系是解题的关键．
24．（10分）在整数的除法运算中，只有能整除与不能整除两种情况，当不能整除时，就会产生余数，现在我们利用整数的除法运算来研究一种数﹣﹣“少2数”．
定义：对于一个自然数，如果这个数除以7余数为5，且除以5余数为3，则称这个数为“少2数”．
例如：33÷7＝4……5，33÷5＝6……3，所以33是“少2数”；43÷5＝8……3，但43÷7＝6……1，所以43不是“少2数”．
（1）判断68和89是否为“少2数”？请说明理由；
（2）求大于100且小于200的所有“少2数”．
【分析】（1）根据“少2数”的定义，即可判断68和89是否为“少2数”；
（2）根据题意，可以写出大于100且小于200的数除以7余5的数，然后再从中选出除以5余3的数，从而可以得到大于100且小于200的所有“少2数”．
【解答】解：（1）68是“少2数”，89不是“少2数”，
理由：68÷5＝13……3，68÷7＝9……5，所以68是“少2数”；
89÷7＝12……5，但89÷5＝17……4，所以89不是“少2数”；
（2）大于100且小于200的数除以7余5的数为103，110，117，124，131，138，145，152，159，166，173，180，187，194，
其中除以5余3的数是103，138，173，
即大于100且小于200的所有“少2数”是103，138，173．
【点评】本题考查新定义、实数的运算，解答本题的关键是会用定义判断一个数是否为“少2数”．
25．（10分）如图所示，直线l：y＝﹣x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，在y轴上有一点C（0，4）．
（1）求△AOB的面积；
（2）动点M从A点以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动，求△COM的面积S与M的移动时间t之间的函数关系式；
（3）当动点M在x轴上移动的过程中，在平面直角坐标系中是否存在点N，使以点A，C，N，M为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）根据一次函数的表达式，求得点A，B的坐标，便可求△AOB的面积；
（2）根据点M的位置不同，分两段求△COM的面积；
（3）按AC为边，为对角线进行分类，再利用菱形、正方形的性质解决问题．
【解答】解：（1）令y＝0，，
解得x＝．
令x＝0，y＝．
∴A（，0），B（0，）．

＝．
∴△AOB的面积为12．
（2）∵动点M从A点以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动，
∴AM＝t．
当0≤t≤时，
OM＝，
OC＝．
∴
＝
＝．
当t＞时，
AM＝t﹣．
∴
＝
＝．
综上，△COM的面积S与M的移动时间t之间的函数关系式：
S＝．
（3）在平面直角坐标系中存在点N，使以点A，C，N，M为顶点的四边形为菱形．
①当AC，AM为菱形的边时，
情况一：如图1，当点M在点A的左侧时，
Rt△AOC中，
＝，
∴NC＝AC＝．
∵NC∥AM，
∴点N（，）．

情况二，如图1′，当点M在点A的右侧时，
由情况一同理可得点N的坐标为．

②当AC为菱形的对角线时，如图2，
此时M，O重合，
四边形OANC为正方形，
则点N（，）．

③如图3，当AC为菱形的边，AM为菱形的对角线时，
此时点C，N关于x轴对称，
∴点N（0，﹣）．

综上，在平面直角坐标系中存在点N，使以点A，C，N，M为顶点的四边形为菱形，
此时点N的坐标为：（，），，（，），（0，﹣）．
【点评】本题考查了一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积公式，以及菱形、正方形的判定与性质，对于图形的存在性问题要注意分类讨论．
26．（8分）如图AB＝10，C为AB上一动点（不含端点和中点），以AC，BC为边向上作正方形AEDC，CFGB．连接EF并作DH平行EF交直线FG于H，再以CD，DH为边作平行四边形CDHJ，连接BJ．
（1）求∠CBJ的度数．
（2）当四边形BJHG的面积为15时，求AC的长．
（3）当△BCJ是等腰三角形时，直接写出AC的长．

【分析】（1）分两种情况讨论，由正方形的性质可得∠GFB＝45°，AB∥DE∥GF，可证四边形EFHD是平行四边形，由平行四边形的性质可得ED＝DC＝FH＝HJ，∠FHJ＝∠CFH＝90°，可得∠HFJ＝45°，则点J在直线BF上，即可求解；
（2）分两种情况讨论，设AC＝a＝CD＝HJ＝FH，则BC＝10﹣a＝FG＝BG，求出HG，由梯形的面积公式可求解；
（3）分两种情况讨论，设AC＝b＝CD＝HJ＝FH，则BC＝10﹣b，由等腰三角形的性质，列出等式，即可求解．
【解答】解：当AC＜BC时，如图1，连接BF，

∵四边形CFGB是正方形，
∴∠GFB＝45°，FG∥BA，
∵四边形ACDE是正方形，
∴DE＝CD，DE∥AB，
∴AB∥DE∥GF，
又∵EF∥DH，
∴四边形EFHD是平行四边形，
∴DE＝FH，
∵四边形CDHJ是平行四边形，
∴HJ∥DC，CD＝HJ，
∴ED＝DC＝FH＝HJ，∠FHJ＝∠CFH＝90°，
∴∠HFJ＝45°，
∴点J在BF上，
∴∠CBJ＝45°；
当AC＞BC时，如图2，连接BF，JF，

同理可证点J在FB的延长线上，
∵∠FBC＝45°，
∴∠CBJ＝135°．
综上所述：∠CBJ的度数为45°或135°；
（2）如图1，设AC＝a＝CD＝HJ＝FH，则BC＝10﹣a＝FG＝BG，
∴HG＝10﹣a﹣a＝10﹣2a，
∵四边形BJHG的面积为15，
∴＝15，
∴a＝，
∴AC＝；
如图2，设AC＝a＝CD＝HJ＝FH，则BC＝10﹣a＝FG＝BG，
∴HG＝a﹣（10﹣a）＝2a﹣10，
∵四边形BJHG的面积为15，
∴＝15，
∴a＝，
∴AC＝，
综上所述：AC的长为或；
（3）如图1，设AC＝b＝CD＝HJ＝FH，则BC＝10﹣b，

∴FJ＝FH＝b，BF＝BC＝10﹣b，
∴BJ＝10﹣b﹣b＝10﹣2b，
当CJ＝JB时，
∴∠JBC＝∠JCB＝45°，
∴∠CJB＝90°，
又∵CF＝BC，∠FCB＝90°，
∴BF＝2CJ，
∴10﹣b＝2（10﹣2b），
∴b＝，
∴AC＝；
当BC＝BJ时，
∴10﹣b＝10﹣2b，
∴b＝，
∴AC＝；
当CB＝CJ时，则点J与点F重合，不合题意舍去；
如图2，设AC＝b＝CD＝HJ＝FH，则BC＝10﹣b，

∴FJ＝FH＝b，BF＝BC＝10﹣b，
∴BJ＝b﹣10+b＝2b﹣10，
∵∠CBJ＝135°，
∴只存在BC＝BJ这一种情况，
∴10﹣b＝2b﹣10，
解得：b＝，
∴AC＝；
综上所述：AC的长为或或．
【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，平行四边形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．