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江苏省2022中考数学冲刺复习-08选择题压轴必刷60题②
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这是一份江苏省2022中考数学冲刺复习-08选择题压轴必刷60题②，共38页。试卷主要包含了两点，下列五个结论等内容，欢迎下载使用。
08 选择题压轴必刷60题②
一十三．反比例函数与一次函数的交点问题（共3小题）
22．（2022•锡山区校级模拟）反比例函数y＝（k≠0）的图象上有一点A（﹣4，2），点O为坐标原点，将直线OA绕点A逆时针旋转90°，交双曲线于点B，则点B的坐标为（ ）
A．（﹣，4） B．（，6） C．（﹣2，4） D．（﹣1，8）
23．（2022•镇海区一模）如图，反比例函数图象l1的表达式为y＝（x＞0），图象l2与图象l1关于直线x＝1对称，直线y＝k2x与l2交于A，B两点，当A为OB中点时，则的值为（ ）
A． B． C． D．
24．（2022•越秀区校级模拟）如图，直线交x轴于点A．点P在x的正半轴上，过点P作l1的垂线，交双曲线，直线l1于B、Q两点（xB＜xQ）．当取最小值时，点B的横坐标为（ ）
A． B．1 C． D．
一十四．反比例函数的应用（共1小题）
25．（2022•青秀区校级一模）学校的自动饮水机，开机加热时每分钟上升10℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降．此时水温y（℃）与通电时间x（min）成反比例关系．当水温降至20℃时，饮水机再自动加热，若水温在20℃时接通电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示，则下列说法中正确的是（ ）
A．水温从20℃加热到100℃，需要7min
B．水温下降过程中，y与x的函数关系式是y＝
C．上午8点接通电源，可以保证当天9：30能喝到不超过40℃的水
D．水温不低于30℃的时间为min
一十五．反比例函数综合题（共1小题）
26．（2022•和平区模拟）如图，正方形ABCD的顶点B在x轴上，点A，点C在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）图象上．若直线BC的函数表达式为y＝x﹣4，则反比例函数表达式为（ ）
A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝
一十六．二次函数的性质（共2小题）
27．（2022•淳安县一模）已知二次函数y＝ax2﹣bx（a≠0），经过点P（m，2）．当y≥﹣1时，x的取值范围为x≤t﹣1或x≥﹣3﹣t．则如下四个值中有可能为m的是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
28．（2022•九龙坡区校级模拟）给定正整数k（1≤k≤9），令kn表示各位数字均为k的十进制n位正整数，如﹣1，，若对任意正整数n，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）满足当x＝kn时，y＝k2n，则称该二次函数为“k号函数”．例如：y＝3x2+2x，满足：当k＝3时，32n＝＝＝＝3（3n）2+2（3n）．
因此，称y＝3x2+2x为“3号函数”．现有如下结论：①＝；②当k＝1时，y＝9x2+2x是“1号函数”；③当k＝9时，“9号函数”其对称轴方程为x＝1；④k值越大，则“k号函数”开口越大．上述结论中，正确的是（ ）
A．①②③④ B．①② C．①②④ D．①③④
一十七．二次函数图象与几何变换（共1小题）
29．（2021•上海）将函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象向下平移两个单位，以下错误的是（ ）
A．开口方向不变 B．对称轴不变
C．y随x的变化情况不变 D．与y轴的交点不变
一十八．抛物线与x轴的交点（共2小题）
30．（2022•邗江区一模）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于A、B两点，点A在点B左侧，顶点在△MNR的边上移动，MN∥y轴，NR∥x轴，M点坐标为（﹣6，﹣2），MN＝2，NR＝7．若在抛物线移动过程中，点B横坐标的最大值为3，则a﹣b+c的最大值是（ ）
A．15 B．18 C．23 D．32
31．（2022•利州区一模）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＜0）经过A（2，0），B（﹣4，0）两点，下列五个结论：
①一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根为x1＝2，x2＝﹣4；
②若点C（﹣4，y1），D（π﹣1，y2）在该抛物线上，则y1＜y2；
③对于任意实数t，总有at2+bt≤a﹣b；
④3b＞﹣2c；
⑤对于a的每一个确定值，若一元二次方程ax2+bx+c＝p（p为常数，p＞0）的根为整数，则p的值只有两个．
其中正确的结论是（ ）
A．①③⑤ B．②④⑤ C．②③④ D．①③④
一十九．二次函数综合题（共1小题）
32．（2022•市中区二模）定义：对于已知的两个函数，任取自变量x的一个值，当x≥0时，它们对应的函数值相等；当x＜0时，它们对应的函数值互为相反数，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：正比例函数y＝x，它的相关函数为．已知点M，N的坐标分别为，，连结MN，若线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象有两个公共点，则n的取值范围为（ ）
A．﹣3≤n≤﹣1或 B．﹣3＜n＜﹣1或
C．﹣3＜n≤﹣1或 D．﹣3≤n≤﹣1或
二十．全等三角形的判定与性质（共2小题）
33．（2022•黑龙江模拟）如图，在正方形ABCD中，M，N分别是AB，CD的中点，P是线段MN上的一点，BP的延长线交AD于点E，连接PD，PC，将△DEP绕点P顺时针旋转90°得△GFP，则下列结论：①CP＝GP；②tan∠CGF＝1；③BC垂直平分FG；④若AB＝4，点E在AD边上运动，则D，F两点之间距离的最小值是．其中结论正确的序号有（ ）
A．②③ B．①②③ C．①②④ D．①③④
34．（2022•梁山县模拟）如图，在平面直角坐标系中，正方形纸片ABCD的顶点A的坐标为（﹣1，3），在纸片中心挖去边长为的正方形A1B1C1D1，将该纸片以O为旋转中心进行逆时针旋转，每次旋转45°，则第298次旋转后，点C和点B1的坐标分别为（ ）
A．（﹣3，﹣1），（1，0） B．（﹣3，﹣1），（0，﹣1）
C．（3，1），（0，﹣1） D．（3，1），（1，0）
二十一．勾股定理（共1小题）
35．（2022•宁波模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD为中线，E为AD的中点，F为BE的中点，连结DF．若AC＝4，DF⊥BE，则DF的长为（ ）
A．1 B． C．2 D．2.5
二十二．勾股定理的证明（共1小题）
36．（2022•无锡模拟）如图所示的图形表示勾股定理的一种证明方法，该方法运用了祖冲之的出入相补原理．若图中空白部分的面积是15，整个图形（连同空白部分）的面积是39，则大正方形的边长是（ ）
A．2 B．3 C．5 D．4
二十三．多边形内角与外角（共1小题）
37．（2022•无锡一模）已知一个正多边形的一个内角是144°，则这个正多边形的边数是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
二十四．菱形的性质（共1小题）
38．（2022•无锡模拟）如图，已知菱形ABCD的边长为10，∠A＝60°，E、F分别为AB、AD上两动点，EG∥AD交CD于点G，FH∥AB交BC于点H，EG与FH交于点P，连接EF．当四边形PHCG的面积是一个保持不变的量时，△AEF的周长是（ ）
A．15 B．9+3 C．10+2 D．10
二十五．矩形的性质（共1小题）
39．（2022•无锡一模）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，矩形OABC按如图所示摆放在第一象限，点B的坐标为（3m，m），将矩形OABC绕着点O逆时针旋转α（0＜α＜90°），得到矩形OA'B'C．直线OA'、B'C'与直线BC相交，交点分别为点D、E，有下列说法：
①当m＝1，α＝30°时，矩形OA'B'C'与矩形OABC重叠部分的面积为；
②当m＝1，且B'落到y轴的正半轴上时，DE的长为；
③当点D为线段BE的中点时，点D的横坐标为；
④当点D是线段BE的三等分点时，sinα的值为或．
其中，说法正确的是（ ）
A．①② B．③④ C．①②③ D．①②④
二十六．正方形的性质（共4小题）
40．（2022•越秀区一模）将正方形ABCD与正方形BEFG按如图方式放置，点F、B、C在同一直线上，已知BG＝，BC＝3，连接DF，M是DF的中点，连接AM，则AM的长是（ ）
A． B． C． D．
41．（2022•江北区一模）如图，以Rt△ABC的各边为边分别向外作正方形，∠BAC＝90°，连结DG，点H为DG的中点，连结HB，HN，若要求出△HBN的面积，只需知道（ ）
A．△ABC的面积 B．正方形ADEB的面积
C．正方形ACFG的面积 D．正方形BNMC的面积
42．（2022•杭州模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以该直角三角形的三边为边，并在直线AB同侧作正方形ABMN、正方形BQPC、正方形ACEF，且点N恰好在正方形ACEF的边EF上．其中S1，S2，S3，S4，S5表示相应阴影部分面积，若S3＝1，则S1+S2+S4+S5＝（ ）
A．2 B．3 C．2 D．
43．（2022•大渡口区模拟）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E在BC的延长线上，连接DE，点F是DE的中点，连接OF交CD于点G，连接CF，若CE＝4，OF＝6．则点D到CF的距离为（ ）
A． B． C． D．
【参考答案】
一十三．反比例函数与一次函数的交点问题（共3小题）
22．（2022•锡山区校级模拟）反比例函数y＝（k≠0）的图象上有一点A（﹣4，2），点O为坐标原点，将直线OA绕点A逆时针旋转90°，交双曲线于点B，则点B的坐标为（ ）
A．（﹣，4） B．（，6） C．（﹣2，4） D．（﹣1，8）
【解析】解：∵反比例函数y＝（k≠0）的图象上有一点A（﹣4，2），
∴k＝﹣4×2＝﹣8，
∴反比例函数为：y＝﹣．
设直线OA的表达式为：y＝mx，代入点A（﹣4，2）得：2＝﹣4m．
∴m＝﹣．
∴y＝﹣x．
∵直线OA⊥直线AB．
∴设直线AB的解析式为：y＝2x+b，
代入点A（﹣4，2）得：2＝﹣8+b，
∴b＝10．
∴直线AB：y＝2x+10．
由解得：或．
∴B（﹣1，8）．
故选：D．
23．（2022•镇海区一模）如图，反比例函数图象l1的表达式为y＝（x＞0），图象l2与图象l1关于直线x＝1对称，直线y＝k2x与l2交于A，B两点，当A为OB中点时，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【解析】解：法一、设A（m，k2m），B（2m，2k2m），
∵A，B关于直线x＝1的对称点A′（2﹣m，km），B′（2﹣2m，2km）在反比例函数图象l1y＝（x＞0）上，
∴k1＝k2m（2﹣m）＝2k2m（2﹣2m），
解得，m＝，
∴＝m（2﹣m）＝．
法二、由对称性可得函数l2的解析式为：y＝﹣，
令k2x＝﹣，整理得，k2x2﹣2k2x+k1＝0，
设点A的横坐标为m，点B的横坐标为n，
则m和n是k2x2﹣2k2x+k1＝0的两根，
由根与系数的关系可得出m+n＝2①，mn＝，
∵点A是OB的中点，
∴2m＝n②，
由①②可知，m＝，n＝，
∴mn＝＝．
故选：A．
24．（2022•越秀区校级模拟）如图，直线交x轴于点A．点P在x的正半轴上，过点P作l1的垂线，交双曲线，直线l1于B、Q两点（xB＜xQ）．当取最小值时，点B的横坐标为（ ）
A． B．1 C． D．
【解析】解：设B为（n，），
则可设直线BP为y＝，
设直线BP与y轴交于N点，
令x＝0，则y＝，
∴，
设直线l1与y轴交于M点，
同理可得M（0，），
令y＝0，则，
∴x＝1，
∴A（1，0），
同理，P（），
在Rt△AOM中，tan∠OMA＝，
∵∠OMA+∠ONP＝∠ONP+∠NPO＝90°，
∴∠OMA＝∠NPO，
∴tan∠NPO＝2，
∴，
∴4（k+2）＝kn2（k+2），
∴k+2＝0或kn2＝4，
∵k＜0，
∴kn2＜0，
∴kn2＝4舍去，
∴k＝﹣2，
∴直线BP为：，
∴P（），
联立，
解得，
∴Q（），
过B作BG⊥x轴于G，过Q作QH⊥x轴于H，
则BG∥QH，
∴，
∴＝＝，
当n＝时，取得最小值，取得最小值，
此时B的横坐标为，
故选：A．
一十四．反比例函数的应用（共1小题）
25．（2022•青秀区校级一模）学校的自动饮水机，开机加热时每分钟上升10℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降．此时水温y（℃）与通电时间x（min）成反比例关系．当水温降至20℃时，饮水机再自动加热，若水温在20℃时接通电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示，则下列说法中正确的是（ ）
A．水温从20℃加热到100℃，需要7min
B．水温下降过程中，y与x的函数关系式是y＝
C．上午8点接通电源，可以保证当天9：30能喝到不超过40℃的水
D．水温不低于30℃的时间为min
【解析】解：∵开机加热时每分钟上升10℃，
∴水温从20℃加热到100℃，所需时间为：＝8min，
故A选项不合题意；
由题可得，（8，100）在反比例函数图象上，
设反比例函数解析式为y＝，
代入点（8，100）可得，k＝800，
∴水温下降过程中，y与x的函数关系式是y＝，
故B选项不合题意；
令y＝20，则＝20，
∴x＝40，
即饮水机每经过40分钟，要重新从20℃开始加热一次，
从8点9点30分钟，所用时间为90分钟，
而水温加热到100℃，仅需要8分钟，
故当时间是9点30时，饮水机第三次加热，从20℃加热了10分钟，
令x＝10，则y＝＝80℃＞40℃，
故C选项不符合题意；
水温从20℃加热到30℃所需要时间为：min，
令y＝30，则＝30，
∴，
∴水温不低于30℃的时间为＝min，
故选：D．
一十五．反比例函数综合题（共1小题）
26．（2022•和平区模拟）如图，正方形ABCD的顶点B在x轴上，点A，点C在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）图象上．若直线BC的函数表达式为y＝x﹣4，则反比例函数表达式为（ ）
A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝
【解析】解：在y＝x﹣4中，令y＝0，则x＝8，
令x＝0，则y＝﹣4，
∴B（8，0），G（0，﹣4），
∴OB＝8，OG＝4，
过A作AE⊥x轴于E，过C作CF⊥x轴于F，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠EAB+∠ABE＝∠ABE+∠CBF＝90°，
∴∠EAB＝∠CBF，
在△AEB与△BFC中，
，
∴△AEB≌△BFC（AAS），
∴AE＝BF，BE＝CF，
∵∠BOG＝∠BFC＝90°，∠OBG＝∠CBF，
∴△OBG∽△FBC，
∴＝，
∴设CF＝a，BF＝2a，
∴AE＝2a，BE＝a，
∴A（8﹣a，2a），C（8+2a，a），
∵点A，点C在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）图象上，
∴2a（8﹣a）＝a（8+2a），
∴a＝2，a＝0（不合题意舍去），
∴A（6，4），
∴k＝4×6＝24，
∴反比例函数表达式为y＝，
故选：D．
一十六．二次函数的性质（共2小题）
27．（2022•淳安县一模）已知二次函数y＝ax2﹣bx（a≠0），经过点P（m，2）．当y≥﹣1时，x的取值范围为x≤t﹣1或x≥﹣3﹣t．则如下四个值中有可能为m的是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】解：当y≥﹣1时，ax2﹣bx≥﹣1，x的取值范围为x≤t﹣1或x≥﹣3﹣t，
∴（t﹣1，﹣1），（﹣3﹣t，﹣1）为抛物线上的点，
∴抛物线对称轴为直线x＝＝﹣2，
∴＝﹣2，
∴b＝﹣4a，
∴y＝ax2+4ax＝a（x+2）2﹣4a，
当a＞0时，﹣4a≤﹣1，
解得a≥，
将（m，2）代入解析式得am2+4am＝2，
∴a＝≥，
∴0＜m2+4m≤8，
∴4＜（m+2）2≤12，
∴﹣2﹣2≤m＜﹣4或0＜m≤﹣2+2，
故选：A．
28．（2022•九龙坡区校级模拟）给定正整数k（1≤k≤9），令kn表示各位数字均为k的十进制n位正整数，如﹣1，，若对任意正整数n，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）满足当x＝kn时，y＝k2n，则称该二次函数为“k号函数”．例如：y＝3x2+2x，满足：当k＝3时，32n＝＝＝＝3（3n）2+2（3n）．
因此，称y＝3x2+2x为“3号函数”．现有如下结论：①＝；②当k＝1时，y＝9x2+2x是“1号函数”；③当k＝9时，“9号函数”其对称轴方程为x＝1；④k值越大，则“k号函数”开口越大．上述结论中，正确的是（ ）
A．①②③④ B．①② C．①②④ D．①③④
【解析】解：由＝＝得①正确，符合题意；
对y＝9x2+2x，
当x＝1n时，y＝9×（1n）2+2×（1n）＝9×[]2+2×＝（102n﹣2×10n+1）+（10n﹣1）＝[（102n﹣1）﹣2×（10n﹣1）]+（10n﹣1）＝12n，
∴当k＝1时，y＝9x2+2x是“1号函数”，故②正确，符合题意；
∵当k＝9时，二次函数y＝ax2+bx+c时“9号函数”，
∴92n＝a（9n）2+b（9n）+c，
∴92n＝a（10n﹣1）2+b（10n﹣1）+c＝a（102n﹣2×10n+1）+b（10n﹣1）+c＝a[（102n﹣1）﹣2×（10n﹣1）]+b（10n﹣1）+c＝a（102n﹣1）+（b﹣2a）（10n﹣1）+c＝a（92n）+（b﹣2a）（92n）+c，
∴a＝1，b﹣2a＝0，c＝0，
∴b＝2，
∴函数解析式为y＝x2+2x，
∴函数对称轴方程为x＝﹣1，故③错误，不符合题意；
由“k号函数”的定义得，k2n＝a（kn）2+b（kn）+c，
∴k2n＝a[]2+b[]+c＝（102n﹣2×10n+1）+（10n﹣1）+c＝[（102n﹣1）﹣2×（10n﹣1）]+（10n﹣1）+c＝（92n）+（）（9n）+c＝（•92n）+（b﹣）（）+c＝+（b﹣）•kn+c，
∴＝1，b﹣＝0，c＝0，
∴a＝，b＝2，
∵1≤k≤9，
∴k值越大，a值越小，
∴函数y＝ax2+bx+c的开口越大，故④正确，符合题意；
故选：A．
一十七．二次函数图象与几何变换（共1小题）
29．（2021•上海）将函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象向下平移两个单位，以下错误的是（ ）
A．开口方向不变 B．对称轴不变
C．y随x的变化情况不变 D．与y轴的交点不变
【解析】解：A、将函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象向下平移两个单位，a不变，开口方向不变，故不符合题意．
B、将函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象向下平移两个单位，顶点的横坐标不变，对称轴不变，故不符合题意．
C、将函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象向下平移两个单位，抛物线的开口方向不变，对称轴不变，则y随x的变化情况不变，故不符合题意．
D、将函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象向下平移两个单位，与y轴的交点也向下平移两个单位，故符合题意．
故选：D．
一十八．抛物线与x轴的交点（共2小题）
30．（2022•邗江区一模）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于A、B两点，点A在点B左侧，顶点在△MNR的边上移动，MN∥y轴，NR∥x轴，M点坐标为（﹣6，﹣2），MN＝2，NR＝7．若在抛物线移动过程中，点B横坐标的最大值为3，则a﹣b+c的最大值是（ ）
A．15 B．18 C．23 D．32
【解析】解：∵M点坐标为（﹣6，﹣2），MN＝2，
∴点N坐标为（﹣6，﹣4），
∵NR＝7，
∴点R坐标为（1，﹣4），
当抛物线顶点在R上时，y＝a（x﹣1）2﹣4，
由题意得此时点B坐标为（3，0），
将（3，0）代入y＝a（x﹣1）2﹣4得0＝4a﹣4，
解得a＝1，
当抛物线顶点在M上时，抛物线解析式为y＝（x+6）2﹣2，
将x＝﹣1代入y＝（x+6）2﹣2得y＝52﹣2＝23，
故选：C．
31．（2022•利州区一模）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＜0）经过A（2，0），B（﹣4，0）两点，下列五个结论：
①一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根为x1＝2，x2＝﹣4；
②若点C（﹣4，y1），D（π﹣1，y2）在该抛物线上，则y1＜y2；
③对于任意实数t，总有at2+bt≤a﹣b；
④3b＞﹣2c；
⑤对于a的每一个确定值，若一元二次方程ax2+bx+c＝p（p为常数，p＞0）的根为整数，则p的值只有两个．
其中正确的结论是（ ）
A．①③⑤ B．②④⑤ C．②③④ D．①③④
【解析】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＜0）经过A（2，0），B（﹣4，0）两点，
∴一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根为x1＝2，x2＝﹣4．
∴①的结论正确；
∵抛物线y＝ax2+bx+c经过A（2，0），B（﹣4，0）两点，
∴抛物线的对称轴为直线x＝＝﹣1．
根据抛物线的对称性可知：当x＝﹣4时与当x＝2时的函数值相同，
∴当x＝2时，y＝y1.．
∵a＜0，
∴抛物线的开口方向向下，当x＞﹣1时，y随x的增大而减小．
∵2＜π﹣1，
∴y1＞y2．
∴②的结论不正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，a＜0，
∴当x＝﹣1时，函数由最大值为a﹣b+c．
∴对于任意实数t，总有y＝at2+bt+c≤a﹣b+c．
∴at2+bt≤a﹣b．
∴③的结论正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∴＝﹣1．
∴b＝2a．
∵抛物线y＝ax2+bx+c经过A（2，0），B（﹣4，0）两点，a＜0，
∴由抛物线可知：当x＝1时，y＝a+b+c＞0．
∴b+b+c＞0．
∴3b+2c＞0．
∴3b＞﹣2c．
∴④的结论正确；
将抛物线y＝ax2+bx+c向下平移p个单位，则得到抛物线y＝ax2+bx+c﹣p的图象，
此时对于的一元二次方程为ax2+bx+c﹣p＝0，即方程ax2+bx+c＝p．
若一元二次方程ax2+bx+c＝p（p为常数，p＞0）的根为整数，则方程的根只能是：
x1＝1，x2＝﹣3或x1＝0，x2＝﹣2或x1＝x2＝﹣1，因此对于的p值应该为3个，
∴⑤的结论不正确；
综上，正确的结论是：①③④，
故选：D．
一十九．二次函数综合题（共1小题）
32．（2022•市中区二模）定义：对于已知的两个函数，任取自变量x的一个值，当x≥0时，它们对应的函数值相等；当x＜0时，它们对应的函数值互为相反数，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：正比例函数y＝x，它的相关函数为．已知点M，N的坐标分别为，，连结MN，若线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象有两个公共点，则n的取值范围为（ ）
A．﹣3≤n≤﹣1或 B．﹣3＜n＜﹣1或
C．﹣3＜n≤﹣1或 D．﹣3≤n≤﹣1或
【解析】解：如图1所示：线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有1个公共点，
∵二次函数y＝﹣x2+4x+n的对称轴为x＝﹣＝2，
∴当x＝2时，y＝1，即﹣4+8+n＝1，解得n＝﹣3，
如图2所示：线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰好3个公共点．
∵抛物线y＝x2﹣4x﹣n与y轴交点纵坐标为1，
∴﹣n＝1，
解得：n＝﹣1；
∴当﹣3＜n≤﹣1时，线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点，
如图3所示：线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点．
∵抛物线y＝﹣x2+4x+n经过点（0，1），
∴n＝1，
如图4所示：线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点．
∵抛物线y＝x2﹣4x﹣n经过点M（﹣，1），
∴+2﹣n＝1，解得：n＝，
∴1≤n≤时，线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点．
综上所述，n的取值范围是﹣3＜n≤﹣1或1≤n≤，
故选：C．
二十．全等三角形的判定与性质（共2小题）
33．（2022•黑龙江模拟）如图，在正方形ABCD中，M，N分别是AB，CD的中点，P是线段MN上的一点，BP的延长线交AD于点E，连接PD，PC，将△DEP绕点P顺时针旋转90°得△GFP，则下列结论：①CP＝GP；②tan∠CGF＝1；③BC垂直平分FG；④若AB＝4，点E在AD边上运动，则D，F两点之间距离的最小值是．其中结论正确的序号有（ ）
A．②③ B．①②③ C．①②④ D．①③④
【解析】解：延长GF交AD于点H，连接FC，FB，FA，如图，
∵正方形ABCD中，M，N分别是AB，CD的中点，
∴MN是线段BA，CD的垂直平分线．
∴PD＝PC，PA＝PB．
∵△FPG是△PED绕点P顺时针旋转90°得到，
∴△FPG≌△PED，
∴PD＝PG．
∴PC＝PG．
∴①的结论正确；
∵PD＝PC，
∴∠PDC＝∠PCD＝（180°﹣∠DPC）．
∵PC＝PG，
∴∠PCG＝∠PGC＝（180°﹣∠CPG）．
∴∠PCD+∠PCG＝[360°﹣（∠DPC+∠CPG）]．
∵∠DPC+∠CPG＝90°，
∴∠PCD+∠PCG＝135°．
∵∠BCD＝90°，
∴∠BCG＝45°．
∵△FPG≌△PED，
∴∠DEP＝∠GFP．
∵∠HFP+∠PFG＝180°，
∴∠DEP+∠HFP＝180°．
∵∠DEP+∠HFP+∠EHF+∠EPF＝360°，
∴∠EHF+∠EPF＝180°．
∴∠EPF＝90°，
∴∠EHF＝90°．
即GH⊥AD．
∵AD∥BC，
∴GF⊥BC．
∴∠CGF＝45°．
∴tan∠CGF＝1．
∴②的结论正确；
∵PA＝PB，PM⊥AB，
∴∠APM＝∠BPM，
∵PM∥AE，
∴∠PEA＝∠BPM，∠PAE＝APM．
∴∠PEA＝∠PAE．
∴PA＝PE．
∵PE＝PF，
∴PA＝PB＝PE＝PF．
∴点A，B，E，F在以点P为圆心，PA为半径的同一个圆上．
∴∠FAB＝∠FPB＝90°＝45°．
∴点F在对角线AC上，
∴∠FCB＝45°．
∵∠BCG＝∠CGF＝45°，
∴△FCG为等腰直角三角形．
∵BC平分∠FCG，
∴BC垂直平分FG．
∴③的结论正确；
由以上可知：点F在正方形的对角线AC上运动，
∴当EF⊥AC时，EF的值最小．
此时点E与点D重合，
DF＝AD•sin45°＝4×＝2．
∴④的结论不正确．
综上，结论正确的序号有：①②③，
故选：B．
34．（2022•梁山县模拟）如图，在平面直角坐标系中，正方形纸片ABCD的顶点A的坐标为（﹣1，3），在纸片中心挖去边长为的正方形A1B1C1D1，将该纸片以O为旋转中心进行逆时针旋转，每次旋转45°，则第298次旋转后，点C和点B1的坐标分别为（ ）
A．（﹣3，﹣1），（1，0） B．（﹣3，﹣1），（0，﹣1）
C．（3，1），（0，﹣1） D．（3，1），（1，0）
【解析】解：∵360°＝45°×8，298＝37×8+2，
∴第298次旋转后与第2次旋转后的位置相同，
点C和点B1经过两次旋转之后落在此图中的D点和C1点处，
∵A1B1C1D1的边长为，
∴C1的坐标为（0，﹣1），
对于D点的坐标，如图，过点A做AN⊥y轴于点N，过点D做DM⊥x轴于点M，
在正方形中ABCD中，有OA＝OD，∠AOD＝90°，
∴∠AON＝∠DOM，
∵∠ANO＝∠DMO＝90°，
∴△ANO≌△DMO（AAS），
∴AN＝DM，ON＝OM，
∴D（3，1）．
故选：C．
二十一．勾股定理（共1小题）
35．（2022•宁波模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD为中线，E为AD的中点，F为BE的中点，连结DF．若AC＝4，DF⊥BE，则DF的长为（ ）
A．1 B． C．2 D．2.5
【解析】解：连接CE，
∵AD是BC边上的中线，F点为BE的中点，
∴DF为△BCE的中位线，
∴CE＝2DF，DF∥CE，
∴∠BDF＝∠DCE，∠EDF＝∠DEC，
∵DF⊥BE，
∴∠DFE＝∠DFB＝90°，
在△DEF和△DBF中，
，
∴△DEF≌△DBF（SAS），
∴∠EDF＝∠BDF，
∴∠DEC＝∠DCE，
∴CD＝ED，
∵E为AD的中点，∠ACB＝90°，
∴CE＝ED＝CD＝AD，
∴AD＝4DF，
∵AC＝，
∴AD2﹣（AD）2＝AC2＝48，
解得AD＝8，
∴DF＝2．
故选：C．
二十二．勾股定理的证明（共1小题）
36．（2022•无锡模拟）如图所示的图形表示勾股定理的一种证明方法，该方法运用了祖冲之的出入相补原理．若图中空白部分的面积是15，整个图形（连同空白部分）的面积是39，则大正方形的边长是（ ）
A．2 B．3 C．5 D．4
【解析】解：设四个全等的直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边为c，
根据题意得：，
解得：c2＝27，
解得：c＝3或﹣3（舍去），
故大正方形的边长为3，
故选：B．
二十三．多边形内角与外角（共1小题）
37．（2022•无锡一模）已知一个正多边形的一个内角是144°，则这个正多边形的边数是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【解析】解：设正多边形是n边形，由内角和公式得
（n﹣2）180°＝144°×n，
解得n＝10，
故选：C．
二十四．菱形的性质（共1小题）
38．（2022•无锡模拟）如图，已知菱形ABCD的边长为10，∠A＝60°，E、F分别为AB、AD上两动点，EG∥AD交CD于点G，FH∥AB交BC于点H，EG与FH交于点P，连接EF．当四边形PHCG的面积是一个保持不变的量时，△AEF的周长是（ ）
A．15 B．9+3 C．10+2 D．10
【解析】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
∵∠A＝60°，
∴△ABD和△BCD均为等边三角形，
∵FH∥AB，EG∥AD，
∴四边形PHCG，四边形PFDG，四边形AEPF，四边形PHBE均为平行四边形，
∴∠GPH＝∠A＝60°，
设DG＝x，DF＝y，则PH＝10﹣x，PG＝y，
过点G作GM⊥FH于点M，则∠GMP＝90°，
∴GM＝PG＝y
∴S▱PHCG＝PH×GM＝（10﹣x）y，
∵S▱PHCG为定值，
∴10﹣x＝y，即x+y＝10时，四边形PHCG的面积为定值，
连接BD，则点P在线段BD上，且四边形AEPF为菱形，
∴PH＝PE＝10﹣a，
∵DC∥AB，AD∥EG，
∵四边形AEGD为平行四边形，
∴AE＝DG＝a，
∴10﹣a＝a，
∴a＝5，
∴△AEF的周长是＝5×3＝15．
故选：A．
二十五．矩形的性质（共1小题）
39．（2022•无锡一模）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，矩形OABC按如图所示摆放在第一象限，点B的坐标为（3m，m），将矩形OABC绕着点O逆时针旋转α（0＜α＜90°），得到矩形OA'B'C．直线OA'、B'C'与直线BC相交，交点分别为点D、E，有下列说法：
①当m＝1，α＝30°时，矩形OA'B'C'与矩形OABC重叠部分的面积为；
②当m＝1，且B'落到y轴的正半轴上时，DE的长为；
③当点D为线段BE的中点时，点D的横坐标为；
④当点D是线段BE的三等分点时，sinα的值为或．
其中，说法正确的是（ ）
A．①② B．③④ C．①②③ D．①②④
【解析】解：①当m＝1时，点B的坐标为（3，1），
∴OC＝1，
当α＝30°时，∠AOD＝30°，
∵四边形OABC是矩形，
∴BC∥OA，
∴∠ODC＝∠AOD＝30°，
∴OD＝2OC＝2，CD＝，
∴S△OCD＝•OC•CD＝×1×＝，
即当m＝1，α＝30°时，矩形OA'B'C'与矩形OABC重叠部分的面积为；
故①正确；
②如图1，由旋转得：OA＝OA'＝3，A'B'＝OC＝1，∠A'＝90°，
由勾股定理得：OB'＝＝，
∴B'C＝﹣1，
tan∠COD＝＝，
即＝，
∴CD＝，
∵OA'∥B'C'，
∴∠OB'C'＝∠COD，
∴tan∠OB'C'＝＝，
∴EC＝，
∴DE＝EC+CD＝+＝，
故②正确；
③∵点B的坐标为（3m，m），
∴BC＝3m
如图2，过点D作DF⊥B'C'于F，则DF＝B'C'＝OC，
∵点D为线段BE的中点，
∴ED＝BD，
∴DF＝OC，
∵∠DFE＝∠OCD＝90°，∠FED＝∠CDO，
∴△OCD≌△DFE（AAS），
∴ED＝OD，
设BD＝a，则OD＝a，CD＝3m﹣a，
Rt△OCD中，m2+（3m﹣a）2＝a2，
解得：a＝m，
∴CD＝3m﹣m＝m，
即当点D为线段BE的中点时，点D的横坐标为；
故③正确；
④当点D是线段BE的三等分点时，存在两种情况：ED＝2BD或BD＝2ED，
如图3，ED＝2BD，过点D作DH⊥B'C'于H，则DH＝B'C'＝OC，
同理可得OD＝ED，
设BD＝a，则ED＝OD＝2a，
在Rt△OCD中，由勾股定理得：m2+（3m﹣a）2＝（2a）2，
m1＝a，m2＝a（舍），
∴sinα＝＝＝＝≠或；
故④错误；
本题正确的结论有：①②③
故选：C．
二十六．正方形的性质（共4小题）
40．（2022•越秀区一模）将正方形ABCD与正方形BEFG按如图方式放置，点F、B、C在同一直线上，已知BG＝，BC＝3，连接DF，M是DF的中点，连接AM，则AM的长是（ ）
A． B． C． D．
【解析】解：延长AM交BC于H点，
∵四边形ABCD和四边形BEFG都是正方形，BG＝，BC＝3，
∴BF＝BG＝2，AB＝AD＝CD＝BC＝3，
∵点F，B，C在同一直线上，
∴AD∥CF，
∴∠DAM＝∠FHM，∠ADM＝∠HFM，
∵M是DF中点，
∴DM＝FM，
在△ADM和△HFM中，
，
∴△ADM≌△HFM（AAS），
∴AD＝FH＝3，AM＝HM＝AH，
∴BH＝FH﹣BF＝1，
在Rt△ABH中，AH＝＝＝，
∴AM＝AH＝，
故选：A．
41．（2022•江北区一模）如图，以Rt△ABC的各边为边分别向外作正方形，∠BAC＝90°，连结DG，点H为DG的中点，连结HB，HN，若要求出△HBN的面积，只需知道（ ）
A．△ABC的面积 B．正方形ADEB的面积
C．正方形ACFG的面积 D．正方形BNMC的面积
【解析】解：如图，连接HA并延长交BC于点P，交MN于点Q，连接AE，CE，AN，
∵四边形ABED，四边形ACFG，四边形BCMN是正方形，
∴AB＝AD，AC＝AG，∠BAC＝∠DAG＝90°，
在△BAC和△DAG中，
，
∴△BAC≌△DAG（SAS），
∴∠BCA＝∠DGA，
∵点H为DG的中点，∠DAG＝90°，
∴AH＝GH，
∴∠HAG＝∠DGA，
∴∠HAG＝∠BCA，
∵∠HAG+∠CAP＝90°，
∴∠BCA+∠CAP＝90°，
∴∠APC＝90°，
∴BN∥HQ，
∴S△HBN＝S△ABN，
∵BE∥CD，
∴S△AEB＝S△CBE，
∵∠ABN＝90°+∠ABC，∠EBC＝90°+∠ABC，
∴∠ABN＝∠EBC，
在△ABN和△EBC中，
，
∴△ABN≌△EBC（SAS），
∴S△ABN＝S△CBE，
∴S△AEB＝S△HBN，
∵S△AEB＝S正方形ADEB，
∴S△HBN＝S正方形ADEB，
∴若要求出△HBN的面积，只需知道正方形ADEB的面积．
故选：B．
42．（2022•杭州模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以该直角三角形的三边为边，并在直线AB同侧作正方形ABMN、正方形BQPC、正方形ACEF，且点N恰好在正方形ACEF的边EF上．其中S1，S2，S3，S4，S5表示相应阴影部分面积，若S3＝1，则S1+S2+S4+S5＝（ ）
A．2 B．3 C．2 D．
【解析】解：如图，连接MQ，作MG⊥EC于G，设PC交BM于T，MN交EC于Q′．
∵∠ABM＝∠CBQ＝90°，
∴∠ABC＝∠MBQ，
∵BA＝BM，BC＝BQ，
∴△ABC≌△MBQ（SAS），
同理可得：△ANF≌△ABC，即S2＝S3＝1，
∴∠ACB＝∠BQM＝90°，
∵∠PQB＝90°，
∴M，P，Q共线，
∵四边形CGMP是矩形，
∴MG＝PC＝BC，
∵∠BCT＝∠MGQ′＝90°，∠BTC+∠CBT＝90°，∠BQ′M+∠CBT＝90°，
∴∠MQ′G＝∠BTC，
∴△MGQ′≌△BCT（AAS），
∴S4＝S△BGM，
∴MQ′＝BT，
∵MN＝BM，
∴NQ′＝MT，
∵∠MQ′G＝∠BTC，
∴∠NQ′E＝∠MTP，
∵∠E＝∠MPT＝90°，
则△NQ′E≌△MTP（AAS），
∴S1+S5＝S3＝S4＝1，
∴S1+S2+S4+S5＝3．
故选：B．
43．（2022•大渡口区模拟）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E在BC的延长线上，连接DE，点F是DE的中点，连接OF交CD于点G，连接CF，若CE＝4，OF＝6．则点D到CF的距离为（ ）
A． B． C． D．
【解析】解：在正方形ABCD中，BO＝DO，BC＝DC，
∵点F是DE的中点，OF＝6，
∴BE＝2OF＝12，
∵CE＝4，
∴DC＝BC＝8，
在Rt△DCE中，DE＝，
∴CF＝DE＝，
∴△CDE的面积＝CE•DC＝×4×8＝16，
∵F是Rt△DCE斜边DE的中点，
∴△DCF面积＝8，
设点D到CF的距离为x，则x•CF＝8，
∴•x×2＝8，
解得x＝，
∴点D到CF的距离为．
故选：D．
08 选择题压轴必刷60题②
一十三．反比例函数与一次函数的交点问题（共3小题）
22．（2022•锡山区校级模拟）反比例函数y＝（k≠0）的图象上有一点A（﹣4，2），点O为坐标原点，将直线OA绕点A逆时针旋转90°，交双曲线于点B，则点B的坐标为（ ）
A．（﹣，4） B．（，6） C．（﹣2，4） D．（﹣1，8）
23．（2022•镇海区一模）如图，反比例函数图象l1的表达式为y＝（x＞0），图象l2与图象l1关于直线x＝1对称，直线y＝k2x与l2交于A，B两点，当A为OB中点时，则的值为（ ）
A． B． C． D．
24．（2022•越秀区校级模拟）如图，直线交x轴于点A．点P在x的正半轴上，过点P作l1的垂线，交双曲线，直线l1于B、Q两点（xB＜xQ）．当取最小值时，点B的横坐标为（ ）
A． B．1 C． D．
一十四．反比例函数的应用（共1小题）
25．（2022•青秀区校级一模）学校的自动饮水机，开机加热时每分钟上升10℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降．此时水温y（℃）与通电时间x（min）成反比例关系．当水温降至20℃时，饮水机再自动加热，若水温在20℃时接通电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示，则下列说法中正确的是（ ）
A．水温从20℃加热到100℃，需要7min
B．水温下降过程中，y与x的函数关系式是y＝
C．上午8点接通电源，可以保证当天9：30能喝到不超过40℃的水
D．水温不低于30℃的时间为min
一十五．反比例函数综合题（共1小题）
26．（2022•和平区模拟）如图，正方形ABCD的顶点B在x轴上，点A，点C在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）图象上．若直线BC的函数表达式为y＝x﹣4，则反比例函数表达式为（ ）
A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝
一十六．二次函数的性质（共2小题）
27．（2022•淳安县一模）已知二次函数y＝ax2﹣bx（a≠0），经过点P（m，2）．当y≥﹣1时，x的取值范围为x≤t﹣1或x≥﹣3﹣t．则如下四个值中有可能为m的是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
28．（2022•九龙坡区校级模拟）给定正整数k（1≤k≤9），令kn表示各位数字均为k的十进制n位正整数，如﹣1，，若对任意正整数n，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）满足当x＝kn时，y＝k2n，则称该二次函数为“k号函数”．例如：y＝3x2+2x，满足：当k＝3时，32n＝＝＝＝3（3n）2+2（3n）．
因此，称y＝3x2+2x为“3号函数”．现有如下结论：①＝；②当k＝1时，y＝9x2+2x是“1号函数”；③当k＝9时，“9号函数”其对称轴方程为x＝1；④k值越大，则“k号函数”开口越大．上述结论中，正确的是（ ）
A．①②③④ B．①② C．①②④ D．①③④
一十七．二次函数图象与几何变换（共1小题）
29．（2021•上海）将函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象向下平移两个单位，以下错误的是（ ）
A．开口方向不变 B．对称轴不变
C．y随x的变化情况不变 D．与y轴的交点不变
一十八．抛物线与x轴的交点（共2小题）
30．（2022•邗江区一模）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于A、B两点，点A在点B左侧，顶点在△MNR的边上移动，MN∥y轴，NR∥x轴，M点坐标为（﹣6，﹣2），MN＝2，NR＝7．若在抛物线移动过程中，点B横坐标的最大值为3，则a﹣b+c的最大值是（ ）
A．15 B．18 C．23 D．32
31．（2022•利州区一模）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＜0）经过A（2，0），B（﹣4，0）两点，下列五个结论：
①一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根为x1＝2，x2＝﹣4；
②若点C（﹣4，y1），D（π﹣1，y2）在该抛物线上，则y1＜y2；
③对于任意实数t，总有at2+bt≤a﹣b；
④3b＞﹣2c；
⑤对于a的每一个确定值，若一元二次方程ax2+bx+c＝p（p为常数，p＞0）的根为整数，则p的值只有两个．
其中正确的结论是（ ）
A．①③⑤ B．②④⑤ C．②③④ D．①③④
一十九．二次函数综合题（共1小题）
32．（2022•市中区二模）定义：对于已知的两个函数，任取自变量x的一个值，当x≥0时，它们对应的函数值相等；当x＜0时，它们对应的函数值互为相反数，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：正比例函数y＝x，它的相关函数为．已知点M，N的坐标分别为，，连结MN，若线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象有两个公共点，则n的取值范围为（ ）
A．﹣3≤n≤﹣1或 B．﹣3＜n＜﹣1或
C．﹣3＜n≤﹣1或 D．﹣3≤n≤﹣1或
二十．全等三角形的判定与性质（共2小题）
33．（2022•黑龙江模拟）如图，在正方形ABCD中，M，N分别是AB，CD的中点，P是线段MN上的一点，BP的延长线交AD于点E，连接PD，PC，将△DEP绕点P顺时针旋转90°得△GFP，则下列结论：①CP＝GP；②tan∠CGF＝1；③BC垂直平分FG；④若AB＝4，点E在AD边上运动，则D，F两点之间距离的最小值是．其中结论正确的序号有（ ）
A．②③ B．①②③ C．①②④ D．①③④
34．（2022•梁山县模拟）如图，在平面直角坐标系中，正方形纸片ABCD的顶点A的坐标为（﹣1，3），在纸片中心挖去边长为的正方形A1B1C1D1，将该纸片以O为旋转中心进行逆时针旋转，每次旋转45°，则第298次旋转后，点C和点B1的坐标分别为（ ）
A．（﹣3，﹣1），（1，0） B．（﹣3，﹣1），（0，﹣1）
C．（3，1），（0，﹣1） D．（3，1），（1，0）
二十一．勾股定理（共1小题）
35．（2022•宁波模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD为中线，E为AD的中点，F为BE的中点，连结DF．若AC＝4，DF⊥BE，则DF的长为（ ）
A．1 B． C．2 D．2.5
二十二．勾股定理的证明（共1小题）
36．（2022•无锡模拟）如图所示的图形表示勾股定理的一种证明方法，该方法运用了祖冲之的出入相补原理．若图中空白部分的面积是15，整个图形（连同空白部分）的面积是39，则大正方形的边长是（ ）
A．2 B．3 C．5 D．4
二十三．多边形内角与外角（共1小题）
37．（2022•无锡一模）已知一个正多边形的一个内角是144°，则这个正多边形的边数是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
二十四．菱形的性质（共1小题）
38．（2022•无锡模拟）如图，已知菱形ABCD的边长为10，∠A＝60°，E、F分别为AB、AD上两动点，EG∥AD交CD于点G，FH∥AB交BC于点H，EG与FH交于点P，连接EF．当四边形PHCG的面积是一个保持不变的量时，△AEF的周长是（ ）
A．15 B．9+3 C．10+2 D．10
二十五．矩形的性质（共1小题）
39．（2022•无锡一模）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，矩形OABC按如图所示摆放在第一象限，点B的坐标为（3m，m），将矩形OABC绕着点O逆时针旋转α（0＜α＜90°），得到矩形OA'B'C．直线OA'、B'C'与直线BC相交，交点分别为点D、E，有下列说法：
①当m＝1，α＝30°时，矩形OA'B'C'与矩形OABC重叠部分的面积为；
②当m＝1，且B'落到y轴的正半轴上时，DE的长为；
③当点D为线段BE的中点时，点D的横坐标为；
④当点D是线段BE的三等分点时，sinα的值为或．
其中，说法正确的是（ ）
A．①② B．③④ C．①②③ D．①②④
二十六．正方形的性质（共4小题）
40．（2022•越秀区一模）将正方形ABCD与正方形BEFG按如图方式放置，点F、B、C在同一直线上，已知BG＝，BC＝3，连接DF，M是DF的中点，连接AM，则AM的长是（ ）
A． B． C． D．
41．（2022•江北区一模）如图，以Rt△ABC的各边为边分别向外作正方形，∠BAC＝90°，连结DG，点H为DG的中点，连结HB，HN，若要求出△HBN的面积，只需知道（ ）
A．△ABC的面积 B．正方形ADEB的面积
C．正方形ACFG的面积 D．正方形BNMC的面积
42．（2022•杭州模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以该直角三角形的三边为边，并在直线AB同侧作正方形ABMN、正方形BQPC、正方形ACEF，且点N恰好在正方形ACEF的边EF上．其中S1，S2，S3，S4，S5表示相应阴影部分面积，若S3＝1，则S1+S2+S4+S5＝（ ）
A．2 B．3 C．2 D．
43．（2022•大渡口区模拟）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E在BC的延长线上，连接DE，点F是DE的中点，连接OF交CD于点G，连接CF，若CE＝4，OF＝6．则点D到CF的距离为（ ）
A． B． C． D．
【参考答案】
一十三．反比例函数与一次函数的交点问题（共3小题）
22．（2022•锡山区校级模拟）反比例函数y＝（k≠0）的图象上有一点A（﹣4，2），点O为坐标原点，将直线OA绕点A逆时针旋转90°，交双曲线于点B，则点B的坐标为（ ）
A．（﹣，4） B．（，6） C．（﹣2，4） D．（﹣1，8）
【解析】解：∵反比例函数y＝（k≠0）的图象上有一点A（﹣4，2），
∴k＝﹣4×2＝﹣8，
∴反比例函数为：y＝﹣．
设直线OA的表达式为：y＝mx，代入点A（﹣4，2）得：2＝﹣4m．
∴m＝﹣．
∴y＝﹣x．
∵直线OA⊥直线AB．
∴设直线AB的解析式为：y＝2x+b，
代入点A（﹣4，2）得：2＝﹣8+b，
∴b＝10．
∴直线AB：y＝2x+10．
由解得：或．
∴B（﹣1，8）．
故选：D．
23．（2022•镇海区一模）如图，反比例函数图象l1的表达式为y＝（x＞0），图象l2与图象l1关于直线x＝1对称，直线y＝k2x与l2交于A，B两点，当A为OB中点时，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【解析】解：法一、设A（m，k2m），B（2m，2k2m），
∵A，B关于直线x＝1的对称点A′（2﹣m，km），B′（2﹣2m，2km）在反比例函数图象l1y＝（x＞0）上，
∴k1＝k2m（2﹣m）＝2k2m（2﹣2m），
解得，m＝，
∴＝m（2﹣m）＝．
法二、由对称性可得函数l2的解析式为：y＝﹣，
令k2x＝﹣，整理得，k2x2﹣2k2x+k1＝0，
设点A的横坐标为m，点B的横坐标为n，
则m和n是k2x2﹣2k2x+k1＝0的两根，
由根与系数的关系可得出m+n＝2①，mn＝，
∵点A是OB的中点，
∴2m＝n②，
由①②可知，m＝，n＝，
∴mn＝＝．
故选：A．
24．（2022•越秀区校级模拟）如图，直线交x轴于点A．点P在x的正半轴上，过点P作l1的垂线，交双曲线，直线l1于B、Q两点（xB＜xQ）．当取最小值时，点B的横坐标为（ ）
A． B．1 C． D．
【解析】解：设B为（n，），
则可设直线BP为y＝，
设直线BP与y轴交于N点，
令x＝0，则y＝，
∴，
设直线l1与y轴交于M点，
同理可得M（0，），
令y＝0，则，
∴x＝1，
∴A（1，0），
同理，P（），
在Rt△AOM中，tan∠OMA＝，
∵∠OMA+∠ONP＝∠ONP+∠NPO＝90°，
∴∠OMA＝∠NPO，
∴tan∠NPO＝2，
∴，
∴4（k+2）＝kn2（k+2），
∴k+2＝0或kn2＝4，
∵k＜0，
∴kn2＜0，
∴kn2＝4舍去，
∴k＝﹣2，
∴直线BP为：，
∴P（），
联立，
解得，
∴Q（），
过B作BG⊥x轴于G，过Q作QH⊥x轴于H，
则BG∥QH，
∴，
∴＝＝，
当n＝时，取得最小值，取得最小值，
此时B的横坐标为，
故选：A．
一十四．反比例函数的应用（共1小题）
25．（2022•青秀区校级一模）学校的自动饮水机，开机加热时每分钟上升10℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降．此时水温y（℃）与通电时间x（min）成反比例关系．当水温降至20℃时，饮水机再自动加热，若水温在20℃时接通电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示，则下列说法中正确的是（ ）
A．水温从20℃加热到100℃，需要7min
B．水温下降过程中，y与x的函数关系式是y＝
C．上午8点接通电源，可以保证当天9：30能喝到不超过40℃的水
D．水温不低于30℃的时间为min
【解析】解：∵开机加热时每分钟上升10℃，
∴水温从20℃加热到100℃，所需时间为：＝8min，
故A选项不合题意；
由题可得，（8，100）在反比例函数图象上，
设反比例函数解析式为y＝，
代入点（8，100）可得，k＝800，
∴水温下降过程中，y与x的函数关系式是y＝，
故B选项不合题意；
令y＝20，则＝20，
∴x＝40，
即饮水机每经过40分钟，要重新从20℃开始加热一次，
从8点9点30分钟，所用时间为90分钟，
而水温加热到100℃，仅需要8分钟，
故当时间是9点30时，饮水机第三次加热，从20℃加热了10分钟，
令x＝10，则y＝＝80℃＞40℃，
故C选项不符合题意；
水温从20℃加热到30℃所需要时间为：min，
令y＝30，则＝30，
∴，
∴水温不低于30℃的时间为＝min，
故选：D．
一十五．反比例函数综合题（共1小题）
26．（2022•和平区模拟）如图，正方形ABCD的顶点B在x轴上，点A，点C在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）图象上．若直线BC的函数表达式为y＝x﹣4，则反比例函数表达式为（ ）
A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝
【解析】解：在y＝x﹣4中，令y＝0，则x＝8，
令x＝0，则y＝﹣4，
∴B（8，0），G（0，﹣4），
∴OB＝8，OG＝4，
过A作AE⊥x轴于E，过C作CF⊥x轴于F，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠EAB+∠ABE＝∠ABE+∠CBF＝90°，
∴∠EAB＝∠CBF，
在△AEB与△BFC中，
，
∴△AEB≌△BFC（AAS），
∴AE＝BF，BE＝CF，
∵∠BOG＝∠BFC＝90°，∠OBG＝∠CBF，
∴△OBG∽△FBC，
∴＝，
∴设CF＝a，BF＝2a，
∴AE＝2a，BE＝a，
∴A（8﹣a，2a），C（8+2a，a），
∵点A，点C在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）图象上，
∴2a（8﹣a）＝a（8+2a），
∴a＝2，a＝0（不合题意舍去），
∴A（6，4），
∴k＝4×6＝24，
∴反比例函数表达式为y＝，
故选：D．
一十六．二次函数的性质（共2小题）
27．（2022•淳安县一模）已知二次函数y＝ax2﹣bx（a≠0），经过点P（m，2）．当y≥﹣1时，x的取值范围为x≤t﹣1或x≥﹣3﹣t．则如下四个值中有可能为m的是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】解：当y≥﹣1时，ax2﹣bx≥﹣1，x的取值范围为x≤t﹣1或x≥﹣3﹣t，
∴（t﹣1，﹣1），（﹣3﹣t，﹣1）为抛物线上的点，
∴抛物线对称轴为直线x＝＝﹣2，
∴＝﹣2，
∴b＝﹣4a，
∴y＝ax2+4ax＝a（x+2）2﹣4a，
当a＞0时，﹣4a≤﹣1，
解得a≥，
将（m，2）代入解析式得am2+4am＝2，
∴a＝≥，
∴0＜m2+4m≤8，
∴4＜（m+2）2≤12，
∴﹣2﹣2≤m＜﹣4或0＜m≤﹣2+2，
故选：A．
28．（2022•九龙坡区校级模拟）给定正整数k（1≤k≤9），令kn表示各位数字均为k的十进制n位正整数，如﹣1，，若对任意正整数n，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）满足当x＝kn时，y＝k2n，则称该二次函数为“k号函数”．例如：y＝3x2+2x，满足：当k＝3时，32n＝＝＝＝3（3n）2+2（3n）．
因此，称y＝3x2+2x为“3号函数”．现有如下结论：①＝；②当k＝1时，y＝9x2+2x是“1号函数”；③当k＝9时，“9号函数”其对称轴方程为x＝1；④k值越大，则“k号函数”开口越大．上述结论中，正确的是（ ）
A．①②③④ B．①② C．①②④ D．①③④
【解析】解：由＝＝得①正确，符合题意；
对y＝9x2+2x，
当x＝1n时，y＝9×（1n）2+2×（1n）＝9×[]2+2×＝（102n﹣2×10n+1）+（10n﹣1）＝[（102n﹣1）﹣2×（10n﹣1）]+（10n﹣1）＝12n，
∴当k＝1时，y＝9x2+2x是“1号函数”，故②正确，符合题意；
∵当k＝9时，二次函数y＝ax2+bx+c时“9号函数”，
∴92n＝a（9n）2+b（9n）+c，
∴92n＝a（10n﹣1）2+b（10n﹣1）+c＝a（102n﹣2×10n+1）+b（10n﹣1）+c＝a[（102n﹣1）﹣2×（10n﹣1）]+b（10n﹣1）+c＝a（102n﹣1）+（b﹣2a）（10n﹣1）+c＝a（92n）+（b﹣2a）（92n）+c，
∴a＝1，b﹣2a＝0，c＝0，
∴b＝2，
∴函数解析式为y＝x2+2x，
∴函数对称轴方程为x＝﹣1，故③错误，不符合题意；
由“k号函数”的定义得，k2n＝a（kn）2+b（kn）+c，
∴k2n＝a[]2+b[]+c＝（102n﹣2×10n+1）+（10n﹣1）+c＝[（102n﹣1）﹣2×（10n﹣1）]+（10n﹣1）+c＝（92n）+（）（9n）+c＝（•92n）+（b﹣）（）+c＝+（b﹣）•kn+c，
∴＝1，b﹣＝0，c＝0，
∴a＝，b＝2，
∵1≤k≤9，
∴k值越大，a值越小，
∴函数y＝ax2+bx+c的开口越大，故④正确，符合题意；
故选：A．
一十七．二次函数图象与几何变换（共1小题）
29．（2021•上海）将函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象向下平移两个单位，以下错误的是（ ）
A．开口方向不变 B．对称轴不变
C．y随x的变化情况不变 D．与y轴的交点不变
【解析】解：A、将函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象向下平移两个单位，a不变，开口方向不变，故不符合题意．
B、将函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象向下平移两个单位，顶点的横坐标不变，对称轴不变，故不符合题意．
C、将函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象向下平移两个单位，抛物线的开口方向不变，对称轴不变，则y随x的变化情况不变，故不符合题意．
D、将函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象向下平移两个单位，与y轴的交点也向下平移两个单位，故符合题意．
故选：D．
一十八．抛物线与x轴的交点（共2小题）
30．（2022•邗江区一模）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于A、B两点，点A在点B左侧，顶点在△MNR的边上移动，MN∥y轴，NR∥x轴，M点坐标为（﹣6，﹣2），MN＝2，NR＝7．若在抛物线移动过程中，点B横坐标的最大值为3，则a﹣b+c的最大值是（ ）
A．15 B．18 C．23 D．32
【解析】解：∵M点坐标为（﹣6，﹣2），MN＝2，
∴点N坐标为（﹣6，﹣4），
∵NR＝7，
∴点R坐标为（1，﹣4），
当抛物线顶点在R上时，y＝a（x﹣1）2﹣4，
由题意得此时点B坐标为（3，0），
将（3，0）代入y＝a（x﹣1）2﹣4得0＝4a﹣4，
解得a＝1，
当抛物线顶点在M上时，抛物线解析式为y＝（x+6）2﹣2，
将x＝﹣1代入y＝（x+6）2﹣2得y＝52﹣2＝23，
故选：C．
31．（2022•利州区一模）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＜0）经过A（2，0），B（﹣4，0）两点，下列五个结论：
①一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根为x1＝2，x2＝﹣4；
②若点C（﹣4，y1），D（π﹣1，y2）在该抛物线上，则y1＜y2；
③对于任意实数t，总有at2+bt≤a﹣b；
④3b＞﹣2c；
⑤对于a的每一个确定值，若一元二次方程ax2+bx+c＝p（p为常数，p＞0）的根为整数，则p的值只有两个．
其中正确的结论是（ ）
A．①③⑤ B．②④⑤ C．②③④ D．①③④
【解析】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＜0）经过A（2，0），B（﹣4，0）两点，
∴一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根为x1＝2，x2＝﹣4．
∴①的结论正确；
∵抛物线y＝ax2+bx+c经过A（2，0），B（﹣4，0）两点，
∴抛物线的对称轴为直线x＝＝﹣1．
根据抛物线的对称性可知：当x＝﹣4时与当x＝2时的函数值相同，
∴当x＝2时，y＝y1.．
∵a＜0，
∴抛物线的开口方向向下，当x＞﹣1时，y随x的增大而减小．
∵2＜π﹣1，
∴y1＞y2．
∴②的结论不正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，a＜0，
∴当x＝﹣1时，函数由最大值为a﹣b+c．
∴对于任意实数t，总有y＝at2+bt+c≤a﹣b+c．
∴at2+bt≤a﹣b．
∴③的结论正确；
∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∴＝﹣1．
∴b＝2a．
∵抛物线y＝ax2+bx+c经过A（2，0），B（﹣4，0）两点，a＜0，
∴由抛物线可知：当x＝1时，y＝a+b+c＞0．
∴b+b+c＞0．
∴3b+2c＞0．
∴3b＞﹣2c．
∴④的结论正确；
将抛物线y＝ax2+bx+c向下平移p个单位，则得到抛物线y＝ax2+bx+c﹣p的图象，
此时对于的一元二次方程为ax2+bx+c﹣p＝0，即方程ax2+bx+c＝p．
若一元二次方程ax2+bx+c＝p（p为常数，p＞0）的根为整数，则方程的根只能是：
x1＝1，x2＝﹣3或x1＝0，x2＝﹣2或x1＝x2＝﹣1，因此对于的p值应该为3个，
∴⑤的结论不正确；
综上，正确的结论是：①③④，
故选：D．
一十九．二次函数综合题（共1小题）
32．（2022•市中区二模）定义：对于已知的两个函数，任取自变量x的一个值，当x≥0时，它们对应的函数值相等；当x＜0时，它们对应的函数值互为相反数，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：正比例函数y＝x，它的相关函数为．已知点M，N的坐标分别为，，连结MN，若线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象有两个公共点，则n的取值范围为（ ）
A．﹣3≤n≤﹣1或 B．﹣3＜n＜﹣1或
C．﹣3＜n≤﹣1或 D．﹣3≤n≤﹣1或
【解析】解：如图1所示：线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有1个公共点，
∵二次函数y＝﹣x2+4x+n的对称轴为x＝﹣＝2，
∴当x＝2时，y＝1，即﹣4+8+n＝1，解得n＝﹣3，
如图2所示：线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰好3个公共点．
∵抛物线y＝x2﹣4x﹣n与y轴交点纵坐标为1，
∴﹣n＝1，
解得：n＝﹣1；
∴当﹣3＜n≤﹣1时，线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点，
如图3所示：线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点．
∵抛物线y＝﹣x2+4x+n经过点（0，1），
∴n＝1，
如图4所示：线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点．
∵抛物线y＝x2﹣4x﹣n经过点M（﹣，1），
∴+2﹣n＝1，解得：n＝，
∴1≤n≤时，线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点．
综上所述，n的取值范围是﹣3＜n≤﹣1或1≤n≤，
故选：C．
二十．全等三角形的判定与性质（共2小题）
33．（2022•黑龙江模拟）如图，在正方形ABCD中，M，N分别是AB，CD的中点，P是线段MN上的一点，BP的延长线交AD于点E，连接PD，PC，将△DEP绕点P顺时针旋转90°得△GFP，则下列结论：①CP＝GP；②tan∠CGF＝1；③BC垂直平分FG；④若AB＝4，点E在AD边上运动，则D，F两点之间距离的最小值是．其中结论正确的序号有（ ）
A．②③ B．①②③ C．①②④ D．①③④
【解析】解：延长GF交AD于点H，连接FC，FB，FA，如图，
∵正方形ABCD中，M，N分别是AB，CD的中点，
∴MN是线段BA，CD的垂直平分线．
∴PD＝PC，PA＝PB．
∵△FPG是△PED绕点P顺时针旋转90°得到，
∴△FPG≌△PED，
∴PD＝PG．
∴PC＝PG．
∴①的结论正确；
∵PD＝PC，
∴∠PDC＝∠PCD＝（180°﹣∠DPC）．
∵PC＝PG，
∴∠PCG＝∠PGC＝（180°﹣∠CPG）．
∴∠PCD+∠PCG＝[360°﹣（∠DPC+∠CPG）]．
∵∠DPC+∠CPG＝90°，
∴∠PCD+∠PCG＝135°．
∵∠BCD＝90°，
∴∠BCG＝45°．
∵△FPG≌△PED，
∴∠DEP＝∠GFP．
∵∠HFP+∠PFG＝180°，
∴∠DEP+∠HFP＝180°．
∵∠DEP+∠HFP+∠EHF+∠EPF＝360°，
∴∠EHF+∠EPF＝180°．
∴∠EPF＝90°，
∴∠EHF＝90°．
即GH⊥AD．
∵AD∥BC，
∴GF⊥BC．
∴∠CGF＝45°．
∴tan∠CGF＝1．
∴②的结论正确；
∵PA＝PB，PM⊥AB，
∴∠APM＝∠BPM，
∵PM∥AE，
∴∠PEA＝∠BPM，∠PAE＝APM．
∴∠PEA＝∠PAE．
∴PA＝PE．
∵PE＝PF，
∴PA＝PB＝PE＝PF．
∴点A，B，E，F在以点P为圆心，PA为半径的同一个圆上．
∴∠FAB＝∠FPB＝90°＝45°．
∴点F在对角线AC上，
∴∠FCB＝45°．
∵∠BCG＝∠CGF＝45°，
∴△FCG为等腰直角三角形．
∵BC平分∠FCG，
∴BC垂直平分FG．
∴③的结论正确；
由以上可知：点F在正方形的对角线AC上运动，
∴当EF⊥AC时，EF的值最小．
此时点E与点D重合，
DF＝AD•sin45°＝4×＝2．
∴④的结论不正确．
综上，结论正确的序号有：①②③，
故选：B．
34．（2022•梁山县模拟）如图，在平面直角坐标系中，正方形纸片ABCD的顶点A的坐标为（﹣1，3），在纸片中心挖去边长为的正方形A1B1C1D1，将该纸片以O为旋转中心进行逆时针旋转，每次旋转45°，则第298次旋转后，点C和点B1的坐标分别为（ ）
A．（﹣3，﹣1），（1，0） B．（﹣3，﹣1），（0，﹣1）
C．（3，1），（0，﹣1） D．（3，1），（1，0）
【解析】解：∵360°＝45°×8，298＝37×8+2，
∴第298次旋转后与第2次旋转后的位置相同，
点C和点B1经过两次旋转之后落在此图中的D点和C1点处，
∵A1B1C1D1的边长为，
∴C1的坐标为（0，﹣1），
对于D点的坐标，如图，过点A做AN⊥y轴于点N，过点D做DM⊥x轴于点M，
在正方形中ABCD中，有OA＝OD，∠AOD＝90°，
∴∠AON＝∠DOM，
∵∠ANO＝∠DMO＝90°，
∴△ANO≌△DMO（AAS），
∴AN＝DM，ON＝OM，
∴D（3，1）．
故选：C．
二十一．勾股定理（共1小题）
35．（2022•宁波模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD为中线，E为AD的中点，F为BE的中点，连结DF．若AC＝4，DF⊥BE，则DF的长为（ ）
A．1 B． C．2 D．2.5
【解析】解：连接CE，
∵AD是BC边上的中线，F点为BE的中点，
∴DF为△BCE的中位线，
∴CE＝2DF，DF∥CE，
∴∠BDF＝∠DCE，∠EDF＝∠DEC，
∵DF⊥BE，
∴∠DFE＝∠DFB＝90°，
在△DEF和△DBF中，
，
∴△DEF≌△DBF（SAS），
∴∠EDF＝∠BDF，
∴∠DEC＝∠DCE，
∴CD＝ED，
∵E为AD的中点，∠ACB＝90°，
∴CE＝ED＝CD＝AD，
∴AD＝4DF，
∵AC＝，
∴AD2﹣（AD）2＝AC2＝48，
解得AD＝8，
∴DF＝2．
故选：C．
二十二．勾股定理的证明（共1小题）
36．（2022•无锡模拟）如图所示的图形表示勾股定理的一种证明方法，该方法运用了祖冲之的出入相补原理．若图中空白部分的面积是15，整个图形（连同空白部分）的面积是39，则大正方形的边长是（ ）
A．2 B．3 C．5 D．4
【解析】解：设四个全等的直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边为c，
根据题意得：，
解得：c2＝27，
解得：c＝3或﹣3（舍去），
故大正方形的边长为3，
故选：B．
二十三．多边形内角与外角（共1小题）
37．（2022•无锡一模）已知一个正多边形的一个内角是144°，则这个正多边形的边数是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【解析】解：设正多边形是n边形，由内角和公式得
（n﹣2）180°＝144°×n，
解得n＝10，
故选：C．
二十四．菱形的性质（共1小题）
38．（2022•无锡模拟）如图，已知菱形ABCD的边长为10，∠A＝60°，E、F分别为AB、AD上两动点，EG∥AD交CD于点G，FH∥AB交BC于点H，EG与FH交于点P，连接EF．当四边形PHCG的面积是一个保持不变的量时，△AEF的周长是（ ）
A．15 B．9+3 C．10+2 D．10
【解析】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
∵∠A＝60°，
∴△ABD和△BCD均为等边三角形，
∵FH∥AB，EG∥AD，
∴四边形PHCG，四边形PFDG，四边形AEPF，四边形PHBE均为平行四边形，
∴∠GPH＝∠A＝60°，
设DG＝x，DF＝y，则PH＝10﹣x，PG＝y，
过点G作GM⊥FH于点M，则∠GMP＝90°，
∴GM＝PG＝y
∴S▱PHCG＝PH×GM＝（10﹣x）y，
∵S▱PHCG为定值，
∴10﹣x＝y，即x+y＝10时，四边形PHCG的面积为定值，
连接BD，则点P在线段BD上，且四边形AEPF为菱形，
∴PH＝PE＝10﹣a，
∵DC∥AB，AD∥EG，
∵四边形AEGD为平行四边形，
∴AE＝DG＝a，
∴10﹣a＝a，
∴a＝5，
∴△AEF的周长是＝5×3＝15．
故选：A．
二十五．矩形的性质（共1小题）
39．（2022•无锡一模）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，矩形OABC按如图所示摆放在第一象限，点B的坐标为（3m，m），将矩形OABC绕着点O逆时针旋转α（0＜α＜90°），得到矩形OA'B'C．直线OA'、B'C'与直线BC相交，交点分别为点D、E，有下列说法：
①当m＝1，α＝30°时，矩形OA'B'C'与矩形OABC重叠部分的面积为；
②当m＝1，且B'落到y轴的正半轴上时，DE的长为；
③当点D为线段BE的中点时，点D的横坐标为；
④当点D是线段BE的三等分点时，sinα的值为或．
其中，说法正确的是（ ）
A．①② B．③④ C．①②③ D．①②④
【解析】解：①当m＝1时，点B的坐标为（3，1），
∴OC＝1，
当α＝30°时，∠AOD＝30°，
∵四边形OABC是矩形，
∴BC∥OA，
∴∠ODC＝∠AOD＝30°，
∴OD＝2OC＝2，CD＝，
∴S△OCD＝•OC•CD＝×1×＝，
即当m＝1，α＝30°时，矩形OA'B'C'与矩形OABC重叠部分的面积为；
故①正确；
②如图1，由旋转得：OA＝OA'＝3，A'B'＝OC＝1，∠A'＝90°，
由勾股定理得：OB'＝＝，
∴B'C＝﹣1，
tan∠COD＝＝，
即＝，
∴CD＝，
∵OA'∥B'C'，
∴∠OB'C'＝∠COD，
∴tan∠OB'C'＝＝，
∴EC＝，
∴DE＝EC+CD＝+＝，
故②正确；
③∵点B的坐标为（3m，m），
∴BC＝3m
如图2，过点D作DF⊥B'C'于F，则DF＝B'C'＝OC，
∵点D为线段BE的中点，
∴ED＝BD，
∴DF＝OC，
∵∠DFE＝∠OCD＝90°，∠FED＝∠CDO，
∴△OCD≌△DFE（AAS），
∴ED＝OD，
设BD＝a，则OD＝a，CD＝3m﹣a，
Rt△OCD中，m2+（3m﹣a）2＝a2，
解得：a＝m，
∴CD＝3m﹣m＝m，
即当点D为线段BE的中点时，点D的横坐标为；
故③正确；
④当点D是线段BE的三等分点时，存在两种情况：ED＝2BD或BD＝2ED，
如图3，ED＝2BD，过点D作DH⊥B'C'于H，则DH＝B'C'＝OC，
同理可得OD＝ED，
设BD＝a，则ED＝OD＝2a，
在Rt△OCD中，由勾股定理得：m2+（3m﹣a）2＝（2a）2，
m1＝a，m2＝a（舍），
∴sinα＝＝＝＝≠或；
故④错误；
本题正确的结论有：①②③
故选：C．
二十六．正方形的性质（共4小题）
40．（2022•越秀区一模）将正方形ABCD与正方形BEFG按如图方式放置，点F、B、C在同一直线上，已知BG＝，BC＝3，连接DF，M是DF的中点，连接AM，则AM的长是（ ）
A． B． C． D．
【解析】解：延长AM交BC于H点，
∵四边形ABCD和四边形BEFG都是正方形，BG＝，BC＝3，
∴BF＝BG＝2，AB＝AD＝CD＝BC＝3，
∵点F，B，C在同一直线上，
∴AD∥CF，
∴∠DAM＝∠FHM，∠ADM＝∠HFM，
∵M是DF中点，
∴DM＝FM，
在△ADM和△HFM中，
，
∴△ADM≌△HFM（AAS），
∴AD＝FH＝3，AM＝HM＝AH，
∴BH＝FH﹣BF＝1，
在Rt△ABH中，AH＝＝＝，
∴AM＝AH＝，
故选：A．
41．（2022•江北区一模）如图，以Rt△ABC的各边为边分别向外作正方形，∠BAC＝90°，连结DG，点H为DG的中点，连结HB，HN，若要求出△HBN的面积，只需知道（ ）
A．△ABC的面积 B．正方形ADEB的面积
C．正方形ACFG的面积 D．正方形BNMC的面积
【解析】解：如图，连接HA并延长交BC于点P，交MN于点Q，连接AE，CE，AN，
∵四边形ABED，四边形ACFG，四边形BCMN是正方形，
∴AB＝AD，AC＝AG，∠BAC＝∠DAG＝90°，
在△BAC和△DAG中，
，
∴△BAC≌△DAG（SAS），
∴∠BCA＝∠DGA，
∵点H为DG的中点，∠DAG＝90°，
∴AH＝GH，
∴∠HAG＝∠DGA，
∴∠HAG＝∠BCA，
∵∠HAG+∠CAP＝90°，
∴∠BCA+∠CAP＝90°，
∴∠APC＝90°，
∴BN∥HQ，
∴S△HBN＝S△ABN，
∵BE∥CD，
∴S△AEB＝S△CBE，
∵∠ABN＝90°+∠ABC，∠EBC＝90°+∠ABC，
∴∠ABN＝∠EBC，
在△ABN和△EBC中，
，
∴△ABN≌△EBC（SAS），
∴S△ABN＝S△CBE，
∴S△AEB＝S△HBN，
∵S△AEB＝S正方形ADEB，
∴S△HBN＝S正方形ADEB，
∴若要求出△HBN的面积，只需知道正方形ADEB的面积．
故选：B．
42．（2022•杭州模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以该直角三角形的三边为边，并在直线AB同侧作正方形ABMN、正方形BQPC、正方形ACEF，且点N恰好在正方形ACEF的边EF上．其中S1，S2，S3，S4，S5表示相应阴影部分面积，若S3＝1，则S1+S2+S4+S5＝（ ）
A．2 B．3 C．2 D．
【解析】解：如图，连接MQ，作MG⊥EC于G，设PC交BM于T，MN交EC于Q′．
∵∠ABM＝∠CBQ＝90°，
∴∠ABC＝∠MBQ，
∵BA＝BM，BC＝BQ，
∴△ABC≌△MBQ（SAS），
同理可得：△ANF≌△ABC，即S2＝S3＝1，
∴∠ACB＝∠BQM＝90°，
∵∠PQB＝90°，
∴M，P，Q共线，
∵四边形CGMP是矩形，
∴MG＝PC＝BC，
∵∠BCT＝∠MGQ′＝90°，∠BTC+∠CBT＝90°，∠BQ′M+∠CBT＝90°，
∴∠MQ′G＝∠BTC，
∴△MGQ′≌△BCT（AAS），
∴S4＝S△BGM，
∴MQ′＝BT，
∵MN＝BM，
∴NQ′＝MT，
∵∠MQ′G＝∠BTC，
∴∠NQ′E＝∠MTP，
∵∠E＝∠MPT＝90°，
则△NQ′E≌△MTP（AAS），
∴S1+S5＝S3＝S4＝1，
∴S1+S2+S4+S5＝3．
故选：B．
43．（2022•大渡口区模拟）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E在BC的延长线上，连接DE，点F是DE的中点，连接OF交CD于点G，连接CF，若CE＝4，OF＝6．则点D到CF的距离为（ ）
A． B． C． D．
【解析】解：在正方形ABCD中，BO＝DO，BC＝DC，
∵点F是DE的中点，OF＝6，
∴BE＝2OF＝12，
∵CE＝4，
∴DC＝BC＝8，
在Rt△DCE中，DE＝，
∴CF＝DE＝，
∴△CDE的面积＝CE•DC＝×4×8＝16，
∵F是Rt△DCE斜边DE的中点，
∴△DCF面积＝8，
设点D到CF的距离为x，则x•CF＝8，
∴•x×2＝8，
解得x＝，
∴点D到CF的距离为．
故选：D．
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