江苏省2022中考数学冲刺复习-21解答题基础必刷60题③

这是一份江苏省2022中考数学冲刺复习-21解答题基础必刷60题③，共38页。试卷主要包含了旋转的思考，如图，内接于，，直线与相切于点，如图，平分，点在上等内容，欢迎下载使用。
21解答题基础必刷60题③

二十四．圆的综合题（共3小题）
41．（2022•玄武区一模）旋转的思考
【探索发现】
（1）已知，将绕点逆时针旋转得到△．小美，小丽探索发现了下列结论．
小美的发现如图①，连接对应点，，则．
小丽的发现如图②，以为圆心，边上的高为半径作，则与相切．
（ⅰ）请证明小美所发现的结论．
（ⅱ）如图②，小丽过点作，垂足为．证明途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格．

【问题解决】
（2）在中，，，，是的中点，将绕点逆时针旋转得到△．
（ⅰ）如图③，当边恰好经过点时，连接，则的长为 　　．
（ⅱ）在旋转过程中，若边所在直线恰好经过点，请在图④中利用无刻度的直尺和圆规作出直线．（保留作图痕迹，不写作法）
【拓展研究】
（3）在（2）的条件下，如图⑤，在旋转过程中，直线，交于点，则的最大值为 　　．


42．（2022•中山市二模）如图，点是以为直径的半圆上的动点，，连接，，，点是上一动点，连接，，且与相交于点，过点作与的延长线交于点，使得．
（1）求证：是的切线；
（2）当四边形是平行四边形时，判断形状，并说明理由；
（3）当点为中点且时，求的长．

43．（2022•平乐县模拟）在中，，平分交于点，以为圆心，长为半径作圆交于点．
（1）如图1，求证：为的切线；
（2）如图2，与相切于点，连接．求证：；
（3）连接，交于点．若，求的值．

二十五．作图—复杂作图（共2小题）
44．（2022•蜀山区二模）如图，内接于，，直线与相切于点．
（1）尺规作图：求作直线，使得直线交劣弧于点，交弦于点，交直线于点；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的基础上，若，，，求的长．

45．（2022•扬州一模）（1）①如图1，中，点在上，请用无刻度的直尺和圆规在上作一点，使得点到、两点的距离相等（保留作图痕迹）；
②在所作的图中，若，平分，，、所对的边记为、，试说明；
（2）如图2，中，，平分，点到、两点的距离相等，若，，求的周长．


二十六．命题与定理（共1小题）
46．（2022•兰州模拟）如图，平分，点在上．从下面①②③中选取两个作为已知条件，另一个作为结论，构成一个命题，判断该命题真假并说明理由．
①；②；③．
你选择的已知条件是 　　，结论是 　　（填写序号）；该命题为 　　（填“真”或“假” 命题．

二十七．旋转的性质（共1小题）
47．（2022•相城区一模）如图，等腰中，，，点为斜边上一点（不与，重合）连接，将线段绕点顺时针方向旋转至，连接．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．

二十八．中心对称（共1小题）
48．（2022•泗水县一模）有一张矩形纸片，，分别是边，上的点（不与顶点重合），如图所示，若将矩形分成面积相等的两部分．求证：．

二十九．作图-旋转变换（共1小题）
49．（2022•兴宁区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，（每个方格的边长均为1个单位长度）
（1）将平移，使点移动到点，请画出△；
（2）作出关于点成中心对称的△，并直接写出，，的坐标；
（3）△与△是否成中心对称？若是，请写出对称中心的坐标；若不是，请说明理由．

三十．相似形综合题（共1小题）
50．（2022•沁阳市模拟）在中，，，点是平面内不与点，重合的一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，，，点，分别是线段，的中点，连接．
（1）【观察猜想】如图1，当点与点在直线两侧，时，的值是 　　，直线与直线所成的锐角的度数是 　　；
（2）【类比探究】如图2，当点与点在直线两侧，时，求的值及直线与直线所成的锐角的度数；
（3）【解决问题】当点在直线上方，，且点，，在同一条直线上时，连接，已知，请直接写出的值．


三十一．特殊角的三角函数值（共3小题）
51．（2022•常州模拟）计算：．
52．（2022•北京一模）计算：．
53．（2022•淮安区模拟）计算：
（1）；
（2）．
三十二．解直角三角形的应用（共1小题）
54．（2019•高淳区二模）高淳固城湖大桥采用型塔型斜拉桥结构（如甲图），图乙是从图甲抽象出的平面图．测得拉索与水平桥面的夹角是，拉索与水平桥面的夹角是，两拉索顶端的距离为2米，两拉索底端距离为10米，请求出立柱的长（结果精确到0.1米）．
（参考数据：，，

三十三．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共1小题）
55．（2022•铜仁市模拟）如图（1）是一天桥的梯步图，为了方便残疾人出行，准备对梯步进行改建降低坡度，绘制了如图（2）的侧面示意图，点为梯步顶端，点为梯步底端，垂直于水平地面，并测得，米．要使改建后的梯步与水平面的夹角，求梯步底端向外延伸的长度（精确到0.1米，，，，．

三十四．解直角三角形的应用-方向角问题（共1小题）
56．（2022•榆次区一模）一款被称作“小蛮驴”的智能送快递机器人本学期在我省某高校投入使用，据悉“小蛮驴”兼具人工智能和自动驾驶技术．如图，点为该校快递收纳站点，点，分别为两处宿舍楼，“小蛮驴”将会从点出发，沿着的路径派送快递．已知点在点的正北方向，点在点的北偏东方向，在点的北偏东方向，点与点相距1000米，求点到点的距离．（结果精确到，参考数据：，，，

三十五．频数（率）分布表（共1小题）
57．（2022•龙华区校级一模）为提高教育质量，落实立德树人的根本任务，中共中央办公厅、国务院办公厅印发了《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》，为切实减轻学生课后作业负担，某中学教务处随机抽取了七、八、九年级部分学生并对这些学生家庭作业所用时间进行了调查．现将调查结果分为、、、、组．同时，将调查的结果绘成了两幅不完整的统计图．请你根据以上信息，解答下列问题：
（1）表格中的　　，扇形统计图中的　　．
（2）所抽取的学生完成家庭作业的众数为组别　　．
（3）已知该校有学生2600人，请你估计该校有多少人的家庭作业时间在1.5小时以内？
组别
人数
时间（小时）

20


40





12


8


三十六．条形统计图（共2小题）
58．（2022•开封一模）某市按照《关于切实做好2022年初中毕业升学体育考试工作的通知》，要求从“立定跳远”、“篮球运球”、“双手正面实心球”、“足球运球”四个项目任选其一报名考试．某校为了了解九年级学生任选项目的报名情况，把上述四个项目依次记为，，，，根据调查统计结果，绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计（部分信息未给出）．
请根据图表提供的信息，解答下列问题：
（1）参与本次问卷调查的总人数为 　　人，在图（2）中，所占的圆心角度数应分别为 　　，　　
（2）请补全图（2）中的扇形统计图．

（3）若该市九年级有20000名学生，请估计该市九年级选“足球运球”的学生人数．
（4）请根据该校九年级目前的选择情况，对学校的相关部门在购置体育训练器材方面提出一条合理化建议．

59．（2022•官渡区一模）为培养学生良好的运动习惯，提高学生的身体素质，我校开展了“花样跳绳”和“春季长跑”等体育活动．体育老师随机抽取了八年级男、女各60名学生的长跑成绩，并将数据进行整理分析，给出了下面部分信息：
数据分为，，，四个等级，分别是：，，，，
60名男生成绩的条形统计图以及60名女生成绩的扇形统计图如图：

男生成绩位于等级前10名的分数为：95，95，95，94，94，94，92，91，90，90．
60名男生和60名女生成绩的平均数，中位数，众数如表：
性别
平均数
中位数
众数
男生
94

96
女生
95
94
96
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：　　，　　；
（2）计算抽取的男生成绩在等级的人数，并补全条形统计图．
（3）根据以上数据，你认为在此次活动中，男生成绩好还是女生成绩好？请说明理由（说明一条理由即可）．
（4）若该年级有800名学生，估计成绩为等级的学生约为 　　人．
三十七．统计图的选择（共1小题）
60．（2022•鼓楼区一模）2022年2月6日，中国女足在决赛落后2球的不利局面下，顽强拼搏，最终战胜韩国队，勇夺亚洲杯冠军
晋级女足世界杯决赛圈3次及以上的国家队在女足世界杯决赛阶段的比赛结果统计
国家
胜场数
平局数
负场数
比赛总场数
进球数
丢球数
美国
40
6
4
50
138
38
德国
30
5
9
44
121
39
挪威
24
4
12
40
93
52
瑞典
32
5
12
49
71
48
巴西
20
4
10
34
66
40
中国
16
7
10
33
53
32
日本
14
4
15
33
39
55
（1）根据表中数据，要清楚地反映不同国家女足比赛总场数的多少，适合的统计图是 　　；要清楚地反映同一国家女足胜场数、平局数、负场数在比赛总场数中所占的百分比，适合的统计图是 　　．（在空格上填写合适的代号）
．条形统计图
．折线统计图
．扇形统计图
（2）结合表中数据，从两个不同的角度简要评价中国女足的水平．




【参考答案】
二十四．圆的综合题（共3小题）
41．（2022•玄武区一模）旋转的思考
【探索发现】
（1）已知，将绕点逆时针旋转得到△．小美，小丽探索发现了下列结论．
小美的发现如图①，连接对应点，，则．
小丽的发现如图②，以为圆心，边上的高为半径作，则与相切．
（ⅰ）请证明小美所发现的结论．
（ⅱ）如图②，小丽过点作，垂足为．证明途径可以用下面的框图表示，请填写其中的空格．

【问题解决】
（2）在中，，，，是的中点，将绕点逆时针旋转得到△．
（ⅰ）如图③，当边恰好经过点时，连接，则的长为 　　．
（ⅱ）在旋转过程中，若边所在直线恰好经过点，请在图④中利用无刻度的直尺和圆规作出直线．（保留作图痕迹，不写作法）
【拓展研究】
（3）在（2）的条件下，如图⑤，在旋转过程中，直线，交于点，则的最大值为 　　．


【解析】（1）（ⅰ）证明：绕点逆时针旋转得到△，
，，，
．
，
．
；

（ⅱ）证明：△，
，
，
△，
，
是的半径，，
是的切线．
故答案为：，；

（2）解：（ⅰ）如图3中，连接，，过点作于点．

，，
，
，，
，，
，
由旋转变换的性质可知，，，
，
，
，
．
故答案为：；

（ⅱ）如图④中，直线即为所求．


（3）如图⑤中，连接，．

，
，
，
，
，
，，
，
，
，
定值，
点的运动轨迹是圆，假设圆心为，连接，，．
，
，
，
的最大值为．
故答案为：．
42．（2022•中山市二模）如图，点是以为直径的半圆上的动点，，连接，，，点是上一动点，连接，，且与相交于点，过点作与的延长线交于点，使得．
（1）求证：是的切线；
（2）当四边形是平行四边形时，判断形状，并说明理由；
（3）当点为中点且时，求的长．

【解析】（1）证明：为的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
为的半径，
是的切线；

（2）解：是等边三角形；理由：如图1，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形；

（3）解：如图2，

连接，
，
点是的中点，
，
，
，
过点作于，
，
，
在中，，
，
在中，，
设，则，
，
在中，根据勾股定理得，，
，
或，
，
，
，
根据勾股定理得，．
43．（2022•平乐县模拟）在中，，平分交于点，以为圆心，长为半径作圆交于点．
（1）如图1，求证：为的切线；
（2）如图2，与相切于点，连接．求证：；
（3）连接，交于点．若，求的值．

【解析】（1）证明：如图1，过点作于点，

平分，，，
，
是的半径，
为的切线；
（2）证明：如图2，连接，

，是半径，
是的切线，
是的切线，
，
，
垂直平分，
是的直径，
，
；
（3）解：如图3，

由（2）可知，，，，
，
设，则，，
，，
，
，即，
，
，，
由（1）可知为的切线，
，
，
，
，
，即，
，，
，，
．
二十五．作图—复杂作图（共2小题）
44．（2022•蜀山区二模）如图，内接于，，直线与相切于点．
（1）尺规作图：求作直线，使得直线交劣弧于点，交弦于点，交直线于点；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的基础上，若，，，求的长．

【解析】解：（1）图形如图所示：

（2）如图，过点作交于点，交于点，交中线于点，连接．

，
，
，
，
，
中线经过圆心，
直线是切线，
，
，，
，
，
，
．
45．（2022•扬州一模）（1）①如图1，中，点在上，请用无刻度的直尺和圆规在上作一点，使得点到、两点的距离相等（保留作图痕迹）；
②在所作的图中，若，平分，，、所对的边记为、，试说明；
（2）如图2，中，，平分，点到、两点的距离相等，若，，求的周长．


【解析】（1）①解：如图1中，点即为所求．

②证明：如图3中，连接，过点作交于点．

，
，
，
平分，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
；

（2）解：如图2中，

，平分，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
的周长为．
二十六．命题与定理（共1小题）
46．（2022•兰州模拟）如图，平分，点在上．从下面①②③中选取两个作为已知条件，另一个作为结论，构成一个命题，判断该命题真假并说明理由．
①；②；③．
你选择的已知条件是 　①②　，结论是 　　（填写序号）；该命题为 　　（填“真”或“假” 命题．

【解析】解：已知条件是①②，结论③，为真命题，
证明：平分，
，
，，
，
，
故答案为：①②，③，真．
二十七．旋转的性质（共1小题）
47．（2022•相城区一模）如图，等腰中，，，点为斜边上一点（不与，重合）连接，将线段绕点顺时针方向旋转至，连接．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．

【解析】解：将线段绕点顺时针方向旋转至，
，，

而，
；
（2）连接，
，，
，
由（1）知，
，，
，
，
，
，
，
．
二十八．中心对称（共1小题）
48．（2022•泗水县一模）有一张矩形纸片，，分别是边，上的点（不与顶点重合），如图所示，若将矩形分成面积相等的两部分．求证：．

【解析】证明：四边形是矩形，
，，，，
，
，
，
，
，
．
二十九．作图-旋转变换（共1小题）
49．（2022•兴宁区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，（每个方格的边长均为1个单位长度）
（1）将平移，使点移动到点，请画出△；
（2）作出关于点成中心对称的△，并直接写出，，的坐标；
（3）△与△是否成中心对称？若是，请写出对称中心的坐标；若不是，请说明理由．

【解析】解：（1）如图，△为所作；
（2）如图，△为所作；点，，的坐标分别为，，；

（3）△与△关于点中心对称，如图，
对称中心的坐标的坐标为．
三十．相似形综合题（共1小题）
50．（2022•沁阳市模拟）在中，，，点是平面内不与点，重合的一动点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，，，点，分别是线段，的中点，连接．
（1）【观察猜想】如图1，当点与点在直线两侧，时，的值是 　　，直线与直线所成的锐角的度数是 　　；
（2）【类比探究】如图2，当点与点在直线两侧，时，求的值及直线与直线所成的锐角的度数；
（3）【解决问题】当点在直线上方，，且点，，在同一条直线上时，连接，已知，请直接写出的值．


【解析】解：（1）如图1，延长，交于点，延长交的延长线于，

，，
是等边三角形，
，，
将线段绕点顺时针旋转得到线段，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
，，
，
，
，
点，分别是线段，的中点，
，，
，，
故答案为：，；
（2）如图2，设交于点，延长交于点，连接，

，，，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，，
，，
，
，
，
，，
，
直线与直线所成的锐角为；
（3）如图3，连接，延长，交于点，过点作于，

同理可证：，
，
，
，
，
，
设，，
，，
，
，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
如图4，设与的交点为，连接，过点作于，

同理可求：，
综上所述：或．
三十一．特殊角的三角函数值（共3小题）
51．（2022•常州模拟）计算：．
【解析】解：原式．
52．（2022•北京一模）计算：．
【解析】解：


．
53．（2022•淮安区模拟）计算：
（1）；
（2）．
【解析】解：（1）原式

；
（2）原式

．
三十二．解直角三角形的应用（共1小题）
54．（2019•高淳区二模）高淳固城湖大桥采用型塔型斜拉桥结构（如甲图），图乙是从图甲抽象出的平面图．测得拉索与水平桥面的夹角是，拉索与水平桥面的夹角是，两拉索顶端的距离为2米，两拉索底端距离为10米，请求出立柱的长（结果精确到0.1米）．
（参考数据：，，

【解析】解：设的长为米，则的长为米．
在中，，
，
；
在中，，
，
解得：．
答：立柱的长约为17.0米．
三十三．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共1小题）
55．（2022•铜仁市模拟）如图（1）是一天桥的梯步图，为了方便残疾人出行，准备对梯步进行改建降低坡度，绘制了如图（2）的侧面示意图，点为梯步顶端，点为梯步底端，垂直于水平地面，并测得，米．要使改建后的梯步与水平面的夹角，求梯步底端向外延伸的长度（精确到0.1米，，，，．

【解析】解：由题意可得：，
解得：，
，
（米，
故（米，
答：梯步底端向外延伸的长度约为0.8米．
三十四．解直角三角形的应用-方向角问题（共1小题）
56．（2022•榆次区一模）一款被称作“小蛮驴”的智能送快递机器人本学期在我省某高校投入使用，据悉“小蛮驴”兼具人工智能和自动驾驶技术．如图，点为该校快递收纳站点，点，分别为两处宿舍楼，“小蛮驴”将会从点出发，沿着的路径派送快递．已知点在点的正北方向，点在点的北偏东方向，在点的北偏东方向，点与点相距1000米，求点到点的距离．（结果精确到，参考数据：，，，

【解析】解：如图，作交的延长线于．
在中，，，米，
米，米，
在中，，
（米，
（米．
故点到点的距离大约为1903米．

三十五．频数（率）分布表（共1小题）
57．（2022•龙华区校级一模）为提高教育质量，落实立德树人的根本任务，中共中央办公厅、国务院办公厅印发了《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》，为切实减轻学生课后作业负担，某中学教务处随机抽取了七、八、九年级部分学生并对这些学生家庭作业所用时间进行了调查．现将调查结果分为、、、、组．同时，将调查的结果绘成了两幅不完整的统计图．请你根据以上信息，解答下列问题：
（1）表格中的　120　，扇形统计图中的　　．
（2）所抽取的学生完成家庭作业的众数为组别　　．
（3）已知该校有学生2600人，请你估计该校有多少人的家庭作业时间在1.5小时以内？
组别
人数
时间（小时）

20


40





12


8


【解析】解：组20人占总数的，
（人，
（人，
，
，
故答案为：120，4；
（2）组人数最多 故所抽取的学生完成家庭作业的众数组别为组，
故答案为：；
（3）（人，
答：该校有2340人家庭作业时间在1.5小时以内．
三十六．条形统计图（共2小题）
58．（2022•开封一模）某市按照《关于切实做好2022年初中毕业升学体育考试工作的通知》，要求从“立定跳远”、“篮球运球”、“双手正面实心球”、“足球运球”四个项目任选其一报名考试．某校为了了解九年级学生任选项目的报名情况，把上述四个项目依次记为，，，，根据调查统计结果，绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计（部分信息未给出）．
请根据图表提供的信息，解答下列问题：
（1）参与本次问卷调查的总人数为 　1000　人，在图（2）中，所占的圆心角度数应分别为 　　，　　
（2）请补全图（2）中的扇形统计图．

（3）若该市九年级有20000名学生，请估计该市九年级选“足球运球”的学生人数．
（4）请根据该校九年级目前的选择情况，对学校的相关部门在购置体育训练器材方面提出一条合理化建议．

【解析】解：（1）参与本次问卷调查的总人数为（人
所占的圆心角度数为，
所占的圆心角度数为，
故答案为：1000，，；

（2）所占的百分比为，
所占的百分比为，
补全扇形统计图：


（3）（名，
答：估计该市九年级选“足球运球”的学生人数为8000名；

（4）建议学校的相关部门在购置体育训练器材时多购入足球．
59．（2022•官渡区一模）为培养学生良好的运动习惯，提高学生的身体素质，我校开展了“花样跳绳”和“春季长跑”等体育活动．体育老师随机抽取了八年级男、女各60名学生的长跑成绩，并将数据进行整理分析，给出了下面部分信息：
数据分为，，，四个等级，分别是：，，，，
60名男生成绩的条形统计图以及60名女生成绩的扇形统计图如图：

男生成绩位于等级前10名的分数为：95，95，95，94，94，94，92，91，90，90．
60名男生和60名女生成绩的平均数，中位数，众数如表：
性别
平均数
中位数
众数
男生
94

96
女生
95
94
96
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：　93　，　　；
（2）计算抽取的男生成绩在等级的人数，并补全条形统计图．
（3）根据以上数据，你认为在此次活动中，男生成绩好还是女生成绩好？请说明理由（说明一条理由即可）．
（4）若该年级有800名学生，估计成绩为等级的学生约为 　　人．
【解析】解：（1）把60名男生体考成绩从小到大排列后第30、31位是94和92，
男生成绩的中位数，
，
，
故答案为93，30；

（2）男生类有（人，
补全条形统计图，如图所示，


（2）女生的成绩好，
理由：因为女生成绩的平均数高于男生的平均数，所以女生的成绩好于男生的成绩；
（3）（人，
（人，
估计成绩为等级的学生约为320人．
故答案为：320．
三十七．统计图的选择（共1小题）
60．（2022•鼓楼区一模）2022年2月6日，中国女足在决赛落后2球的不利局面下，顽强拼搏，最终战胜韩国队，勇夺亚洲杯冠军
晋级女足世界杯决赛圈3次及以上的国家队在女足世界杯决赛阶段的比赛结果统计
国家
胜场数
平局数
负场数
比赛总场数
进球数
丢球数
美国
40
6
4
50
138
38
德国
30
5
9
44
121
39
挪威
24
4
12
40
93
52
瑞典
32
5
12
49
71
48
巴西
20
4
10
34
66
40
中国
16
7
10
33
53
32
日本
14
4
15
33
39
55
（1）根据表中数据，要清楚地反映不同国家女足比赛总场数的多少，适合的统计图是 　　；要清楚地反映同一国家女足胜场数、平局数、负场数在比赛总场数中所占的百分比，适合的统计图是 　　．（在空格上填写合适的代号）
．条形统计图
．折线统计图
．扇形统计图
（2）结合表中数据，从两个不同的角度简要评价中国女足的水平．
【解析】解：（1）根据表中数据，要清楚地反映不同国家女足比赛总场数的多少，适合的统计图是条形统计图；要清楚地反映同一国家女足胜场数、平局数、负场数在比赛总场数中所占的百分比，适合的统计图是扇形统计图．
故答案为：；；
（2）从进攻力来说，中国女足场均进球（个，进攻是比较强的；从胜负平场次比例看，中国平局比例最高，说明中国女足在打硬仗是能力有待加强．