江苏省2022中考数学冲刺复习-27填空题压轴必刷45题③

这是一份江苏省2022中考数学冲刺复习-27填空题压轴必刷45题③，共43页。试卷主要包含了【数学概念】，，连接AD，定义等内容，欢迎下载使用。

27填空题压轴必刷45题③


二十四．切线的性质（共1小题）
31．（2022•常州一模）如图（1），∠ABC＝90°，O为射线BC上一点，OB＝4，以点O为圆心，长为半径作⊙O交BC于点D、E．
（1）当射线BA绕点B按顺时针方向旋转多少度时与⊙O相切？请说明理由．
（2）若射线BA绕点B按顺时针方向旋转60°时与⊙O相交于M、N两点，如图（2），求的长．

二十五．切线的判定与性质（共1小题）
32．（2022•南京一模）如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，△EBC的外接圆⊙O分别交AB，CD于点M，N．
（1）求证：AD与⊙O相切；
（2）若DN＝1，AD＝4，求⊙O的半径r．

二十六．圆的综合题（共3小题）
33．（2022•南京一模）解决问题常常需要最近联想，迁移经验．例如研究线段成比例时需要想到…
【积累经验】
（1）如图①，⊙O是△ABC的外接圆，AD是△ABC的高，AE是⊙O的直径．求证＝．
（2）如图②，已知线段a，b，c．用两种不同的方法作线段d，使得线段a，b，c，d满足＝．
要求：（1）用直尺和圆规作图；（2）保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．
【问题解决】
（3）如图③，已知线段a，b．AB是⊙O的弦．在⊙O上作点C，使得CA•CB＝ab．
要求：（1）用直尺和圆规作图；（2）保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．

34．（2022•苏州模拟）如图①，在⊙O中，AB为直径，点C在圆上，AB＝10，BC＝6，D是AB上一动点（与点A、B不重合），DE平分∠CDB交边BC于点E，EF⊥CD，垂足为点F．
（1）当点D与圆心O重合时，如图②所示，则DE＝　 　；
（2）当△CEF与△ABC相似时，求tan∠CDE的值；
（3）若△BDE的面积是△DEF面积的2倍，①求证：ED＝EB，②求DE的长．

35．（2022•秦淮区一模）【数学概念】
我们把存在内切圆与外接圆的四边形称为双圆四边形．例如，如图①，四边形ABCD内接于⊙M，且每条边均与⊙P相切，切点分别为E，F，G，H，因此该四边形是双圆四边形．

【性质初探】
（1）双圆四边形的对角的数量关系是 　 　，依据是 　 　．
（2）直接写出双圆四边形的边的性质．（用文字表述）
（3）在图①中，连接GE，HF，求证GE⊥HF．
【揭示关系】
（4）根据双圆四边形与四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系，在图②中画出双圆四边形的大致区域，并用阴影表示．
【特例研究】
（5）已知P，M分别是双圆四边形ABCD的内切圆和外接圆的圆心，若AB＝1，BC＝2，∠B＝90°，则PM的长为 　 　．
二十七．翻折变换（折叠问题）（共1小题）
36．（2022春•温岭市期中）有一条纸带ABCD，现小强对纸带进行了下列操作：
（1）为了检验纸带的两条边线AB与CD是否平行，小强如图1所示画了直线l后，量得∠1＝∠2，则AB∥CD，理由为 　 　；
（2）将这条上下两边互相平行的纸带折叠，如图2所示，设∠1为70°，请求出∠α的度数；
（3）如图3，已知这是一条长方形纸带，点E在折线AD→DC上运动，点F是AB上的动点，连接EF将纸带沿着EF折叠，使点A的对应点A'落在DC上．若∠CA'F＝x，请用含x的代数式来表示∠EAA'的度数为 　 　.（直接写出答案）

二十八．几何变换综合题（共3小题）
37．（2022•宝应县一模）在三角形纸片ABC中，点M为AB上一点，直线l过点M．
（1）如图1，若∠ACB＝90°，将△ABC沿直线l折叠，使点B与点C重合，折痕为MN，则＝　 　；
（2）如图2，若AC＝BC＝5，AB＝8，将△ABC沿直线l折叠，使点B与点C重合，折痕为MN，求的值 　 　；
（3）如图3，若AB＝9，BC＝6，∠ACB＝2∠A．直线l过顶点C，将△ABC沿直线l折叠，使点B落在边AC上的点B′处，折痕为CM．
①求线段AC的长；
②若点O是边AC的中点，点P为线段OB′上的一个动点，将△APM沿PM折叠得到△A′PM点A的对应点为点A′，A′M与CP交于点F，求的取值范围．
38．（2022春•郫都区期中）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是斜边BC所在直线上一点（不与点B重合），连接AD．

（1）如图1，当点D在线段BC上时，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，连接CE．直接写出BD与CE的位置关系与数量关系；
（2）如图2，当点D在线段BC上且∠BAD＝60°时，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，连接DE、CE．求证：DE＝2CD；
（3）如图3，当点D在线段BC延长线上时，试探究AD、BD、CD三者之间的数量关系．

39．（2022•铁东区模拟）已知，射线BC绕着点B逆时针旋转得到射线BP，设旋转角为α且30°≤α≤60°，点A为射线BP上一点，AB＝AC，点M为线段AB上一动点，D在射线BC所在直线上，且MD＝MC，将△BCM沿BP所在直线翻折得到△BEM，连接DE：
（1）如图1，当∠EMD＝90°时，
①判断EB与CD的位置关系 　 　；②＝　 　；
（2）求（用含α的式子表示）；
（3）连接CE交BP于Q，若BC＝4，请猜想DQ的取值范围，并直接写出答案．

二十九．相似三角形的判定与性质（共1小题）
40．（2022•苏州模拟）定义：若一个三角形一边长的平方等于另两边长的乘积的2倍，我们把这个三角形叫做有趣三角形．
（1）若△ABC是有趣三角形，AB＝3，BC＝6，则AC＝　 　；
（2）已知等腰△ABC的周长为10，若△ABC是有趣三角形，求△ABC的腰长；
（3）如图，在△ABC中，∠ACB＝135°，点D，E在边AB上，且△CDE是以DE为斜边的等腰直角三角形．求证：由三条线段AD，DE，BE组成的三角形是有趣三角形．

三十．相似三角形的应用（共1小题）
41．（2016•桐城市模拟）小明和几位同学做手的影子游戏时，发现对于同一物体，影子的大小与光源到物体的距离有关．因此，他们认为：可以借助物体的影子长度计算光源到物体的位置．于是，他们做了以下尝试．

（1）如图1，垂直于地面放置的正方形框架ABCD，边长AB为30cm，在其正上方有一灯泡，在灯泡的照射下，正方形框架的横向影子A′B，D′C的长度和为6cm．那么灯泡离地面的高度为　 　．
（2）不改变图1中灯泡的高度，将两个边长为30cm的正方形框架按图2摆放，请计算此时横向影子A′B，D′C的长度和为多少？
（3）有n个边长为a的正方形按图3摆放，测得横向影子A′B，D′C的长度和为b，求灯泡离地面的距离．（写出解题过程，结果用含a，b，n的代数式表示）
三十一．相似形综合题（共1小题）
42．（2022•邳州市一模）已知OM⊥ON，垂足为点O，点E、F分别在射线OM、ON上，连接EF，点A为EF的中点，ED∥ON，ED＝DF，连接OA并延长交线段ED或DF于点G．
（1）如图1所示，当点G在ED上，若OG＝DE，则∠EDF＝　 　°；
（2）当点G在FD．上，请在图2中画出图形并证明△DEF∽△AOF；
（3）若DG＝2，AG＝4，求DF的长．


三十二．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共1小题）
43．（2013•眉山）如图，某防洪指挥部发现长江边一处长500米，高10米，背水坡的坡角为45°的防洪大堤（横断面为梯形ABCD）急需加固．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽3米，加固后背水坡EF的坡比i＝1：．
（1）求加固后坝底增加的宽度AF；
（2）求完成这项工程需要土石多少立方米？（结果保留根号）

三十三．条形统计图（共1小题）
44．（2022•市中区校级模拟）牡丹江管局教育局为了解九年级学生每学期参加综合实践活动的情况，随机抽样调查某校九年级学生一个学期参加综合实践活动的天数，并用得到的数据绘制了下面两幅不完整的统计图．

请你根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）求出该校九年级学生总数；
（2）分别求出活动时间为5天的学生人数和7天的学生人数，并补全图②；
（3）求该校九年级学生一个学期参加综合实践活动天数在5天以上（含5天）的人数是多少？
三十四．列表法与树状图法（共1小题）
45．（2022•秦淮区校级模拟）一只蚂蚁在树枝上觅食，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机选择一条路径．
（1）如图①，求这只蚂蚁获得食物的概率；
（2）如图②，这只蚂蚁获得食物的概率是多少？有同学认为是，也有同学认为是．你认为概率是多少？简述理由．





【参考答案】
二十四．切线的性质（共1小题）
31．（2022•常州一模）如图（1），∠ABC＝90°，O为射线BC上一点，OB＝4，以点O为圆心，长为半径作⊙O交BC于点D、E．
（1）当射线BA绕点B按顺时针方向旋转多少度时与⊙O相切？请说明理由．
（2）若射线BA绕点B按顺时针方向旋转60°时与⊙O相交于M、N两点，如图（2），求的长．

【解析】解：（1）当射线BA绕点B按顺时针方向旋转45°或135°时与⊙O相切．
理由如下：如图，设切点为F，连OF．则OF⊥BF，
在Rt△OBF中，OF＝2，OB＝4，
∴cos∠OBF＝＝，
∴∠OBF＝∠BOF＝45°，
∴∠ABF＝45°，
同理：当∠ABF＝135°时，AB与⊙O相切，
∴当射线BA绕点B按顺时针方向旋转45°或135°时与⊙O相切．

（2）过点O作OH⊥AB于点H，
∵射线BA绕点B按顺时针方向旋转60°时与⊙O相交于M、N两点，
∴∠ABC＝30°，
∴OH＝OB＝×4＝2，
在Rt△OMH中，OM＝2，
∴cos∠MOH＝＝，
∴∠MOH＝45°，
∴∠MON＝90°，
∴的长为：＝π．

二十五．切线的判定与性质（共1小题）
32．（2022•南京一模）如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，△EBC的外接圆⊙O分别交AB，CD于点M，N．
（1）求证：AD与⊙O相切；
（2）若DN＝1，AD＝4，求⊙O的半径r．

【解析】（1）证明：连接EO并延长交BC于点F，连接OB、OC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AD∥BC，∠A＝∠D＝90°，
∵E为AD的中点，
∴AE＝DE．
∴△ABE≌△DCE（SAS），
∴EB＝EC，
∵OB＝OC，
∴EF垂直平分BC，
即∠EFC＝90°，
∴∠DEF+∠EFC＝180°，
∴∠DEF＝180°﹣∠EFC＝180°﹣90°＝90°，
即EF⊥AD．
∵点E在⊙O上，OE是⊙O的半径，
∴AD与⊙O相切；

（2）解：过点O作OF⊥CD，垂足为F，连接OE、ON，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝90°．
∵AD切⊙O于点E，
∴∠OED＝90°．
∵∠OFD＝90°，
∴四边形OEDF是矩形，
∴OF＝ED，DF＝OE＝r，
∵E是AD的中点，
∴OF＝ED＝AD＝2．
在Rt△OFN中，由勾股定理得：
OF2+NF2＝ON2，
即22+（r﹣1）2＝r2．
∴解得r＝2.5，
故⊙O的半径r为2.5．

二十六．圆的综合题（共3小题）
33．（2022•南京一模）解决问题常常需要最近联想，迁移经验．例如研究线段成比例时需要想到…
【积累经验】
（1）如图①，⊙O是△ABC的外接圆，AD是△ABC的高，AE是⊙O的直径．求证＝．
（2）如图②，已知线段a，b，c．用两种不同的方法作线段d，使得线段a，b，c，d满足＝．
要求：（1）用直尺和圆规作图；（2）保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．
【问题解决】
（3）如图③，已知线段a，b．AB是⊙O的弦．在⊙O上作点C，使得CA•CB＝ab．
要求：（1）用直尺和圆规作图；（2）保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．

【解析】（1）证明：连接BE，

∵AD是△ABC的高，
∴∠ADC＝90°
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ABE＝90°，
∴∠ADC＝∠ABE，
∵＝，
∴∠C＝∠AEB，
∴△ABE∽△ADC，
∴＝；
（2）解：法一“相似构造”：构造△ABC∽△DEF，使得AB＝a，AC＝b，DE＝c，由对应边成比例可得DF＝d；

法二“等积构造”：构造△ABC使得AB＝2c，AB边上的高为，AC＝a，由等积可得AC边上的高BD＝d；

法三“转化构造”：构造△ABC使得AB＝b，AC＝c，BC边上的高为a，作△ABC的外接圆⊙O，由（1）问结论得⊙O直径EF＝d；

（3）解：如图，点C即为所求．（答案不唯一，以下解法供参考）
以b长为直径画⊙O，过AB上D点作弦AB一条高，交⊙O于C，且CD＝a，过C点作⊙O的直径CE，连接AC、BC，
同理（1）可得，
即CA•CB＝ab．

34．（2022•苏州模拟）如图①，在⊙O中，AB为直径，点C在圆上，AB＝10，BC＝6，D是AB上一动点（与点A、B不重合），DE平分∠CDB交边BC于点E，EF⊥CD，垂足为点F．
（1）当点D与圆心O重合时，如图②所示，则DE＝　4　；
（2）当△CEF与△ABC相似时，求tan∠CDE的值；
（3）若△BDE的面积是△DEF面积的2倍，①求证：ED＝EB，②求DE的长．

【解析】解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，
∴AC＝＝8，
∵DE平分∠CDB，
∴∠CDE＝∠BDE，
∵DE⊥BC，
∴∠DEC＝∠DEB＝90°，
在△DCE和△DBE中，
，
∴△DCE≌△DBE（ASA），
∴CE＝BE，
∵CE+BE＝BC＝6，
∴CE＝BE＝3，
∵＝tanB＝，
∴，
∴DE＝4，
故答案为：4；

（2）∵EF⊥CD，
∴∠CFE＝90°＝∠ACB，
∵△CEF与△ABC相似，
∴△CEF∽△ABC或△CEF∽△BAC，
①当△CEF∽△ABC时，
则∠ECF＝∠BAC，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BAC+∠ABC＝90°，
∴∠ECF+∠ABC＝90°，
∴∠CDB＝90°，
∵DE平分∠CDB，
∴∠CDE＝∠CDB＝×90°＝45°，
∴tan∠CDE＝tan45°＝1；
②当△CEF∽△BAC时，
则∠ECF＝∠ABC，
∴DC＝DB，
∵DE平分∠CDB，
∴DE⊥BC，
∴∠CDE+∠ECF＝90°，
∵∠BAC+∠ABC＝90°，
∴∠CDE＝∠BAC，
∴tan∠CDE＝tan∠BAC＝＝＝，
综上所述，∠CDE的正切值为1或；

（3）①如图，过点E作EG⊥AB于点G，
当点D与圆心O重合时，则DC＝DB，
∵DE平分∠CDB，EF⊥CD，
∴EF＝EG，
∵DE＝DE，
∴Rt△DEF≌Rt△DEG（HL），
∴DF＝DG，
∵△BDE的面积是△DEF面积的2倍，
∴BD＝2DF，
∴DG＝BG，
∵EG⊥BD，
∴DE＝BE；

②由①知，DE＝BE，
设BE＝x，则DE＝x，CE＝BC﹣BE＝6﹣x，BG＝BE•cosB＝x，
∴BD＝2BG＝x，DG＝DF＝BG＝x，
∵DE平分∠CDB，
∴∠CDE＝∠BDE，
∵DE＝BE，
∴∠BDE＝∠B，
∴∠CDE＝∠B，
∵∠DCE＝∠BCD，
∴△CDE∽CBD，
∴＝＝，即，
解得：CD＝5，x＝，
∴DE＝．


35．（2022•秦淮区一模）【数学概念】
我们把存在内切圆与外接圆的四边形称为双圆四边形．例如，如图①，四边形ABCD内接于⊙M，且每条边均与⊙P相切，切点分别为E，F，G，H，因此该四边形是双圆四边形．

【性质初探】
（1）双圆四边形的对角的数量关系是 　互补　，依据是 　圆内接四边形的对角互补　．
（2）直接写出双圆四边形的边的性质．（用文字表述）
（3）在图①中，连接GE，HF，求证GE⊥HF．
【揭示关系】
（4）根据双圆四边形与四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系，在图②中画出双圆四边形的大致区域，并用阴影表示．
【特例研究】
（5）已知P，M分别是双圆四边形ABCD的内切圆和外接圆的圆心，若AB＝1，BC＝2，∠B＝90°，则PM的长为 　　．
【解析】解：（1）双圆四边形的对角的数量关系是互补，依据是圆内接四边形的对角互补；
故答案为：互补；圆内接四边形的对角互补；
（2）∵⊙P与四边形ABCD四边相切，
∴AE＝AH，BE＝BF，CF＝CG，DG＝DH，
∴AB+CD＝AE+BE+DG+CG＝AH+BF+DH+CF＝AD+BC；
即双圆四边形的对边的和相等；
（3）证法一：

如图1，设HF和GE交点为N．连接HE，PE，PF，PG，PH，
∵四边形ABCD内接于⊙M，
∴∠B+∠D＝180°，
∵⊙P是四边形ABCD的内切圆，G，H为切点，
∴∠DHP＝∠DGP＝90°．
∴∠D+∠HPG＝180°．
同理∠B+∠EPF＝180°．
∴∠HPG+∠EPF＝180°．
∵∠HEG＝∠HPG，∠EHF＝∠EPF，
∴∠HEG+∠EHF＝（∠HPG+∠EPF）＝90°，
∴∠HNE＝90°，即GE⊥HF；
证法二：
如图2，设HF和GE交点为N．连接PH，延长HP交⊙P于点K，连接HG，GK，HE，EF，

∵四边形ABCD内接于⊙M，
∴∠B+∠D＝180°，
∵⊙P是四边形ABCD的内切圆，H，G为切点，
∴DH＝DG，∠DHP＝90°，即∠DHG+∠GHP＝90°，
∴∠DHG＝∠DGH＝（180°﹣∠D），
∵HK是⊙P直径，
∴∠HGK＝90°，即∠GHP+∠K＝90°，
∴∠DHG＝∠K，
∵∠HEG＝∠K，
∴∠DHG＝∠HEG，
∴∠HEG＝（180°﹣∠D），
同理∠EHF＝（180°﹣∠B），
∴∠HEG+∠EHF＝（180°﹣∠D）+（180°﹣∠B）＝90°，
∴∠HNE＝90°，即GE⊥HF；

证法三：
如图3，设HF和GE交点为N．延长AB，DC，相交于点K，

∵四边形ABCD内接于⊙M，
∴∠B+∠D＝180°，
∵⊙P是四边形ABCD的内切圆，H、G为切点，
∴KG＝KE，
∴∠KGE＝∠KEG，
∵∠KGE+∠DGE＝180°，
∴∠KEG+∠DGE＝180°，
同理∠DHF+∠BFH＝180°，
在四边形DHNG和四边形BFNE中，
∴∠HNG+∠FNE＝2×360°﹣3×180°＝180°，
∵∠HNG＝∠FNE，
∴∠HNG＝90°，即GE⊥HF；
（4）阴影区域如下图；

（5）如图4，连接AC，连接FM，ME，

∵∠B＝90°，
∴AC是⊙P的直径，
由（2）知：AB+CD＝BC+AD，
设AD＝x，则CD＝x+1，
∴AC2＝x2+（x+1）2＝12+22，
∴x1＝1，x2＝﹣2，
∴AD＝1，CD＝2，
∴AD＝AB，CD＝BC，
∵AC＝AC，
∴△ACD≌△ACB（SSS），
∴∠ACB＝∠ACD，∠CAD＝∠CAB，
∴点M在AC上，
∴∠B＝∠BEM＝∠BFM＝90°，FM＝EM，
∴四边形BEMF是正方形，
∴EM＝FM，
∵EM∥BC，
∴∠AME＝∠ACB，
∴tan∠AME＝tan∠ACB，
∴＝，
设AE＝a，EM＝2a，
∴2a＝1﹣a，
∴a＝，
∴PM＝﹣＝．
故答案为：．
二十七．翻折变换（折叠问题）（共1小题）
36．（2022春•温岭市期中）有一条纸带ABCD，现小强对纸带进行了下列操作：
（1）为了检验纸带的两条边线AB与CD是否平行，小强如图1所示画了直线l后，量得∠1＝∠2，则AB∥CD，理由为 　同位角相等两直线平行　；
（2）将这条上下两边互相平行的纸带折叠，如图2所示，设∠1为70°，请求出∠α的度数；
（3）如图3，已知这是一条长方形纸带，点E在折线AD→DC上运动，点F是AB上的动点，连接EF将纸带沿着EF折叠，使点A的对应点A'落在DC上．若∠CA'F＝x，请用含x的代数式来表示∠EAA'的度数为 　x或90°﹣x　.（直接写出答案）

【解析】解：（1）如图①中，∵∠1＝∠2，
∴AB∥CD（同位角相等两直线平行）．
故答案为：同位角相等两直线平行；
（2）如图②﹣1中，

由翻折的性质可知，∠3＝∠4，
∵CD∥AB，
∴∠α＝∠3，
∴∠α＝∠4，
∵∠1＝∠2＝70°，
∴∠α＝（180°﹣70°）＝55°；
（3）如图③﹣1中，

由翻折可知，EA＝EA′，∠EA′F＝∠DAB＝90°，
∴∠EAA′＝∠EA′A，
∴∠DEA′＝∠EAA′+∠EA′A＝2∠EAA′，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝90°，
∵∠DEA′+∠DA′E＝90°，∠DA′E+∠CA′F＝90°，
∴∠DEA′＝∠CA′F，
∴∠CA′F＝2∠DAA′．
∴∠EAA′＝∠CA′F＝x；
如图③﹣2中，

由翻折可知，EA＝EA′，FA＝FA′，
∴∠EAA′＝∠EA′A，∠FAA′＝∠FA′A，
∵AB∥CD，
∴∠EA′A＝∠FAA′，
∴∠EAA′＝∠AA′F，
∴∠EA′F＝2∠EAA′，
∵∠CA′F+∠EA′F＝180°，
∴2∠EAA′＝180°﹣x，
∴∠EAA′＝90°﹣x．
故答案为：x或90°﹣x．
二十八．几何变换综合题（共3小题）
37．（2022•宝应县一模）在三角形纸片ABC中，点M为AB上一点，直线l过点M．
（1）如图1，若∠ACB＝90°，将△ABC沿直线l折叠，使点B与点C重合，折痕为MN，则＝　1　；
（2）如图2，若AC＝BC＝5，AB＝8，将△ABC沿直线l折叠，使点B与点C重合，折痕为MN，求的值 　　；
（3）如图3，若AB＝9，BC＝6，∠ACB＝2∠A．直线l过顶点C，将△ABC沿直线l折叠，使点B落在边AC上的点B′处，折痕为CM．
①求线段AC的长；
②若点O是边AC的中点，点P为线段OB′上的一个动点，将△APM沿PM折叠得到△A′PM点A的对应点为点A′，A′M与CP交于点F，求的取值范围．
【解析】解：（1）如图①中，

∵△ABC折叠，使点B与点C重合，折痕为MN，
∴MN垂直平分线段BC，
∴CN＝BN，
∵∠MNB＝∠ACB＝90°，
∴MN∥AC，
∵CN＝BN，
∴AM＝BM．
∵将△ABC沿直线l折叠，使点B与点C重合，
∴BM＝CM，
∴CM＝AM，
∴，
故答案为：1．
（2）如图②中，

∵CA＝CB＝5，
∴∠A＝∠B，
由题意MN垂直平分线段BC，
∴BM＝CM，
∴∠B＝∠MCB，
∴∠BCM＝∠A，
∵∠B＝∠B，
∴△BCM∽△BAC，
∴，
∴，
∴BM＝，
∴AM＝AB﹣BM＝8﹣，
∴，
∵BM＝CM，
∴．
故答案为：．
（3）①如图③中，

由折叠的性质可知，CB＝CB′＝6，∠BCM＝∠ACM，
∵∠ACB＝2∠A，
∴∠BCM＝∠A，
∵∠B＝∠B，
∴△BCM∽△BAC，
∴，
∴，
∴BM＝4，
∴AM＝CM＝5，
∴，
∴AC＝7.5．
②如图③﹣1中，

∵∠A＝∠A′＝∠MCF，∠PFA′＝∠MFC，PA＝PA′，
∴△PFA′∽△MFC，
∴，
∵CM＝5，
∴，
∵点P在线段OB上运动，OA＝OC＝，AB′＝﹣6＝，
∴PA′≤，
∴．
38．（2022春•郫都区期中）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是斜边BC所在直线上一点（不与点B重合），连接AD．

（1）如图1，当点D在线段BC上时，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，连接CE．直接写出BD与CE的位置关系与数量关系；
（2）如图2，当点D在线段BC上且∠BAD＝60°时，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，连接DE、CE．求证：DE＝2CD；
（3）如图3，当点D在线段BC延长线上时，试探究AD、BD、CD三者之间的数量关系．

【解析】（1）解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝＝45°，
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，
即：∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ACE＝∠ABD＝45°，BAD＝CE，
∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，
∴BD⊥CE；
（2）证明：设AC和DE相交于点O，
由（1）得：∠BCE＝90°，
∠CAE＝BAD＝60°，
∵AD＝AE，∠DAE＝90°，
∴∠AED＝∠ADE＝45°，
∴∠AED＝∠ACB，
∵∠AOE＝∠COD，
∴∠CDE＝∠CAE＝60°，
∴∠DEC＝90°﹣∠CDE＝30°，
∴DE＝2CD；
（3）解：如图，

由（1）得：CE＝BD，∠DCE＝90°，
∴CD2+CE2＝DE2，
∵∠CAE＝90°，AD＝AE，
∴AD2+AE2＝DE2，
∴2AD2＝DE2，
∴CD2+BD2＝2AD2．
39．（2022•铁东区模拟）已知，射线BC绕着点B逆时针旋转得到射线BP，设旋转角为α且30°≤α≤60°，点A为射线BP上一点，AB＝AC，点M为线段AB上一动点，D在射线BC所在直线上，且MD＝MC，将△BCM沿BP所在直线翻折得到△BEM，连接DE：
（1）如图1，当∠EMD＝90°时，
①判断EB与CD的位置关系 　EB⊥CD　；②＝　　；
（2）求（用含α的式子表示）；
（3）连接CE交BP于Q，若BC＝4，请猜想DQ的取值范围，并直接写出答案．

【解析】解：（1）设DM与BE交于N，如图：

①∵DM＝CM，
∴∠MDC＝∠MCD，
∵将△BCM沿BP所在直线翻折得到△BEM，
∴∠MCD＝∠MEB，
∴∠MDC＝∠MEB，
∵∠DNB＝∠ENM，
∴180°﹣∠MDC﹣∠DNB＝180°﹣∠MEB﹣∠ENM，即∠NBD＝∠EMN，
∵∠EMD＝90°，即∠EMN＝90°，
∴∠NBD＝90°，
∴NB⊥CD，即EB⊥CD；
故答案为：EB⊥CD；
②∵EB⊥CD，将△BCM沿BP所在直线翻折得到△BEM，
∴∠MBC＝∠MBE＝∠EBC＝45°，CM＝EM，BE＝BC，
∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC＝45°，
∴∠BAC＝90°＝∠DBE，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵CM＝DM，
∴EM＝DM，
∴∠DEM＝45°＝∠ACB，
∴∠DEM﹣∠MEB＝∠ACB﹣∠MCD，即∠ACM＝∠DEB，
∴△BDE∽△AMC，
∴＝＝＝，
故答案为：；
（2）过A作AF⊥CD于F，如图：

∵将△BCM沿BP所在直线翻折得到△BEM，
∴∠1＝∠2，∠CBM＝∠EBM，CM＝EM，BE＝BC，
∵CM＝DM，
∴∠1＝∠3，
∴∠2＝∠3，
∴D、B、M、E四点共圆，
∴∠ABC＝∠DEM，
∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC＝∠DEM，
∴∠ACB﹣∠1＝∠DEM﹣∠2，即ACM＝∠DEB，
∵EM＝CM＝DM，
∴∠MDE＝∠DEM，
∴∠MDE＝∠ABC，
∴∠MDE+∠3＝∠ABC+∠1，即∠BDE＝∠AMC，
∴△BDE∽△AMC，
∴＝＝，
∵AB＝AC，
∴BC＝2CF，∠ABC＝∠ACB＝α，
Rt△ACF中，cosα＝，
∴＝＝＝2cosα；
（3）过A作AF⊥CD于F，过Q作QG⊥CD于G，
已知旋转角为α且30°≤α≤60°，
①α＝30°时，即∠ABC＝30°，
∴∠EBC＝60°，△EBC是等边三角形，
∴EC＝BC＝4，
∴QC＝EC＝2，BQ＝＝2，
当M在A处时，如图：

∵MC＝MD，
∴D与B重合，此时DQ＝BQ＝2，
∴DQ≥2，
当M与B处时，如图：

MD＝MC＝BC＝4，
此时GC＝QC＝1，QG＝＝，BG＝BC﹣GC＝3，
∴DG＝MD+BG＝7，
Rt△DQG中，DQ＝＝2，
当M与B重合时，不构成△MBC，
∴DQ＜2，
∴当α＝30°时，2≤DQ＜2；
②α＝60°时，即∠ABC＝60°，△ABC是等边三角形，BQ＝BC＝2，
M在A处时，如图：

此时DQ＝2，
∴DQ≥2，
M在B处时，如图：

BG＝BQ＝1，QG＝＝，
DG＝DM+BG＝5，
在Rt△DQG中，DQ＝＝2，
当M与B重合时，不构成△MBC，
∴DQ＜2，
∴当α＝60°时，2≤DQ＜2，
综上所述，2≤DQ＜2．
二十九．相似三角形的判定与性质（共1小题）
40．（2022•苏州模拟）定义：若一个三角形一边长的平方等于另两边长的乘积的2倍，我们把这个三角形叫做有趣三角形．
（1）若△ABC是有趣三角形，AB＝3，BC＝6，则AC＝　6　；
（2）已知等腰△ABC的周长为10，若△ABC是有趣三角形，求△ABC的腰长；
（3）如图，在△ABC中，∠ACB＝135°，点D，E在边AB上，且△CDE是以DE为斜边的等腰直角三角形．求证：由三条线段AD，DE，BE组成的三角形是有趣三角形．

【解析】（1）解：①由题意可知：BC2＝62＝36，2AB•AC＝6AC，
∵△ABC是有趣三角形，
∴BC2＝2AB•AC，
∴36＝6AC，
∴AC＝6；
②由题意可知：AB2＝32＝9，2BC•AC＝12AC，
∵△ABC是有趣三角形，
∴AB2＝2BC•AC，
∴9＝12AC，
∴AC＝．
∵4+＜6，
∴AC＝．不符合题意舍去，
∴AC＝6；
故答案为：6；
（2）解：设等腰三角形的腰长为x，则底为10﹣2x，
①根据题意可知：x2＝2x（10﹣2x），
解得x＝0（舍去）或x＝4；
②∵2x＞10﹣2x，
∴x＞，
由题意可知：（10﹣2x）2＝2x2，
解得x＝10﹣5或x＝10+5（舍去），
∴△ABC的腰长为4或10﹣5；
（3）证明：∵△CDE是以DE为斜边的等腰直角三角形，
∴∠DCE＝90°，∠CED＝∠CDE＝45°，
∴∠A+∠ACD＝45°，
∵∠ACB＝135°
∴∠A+∠B＝45°，
∴∠ACD＝∠B，
∵∠CDE＝∠DEC＝45°，
∴CD＝CE，∠ADC＝∠CEB＝135°，
∴△ADC∽△CEB，
∴＝，
在Rt△CDE中，CD＝CE，
∴DE2＝2CD2，
∴CD•CE＝AD•BE，
∴CD2＝AD•BE，
∴DE2＝2AD•BE，
∴线段AD，DE，BE三条线段组成的三角形是有趣三角形．
三十．相似三角形的应用（共1小题）
41．（2016•桐城市模拟）小明和几位同学做手的影子游戏时，发现对于同一物体，影子的大小与光源到物体的距离有关．因此，他们认为：可以借助物体的影子长度计算光源到物体的位置．于是，他们做了以下尝试．

（1）如图1，垂直于地面放置的正方形框架ABCD，边长AB为30cm，在其正上方有一灯泡，在灯泡的照射下，正方形框架的横向影子A′B，D′C的长度和为6cm．那么灯泡离地面的高度为　180cm　．
（2）不改变图1中灯泡的高度，将两个边长为30cm的正方形框架按图2摆放，请计算此时横向影子A′B，D′C的长度和为多少？
（3）有n个边长为a的正方形按图3摆放，测得横向影子A′B，D′C的长度和为b，求灯泡离地面的距离．（写出解题过程，结果用含a，b，n的代数式表示）
【解析】解：（1）设灯泡离地面的高度为xcm，
∵AD∥A′D′，
∴∠PAD＝∠PA′D′，∠PDA＝∠PD′A′．
∴△PAD∽△PA′D′．
根据相似三角形对应高的比等于相似比的性质，可得，
∴＝，
解得x＝180．

（2）设横向影子A′B，D′C的长度和为ycm，
同理可得∴＝，
解得y＝12cm；

（3）记灯泡为点P，如图：
∵AD∥A′D′，
∴∠PAD＝∠PA′D′，∠PDA＝∠PD′A′．
∴△PAD∽△PA′D′．
根据相似三角形对应高的比等于相似比的性质，可得，
（直接得出三角形相似或比例线段均不扣分）
设灯泡离地面距离为x，由题意，得PM＝x，PN＝x﹣a，AD＝na，A′D′＝na+b，
∴＝1﹣
＝1﹣
x＝．

三十一．相似形综合题（共1小题）
42．（2022•邳州市一模）已知OM⊥ON，垂足为点O，点E、F分别在射线OM、ON上，连接EF，点A为EF的中点，ED∥ON，ED＝DF，连接OA并延长交线段ED或DF于点G．
（1）如图1所示，当点G在ED上，若OG＝DE，则∠EDF＝　60　°；
（2）当点G在FD．上，请在图2中画出图形并证明△DEF∽△AOF；
（3）若DG＝2，AG＝4，求DF的长．


【解析】（1）解：如图1中，

∵OM⊥ON，
∴∠EOF＝90°，
∵AE＝AF，
∴OA＝AE＝AF，
∵ED∥ON，
∴∠AGE＝∠AOF，
在△AGE和△AOF中，
，
∴△AGE≌△AOF（AAS），
∴AG＝OA，
∴EF＝OF，
∵DE＝DF，OG＝EF，
∴DE＝DF＝EF，
∴△DEF是等边三角形，
∴∠EDF＝60°．
故答案为：60；

（2）解：图形如图2所示．

理由：∵∠EOF＝90°，AE＝AF，
∴OA＝AF＝AE，
∴∠AOF＝∠AFO，
∴DE∥OF，
∴∠AFO＝∠DEF，
∵DE＝DF，
∴∠DEF＝∠DFE，
∴∠AOF＝∠AFO＝∠DEF＝∠DFE，
∴△DEF∽△AOF；

（3）解：如图2﹣1中，当点G在DF上时，设DF＝DE＝x，AE＝AF＝OA＝AT＝y．过点A作AK⊥FG于点K，AH⊥OF于点H．

∵△DEF∽△AOF，
∴＝，
∴＝，
∴OF＝，
∵∠AFO＝∠AFG，AH⊥OF，AK⊥FG，
∴AH＝AK，
∴＝＝＝，
∴＝，
∴x2+2x＝8y，
∵DT∥OF，
∴＝，
∴＝，
∴y＝，
∴x2+2x＝，
解得x＝﹣3+或﹣3﹣或0，
经检验x＝﹣3+是分式方程的解，且符合题意．
∴DF＝﹣3+．
如图3中，当点G在DE上时，由题意AE＝AF＝AO＝AG＝4，设DF＝DE＝y．

由△DEF∽△AOF可得＝，
∴＝，
∴y2﹣2y﹣32＝0，
∴y＝1+或1﹣，
经检验y＝1+是分式方程的解，且符合题意，
∴DF＝1+，
综上所述，满足条件的DF的值为：﹣3+或1+．
三十二．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共1小题）
43．（2013•眉山）如图，某防洪指挥部发现长江边一处长500米，高10米，背水坡的坡角为45°的防洪大堤（横断面为梯形ABCD）急需加固．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽3米，加固后背水坡EF的坡比i＝1：．
（1）求加固后坝底增加的宽度AF；
（2）求完成这项工程需要土石多少立方米？（结果保留根号）

【解析】
解：（1）分别过点E、D作EG⊥AB、DH⊥AB交AB于G、H．
∵四边形ABCD是梯形，且AB∥CD，
∴DH平行且等于EG．
故四边形EGHD是矩形．
∴ED＝GH．
在Rt△ADH中，
AH＝DH÷tan∠DAH＝10÷tan45°＝10（米）．
在Rt△FGE中，
i＝＝，
∴FG＝EG＝10（米）．
∴AF＝FG+GH﹣AH＝10+3﹣10＝（10﹣7）（米）；

（2）加宽部分的体积V＝S梯形AFED×坝长
＝×（3+10﹣7）×10×500
＝（25000﹣10000）（立方米）．
答：（1）加固后坝底增加的宽度AF为（10﹣7）米；
（2）完成这项工程需要土石（25000﹣10000）立方米．
三十三．条形统计图（共1小题）
44．（2022•市中区校级模拟）牡丹江管局教育局为了解九年级学生每学期参加综合实践活动的情况，随机抽样调查某校九年级学生一个学期参加综合实践活动的天数，并用得到的数据绘制了下面两幅不完整的统计图．

请你根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）求出该校九年级学生总数；
（2）分别求出活动时间为5天的学生人数和7天的学生人数，并补全图②；
（3）求该校九年级学生一个学期参加综合实践活动天数在5天以上（含5天）的人数是多少？
【解析】解：（1）根据题意得：八年级学生总数为20÷10%＝200（人）；
（2）a＝1﹣（5%+10%+15%+15%+30%）＝25%，
活动时间为5天的人数为200×25%＝50（人），
活动时间为7天的人数为200×5%＝10（人），
补全统计图，如图所示：

（3）根据题意得：50+30+10＝90（人），
∴参加综合实践活动天数在5天以上（含5天）的人数是90人．
三十四．列表法与树状图法（共1小题）
45．（2022•秦淮区校级模拟）一只蚂蚁在树枝上觅食，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机选择一条路径．
（1）如图①，求这只蚂蚁获得食物的概率；
（2）如图②，这只蚂蚁获得食物的概率是多少？有同学认为是，也有同学认为是．你认为概率是多少？简述理由．

【解析】解：（1）∵一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机的选择一条路径，
∴它有4种等可能路径，
∵获得食物的有2种路径，
∴获得食物的概率是＝；
（2）蚂蚁获得食物的概率是×＝．