江苏省2022中考数学冲刺复习-25解答题压轴必刷45题①

这是一份江苏省2022中考数学冲刺复习-25解答题压轴必刷45题①，共21页。试卷主要包含了阅读材料，先化简，再求值，【知识链接】等内容，欢迎下载使用。

25解答题压轴必刷45题①

一．列代数式（共1小题）
1．（2021秋•高邑县期末）某种杯子的高度是15cm，两个以及三个这样的杯子叠放时高度如图，

（1）n个这样的杯子叠放在一起高度是　 　（用含n的式子表示）．
（2）n个这样的杯子叠放在一起高度可以是35cm吗？为什么？
二．整式的加减—化简求值（共1小题）
2．（2021秋•双流区期末）已知A＝2x2﹣3xy+y2+2x+2y，B＝4x2﹣6xy+2y2﹣3x﹣y
（1）当x＝2，y＝﹣时，求B﹣2A的值．
（2）若|x﹣2a|+（y﹣3）2＝0，且B﹣2A＝a，求a的值．
三．完全平方公式的几何背景（共1小题）
3．（2022春•南海区校级月考）学习整式乘法时，老师拿出三种型号卡片，如图1．
（1）利用多项式与多项式相乘的法则，计算：（a+2b）（a+b）＝　 　；
（2）选取1张A型卡片，4张C型卡片，则应取　 　张B型卡片才能用他们拼成一个新的正方形，此新的正方形的边长是 　 　（用含a，b的代数式表示）；
（3）选取4张C型卡片在纸上按图2的方式拼图，并剪出中间正方形作为第四种D型卡片，由此可检验的等量关系为 　 　；
（4）选取1张D型卡片，3张C型卡片按图3的方式不重复的叠放长方形MNPQ框架内，已知NP的长度固定不变，MN的长度可以变化，且MN≠0．图中两阴影部分（长方形）的面积分别表示为S1，S2，若S1﹣S2＝3b2，则a与b有什么关系？请说明理由．

四．整式的混合运算（共1小题）
4．（2022春•武汉期中）（1）如图1，正方形ABCD和CEFG的边长分别为m、n，用含m、n的代数式表示△AEG的面积．
（2）如图2，正方形ABCD和CEFG的边长分别为m、n，用含m、n的代数式表示△DBF的面积．
（3）如图3，正方形ABCD、正方形CEFG和正方形MNHF的位置如图所示，点G在线段AN上，已知正方形CEFG的边长为8，则△AEN的面积为　 　（请直接写出结果，不需要过程）

五．因式分解的应用（共2小题）
5．（2022春•綦江区校级月考）如果一个四位自然数的百位数字大于或等于十位数字，且千位数字等于百位数字与十位数字的和，个位数字等于百位与十位数字的差，则我们称这个四位数为亲密数，例如：自然数4312，其中3＞1，4＝3+1，2＝3﹣1，所以4312是亲密数；
（1）最小的亲密数是　 　，最大的亲密数是　 　；
（2）若把一个亲密数的千位数字与个位数字交换，得到的新数叫做这个亲密数的友谊数，请证明任意一个亲密数和它的友谊数的差都能被原亲密数的十位数字整除；
（3）若一个亲密数的后三位数字所表示的数与千位数字所表示的数的7倍之差能被13整除，请求出这个亲密数．
6．（2022春•广陵区期中）阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．
解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0
∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0，∴n＝4，m＝4．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）a2+b2﹣2a+1＝0，则a＝　 　．b＝　 　．
（2）已知x2+2y2﹣2xy+6y+9＝0，求xy的值．
（3）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足2a2+b2﹣4a﹣6b+11＝0，求△ABC的周长．
六．分式的加减法（共1小题）
7．（2022春•济南期中）先阅读下列解法，再解答后面的问题．
已知＝+，求A、B的值．
解法一：将等号右边通分，再去分母，得：3x﹣4＝A（x﹣2）+B（x﹣1），
即：3x﹣4＝（A+B）x﹣（2A+B），
∴．
解得．
解法二：在已知等式中取x＝0，有﹣A+＝﹣2，整理得
2A+B＝4；
取x＝3，有+B＝，整理得
A+2B＝5．
解，
得：．
（1）已知，用上面的解法一或解法二求A、B的值．
（2）计算：
[]（x+11），并求x取何整数时，这个式子的值为正整数．
七．分式的化简求值（共1小题）
8．（2022•市中区校级模拟）先化简，再求值：÷•，其中a＝﹣2．
八．分母有理化（共1小题）
9．（2021春•永嘉县校级期末）【知识链接】
（1）有理化因式：两个含有根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式相互叫做有理化因式．
例如：的有理化因式是；1﹣的有理化因式是1+．
（2）分母有理化：分母有理化又称“有理化分母”，也就是把分母中的根号化去．指的是如果代数式中分母有根号，那么通常将分子、分母同乘分母的有理化因式，达到化去分母中根号的目的．如：
＝＝﹣1，＝＝﹣．
【知识理解】
（1）填空：2的有理化因式是　 　；
（2）直接写出下列各式分母有理化的结果：
①＝　 　；②＝　 　．
【启发运用】
（3）计算：+++…+．
九．二次根式的混合运算（共1小题）
10．（2022春•内黄县校级月考）我们已经学过完全平方公式a2±2ab+b2＝（a±b）2，知道所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如2＝（）2，3＝（）2，7＝（）2，0＝02，那么，我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题：
例：求3﹣2的算术平方根．
解：3﹣2，∴3﹣2﹣1．
你看明白了吗？请根据上面的方法化简：
（1）
（2）
（3）．
一十．一元一次方程的应用（共1小题）
11．（2021秋•沙坪坝区校级期末）如图，O是数轴的原点，A、B是数轴上的两个点，A点对应的数是﹣1，B点对应的数是8，C是线段AB上一点，满足．

（1）求C点对应的数；
（2）动点M从A点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，当点M到达C点后停留2秒钟，然后继续按原速沿数轴向右匀速运动到B点后停止．在点M从A点出发的同时，动点N从B点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴匀速向左运动，一直运动到A点后停止．设点N的运动时间为t秒．
①当MN＝4时，求t的值；
②在点M，N出发的同时，点P从C点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，当点P与点M相遇后，点P立即掉头按原速沿数轴向右匀速运动，当点P与点N相遇后，点P又立即掉头按原速沿数轴向左匀速运动到A点后停止．当PM＝2PN时，请直接写出t的值．
一十一．根的判别式（共1小题）
12．（2006•临汾）k取什么值时，方程组：有一个实数解并求出这时方程组的解．
一十二．一元二次方程的应用（共2小题）
13．（2022•常州一模）某区各街道居民积极响应“创文明社区”活动，据了解，某街道居民人口共有7.5万人，街道划分为A，B两个社区，B社区居民人口数量不超过A社区居民人口数量的2倍．
（1）求A社区居民人口至少有多少万人？
（2）街道工作人员调查A，B两个社区居民对“社会主义核心价值观”知晓情况发现：A社区有1.2万人知晓，B社区有1万人知晓，为了提高知晓率，街道工作人员用了两个月的时间加强宣传，A社区的知晓人数平均月增长率为m%，B社区的知晓人数第一个月增长了m%，第二个月增长了2m%，两个月后，街道居民的知晓率达到76%，求m的值．
14．（2016•濉溪县三模）如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．
请解决下列问题：
（1）写出一个“勾系一元二次方程”；
（2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根；
（3）若x＝﹣1是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形ACDE的周长是6，求△ABC面积．

一十三．分式方程的应用（共1小题）
15．（2014•内江）某汽车销售公司经销某品牌A款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降．今年5月份A款汽车的售价比去年同期每辆降价1万元，如果卖出相同数量的A款汽车，去年销售额为100万元，今年销售额只有90万元．
（1）今年5月份A款汽车每辆售价多少万元？
（2）为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的B款汽车，已知A款汽车每辆进价为7.5万元，B款汽车每辆进价为6万元，公司预计用不多于105万元且不少于99万元的资金购进这两款汽车共15辆，有几种进货方案？
（3）如果B款汽车每辆售价为8万元，为打开B款汽车的销路，公司决定每售出一辆B款汽车，返还顾客现金a万元，要使（2）中所有的方案获利相同，a值应是多少？此时，哪种方案对公司更有利？




【参考答案】
一．列代数式（共1小题）
1．（2021秋•高邑县期末）某种杯子的高度是15cm，两个以及三个这样的杯子叠放时高度如图，

（1）n个这样的杯子叠放在一起高度是　3n+12　（用含n的式子表示）．
（2）n个这样的杯子叠放在一起高度可以是35cm吗？为什么？
【解析】解：（1）观察可以发现：一个杯子高度为15cm，
二个杯子高度为15+3＝18cm，
三个杯子高度为15+2×3＝21cm，
…，
∴n个这样的杯子叠放时的高度＝3n+12．
故答案是：3n+12；

（2）设n个这样的杯子叠放在一起高度可以是35cm，则
3n+12＝35，
解得n＝，这不是整数，所以不可以．
二．整式的加减—化简求值（共1小题）
2．（2021秋•双流区期末）已知A＝2x2﹣3xy+y2+2x+2y，B＝4x2﹣6xy+2y2﹣3x﹣y
（1）当x＝2，y＝﹣时，求B﹣2A的值．
（2）若|x﹣2a|+（y﹣3）2＝0，且B﹣2A＝a，求a的值．
【解析】解：（1）∵A＝2x2﹣3xy+y2+2x+2y，B＝4x2﹣6xy+2y2﹣3x﹣y，
∴B﹣2A
＝4x2﹣6xy+2y2﹣3x﹣y﹣2（2x2﹣3xy+y2+2x+2y）
＝4x2﹣6xy+2y2﹣3x﹣y﹣4x2+6xy﹣2y2﹣4x﹣4y
＝﹣7x﹣5y
当x＝2，y＝﹣时，
B﹣2A
＝﹣7×2﹣5×（﹣）
＝﹣14+1
＝﹣13

（2）∵|x﹣2a|+（y﹣3）2＝0，
∴x﹣2a＝0，y﹣3＝0，
∴x＝2a，y＝3，
∵B﹣2A＝a，
∴﹣7x﹣5y
＝﹣7×2a﹣5×3
＝﹣14a﹣15
＝a
解得a＝﹣1．
三．完全平方公式的几何背景（共1小题）
3．（2022春•南海区校级月考）学习整式乘法时，老师拿出三种型号卡片，如图1．
（1）利用多项式与多项式相乘的法则，计算：（a+2b）（a+b）＝　a2+3ab+2b2　；
（2）选取1张A型卡片，4张C型卡片，则应取　4　张B型卡片才能用他们拼成一个新的正方形，此新的正方形的边长是 　a+2b　（用含a，b的代数式表示）；
（3）选取4张C型卡片在纸上按图2的方式拼图，并剪出中间正方形作为第四种D型卡片，由此可检验的等量关系为 　（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2　；
（4）选取1张D型卡片，3张C型卡片按图3的方式不重复的叠放长方形MNPQ框架内，已知NP的长度固定不变，MN的长度可以变化，且MN≠0．图中两阴影部分（长方形）的面积分别表示为S1，S2，若S1﹣S2＝3b2，则a与b有什么关系？请说明理由．

【解析】解：（1）（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2；
故答案为：a2+3ab+2b2；
（2）根据题意可知：a2+4ab+4b2＝（a+2b）2，
∴应取4张B型卡片才能用他们拼成一个新的正方形，
∴此新的正方形的边长是a+2b，
故答案为：4，a+2b；
（3）根据题意可知：（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2，
故答案为：（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2；
（4）设MN＝x，
根据题意，得
S1＝（a﹣b）（x﹣a+b）＝ax﹣bx﹣a2+2ab﹣b2，
S2＝3b（x﹣a）＝3bx﹣3ab，
∵S1﹣S2＝3b2，
∴ax﹣bx﹣a2+2ab﹣b2﹣（3bx﹣3ab）＝3b2，
∴（a﹣4b）x﹣a2+5ab﹣b2＝3b2，
∴a﹣4b＝0，﹣a2+5ab﹣b2＝3b2，
∴a＝4b，a2﹣5ab+4b2＝0，
∴（a﹣b）（a﹣4b）＝0，
∴a＝4b或a＝b（舍去），
∴a＝4b．
四．整式的混合运算（共1小题）
4．（2022春•武汉期中）（1）如图1，正方形ABCD和CEFG的边长分别为m、n，用含m、n的代数式表示△AEG的面积．
（2）如图2，正方形ABCD和CEFG的边长分别为m、n，用含m、n的代数式表示△DBF的面积．
（3）如图3，正方形ABCD、正方形CEFG和正方形MNHF的位置如图所示，点G在线段AN上，已知正方形CEFG的边长为8，则△AEN的面积为　64　（请直接写出结果，不需要过程）

【解析】解：（1）S△AEG＝S梯形ABCG+S△GCE﹣S△ABE
＝（m+n）m+n2﹣m（m+n）
＝n2；

（2）S△DBF＝S梯形DCEF+S△BCD﹣S△BEF
＝（m+n）n+m2﹣n（m+n）
＝m2；

（3）连接GE，如图3，

由（1）可得△AEG的面积＝×64＝32，
由（2）可得：三角形GEN的面积为×64＝32，
所以，△AEN的面积＝32+32＝64，
故答案为：64．
五．因式分解的应用（共2小题）
5．（2022春•綦江区校级月考）如果一个四位自然数的百位数字大于或等于十位数字，且千位数字等于百位数字与十位数字的和，个位数字等于百位与十位数字的差，则我们称这个四位数为亲密数，例如：自然数4312，其中3＞1，4＝3+1，2＝3﹣1，所以4312是亲密数；
（1）最小的亲密数是　1101　，最大的亲密数是　9909　；
（2）若把一个亲密数的千位数字与个位数字交换，得到的新数叫做这个亲密数的友谊数，请证明任意一个亲密数和它的友谊数的差都能被原亲密数的十位数字整除；
（3）若一个亲密数的后三位数字所表示的数与千位数字所表示的数的7倍之差能被13整除，请求出这个亲密数．
【解析】解：设亲密数为，且b≥c，a＝b+c，d＝b﹣c，a、b、c、d都是自然数，
（1）当a为最小时，则a＝1，
∴b+c＝a＝1，
∵b≥c，
∴b＝1，c＝0，
∴d＝b﹣c＝1﹣0＝1，
∴最小的亲密数是1101，
当a最大时，即a＝9，
∴b+c＝a＝9，
∵b≥c，
当最大时，即b最大为9，
∴c＝0，
∴d＝b﹣c＝9﹣0＝9，
∴最大的亲密数是9909，
故答案为：1101，9909；
（2）证明：亲密数：＝1000a+100b+10c+d①，
友谊数：＝1000d+100b+10c+a②，
∵a＝b+c，d＝b﹣c，
∴a﹣d＝（b+c）﹣（b﹣c）＝2c＞0，
∴a＞d，a＝2c+d，
①﹣②得：999a﹣999d＝999（a﹣d）＝999（2c+d﹣d）＝1998c，
∵原亲密数的十位数字为c，
∴任意一个亲密数和它的友谊数的差都能被原亲密数的十位数字整除；
（3）＝100b+10c+d，
∵a＝b+c，d＝b﹣c，
∴﹣7a＝100b+10c+d﹣7a＝100b+10c+b﹣c﹣7（b+c）＝94b+2c，
由题意得：＝7b+为整数，
即3b+2c为13的倍数，
∵0≤b≤9，0≤c≤9，b、c为整数，且1≤b+c≤9，
∴2≤3b+2c≤27，
∴3b+2c＝13或26，
①当3b+2c＝13时（b≥c），
得，
∴亲密数为5321；
②若3b+2c＝26（b≥c），
则或（舍），
∴亲密数为9817，
综上所述，亲密数为5321或9817．
6．（2022春•广陵区期中）阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，求m、n的值．
解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16＝0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）＝0
∴（m﹣n）2+（n﹣4）2＝0，∴（m﹣n）2＝0，（n﹣4）2＝0，∴n＝4，m＝4．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）a2+b2﹣2a+1＝0，则a＝　1　．b＝　0　．
（2）已知x2+2y2﹣2xy+6y+9＝0，求xy的值．
（3）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足2a2+b2﹣4a﹣6b+11＝0，求△ABC的周长．
【解析】解：（1）∵a2+b2﹣2a+1＝0，
∴a2﹣2a+1+b2＝0，
∴（a﹣1）2+b2＝0，
∴a﹣1＝0，b＝0，
解得a＝1，b＝0；

（2）∵x2+2y2﹣2xy+6y+9＝0，
∴x2+y2﹣2xy+y2+6y+9＝0
即：（x﹣y）2+（y+3）2＝0
则：x﹣y＝0，y+3＝0，
解得：x＝y＝﹣3，
∴xy＝（﹣3）﹣3＝﹣；

（3）∵2a2+b2﹣4a﹣6b+11＝0，
∴2a2﹣4a+2+b2﹣6b+9＝0，
∴2（a﹣1）2+（b﹣3）2＝0，
则a﹣1＝0，b﹣3＝0，
解得，a＝1，b＝3，
由三角形三边关系可知，三角形三边分别为1、3、3，
∴△ABC的周长为1+3+3＝7；
六．分式的加减法（共1小题）
7．（2022春•济南期中）先阅读下列解法，再解答后面的问题．
已知＝+，求A、B的值．
解法一：将等号右边通分，再去分母，得：3x﹣4＝A（x﹣2）+B（x﹣1），
即：3x﹣4＝（A+B）x﹣（2A+B），
∴．
解得．
解法二：在已知等式中取x＝0，有﹣A+＝﹣2，整理得
2A+B＝4；
取x＝3，有+B＝，整理得
A+2B＝5．
解，
得：．
（1）已知，用上面的解法一或解法二求A、B的值．
（2）计算：
[]（x+11），并求x取何整数时，这个式子的值为正整数．
【解析】解：（1）等号右边通分、再去分母，得：11x＝A（4﹣3x）+B（x+6），
即11x＝（﹣3A+B）x+（4A+6B），
∴，
解得：；

（2）原式＝（﹣+﹣+﹣+…+﹣）×（x+11）
＝×（﹣）×（x+11）
＝××（x+11）
＝，
∵式子的值为正整数，
∴x﹣1＝1、2、3、6，
则x＝2、3、4、7．
七．分式的化简求值（共1小题）
8．（2022•市中区校级模拟）先化简，再求值：÷•，其中a＝﹣2．
【解析】解：原式＝××
＝，
当a＝﹣2时，原式＝．
八．分母有理化（共1小题）
9．（2021春•永嘉县校级期末）【知识链接】
（1）有理化因式：两个含有根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式相互叫做有理化因式．
例如：的有理化因式是；1﹣的有理化因式是1+．
（2）分母有理化：分母有理化又称“有理化分母”，也就是把分母中的根号化去．指的是如果代数式中分母有根号，那么通常将分子、分母同乘分母的有理化因式，达到化去分母中根号的目的．如：
＝＝﹣1，＝＝﹣．
【知识理解】
（1）填空：2的有理化因式是　　；
（2）直接写出下列各式分母有理化的结果：
①＝　﹣　；②＝　3﹣　．
【启发运用】
（3）计算：+++…+．
【解析】解：（1）∵2×＝2x，
∴2的有理化因式是．
故答案为：．
（2）①＝＝﹣；
②＝＝3﹣．
故答案为：①﹣；②3﹣．
（3）原式＝+++…+，
＝﹣1+﹣+2﹣+…+﹣，
＝﹣1．
九．二次根式的混合运算（共1小题）
10．（2022春•内黄县校级月考）我们已经学过完全平方公式a2±2ab+b2＝（a±b）2，知道所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如2＝（）2，3＝（）2，7＝（）2，0＝02，那么，我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题：
例：求3﹣2的算术平方根．
解：3﹣2，∴3﹣2﹣1．
你看明白了吗？请根据上面的方法化简：
（1）
（2）
（3）．
【解析】解：（1）＝＝＝＝+1；
（2）＝＝＝＝＝＝4+；
（3）原式＝++++，
＝++++，
＝++++，
＝﹣1+﹣+2﹣+﹣2+﹣，
＝﹣1．
一十．一元一次方程的应用（共1小题）
11．（2021秋•沙坪坝区校级期末）如图，O是数轴的原点，A、B是数轴上的两个点，A点对应的数是﹣1，B点对应的数是8，C是线段AB上一点，满足．

（1）求C点对应的数；
（2）动点M从A点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，当点M到达C点后停留2秒钟，然后继续按原速沿数轴向右匀速运动到B点后停止．在点M从A点出发的同时，动点N从B点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴匀速向左运动，一直运动到A点后停止．设点N的运动时间为t秒．
①当MN＝4时，求t的值；
②在点M，N出发的同时，点P从C点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，当点P与点M相遇后，点P立即掉头按原速沿数轴向右匀速运动，当点P与点N相遇后，点P又立即掉头按原速沿数轴向左匀速运动到A点后停止．当PM＝2PN时，请直接写出t的值．
【解析】解：（1）∵A点对应的数是﹣1，B点对应的数是8，
∴AB＝9，
∵＝，
∴AC＝5，BC＝4，
∴C点对应的数是8﹣BC＝8﹣4＝4，
答：C点对应的数是4；
（2）①设运动t秒时，MN＝4
当M、N未相遇，则M在AC上运动，M表示的数是﹣1+2t，N在BC上运动，N表示的数是8﹣t，
∴8﹣t﹣（﹣1+2t）＝4，
解得t＝，
当M、N相遇后，M在BC上运动，M表示的数是4+2（t﹣﹣2）＝2t﹣5，N在AC上运动，N表示的数是8﹣t，
∴2t﹣5﹣（8﹣t）＝4，
解得t＝，
综上所述，t的值为或；
②P与M还未第一次相遇时，P表示的数是4﹣3t，M表示的数是﹣1+2t，N表示的数是8﹣t，
∴4﹣3t﹣（﹣1+2t）＝2[8﹣t﹣（4﹣3t）]，
解得t＝﹣（舍去），此种情况不存在，
由已知得，P与M在t＝1时第一次相遇，相遇后P掉头按原速沿数轴向右匀速运动，在未遇到N前，P表示的数是（4﹣3×1）+3（t﹣1）＝3t﹣2，
∴3t﹣2﹣（﹣1+2t）＝2[8﹣t﹣（3t﹣2）]，
解得t＝，
由已知可知，当P与M在表示1的点处相遇，此时N运动到表示7的点处，再经过＝1.5秒，即t＝2.5时，P与N相遇，此时M正好运动到C，P与N相遇后
又立即掉头按原速沿数轴向左匀速运动，未与M第二次相遇，此时P表示的数是（8﹣2.5）﹣3（t﹣2.5）＝13﹣3t，
∴13﹣3t﹣4＝2[8﹣t﹣（13﹣3t）]，
解得t＝，
当P与M第二次相遇后，P表示的数是13﹣3t，M在BC上运动，M表示的数是2t﹣5，
∴2t﹣5﹣（13﹣3t）＝2[8﹣t﹣（13﹣3t）]，
解得t＝8，此时13﹣3t＝﹣11＜﹣1，
∴t＝8舍去，这种情况不存在，
综上所述，t的值为或．
一十一．根的判别式（共1小题）
12．（2006•临汾）k取什么值时，方程组：有一个实数解并求出这时方程组的解．
【解析】解：
由①得y＝x﹣k，③
把③代入②得
x2﹣8x+8k＝0，
∵方程组只有一个实数解，
∴Δ＝（﹣8）2﹣4×8k＝64﹣32k＝0，
∴k＝2．
∴原方程化为x2﹣8x+8×2＝0，
即x2﹣8x+16＝0，
（x﹣4）2＝0，
∴x＝4．
把x＝4，k＝2代入①，
得y＝2．
∴方程组的实数解是．
一十二．一元二次方程的应用（共2小题）
13．（2022•常州一模）某区各街道居民积极响应“创文明社区”活动，据了解，某街道居民人口共有7.5万人，街道划分为A，B两个社区，B社区居民人口数量不超过A社区居民人口数量的2倍．
（1）求A社区居民人口至少有多少万人？
（2）街道工作人员调查A，B两个社区居民对“社会主义核心价值观”知晓情况发现：A社区有1.2万人知晓，B社区有1万人知晓，为了提高知晓率，街道工作人员用了两个月的时间加强宣传，A社区的知晓人数平均月增长率为m%，B社区的知晓人数第一个月增长了m%，第二个月增长了2m%，两个月后，街道居民的知晓率达到76%，求m的值．
【解析】解：（1）设A社区居民人口有x万人，则B社区有（7.5﹣x）万人，
依题意得：7.5﹣x≤2x，
解得x≥2.5．
即A社区居民人口至少有2.5万人；
（2）依题意得：1.2（1+m%）2+1×（1+m%）×（1+2m%）＝7.5×76%
设m%＝a，方程可化为：
1.2（1+a）2+（1+a）（1+2a）＝5.7
化简得：32a2+54a﹣35＝0
解得a＝0.5或a＝﹣（舍）
∴m＝50
答：m的值为50．
14．（2016•濉溪县三模）如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．
请解决下列问题：
（1）写出一个“勾系一元二次方程”；
（2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根；
（3）若x＝﹣1是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形ACDE的周长是6，求△ABC面积．

【解析】（1）解：当a＝3，b＝4，c＝5时
勾系一元二次方程为3x2+5x+4＝0；

（2）证明：根据题意，得
Δ＝（c）2﹣4ab＝2c2﹣4ab
∵a2+b2＝c2
∴2c2﹣4ab＝2（a2+b2）﹣4ab＝2（a﹣b）2≥0
即△≥0
∴勾系一元二次方程必有实数根；

（3）解：当x＝﹣1时，有a﹣c+b＝0，即a+b＝c
∵2a+2b+c＝6，即2（a+b）+c＝6
∴3c＝6
∴c＝2
∴a2+b2＝c2＝4，a+b＝2
∵（a+b）2＝a2+b2+2ab
∴ab＝2
∴S△ABC＝ab＝1．
一十三．分式方程的应用（共1小题）
15．（2014•内江）某汽车销售公司经销某品牌A款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降．今年5月份A款汽车的售价比去年同期每辆降价1万元，如果卖出相同数量的A款汽车，去年销售额为100万元，今年销售额只有90万元．
（1）今年5月份A款汽车每辆售价多少万元？
（2）为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的B款汽车，已知A款汽车每辆进价为7.5万元，B款汽车每辆进价为6万元，公司预计用不多于105万元且不少于99万元的资金购进这两款汽车共15辆，有几种进货方案？
（3）如果B款汽车每辆售价为8万元，为打开B款汽车的销路，公司决定每售出一辆B款汽车，返还顾客现金a万元，要使（2）中所有的方案获利相同，a值应是多少？此时，哪种方案对公司更有利？
【解析】解：（1）设今年5月份A款汽车每辆售价m万元．则：
，
解得：m＝9．
经检验，m＝9是原方程的根且符合题意．
答：今年5月份A款汽车每辆售价9万元；

（2）设购进A款汽车x辆．则：
99≤7.5x+6（15﹣x）≤105．
解得：6≤x≤10．
∵x的正整数解为6，7，8，9，10，
∴共有5种进货方案；

（3）设总获利为W万元，购进A款汽车y辆，则：
W＝（9﹣7.5）y+（8﹣6﹣a）（15﹣y）＝（a﹣0.5）y+30﹣15a．
当a＝0.5时，（2）中所有方案获利相同．
此时，购买A款汽车6辆，B款汽车9辆时对公司更有利．