2021-2022学年山东省日照市东港实验中学八年级（下）开学数学试卷（含解析）

2021-2022学年山东省日照市东港实验中学八年级（下）开学数学试卷

副标题

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 钢架雪车是年北京冬奥会的比赛项目之一．下面这些钢架雪车运动标志是轴对称图形的是

A.  B.  C.  D.

2. 在式子，，，，中，二次根式有

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

3. 如图，点、、、在同一直线上，，，添加下列一个条件，不能判定≌的条件是

A.
B.
C.
D.
 

4. 下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是

A.  B.
C.  D.

5. 如果将一副三角板按如图方式叠放，那么等于

A.
B.
C.
D.

6. 若是完全平方式，则的值是

A.  B.  C.  D.

7. 下面是四位同学解方程过程中去分母的一步，其中正确的是

A.  B.  C.  D.

8. 如图，在上求一点，使它到边，的距离相等，则点是

A. 线段的中点
B. 与过点作的垂线的交点
C. 与的平分线的交点
D. 以上均不对
 

9. 如图，中、分别平分、，，则的度数为

A.  B.  C.  D.

10. 如图，在中，，，是的角平分线，于点，若，则的周长是

A.  B.  C.  D.

11. 设，为实数，且，则的值是

A.  B.  C.  D.

12. 在、、、、中，最简二次根式的个数是

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）

13. 如果最简二次根式与能合并，那么______．
14. 若，，则的值是______．
15. ______时，关于的方程的解为．
16. 如图，，点是内任意一点，且，点和点分别是射线和射线上的动点，则周长的最小值是______．

三、解答题（本大题共6小题，共68.0分）

17. 计算：．
    解分式方程：．
    先化简，再求值：，其中．
18. 如图，已知，，，为上一点，且到，两点的距离相等．
    用直尺和圆规，作出点的位置不写作法，保留作图痕迹；
    连结，若，则______度．
19. 京广高速铁路工程指挥部，要对某路段工程进行招标，接到了甲、乙两个工程队的投标书．从投标书中得知：甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的；若由甲队先做天，剩下的工程再由甲、乙两队合作天完成．
    求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？
    已知甲队每天的施工费用为万元，乙队每天的施工费用为万元．工程预算的施工费用为万元．为缩短工期并高效完成工程，拟安排预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？请给出你的判断并说明理由．
20. 如图，和都是等边三角形，点在的延长线上．
    求证：≌．
    求证：．
    求的度数．
    
     

21. 请写出三个代数式、和之间数量关系式______．
    应用上一题的关系式，计算：，，试求的值．
    已知，求的值．
22. 已知中，，点是边上的动点，过点作交于点，将沿折叠，点对应点为点．
    如图，当点恰好落在边上，求证：是等边三角形；
    如图，当点恰好落在内，且的延长线恰好经过点，，求的大小；
    如图，当点恰好落在外，交于点，连接，若，，求
    的长．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：选项A、、均不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
故选：．
根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
 

2.【答案】

【解析】解：式子，，，，中，二次根式有：
，，，共个．
故选：．
直接利用二次根式的定义分析得出答案．
此题主要考查了二次根式的定义，正确把握定义是解题关键．
 

3.【答案】

【解析】解：、添加可用进行判定，故本选项不符合题意；
B、添加可用判定≌，故本选项不符合题意；
C、添加然后可用进行判定，故本选项不符合题意；
D、添加不能判定≌，故本选项符合题意；
故选：．
分别判断选项所添加的条件，根据三角形的判定定理：、、进行判断即可．
本题主要考查对全等三角形的判定，平行线的性质等知识点的理解和掌握，熟练地运用全等三角形的判定定理进行证明是解此题的关键，是一个开放型的题目，比较典型．
 

4.【答案】

【解析】解：、，从左到右的变形是整式的乘法运算，不是因式分解，故此选项错误；
B、，从左到右的变形，不是因式分解，故此选项错误；
C、，故此选项错误；
D、，从左到右的变形，是因式分解，故此选项正确．
故选：．
直接利用因式分解的定义分析得出答案．
此题主要考查了因式分解，正确把握因式分解的定义是解题关键．
 

5.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键．
先求出 ，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
【解答】
解：如图，

，
由三角形的外角性质得， ，
，
．
故选： ．   

6.【答案】

【解析】解：，
，
．
故选：．
先根据已知平方项与乘积二倍项确定出这两个数，再根据完全平方公式即可确定的值．
本题主要考查了完全平方式，根据已知平方项与乘积二倍项确定出这两个数是解题的关键，也是难点，熟记完全平方公式对解题非常重要．
 

7.【答案】

【解析】

【分析】
本题主要考查了等式的性质和解分式方程，注意：去分母时，不要漏乘不含分母的项．
去分母根据的是等式的性质，方程的两边乘以最简公分母，即可将分式方程转化为整式方程．
【解答】
解：方程的两边同乘 ，得
．
故选： ．   

8.【答案】

【解析】解：点到边，的距离相等，
点在的平分线上，
点为与的平分线的交点．
故选：．
利用角平分线的性质得到点在的平分线上，从而可对各选项进行判断．
本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
 

9.【答案】

【解析】解：、分别平分、，
，
，
，

，
故选：．
根据三角形内角和定理即可求出答案．
本题考查三角形，解题的关键是熟练运用三角形内角和定理，本题属于基础题型．
 

10.【答案】

【解析】解：是的角平分线，，，
，，
的周长．
故选：．
根据角平分线的性质得到，，根据三角形的周长公式计算即可．
本题考查的是角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．
 

11.【答案】

【解析】解：，
，
．
，
；
故选：．
根据二次根式有意义的条件列不等式，求出，代入求出，把、的值代入计算．
本题主要考查了解不等式组、代数式求值、二次根式有意义的条件，掌握根据二次根式有意义的条件列不等式，是解题关键．
 

12.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了最简二次根式的判断．
根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件： 被开方数不含分母； 被开方数不含能开得尽方的因数或因式．当被开方数是多项式时，还需将被开方数进行因式分解，然后再观察判断．由此即可得求解．
【解答】
解： ，可化简，不是最简二次根式；
不可以化简，是最简二次根式；
，可化简，不是最简二次根式；
，可化简，不是最简二次根式；
根指数是 ，不是最简二次根式；
所以最简二次根式只有 个．   

13.【答案】

【解析】解：根据题意得，，
移项合并，得，
系数化为，得．
故答案为：．
根据两最简二次根式能合并，得到被开方数相同，然后列一元一次方程求解即可．
本题考查了最简二次根式，利用好最简二次根式的被开方数相同是解题的关键．
 

14.【答案】

【解析】解：．
故答案为：
利用同底数幂的除法运算法则得出，进而代入已知求出即可．
此题主要考查了同底数幂的除法运算法则以及幂的乘方运算法则，正确转化为同底数幂的除法是解题关键．
 

15.【答案】

【解析】解：

，
把代入，得，
解得．
故答案为：．
本题需先把分式方程化成整式方程，再根据关于的方程的解为，即可求出的值．
本题主要考查了分式方程的解，在解题时要根据已知条件进行整理是本题的关键．
 

16.【答案】

【解析】解：分别作点关于、的对称点、，连接，分别交、于点、，连接、、、、．
点关于的对称点为，关于的对称点为，
，，；
点关于的对称点为，
，，，
，，
是等边三角形，
．
的周长的最小值．
故答案为．
设点关于的对称点为，关于的对称点为，当点、在上时，的周长最小．
此题主要考查轴对称--最短路线问题，熟知两点之间线段最短是解答此题的关键．
 

17.【答案】解：原式
．
，
，
，
，
，
经检验：是分式方程的解．
原式



，
当时，
原式

．

【解析】根据二次根式的加减运算法则即可求出答案．
根据分式方程的解法即可求出答案．
根据分式的除法运算以及加减运算法则进行化简，然后将的值代入原式即可求出答案．
本题考查二次根式的加减运算、分式方程的解法、分式的加减运算以及乘除运算法则，本题属于基础题型．
 

18.【答案】如图，点为所作；

．

【解析】解：
见答案；
中，，，
，
，
，
．
故答案为：．
作的垂直平分线交与，则；
先利用互余计算出，然后利用得到，然后计算即可．
本题考查了作图复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
 

19.【答案】解：设乙队单独完成这项工程需要天，则甲队单独完成这项工程需要天．
根据题意，得  ．
解得．
经检验，是原方程的解，且符合题意．
．
答：甲、乙两队单独完成这项工程分别需天和天．
设甲、乙两队合作完成这项工程需要天，
则有．
解得．
需要施工费用：万元．
．
万元
答：工程预算的施工费用不够用，需追加预算万元．

【解析】此题考查分式方程的应用，涉及方案决策问题，所以综合性较强．
设甲单独完成这项工程所需天数，表示出乙单独完成这项工程所需天数及各自的工作效率．根据工作量工作效率工作时间列方程求解；
根据题意，甲乙合作工期最短，所以须求合作的时间，然后计算费用，作出判断．
 

20.【答案】证明： 和 都是等边三角形，
，，．
，即．
≌．
≌，
．
 是等边三角形，
．
，
．
 是等边三角形，
．
．
≌，
．
．

【解析】依据等边三角形的性质，即可得到判定≌的条件．
依据等边三角形的性质以及全等三角形的性质，即可得出，，进而得到．
依据等边三角形的性质以及全等三角形的性质，即可得出的度数．
本题考查的是等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，掌握相关的判定定理和性质定理是解题的关键．
 

21.【答案】

【解析】解：由完全平方公式，，


，
即，
故答案为：；
由题结果可得，

，
的值为；
由题结果可得，
，
．
的值为．
由完全平方公式，，可得此题结果为；
由题结果可得，然后代入计算；
由题结果可得，然后代入计算．
此题考查了运用完全平方公式的几何背景解决问题的能力，关键是能对完全平方公式灵活变形并进行几何计算问题．
 

22.【答案】证明：如图，，，
，
沿折叠，点对应点为点，
，
，
，
是等边三角形；
解：，，
，
沿折叠，点对应点为点，
，，
，
，
，
设，则，
在中，，
即，
解得：，
；
解：同得：，是等边三角形，，
，
由折叠的性质得：，
，
，
，
，
，
，
，
．

【解析】利用平行线的性质得出，再利用翻折变换的性质得出，进而得出，即可得出结论；
由折叠的性质得出，，得出，由等腰三角形的性质得出，设，由三角形的外角性质得出，在中，由三角形内角和定理得出方程，解方程即可；
同得出是等边三角形，，得出，由折叠的性质得出，由直角三角形的性质得出，得出，由已知得出，求出，即可得出．
本题是几何变换综合题目，考查了折叠变换的性质、等边三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的性质、含角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握翻折变换和等边三角形的判定与性质是解题的关键．