2021-2022学年湖北省武汉市洪山区八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2021-2022学年湖北省武汉市洪山区八年级（下）期中数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年湖北省武汉市洪山区八年级（下）期中数学试卷副标题题号一二三总分得分      一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）要使二次根式有意义，则的取值范围是A.  B.  C.  D. 下列二次根式中，是最简二次根式的是A.  B.  C.  D. 下列计算中，正确的是A.  B.
C.  D. 用下列长度的线段，，首尾相连构成三角形，其中不能构成直角三角形的是A. ，， B. ，，
C. ：：：： D. ，，已知等边三角形的边长为，则这个三角形的面积为A.  B.  C.  D. 在下列给出的条件中，可以判定四边形为平行四边形的条件是A. ， B. ，
C. ， D. ，下列命题的逆命题是真命题的是A. 如果四边形是矩形，那么它的对角线相等
B. 如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等
C. 如果直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边长为，那么
D. 如果四边形是菱形，那么它的对角线互相垂直一个平行四边形的一条边长是，两条对角线长分别是，，则这个平行四边形的一条边上的高为A.  B.  C.  D. 如图，四边形是边长为的正方形，以对角线为边作第二个正方形，连接，得到；再以对角线为边作第三个正方形，连接，得到；再以对角线为边作第四个正方形，连接，得到；设，，，的面积分别为，，，依此下去，则的值为
A.  B.  C.  D. 如图，在，中，，，，且，，三点在一条直线上，连接，分别取，，的中点，，，连，，则A.  B.  C.  D. 不能确定 二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）计算：______．已知，，则代数式的值为______．直角三角形中，若两条边的长分别为，，则第三条边的长为______．如图，延长矩形的边至点，使，连接，如果，则的值是______．
如图，对折矩形纸片，使得与重合，得到折痕；把纸片展平，再折一次纸片，使得折痕经过点，得到折痕，同时使得点的对称点落在上，如果，则______．如图，矩形中，，将绕点旋转，使得点的对应点落在线段上，得到，在边上取点，使得，若，则的面积等于______．
    三、解答题（本大题共8小题，共72.0分）计算：
；
．在平行四边形中，，分别是，的中点，求证：四边形是平行四边形．
  我国南宋时期数学家秦九韶，曾经提出用三角形的三边求面积的秦九韶公式．他的方法大致如下：如图，给定一个三角形，三边分别为，，，过点作于，为，的公共边，则可以利用这个等量关系，运用勾股定理建立方程，求出，再求出高，从而求出三角形的面积．请你用这一方法，解决下列问题：
已知，，，，求的面积．如图，等边三角形网格中，每一个小等边三角形边长均为，，在三角形的顶点处，且，按照要求用无刻度直尺作图，不要求写画法，但是要保留作图痕迹．画图过程用虚线表示，结果用实线表示．
过点作的垂线段，使其长度为；
过中的点作的平行线段，使其长度为；
作一个平行四边形，使得各边的中点分别为，，，为中的点．如图，将平行四边形的对角线向两端分别延长至点和点，使得，若，求证：四边形为菱形．
  如图，在，中，，，，在一条直线上，且，连接，，分别为，的中点，连．
求证：；
若，，，求的长．
在菱形中，，为动点．
如图，当点在线段上，且时，求证：；
如图，当在对角线的延长线上，且为等边三角形时，求证：．
如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，．
求点到直线的距离；
如图，的角平分线交于点，交的延长线于点，为的中点，连接，求的大小；
如图，，分别是边和对角线上的动点，且，则的最小值______直接写出结果

答案和解析 1.【答案】【解析】解：依题意得：，
解得．
故选：．
二次根式有意义时，被开方数是非负数．
考查了二次根式的有意义的条件．二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
 2.【答案】【解析】解：选项，原式，故该选项不符合题意；
选项，原式，故该选项不符合题意；
选项，原式，故该选项不符合题意；
选项，是最简二次根式，故该选项符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的概念判断即可．
本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的概念：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键．
 3.【答案】【解析】解：、原式，故此选项不符合题意；
B、原式，故此选项符合题意；
C、原式，故此选项不符合题意；
D、与不是同类二次根式，不能合并计算，故此选项不符合题意；
故选：．
根据二次根式加减法运算法则判断、和，根据二次根式除法运算法则判断，
本题考查二次根式的混合运算，理解二次根式加减法和除法运算法则是解题关键．
 4.【答案】【解析】解：、，，
，
以线段，，首尾相连能构成直角三角形，
故A不符合题意；
B、，，
，
以线段，，首尾相连能构成直角三角形，
故B不符合题意；
C、：：：：，
设，，，
，，
，
以线段，，首尾相连能构成直角三角形，
故C不符合题意；
D、，，
，
以线段，，首尾相连不能构成直角三角形，
故D符合题意；
故选：．
根据勾股定理的逆定理，进行计算即可解答．
本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
 5.【答案】【解析】解：已知等边，过点作于点，如图所示：

则点为的中点，
等边三角形的边长为，
，，
根据勾股定理，得，
的面积为，
故选：．
过点作于点，根据等边三角形的性质可知是的中点，根据勾股定理求出的值，再求的面积即可．
本题考查了等边三角形的性质，涉及勾股定理，三角形的面积等，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键．
 6.【答案】【解析】解：、由，，不能判定四边形为平行四边形，故选项A不符合题意；
B、，，
四边形为平行四边形，故选项B符合题意；
C、由，，不能判定四边形为平行四边形，故选项C不符合题意；
D、由，，不能判定四边形为平行四边形，故选项D不符合题意；
故选：．
由平行四边形的判定分别对各个选项进行判断即可．
本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
 7.【答案】【解析】解：、如果四边形是矩形，那么它的对角线相等的逆命题是如果四边形的对角线相等，那么四边形是矩形，逆命题是假命题；
B、如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等的逆命题是如果两个实数的绝对值相等，那么它们相等，逆命题是假命题；
C、如果直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边长为，那么的逆命题是如果三角形三条边满足，那么三角形是直角三角形，逆命题是真命题；
D、如果四边形是菱形，那么它的对角线互相垂直的逆命题是如果四边形的对角线垂直，那么四边形是菱形，逆命题是假命题；
故选：．
写出原命题的逆命题后判断正误即可．
考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题，难度不大．
 8.【答案】【解析】解：因为平行四边形的对角线互相平分，
所以，
所以平行四边形的对角线互相垂直，
所以根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，
可知这个平行四边形是菱形．
所以这个平行四边形的一条边上的高为，
故选：．
根据勾股定理逆定理可以说明平行四边形的对角线互相垂直，进而可以判断这个平行四边形是菱形．
本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定与性质，解决本题的关键是掌握菱形的判定．
 9.【答案】【解析】解：四边形 是边长为的正方形，
，
，
，
，
，
，
，
，
同理可求：
，
，
，
，
，
故选：．
根据题意求出，，根据面积的变化规律总结的关系式即可．
本题主要考查了正方形的性质，三角形的面积，等腰直角三角形的性质等知识，熟练掌握正方形的性质和三角形面积的计算是解题的关键．
 10.【答案】【解析】解：连接，连接交于点，连接，分别交、于点、，

，
，
在和中，
，
≌，
，，
，，
，
，
，
点，，分别是，，的中点，
，，，，
，，
，
故选：．
连接，连接交于点，连接，分别交、于点、，利用证明≌，根据全等三角形的性质及三角形中位线定理求解即可．
此题考查了全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理并作出合理的辅助线是解题的关键．
 11.【答案】【解析】解：．
故答案为．
根据算术平方根的性质进行化简，即．
此题考查了算术平方根的性质，即．
 12.【答案】【解析】解：，，
，
则，
故答案为：．
根据二次根式的加法法则求出，计算即可．
本题考查的是二次根式的计算，掌握二次根式的加法法则是解题的关键．
 13.【答案】或【解析】解：当为直角边时，第三边为，
当为斜边时，第三边为，
故答案为：或．
分为斜边和直角边，分别利用勾股定理可得答案．
本题主要考查了勾股定理，运用分类思想是解题的关键．
 14.【答案】【解析】解：连接，交于，如图所示：
四边形是矩形，
，，，，
，，
，
又，
，
，
，
．
故答案为：．
连接，交于，由矩形性质可得，得出，而，可得度数．
本题主要考查了矩形性质、等腰三角形的性质以及三角形的外角性质等知识；熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．
 15.【答案】【解析】解：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，
，，
再次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，同时得到了线段．
，
，
，
，
，
由折叠的性质得：，
在中，
，
故答案为：．
根据折叠的性质可得，，即可得，即得，根据直角三角形的两锐角互余得，根据折叠的性质即可得出，利用含角的直角三角形三边关系即可得出结论．
本题考查折叠的性质，直角三角形的性质、矩形的性质等知识，正确的理解题意是解题的关键，题目具有一定的综合性．
 16.【答案】【解析】解：如图，连接，过点作，交于点，

将绕点旋转，使得点的对应点落在线段上，
，，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，，
，，
，
，
，
的面积，
故答案为：．
利用面积的和差关系可求解．
本题考查了矩形的性质，旋转的性质，等边三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造等边三角形是解题的关键．
 17.【答案】解：

；



．【解析】先化简，再算加减即可；
先算乘法，再算除法即可．
本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 18.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，．
、分别是、的中点，
，，
．
四边形是平行四边形．【解析】由平行四边形的性质得出，，证出，即可得出四边形是平行四边形．
本题考查了平行四边形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解决问题的关键．
 19.【答案】解：设的长为，则的长为，
，
，
，，
，
，，
，
解得，
，，
，
解得，
，
即的面积是．【解析】根据题意和题目中的数据，利用勾股定理可以列出相应的方程，然后求出的长，再求出的长，即可计算出的面积．
本题考查勾股定理、数学常识、二次根式的应用，解答本题的关键是求出和的长．
 20.【答案】解：过点作的垂线段，使其长度为，作图如下：

过点作的平行线段，使其长度为，如图：

作平行四边形，使得各边的中点分别为，，，，如图：
 【解析】根据等边三角形性质，找到点，连接即可；
按要求，找到符合题意的，连接即可；
利用等边三角形性质，根据中点定义，找到、、、，连接成四边形即可．
本题考查作图应用与设计，解题的关键是读懂题意，掌握平行线等概念，按要求画出图形．
 21.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
在与中，
，
≌，
，
同理可得：，
，
，
四边形是菱形．【解析】根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质得出，进而利用菱形的判定解答即可．
此题考查了平行四边形的性质以及菱形的判定．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
 22.【答案】证明：延长至，使，连接，
，，
，，
为的中点，
，
，
在和中，
，
≌，
，
；
解：设，
在中，，
，
，，
四边形为矩形，
，
，
在中，，
，
，
由勾股定理得：，
则，
解得：，
，
．【解析】延长至，使，连接，证明≌，根据全等三角形的性质得到，证明结论；
根据等腰直角三角形的性质得到，根据含角的直角三角形的性质、勾股定理求出，列式计算即可．
本题考查的是三角形中位线定理、矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
 23.【答案】证明：如图，在上截取，连接，

，，
是等边三角形，
，
，
四边形是菱形，，
，，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
；
如图，连接，设与的交点为，

四边形是菱形，，
，，
是等边三角形，
，，
是等边三角形，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
．【解析】由“”可证≌，可得结论；
由“”可证≌，可得，可得结论．
本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
 24.【答案】【解析】解：如图，作于点，
四边形是矩形，，，
，，，
，
，
，
，
点到直线的距离是．
如图，连接、，
的角平分线交于点，交的延长线于点，，
，
，
，
，
，
，
，
，
为的中点，
，，，
，
≌，
，，
，
．
如图，连接交于点，
，
，
和都是等边三角形，
过中点作，交于点，连接、，
，，，
，
，
，
，
，
，
当点在上时，，此时的值最小，
，，，
≌，
，
的最小值为，
故答案为：．
作于点，由四边形是矩形得，，，根据勾股定理得，由，得，所以点到直线的距离是；
连接、，由的角平分线交于点，交的延长线于点，，，可证明≌，得，，则，所以；
连接交于点，先证明和都是等边三角形，则，，，根据勾股定理求得，所以，则，当点在上时，，此时的值最小，再证明≌，则，所以的最小值为．
此题考查图形与坐标、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短、根据面积等式列方程求线段的长度等知识与方法，此题难度较大，正确地作出辅助线是解题的关键．