2021-2022学年福建省莆田市城厢区哲理中学八年级（下）第一次月考数学试卷-（含解析）

2021-2022学年福建省莆田市城厢区哲理中学八年级（下）第一次月考数学试卷

副标题

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）

1. 如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是

A. ，， B.  C. ，， D.

2. 如图，下列四组条件中．不能判定四边形是平行四边形的是

A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
 

3. 如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面米处折断，树尖恰好碰到地面，经测量米，则树高为

A. 米 B. 米 C. 米 D. 米

4. 如图，是矩形的对角线的中点，是边的中点．若，，则线段的长为

A.
B.
C.
D.

5. 菱形和矩形都是特殊的平行四边形，那么下列是菱形和矩形都具有的性质是

A. 各角都相等 B. 各边都相等 C. 有两条对称轴 D. 对角线相等

6. 如图，直线，垂足为，线段，，以点为圆心，的长为半径画弧，交直线于点则的长为

A.
B.
C.
D.

7. 如图，四边形中，、、、分别是四边的中点，对角线，则四边形是

A. 菱形
B. 矩形
C. 平行四边形
D. 以上都不是

8. 如图，在矩形纸片中，，，点是边上的一点，将沿所在的直线折叠，使点落在上的点处，则的长是

A.
B.
C.
D.

9. 勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书周髀算经中早有记载，如图，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图的方式放置在最大的正方形内，若直角三角形两直角边分别为和，则图中阴影部分的面积为

A.  B.  C.  D. 无法求出

10. 平行四边形的边上有一动点，连接，以为边作矩形且边过点在点从点移动到点的过程中，矩形的面积

A. 先变大后变小 B. 先变小后变大 C. 一直变大 D. 保持不变

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11. 命题“若，则”的逆命题是______．
12. 如图，四边形是对角线互相垂直的四边形，且，请你添加一个适当的条件______，使四边形是菱形．只需添加一个即可
     

13. 如图，在四边形中，，，，，，则四边形的面积等于______．
     

14. 已知菱形的一条对角线长为，面积为，则这个菱形的另一条对角线的长为______．
15. 如图，点是内一点，，是边的中点，延长线段交边于点，点是边的中点，若，，则线度的长为______．
     

16. 中，，，，点是的中点，将沿翻折得到连，则线段的长等于______．

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分）

17. 如图，在矩形中，点在上，，求证：．
    
     

18. 如图，四边形中，，交于点，交于点，且，求证：四边形是平行四边形．
19. 如图，在等腰中，，点是上一点，作等腰，且，连接．
    求证：≌；
    求证：．

20. 如图，在矩形中，是它的一条对角线，
    作的垂直平分线分别交，，于点，，；要求用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法
    连接和，求证：四边形是菱形．
     

21. 定义：如图，点、把线段分割成、、，若以、、为边的三角形是一个直角三角形，则称点、是线段的勾股分割点．
    
    已知、把线段分割成、、，若，，，则点、是线段的勾股分割点吗？请说明理由．
    已知点、是线段的勾股分割点，且为直角边，若，，求的长．
22. 如图，菱形的对角线、相交于点，过点作且，连接 、，连接交于点．
    求证：；
    若菱形的边长为，，求的长．

23. 如图，将矩形绕着点按顺时针方向旋转得到矩形，使点落在边上的点处，连结交于点，连结．
    求证：平分；
    取中点，连结，求证：；
    若，求的长．

24. 若四边形的一条对角线把四边形分成两个等腰三角形，则这条对角线叫做这个四边形的“巧分线”，这个四边形叫“巧妙四边形”，若一个四边形有两条巧分线，则称为“绝妙四边形”．
    下列四边形一定是巧妙四边形的是______；填序号点平行四边形；矩形；菱形；正方形．
    初步应用
    在绝妙四边形中，垂直平分，若，则______；
    深入研究
    如图，在梯形中，，，．
    求证：梯形是绝妙四边形．
    在巧妙四边形中，，，是四边形的巧分线，请直接写出的度数．

已知四边形中，，分别是，边上的点，与交于点．

如图，若四边形是正方形，且，求证；
如图，若四边形是菱形，试探究与满足什么关系，使得成立？并证明你的结论．
如图，，，试判断与的数量关系，并说明理由．
答案和解析

1.【答案】

【解析】解：，，
，
以，，为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
B.，，
，
以，，为边不能组成直角三角形，故本选项符合题意；
C.，，
，
以，，为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
D.，，
，
以，，为边能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：．
先分别求出两小边的平方和和最长边的平方，再看看是否相等即可．
本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两边、的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
 

2.【答案】

【解析】解：根据平行四边形的判定，、、均符合是平行四边形的条件，则不能判定是平行四边形．
故选：．
平行四边形的判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
此题主要考查了学生对平行四边形的判定的掌握情况．对于判定定理：“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．”应用时要注意必须是“一组”，而“一组对边平行且另一组对边相等”的四边形不一定是平行四边形．
 

3.【答案】

【解析】解：中，米，米；
由勾股定理，得：米；
树的高度为：米；
故选：．
在中，根据勾股定理可求得的长，而树的高度为，的长已知，由此得解．
正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题的关键．
 

4.【答案】

【解析】解：四边形是矩形，
，，
是边的中点，
是的中位线，
，
，
，
，
故选：．
根据矩形的性质和三角形中位线定理得出，进而利用勾股定理得出，再根据直角三角形的性质解答即可．
此题考查矩形的性质，关键是根据矩形的性质和三角形中位线定理得出解答．
 

5.【答案】

【解析】解：矩形的性质为：对边平行且相等，四个角都相等，对角线互相平分且相等，有两条对称轴，
菱形的性质为：四边相等，对边平行且相等，对角相等，对角线互相垂直平分，有两条对称轴，
菱形和矩形都具有的性质是：对边平行且相等，对角线互相平分，有两条对称轴，
故选：．
利用矩形的性质和菱形的性质直接可求解．
本题考查了矩形的性质，菱形的性质，轴对称的性质，掌握矩形的性质和菱形的性质是解题的关键．
 

6.【答案】

【解析】解：，
，
，，
，
，
．
故选：．
由垂直的定义得到，根据勾股定理得到，得到，即可得到结论．
本题考查了勾股定理，圆的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
 

7.【答案】

【解析】解：连接、，
、、、分别是四边的中点，
，，，，
，
，
四边形为菱形，
故选：．
连接、，根据三角形中位线定理得到，，，，进而证明，根据菱形的判定定理得出结论．
本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理、菱形的判定定理是解题的关键．
 

8.【答案】

【解析】解：四边形是矩形，
，
，
设，则，
由翻折的性质得：，，，
，
在中，由勾股定理得：
，
解得：，
，
故选：．
设，则，由翻折的性质得：，，则，在中，由勾股定理列方程即可．
本题主要考查了矩形的性质，翻折的性质，勾股定理等知识，运用勾股定理列方程是解题的关键．
 

9.【答案】

【解析】解：将阴影部分分割如图所示：

根据直角三角形的三边为、、．
所以阴影部分的面积为．
故选：．
将阴影部分分割成正方形和长方形，根据直角三角形的边关系，即可求解．
本题考查的是正方形性质即四边相等；勾股定理，即两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．
 

10.【答案】

【解析】解：如图，连接，

矩形的面积的面积，
矩形的面积保持不变．
故选：．
连接，根据矩形的面积的面积即可得结论．
本题考查了矩形的性质与判定、平行四边形的性质以及三角形面积等知识；熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
 

11.【答案】若，则

【解析】解：命题“若，则”的逆命题时“若，则”，
故答案为：若，则．
直接将命题“若，则”的题设和结论互换即可．
本题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
 

12.【答案】

【解析】解：，
，，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是菱形，
故答案为：．
可以添加条件，根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形可判定出结论．
此题主要考查了菱形的判定，关键是掌握菱形的判定定理．
 

13.【答案】

【解析】解：，，，
，
，，
，，
，
是直角三角形，
四边形的面积的面积的面积



，
故答案为：．
先在中，利用勾股定理求出的长，再利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，然后根据四边形的面积的面积的面积，进形计算即可解答．
本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
 

14.【答案】

【解析】解：设另一条对角线长为，则
，
解得．
故答案为．
设另一条对角线长为，然后根据菱形的面积计算公式列方程求解即可．
本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形是轴对称图形，它有条对称轴，分别是两条对角线所在直线，熟记菱形的面积等于对角线乘积的一半是快速解题关键．
 

15.【答案】

【解析】解：，是边的中点，，
，
，
．
是边的中点，点是边的中点，
是的中位线，
．
故答案为：．
根据直角三角形的性质求出，由，得到，再根据三角形中位线定理即可求出线段的长．
本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形中位线定理，求出的长是解题的关键．
 

16.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查翻折变换、直角三角形的斜边中线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用面积法求高．
连接 交 于 ，作 于 首先证明 垂直平分线段 ， 是直角三角形，求出 、 ，在 中，利用勾股定理即可解决问题．
【解答】
解：如图连接 交 于 ，作 于 ．

在 中， ， ，
，
点 是 的中点，
，
，
，
，
， ，
垂直平分线段 ， 是直角三角形，
，
，
，
在 中， ，
故答案为： ．   

17.【答案】证明：四边形是矩形，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
．

【解析】根据矩形的性质理由证明≌即可．
本题考查矩形的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

18.【答案】证明：，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
四边形是平行四边形．

【解析】本题考查了平行四边形的判定，平行线的性质，全等三角形的性质和判定等知识点的应用，关键是推出，主要考查学生运用性质进行推理的能力．
由垂直得到，根据可证明≌，得到，根据平行四边形的判定判断即可．
 

19.【答案】证明：和都是等腰直角三角形，
，，，
，
，
在与中，
，
≌；
是等腰直角三角形，
，
由得≌，
，
，
．

【解析】根据等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定证明即可；
根据等腰直角三角形的性质和全等三角形的性质解答即可；
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
 

20.【答案】解：图形如图所示：


证明：四边形是矩形，
，，，
，
的垂直平分线分别交、、于、、，
，
在和中，
，
≌，
，
，
四边形是平行四边形，
垂直平分，
，
四边形是菱形．

【解析】根据要求作出图形即可；
由题意得出，由的垂直平分线得出，证得≌，得出，推出四边形是平行四边形，再由垂直平分，得出，即可得出结论．
本题考查作图基本作图，菱形的判定、矩形的性质、平行四边形的判定，熟练掌握矩形性质与菱形判定是关键．
 

21.【答案】解：是．
理由：，，
，
以、、为边的三角形是一个直角三角形．
故答案为是．

设，则，
当为最大线段时，依题意，
即，解得；
当为最大线段时，依题意．
即，解得．
综上所述的长为或．

【解析】本题考查勾股定理的逆定理，新定义，解题的关键是理解题意，学会分类讨论，注意不能漏解．
根据勾股定理逆定理即可判断．
设，则，分两种情形当为最大线段时，依题意；当为最大线段时，依题意；分别列出方程即可解决问题．
 

22.【答案】证明：为菱形，
，．
，
．
，
四边形是平行四边形．
，
平行四边形是矩形．  
．
在菱形中，，
为等边三角形，
．
在矩形中，
．
在中，
．

【解析】先求出四边形是平行四边形，再根据菱形的对角线互相垂直求出，证明是矩形，可得即可；
根据菱形的性质得出，再根据勾股定理得出的长度即可．
本题考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，是基础题，熟记矩形的判定方法与菱形的性质是解题的关键．
 

23.【答案】解：矩形绕着点按顺时针方向旋转得到矩形，
，
，
又，
，
，
平分；
如图，过点作的垂线，
平分，，，
，
，
，，，
≌，
，
即点是中点，
又点是中点，
；
如图，过点作的垂线，
，
，
，
，
，
，，
．

【解析】根据旋转的性质得到，求得，根据平行线的性质得到，于是得到结论；
如图，过点作的垂线，根据角平分线的性质得到，求得，根据全等三角形的性质得到，根据三角形的中位线定理即可得到结论；
如图，过点作的垂线，解直角三角形即可得到结论．
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的性质，三角形的中位线定理，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．
 

24.【答案】解： 

或或 
如图，连接与，交于点，
在梯形中，，
，
，
，
，
是等腰三角形，，
，，
也是等腰三角形，
对角线叫做这个四边形的“巧分线”，
同理可得和也是等腰三角形，
对角线叫做这个四边形的“巧分线”，
梯形是绝妙四边形；
是四边形的巧分线，
和是等腰三角形，
当时，如图，过作于，过作，交的延长线于，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
；
当时，如图，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
；
当时，如图，此时
综上，的度数是或或．

【解析】

【解析】解： 菱形的四条边相等，
连接对角线能得到两个等腰三角形，
菱形是巧妙四边形；
正方形是特殊的菱形，所以正方形也是巧妙四边形；
故答案是： ；

分三种情况，
当 时，如图 ，
垂直平分 ，
， ， ，
，
，
，
，
，
；
当 ， 时，如图 ，
垂直平分 ，
， ， ，
，
四边形 是菱形，
；
在四边形 中， ，如图 ，


；
综上， 或 或 ；
故答案为： 或 或 ；
见答案
见答案

【分析】 由巧妙四边形的定义，即可得到菱形和正方形是巧妙四边形；
根据绝妙四边形的定义可知：两条对角线都是巧分线，分情况画图进行计算可得结论；
首先根据题意画出图形，然后分别证明两条对角线分成的三角形是等腰三角形即可；
根据 是四边形 的巧分线，可知： 和 是等腰三角形， 是等腰三角形时分三种情况画图进行讨论可得结论．
此题是四边形的综合题，主要考查了新定义：“巧妙四边形”和“绝妙四边形”的定义和判定，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的性质、矩形的判定和性质、正方形和菱形的判定和性质，此题难度较大，解题的关键是掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．   

25.【答案】证明：四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
≌，
；
解：当时，成立，理由如下：
如图，延长至，使，则，

，
，
，，
，
，
，
，
∽，
，
，，
；
解：，理由如下：
如图，与相交于点，延长至，使，

，
四边形是平行四边形，
，
，，
，
，
，
延长至，使，
同理可得，∽，
，
，，，
，
．

【解析】利用正方形的性质，根据证≌，即可得证结论；
在延长线上取一点，使，证∽，根据线段比例关系即可得出结论；
由问的启示，构建出相同情景下的图形，把转化到中角的已知条件上，利用同位置的相似三角形可得结论．
本题主要考查四边形的综合题，熟练掌握正方形的性质，菱形的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质等知识是解题的关键．