2022年广东省深圳市中考数学终极押题密卷(word版含答案)

这是一份2022年广东省深圳市中考数学终极押题密卷(word版含答案)，共38页。试卷主要包含了3的过程等内容，欢迎下载使用。

2022年深圳中考数学终极押题密卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2021秋•金牛区期末）如图是一个正方体的展开图，则“学”字对面的字是（　　）

A．初 B．美 C．审 D．中
2．（3分）（2021秋•合肥期末）一个数的相反数是﹣，则这个数是（　　）
A． B．2 C．﹣ D．﹣2
3．（3分）（2022•九龙坡区校级开学）用不等式表示如图的解集，其中正确的是（　　）

A．x≤2 B．x＜2 C．x≥2 D．x＞2
4．（3分）（2022•成武县开学）若x，y，z的平均数是6，则5x+3，5y﹣2，5z+5的平均数是（　　）
A．6 B．30 C．33 D．32
5．（3分）（2022春•左权县期中）下面是小颖同学和小芳同学计算（a•a2）3的过程：
解：小颖：（a•a2）3＝a3•（a2）3…①
＝a3•a6…②
＝a9…③
小芳：（a•a2）3＝（a3）3…①
＝a9…②
则她们步骤依据的运算性质依次分别是（　　）
A．积的乘方，幂的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的乘法，幂的乘方
B．幂的乘方，积的乘方，同底数幂的乘法，积的乘方，同底数幂的乘法
C．同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，幂的乘方，积的乘方
D．幂的乘方，同底数幂的乘法，积的乘方，幂的乘方，幂的乘方
6．（3分）（2022•石家庄模拟）下列说法中正确的是（　　）
A．在Rt△ABC中，若，则a＝4，b＝3
B．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若a＝3，b＝4，则
C．tan30°+tan60°＝1
D．tan75°＝tan（45°+30°）＝tan45°+tan30°＝1+
7．（3分）（2022•宝安区二模）《孙子算经》记载：今有人盗库绢，不知所失几何？但闻草中分绢：人得六匹，盈六匹；人得七匹，不足七匹．问：人、绢各几何？意思是：如果每个人分6匹，还多出6匹，每个人分7匹，还差7匹，问：现在有多少人，有多少匹绢？设现在有x人，有绢y匹，下列所列方程（组）正确的是（　　）
A．6x﹣6＝7x+7 B．6x+6＝7x﹣7
C． D．
8．（3分）（2022•市中区一模）如图，某同学在楼房的A处测得荷塘的一端B处的俯角为24°，荷塘另一端点D与点C，B在同一直线上，已知楼房AC＝32米，CD＝16米，则荷塘的宽BD为（sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°≈0.45．结果精确到0.1）（　　）

A．55.1 米 B．30.4 米 C．51.2 米 D．19.2 米
9．（3分）（2021秋•甘井子区期末）画二次函数y＝ax2+bx+c的图象时，列表如下：
x
…
1
2
3
4
5
…
y
…
0
1
0
﹣3
﹣8
…
关于此函数有下列说法：①函数图象开口向上；②当x＞2时，y随x的增大而减小；③当x＝0时，y＝﹣3；其中正确的是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
10．（3分）（2022春•綦江区期中）已知点A（3，﹣1），直线AB∥y轴，且AB＝5，则点B的坐标为（　　）
A．（8，﹣1） B．（8，﹣1）或（﹣2，﹣1）
C．（3，4） D．（3，4）或（3，﹣6）
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）（2022•西安二模）分解因式：3x3﹣12x2y+12xy2＝　 　．
12．（3分）（2021秋•汉寿县期末）已知x＝2是关于x的方程x2﹣2mx+3m＝0的一个根，并且等腰三角形ABC的腰和底边长恰好是这个方程的两个根，则△ABC的周长为　 　．
13．（3分）（2021秋•丹阳市期末）如图，在△ABC中，DE是AC的中垂线，AD＝5，BD＝2，则BC长是　 　．

14．（3分）（2021秋•东城区校级期末）如图，半圆的直径BC与等腰直角三角形ABC的一条直角边完全重合，若BC＝6，则图中阴影部分的面积是 　 　．

15．（3分）（2021秋•牡丹江期末）在△ABC中，AB＝AC，将△ABC折叠，使A，B两点重合，折痕所在直线与AC边所在直线的夹角为50°，则∠A的度数为 　 　．
三．解答题（共7小题，满分55分）
16．（6分）（2021秋•交城县期末）先化简，再求值：，其中a满足a2﹣2a﹣1＝0．
17．（6分）（2022•绵竹市模拟）把两个等腰直角△ABC和△ADE按如图1所示的位置摆放，将△ADE绕点A按逆时针方向旋转，如图2，连接BD，EC，设旋转角为α（0°＜α＜360°）．

（1）当DE⊥AC时，AD与BC的位置关系是　 　，AE与BC的位置关系是　 　．
（2）如图2，当点D在线段BE上时，求∠BEC的度数；
（3）若△ABD的外心在边BD上，直接写出旋转角α的值．
18．（8分）（2021•深圳）随机调查某城市30天空气质量指数（AQI），绘制成扇形统计图．
空气质量等级
空气质量指数（AQI）
频数
优
AQI≤50
m
良
50＜AQI≤100
15
中
100＜AQI≤150
9
差
AQI＞150
n
（1）m＝　 　，n＝　 　；
（2）求良的占比；
（3）求差的圆心角；
（4）折线图是一个月内的空气污染指数统计，然后根据这一个月内的统计进行估测一年的空气污染指数为中的天数，从折线图可以得到空气污染指数为中的有9天．
根据折线统计图，一个月（30天）中有 　 　天AQI为中，估测该城市一年（以360天计）中大约有 　 　天AQI为中．

19．（8分）（2022•温州模拟）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连结BE并延长交AD的延长线于点F．
（1）求证：△BCE≌△FDE；
（2）连结AE，当AE⊥BF，BC＝2，AD＝1时，求AB的长．

20．（8分）（2022•中宁县模拟）2020年是脱贫攻坚的收官之年，老李在驻村干部的帮助下，利用网络平台进行“直播带货”，销售一批成本为每件30元的商品，按单价不低于成本价，且不高于50元销售，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示．
销售单价x（元）
30
40
45
销售数量y（件）
100
80
70
（1）求该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）销售单价定为多少元时，每天的销售利润为800元？
（3）销售单价定为多少元时，才能使销售该商品每天获得的利润w（元）最大？最大利润是多少元？
21．（9分）（2022•庐阳区校级一模）如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数的图象交于A（1，4），B（4，n）两点．
（1）填空：一次函数的解析式为 　 　，反比例函数的解析式为 　 　．
（2）直接写处不等式的解集：　 　．
（3）点P是x轴上的一动点，试确定点P并求出它的坐标，使PA+PB最小．

22．（10分）（2022•沂源县一模）如图1，菱形ABCD与菱形GECF的顶点C重合，点G在对角线AC上，且∠BCD＝∠ECF＝60°，

（1）问题发现的值为　 　；
（2）探究与证明
将菱形GECF绕点C按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜60°），如图2所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由；
（3）拓展与运用：
菱形GECF在旋转过程中，当点A，G，F三点在一条直线上时，如图3所示连接CG并延长，交AD于点H，若CE＝2，GH＝，则AH的长为　 　．

2022年深圳中考数学终极押题密卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）（2021秋•金牛区期末）如图是一个正方体的展开图，则“学”字对面的字是（　　）

A．初 B．美 C．审 D．中
【考点】专题：正方体相对两个面上的文字．
【专题】展开与折叠；空间观念．
【分析】根据正方体的平面展开图找相对面的方法，“Z”字两端是对面，判断即可．
【解答】解：如图是一个正方体的展开图，则“学”字对面的字是：审，
故选：C．
【点评】本题考查了正方体相对两个面的文字，熟练掌握根据正方体的平面展开图找相对面的方法是解题的关键．
2．（3分）（2021秋•合肥期末）一个数的相反数是﹣，则这个数是（　　）
A． B．2 C．﹣ D．﹣2
【考点】相反数．
【分析】根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数解答．
【解答】解：的相反数是﹣．
故选：A．
【点评】本题考查了相反数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键．
3．（3分）（2022•九龙坡区校级开学）用不等式表示如图的解集，其中正确的是（　　）

A．x≤2 B．x＜2 C．x≥2 D．x＞2
【考点】在数轴上表示不等式的解集．
【专题】实数；数感．
【分析】根据图中数轴上所表示的不等式的解集，即可得到答案．
【解答】解：用不等式表示如图的解集为：x≥2．
故选：C．

【点评】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，注意：不等式的解集在数轴上表示出来（＞，⩾向右画；＜，⩽向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，在表示解集时“⩾”，“⩽”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．
4．（3分）（2022•成武县开学）若x，y，z的平均数是6，则5x+3，5y﹣2，5z+5的平均数是（　　）
A．6 B．30 C．33 D．32
【考点】算术平均数．
【分析】5x+3，5y﹣2，5z+5的平均数是（5x+3+5y﹣2+5z+5）÷3＝[5（x+y+z）+6]÷3，因为x，y，z的平均数是6，则x+y+z＝18；再整体代入即可求解．
【解答】解：∵x，y，z的平均数是6，
∴x+y+z＝18；
∴（5x+3+5y﹣2+5z+5）÷3
＝[5（x+y+z）+6]÷3
＝[5×18+6]÷3
＝96÷3
＝32．
故选：D．
【点评】本题考查的是平均数的求法．解答平均数应用题的关键在于确定“总数量”以及和总数量对应的总份数．注意整体思想的运用．
5．（3分）（2022春•左权县期中）下面是小颖同学和小芳同学计算（a•a2）3的过程：
解：小颖：（a•a2）3＝a3•（a2）3…①
＝a3•a6…②
＝a9…③
小芳：（a•a2）3＝（a3）3…①
＝a9…②
则她们步骤依据的运算性质依次分别是（　　）
A．积的乘方，幂的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的乘法，幂的乘方
B．幂的乘方，积的乘方，同底数幂的乘法，积的乘方，同底数幂的乘法
C．同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，幂的乘方，积的乘方
D．幂的乘方，同底数幂的乘法，积的乘方，幂的乘方，幂的乘方
【考点】幂的乘方与积的乘方；同底数幂的乘法．
【专题】计算题；整式；运算能力．
【分析】根据幂的运算法则进行分析判断．
【解答】解：小颖：（a•a2）3
＝a3•（a2）3…①（依据：积的乘方），
＝a3•a6…②（依据：幂的乘方），
＝a9…③（依据：同底数幂的乘法），
小芳：（a•a2）3＝（a3）3…①（依据：同底数幂的乘法），
＝a9…②（依据：幂的乘方），
故选：A．
【点评】本题考查幂的运算，掌握同底数幂的乘法（底数不变，指数相加），幂的乘方（am）n＝amn，积的乘方（ab）n＝anbn运算法则是解题关键．
6．（3分）（2022•石家庄模拟）下列说法中正确的是（　　）
A．在Rt△ABC中，若，则a＝4，b＝3
B．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若a＝3，b＝4，则
C．tan30°+tan60°＝1
D．tan75°＝tan（45°+30°）＝tan45°+tan30°＝1+
【考点】特殊角的三角函数值．
【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．
【分析】根据锐角三角函数的定义及相关角的三角函数之间的关系，逐一判断即可．
【解答】解：A、在Rt△ABC中，∠C＝90°，若，则a＝3x，b＝4x，x≠0，故A不符合题意；
B、在Rt△ABC中，∠C＝90°，若a＝3，b＝4，则，故B符合题意；
C、tan30°+tan60°＝+＝，故C不符合题意；
D、tan75°＝tan（45°+30°）＝＝2+，故D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
7．（3分）（2022•宝安区二模）《孙子算经》记载：今有人盗库绢，不知所失几何？但闻草中分绢：人得六匹，盈六匹；人得七匹，不足七匹．问：人、绢各几何？意思是：如果每个人分6匹，还多出6匹，每个人分7匹，还差7匹，问：现在有多少人，有多少匹绢？设现在有x人，有绢y匹，下列所列方程（组）正确的是（　　）
A．6x﹣6＝7x+7 B．6x+6＝7x﹣7
C． D．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．
【专题】一次方程（组）及应用；应用意识．
【分析】根据“如果每个人分6匹，还多出6匹，每个人分7匹，还差7匹”列出方程即可．
【解答】解：设现在有x人，有绢y匹，
根据题意得：6x+6＝7x﹣7，
故选B．
【点评】考查了由实际问题抽象出二元一次方程组的知识，解题的关键是根据题意找到等量关系，难度不大．
8．（3分）（2022•市中区一模）如图，某同学在楼房的A处测得荷塘的一端B处的俯角为24°，荷塘另一端点D与点C，B在同一直线上，已知楼房AC＝32米，CD＝16米，则荷塘的宽BD为（sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°≈0.45．结果精确到0.1）（　　）

A．55.1 米 B．30.4 米 C．51.2 米 D．19.2 米
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【专题】应用题；解直角三角形及其应用；运算能力；应用意识．
【分析】根据已知条件转化为直角三角形ABC中的有关量，由锐角三角函数的定义可求出BC，根据BD＝BC﹣CD可得出答案．
【解答】解：由题意知，∠ABC＝24°，∠ACB＝90°，AC＝32米，
∵tan∠ABC＝tan24°＝，
∴BC＝＝≈71.1（米），
∵CD＝16米，
∴BD＝BC﹣CD＝71.1﹣16＝55.1米．
故选：A．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是利用仰俯角的定义将题目中的相关量转化为直角三角形ABC中的有关元素．
9．（3分）（2021秋•甘井子区期末）画二次函数y＝ax2+bx+c的图象时，列表如下：
x
…
1
2
3
4
5
…
y
…
0
1
0
﹣3
﹣8
…
关于此函数有下列说法：①函数图象开口向上；②当x＞2时，y随x的增大而减小；③当x＝0时，y＝﹣3；其中正确的是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的图象．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【分析】先由表中数据可知，y随x的增大先增大后减小，得到函数图象开口向下；利用y＝0时，x＝1或x＝3，得到函数的对称轴，再结合开口方向得到函数的增减性；利用对称轴为直线x＝1和x＝4时y＝﹣3得到x＝0时的函数值．
【解答】解：由表中数据可知，y随x的增大先增大后减小，
∴函数图象开口向下，故①错误，不符合题意；
∵y＝0时，x＝1或x＝3，
∴函数的对称轴为直线x＝2，
∵开口向下，
∴当x＞2时，y随x的增大而减小，故②正确，符合题意；
∵对称轴为直线x＝1，当x＝4时y＝﹣3，
∴x＝0时，y＝﹣3，故③正确，符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的表示、二次函数的性质，解题的关键是学会读表．
10．（3分）（2022春•綦江区期中）已知点A（3，﹣1），直线AB∥y轴，且AB＝5，则点B的坐标为（　　）
A．（8，﹣1） B．（8，﹣1）或（﹣2，﹣1）
C．（3，4） D．（3，4）或（3，﹣6）
【考点】坐标与图形性质．
【专题】平面直角坐标系；运算能力．
【分析】由AB∥y轴，A、B两点横坐标相等，又AB＝5，B点可能在A点上方或者下方，根据距离确定B点坐标即可．
【解答】解：∵AB∥y轴，
∴A、B两点的横坐标相同，都为3，
又AB＝5，
∴B点纵坐标为：﹣1+5＝4，或﹣1﹣5＝﹣6，
∴B点的坐标为：（3，4）或（3，﹣6）；
故选：D．
【点评】本题考查了坐标与图形的性质，平行于y轴的直线上点的横坐标相等；熟练掌握一条直线上到一个定点为定长的点有2个是解题的关键．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．（3分）（2022•西安二模）分解因式：3x3﹣12x2y+12xy2＝　3x（x﹣2y）2　．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】整式；运算能力．
【分析】先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答．
【解答】解：3x3﹣12x2y+12xy2
＝3x（x2﹣4xy+4y2）
＝3x（x﹣2y）2，
故答案为：3x（x﹣2y）2．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
12．（3分）（2021秋•汉寿县期末）已知x＝2是关于x的方程x2﹣2mx+3m＝0的一个根，并且等腰三角形ABC的腰和底边长恰好是这个方程的两个根，则△ABC的周长为　14　．
【考点】一元二次方程的解；三角形三边关系；等腰三角形的性质．
【专题】三角形．
【分析】先根据一元二次方程的解的定义把x＝2代入方程求出m的值，得到原方程为x2﹣8x+12＝0，再解此方程得到x1＝2，x2＝6，然后根据三角形三边的关系得到△ABC的腰为6，底边为2，再计算三角形的周长．
【解答】解：∵2是关于x的方程x2﹣2mx+3m＝0的一个根，
∴把x＝2代入方程整理得：4﹣4m+3m＝0，
∴解得m＝4，
∴原方程为：x2﹣8x+12＝0，
∴方程的两个根分别是2，6，
又∵等腰三角形ABC的腰和底边长恰好是这个方程的两个根，
∴若2是等腰三角形ABC的腰长，则2+2＝4＜6构不成三角形，
∴等腰三角形ABC的腰长为6，底边长为2，
∴三角形ABC的周长为：6+6+2＝14，
故答案是：14．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．也考查了三角形三边的关系．
13．（3分）（2021秋•丹阳市期末）如图，在△ABC中，DE是AC的中垂线，AD＝5，BD＝2，则BC长是　7　．

【考点】线段垂直平分线的性质．
【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD＝CD，然后根据BC＝BD+CD代入数据计算即可得解．
【解答】解：∵DE是AC的中垂线，
∴AD＝CD，
∴BC＝BD+CD＝BD+AD＝2+5＝7．
故答案为：7．
【点评】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．
14．（3分）（2021秋•东城区校级期末）如图，半圆的直径BC与等腰直角三角形ABC的一条直角边完全重合，若BC＝6，则图中阴影部分的面积是 　+　．

【考点】等腰直角三角形．
【专题】与圆有关的计算；推理能力．
【分析】如图，连接CD，OD，根据已知条件得到OB＝3，∠B＝45°，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：如图，连接CD，OD，
∵BC＝6，
∴OB＝3，
∵∠B＝45°，
∴∠COD＝90°，
∴图中阴影部分的面积＝S△BOD+S扇形COD＝＝+，
故答案为：+．

【点评】本题考查了扇形的面积的计算，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
15．（3分）（2021秋•牡丹江期末）在△ABC中，AB＝AC，将△ABC折叠，使A，B两点重合，折痕所在直线与AC边所在直线的夹角为50°，则∠A的度数为 　40°或140°　．
【考点】翻折变换（折叠问题）；三角形内角和定理；等腰三角形的性质．
【专题】分类讨论；等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；几何直观；应用意识．
【分析】首先根据题意画出图形，如图1：由翻折的性质可知：EF⊥AB，所以∠A+∠AFE＝90°，从而可求得∠A＝40°，如图2；由翻折的性质可知：EF⊥AB，∠D+∠DAE＝90°，故此∠DAE＝40°，即得∠BAC＝140°．
【解答】解：如图1：
由翻折的性质可知：EF⊥AB，
∴∠A+∠AFE＝90°．
∵∠AFE＝50°，
∴∠A＝90°﹣50°＝40°，
如图2，由翻折的性质可知：EF⊥AB，
∴∠D+∠DAE＝90°．
∵折痕所在直线与AC边所在直线的夹角为50°，
∴∠EDA＝50°，
∴∠DAE＝90°﹣50°＝40°，
∴∠BAC＝140°，
故答案为：40°或140°．


【点评】本题主要考查的是翻折的性质和等腰三角形的性质，根据题意画出符合题意的图形是解题的关键．
三．解答题（共7小题，满分55分）
16．（6分）（2021秋•交城县期末）先化简，再求值：，其中a满足a2﹣2a﹣1＝0．
【考点】分式的化简求值．
【专题】分式；运算能力．
【分析】先根据分式的减法法则进行计算，把除法变成乘法，再根据分式的乘法法则进行计算，最后把a2﹣2a＝1代入，即可求出答案．
【解答】解：
＝÷
＝•
＝•
＝﹣
＝﹣，
∵a2﹣2a﹣1＝0，
∴a2﹣2a＝1，
当a2﹣2a＝1时，原式＝﹣＝﹣1．
【点评】本题考查了分式的化简与求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
17．（6分）（2022•绵竹市模拟）把两个等腰直角△ABC和△ADE按如图1所示的位置摆放，将△ADE绕点A按逆时针方向旋转，如图2，连接BD，EC，设旋转角为α（0°＜α＜360°）．

（1）当DE⊥AC时，AD与BC的位置关系是　垂直　，AE与BC的位置关系是　平行　．
（2）如图2，当点D在线段BE上时，求∠BEC的度数；
（3）若△ABD的外心在边BD上，直接写出旋转角α的值．
【考点】三角形的外接圆与外心；等腰直角三角形．
【专题】圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力．
【分析】（1）根据题意画出图形，利用三线合一性质可证明AD与BC垂直，再根据平行线的判定可证明AE与BC平行；
（2）利用等腰三角形的性质证明△BAD≌△CAE，求出∠ADB＝∠AEC＝135°，所以∠BEC＝∠AEC﹣45°＝90°；
（3）根据题意画出图形，由题意知，当△ABD的外心在边BD上时，△ABD是以BD为斜边的直角三角形，所以旋转角为90°或270°．
【解答】解：（1）如图，设AC与DE交于点H，

在等腰直角△ABC和△ADE中，
∠BAC＝∠DAE＝90°，AD＝AE，AB＝AC，∠B＝∠C＝45°，
∵DE⊥AC，
∴∠DAH＝∠EAH＝∠DAE＝45°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAH＝45°，
∴∠BAD＝∠DAH，
∴AD⊥BC，
∵∠EAH＝∠C＝45°，
∴AE∥BC，
故答案为：垂直，平行；
（2）在等腰直角△ADE中，AD＝AE，∠DAE＝90°，

在等腰直角△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，
∵∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝90°﹣∠DAC，
∠CAE＝∠DAE﹣∠DAC＝90°﹣∠DAC，
∴∠BAD＝∠CAE，
又∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ADB＝∠AEC＝180°﹣∠ADE＝135°，
∴∠BEC＝∠AEC﹣45°＝135°﹣45°＝90°；
（3）如图，

因为△ABD的外心在边BD上时，△ABD是以BD为斜边的直角三角形，
所以旋转角为90°或270°．
【点评】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质等，解题关键是熟练掌握旋转的性质，能够根据题意画出图形．
18．（8分）（2021•深圳）随机调查某城市30天空气质量指数（AQI），绘制成扇形统计图．
空气质量等级
空气质量指数（AQI）
频数
优
AQI≤50
m
良
50＜AQI≤100
15
中
100＜AQI≤150
9
差
AQI＞150
n
（1）m＝　4　，n＝　2　；
（2）求良的占比；
（3）求差的圆心角；
（4）折线图是一个月内的空气污染指数统计，然后根据这一个月内的统计进行估测一年的空气污染指数为中的天数，从折线图可以得到空气污染指数为中的有9天．
根据折线统计图，一个月（30天）中有 　9　天AQI为中，估测该城市一年（以360天计）中大约有 　108　天AQI为中．

【考点】频数（率）分布折线图；扇形统计图；折线统计图；用样本估计总体；频数（率）分布表．
【专题】数据的收集与整理；数据分析观念；运算能力．
【分析】（1）根据扇形统计图中优的圆心角度数即可求出m的值，再用总数减去优、良、中的天数即可求出n的值；
（2）频率就是频数除以总数，所以用表中良的天数除以总数即可；
（3）用差的占比乘以360度即可；
（4）要先算出样本中有9天AQI为中，再估测该城市一年（以360天计）中大约有108天AQI为中．
【解答】解：（1）根据题意，得m＝×30＝4，
所以n＝30﹣4﹣15﹣9＝2，
故答案为：4，2；
（2）良的占比＝×100%＝50%；
（3）差的圆心角＝×360°＝24°；
（4）根据折线图，一个月（30天）中有9天AQI为中，估测该城市一年（以360天计）中大约有360×＝108（天）AQI为中．
故答案为：9，108．
【点评】本题是一道利用统计知识解答实际问题的重点考题，主要考查利用统计图表，处理数据的能力和利用样本估计总体的思想．解答这类题目，观察图表要细致，对应的图例及其关系不能错位，计算要认真准确．
19．（8分）（2022•温州模拟）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连结BE并延长交AD的延长线于点F．
（1）求证：△BCE≌△FDE；
（2）连结AE，当AE⊥BF，BC＝2，AD＝1时，求AB的长．

【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】证明题；图形的全等；运算能力；推理能力．
【分析】（1）由“AAS”可证△DAE≌△CFE；
（2）由全等三角形的性质可得BE＝EF，BC＝DF，由中垂线的性质可得AB＝AF，可得结论；
【解答】解：（1）∵AD∥BC，
∴∠F＝∠EBC，∠FDE＝∠C，
∵点E为CD的中点，
∴ED＝EC，
在△FDE和△BEC中，
，
∴△FDE≌△BEC（AAS）；
（2）∵△FDE≌△BEC，
∴BE＝EF，BC＝DF，
∵AE⊥BF，
∴AB＝AF，
∴AB＝AF＝AD+DF＝AD+BC＝1+2＝3，
∴AB的长为3．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，证明△DAE≌△CFE是本题的关键．
20．（8分）（2022•中宁县模拟）2020年是脱贫攻坚的收官之年，老李在驻村干部的帮助下，利用网络平台进行“直播带货”，销售一批成本为每件30元的商品，按单价不低于成本价，且不高于50元销售，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示．
销售单价x（元）
30
40
45
销售数量y（件）
100
80
70
（1）求该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）销售单价定为多少元时，每天的销售利润为800元？
（3）销售单价定为多少元时，才能使销售该商品每天获得的利润w（元）最大？最大利润是多少元？
【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用．
【专题】销售问题；待定系数法；一元二次方程及应用；一次函数及其应用；二次函数的应用；运算能力；应用意识．
【分析】（1）设该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为y＝kx+b，用待定系数法求解即可；
（2）根据每件的利润乘以销售量等于利润800元，列出方程并求解，再结合单价不低于成本价，且不高于50元销售，可得符合题意的答案；
（3）根据每件的利润乘以销售量等于利润得出w关于x的二次函数，将其写成顶点式，根据二次函数的性质及自变量的取值范围可得答案．
【解答】解：（1）设该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为y＝kx+b，
将点（30，100）、（40，80）代入一次函数关系式得：
，
解得：．
∴函数关系式为y＝﹣2x+160；
（2）由题意得：（x﹣30）（﹣2x+160）＝800，
整理得：x2﹣110x+2800＝0，
解得：x1＝40，x2＝70．
∵单价不低于成本价，且不高于50元销售，
∴x2＝70不符合题意，舍去．
∴销售单价定为40元时，每天的销售利润为800元；
（3）由题意得：
w＝（x﹣30）（﹣2x+160）
＝﹣2（x﹣55）2+1250，
∵﹣2＜0，抛物线开口向下，
∴当x＜55时，w随x的增大而增大，
∵30≤x≤50，
∴当x＝50时，w有最大值，此时w＝﹣2（50﹣55）2+1250＝1200．
∴销售单价定为50元时，才能使销售该商品每天获得的利润w（元）最大，最大利润是1200元．
【点评】本题考查了二次函数和一元二次方程在销售问题中的应用，明确成本利润问题的基本数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
21．（9分）（2022•庐阳区校级一模）如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数的图象交于A（1，4），B（4，n）两点．
（1）填空：一次函数的解析式为 　y＝﹣x+5　，反比例函数的解析式为 　y＝　．
（2）直接写处不等式的解集：　0＜x≤1或x≥4　．
（3）点P是x轴上的一动点，试确定点P并求出它的坐标，使PA+PB最小．

【考点】反比例函数综合题．
【专题】反比例函数及其应用；推理能力．
【分析】（1）利用待定系数法可求出两函数解析式；
（2）由图象直接得出答案；
（3）作点B关于x轴的对称点B'，连接AB'交x轴即为点P，此时AP+PB最小，再利用待定系数法求出AB'的解析式即可．
【解答】解：（1）将点A（1，4），B（4，n）分别代入得，
m＝4，n＝1，
∴B（4，1），
将点A（1，4），B（4，1）代入y＝kx+b得，
，
解得，
∴y＝﹣x+5，
∴一次函数的解析式为y＝﹣x+5，反比例函数的解析式为y＝，
故答案为：y＝﹣x+5，y＝；
（2）由图象可知，0＜x≤1或x≥4时，，
故答案为：0＜x≤1或x≥4；
（3）作点B关于x轴的对称点B'，则B'（4，﹣1），
连接AB'交x轴于P'，此时P'A+P'B最小，

设直线AB'的解析式为y＝ax+n，
则，
解得，
∴y＝﹣，
当y＝0时，x＝，
∴P'（，0），
∴当PA+PB最小时，点P（，0）．
【点评】本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，函数与不等式的关系，轴对称﹣最短路线问题等知识，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．
22．（10分）（2022•沂源县一模）如图1，菱形ABCD与菱形GECF的顶点C重合，点G在对角线AC上，且∠BCD＝∠ECF＝60°，

（1）问题发现的值为　　；
（2）探究与证明
将菱形GECF绕点C按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜60°），如图2所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由；
（3）拓展与运用：
菱形GECF在旋转过程中，当点A，G，F三点在一条直线上时，如图3所示连接CG并延长，交AD于点H，若CE＝2，GH＝，则AH的长为　3　．
【考点】相似形综合题．
【专题】几何综合题．
【分析】（1）如图1中，作EH⊥CG于H．证明EG∥AB，推出＝，即可解决问题．
（2）结论：AG＝BE．如图2中，连接CG．证明△ECB∽△GCA，可得＝＝．
（3）如图3中，证明△HAG∽△HCA，推出AH2＝HG•HC，由此即可解决问题．
【解答】解：（1）如图1中，作EH⊥CG于H．

∵四边形ECFG是菱形，∠ECF＝60°，
∴∠ECH＝∠ECF＝30°，EC＝EG，
∵EH⊥CG，
∴2GH＝CG，
∴＝cos30°＝，
∴＝2•＝，
∵EG∥CD，AB∥CD，
∴GE∥AB，
∴＝＝．
故答案为．

（2）结论：AG＝BE．
理由：如图2中，连接CG．

∵四边形ABCD，四边形ECFG都是菱形，∠ECF＝∠DCB＝60°，
∴∠ECG＝∠EGC＝∠BCA＝∠BAC＝30°，
∴△ECG∽△BCA，
∴＝，
∴＝，
∵∠ECB＝∠GCA，
∴△ECB∽△GCA，
∴＝＝，
∴AG＝BE．

（3）如图3中，

∵∠AGH＝∠CGF＝30°．∠AGH＝∠GAC+∠GCA，
又∵∠DAC＝∠HAG+∠GAC＝30°，
∴∠HAG＝∠ACH，
∵∠AHG＝∠AHC，
∴△HAG∽△HCA，
∴HA：HC＝GH：HA，
∴AH2＝HG•HC，
∴FC＝2，CG＝CF，
∴GC＝2，
∵HG＝，
∴AH2＝HG•HC＝•3＝9，
∵AH＞0，
∴AH＝3．
故答案为3．
【点评】本题考查相似三角形综合题，考查了菱形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考压轴题．

考点卡片
1．相反数
（1）相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
（2）相反数的意义：掌握相反数是成对出现的，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等．
（3）多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“﹣”号结果为负，有偶数个“﹣”号，结果为正．
（4）规律方法总结：求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，如a的相反数是﹣a，m+n的相反数是﹣（m+n），这时m+n是一个整体，在整体前面添负号时，要用小括号．
2．同底数幂的乘法
（1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
am•an＝am+n（m，n是正整数）
（2）推广：am•an•ap＝am+n+p（m，n，p都是正整数）
在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如23与25，（a2b2）3与（a2b2）4，（x﹣y）2与（x﹣y）3等；②a可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，指数相加．
（3）概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂．
3．幂的乘方与积的乘方
（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．
（am）n＝amn（m，n是正整数）
注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．
（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
（ab）n＝anbn（n是正整数）
注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，计算出最后的结果．
4．提公因式法与公式法的综合运用
提公因式法与公式法的综合运用．
5．分式的化简求值
先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．
在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
【规律方法】分式化简求值时需注意的问题
1．化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值．化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”．
2．代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0．
6．由实际问题抽象出二元一次方程组
（1）由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系．
（2）一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相符．
（3）找等量关系是列方程组的关键和难点，有如下规律和方法：
①确定应用题的类型，按其一般规律方法找等量关系．②将问题中给出的条件按意思分割成两个方面，有“；”时一般“；”前后各一层，分别找出两个等量关系．③借助表格提供信息的，按横向或纵向去分别找等量关系．④图形问题，分析图形的长、宽，从中找等量关系．
7．一元二次方程的解
（1）一元二次方程的解（根）的意义：
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．
ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．
8．一元二次方程的应用
1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．
2、列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数．
（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．
【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”
1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．
2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．
4．解：准确求出方程的解．
5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．
6．答：写出答案．
9．在数轴上表示不等式的解集
用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：
一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；
二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．
【规律方法】不等式解集的验证方法
　　某不等式求得的解集为x＞a，其验证方法可以先将a代入原不等式，则两边相等，其次在x＞a的范围内取一个数代入原不等式，则原不等式成立．
10．坐标与图形性质
1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．
2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．
3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．
11．反比例函数综合题
（1）应用类综合题
能够从实际的问题中抽象出反比例函数这一数学模型，是解决实际问题的关键一步，培养了学生的建模能力和从实际问题向数学问题转化的能力．在解决这些问题的时候我们还用到了反比例函数的图象和性质、待定系数法和其他学科中的知识．
（2）数形结合类综合题
利用图象解决问题，从图上获取有用的信息，是解题的关键所在．已知点在图象上，那么点一定满足这个函数解析式，反过来如果这点满足函数的解析式，那么这个点也一定在函数图象上．还能利用图象直接比较函数值或是自变量的大小．将数形结合在一起，是分析解决问题的一种好方法．
12．二次函数的图象
（1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法：
①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表．
②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点．
③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点．
④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧．
（2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
13．二次函数的性质
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．
14．二次函数图象上点的坐标特征
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（﹣，）．
①抛物线是关于对称轴x＝﹣成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．
③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x＝．
15．二次函数的应用
（1）利用二次函数解决利润问题
在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
（2）几何图形中的最值问题
几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．
（3）构建二次函数模型解决实际问题
利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．
16．专题：正方体相对两个面上的文字
（1）对于此类问题一般方法是用纸按图的样子折叠后可以解决，或是在对展开图理解的基础上直接想象．
（2）从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．
（3）正方体的展开图有11种情况，分析平面展开图的各种情况后再认真确定哪两个面的对面．
17．三角形三边关系
（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．
（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．
（3）三角形的两边差小于第三边．
（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略．
18．三角形内角和定理
（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．
（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
（3）三角形内角和定理的证明
证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．
（4）三角形内角和定理的应用
主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．
19．全等三角形的判定与性质
（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
20．线段垂直平分线的性质
（1）定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线，简称“中垂线”．
（2）性质：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．　　　　②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．　　　　③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等．
21．等腰三角形的性质
（1）等腰三角形的概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．
（2）等腰三角形的性质
①等腰三角形的两腰相等
②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】
③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】
（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．
22．等腰直角三角形
（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．
（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；
（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R＝+1，所以r：R＝1：+1．
23．三角形的外接圆与外心
（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．
（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
（3）概念说明：
①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．
②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．
③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．
24．翻折变换（折叠问题）
1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．
2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．
首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．
25．相似形综合题
相似形综合题．
26．特殊角的三角函数值
（1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值．
sin30°＝； cos30°＝；tan30°＝；
sin45°＝；cos45°＝；tan45°＝1；
sin60°＝；cos60°＝； tan60°＝；
（2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．
（3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．
27．解直角三角形的应用-仰角俯角问题
（1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角．
（2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．
28．用样本估计总体
用样本估计总体是统计的基本思想．
1、用样本的频率分布估计总体分布：
从一个总体得到一个包含大量数据的样本，我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含的信息．这时，我们用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，从而去估计总体的分布情况．
2、用样本的数字特征估计总体的数字特征（主要数据有众数、中位数、平均数、标准差与方差 ）．
一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．
29．频数（率）分布表
1、在统计数据时，经常把数据按照不同的范围分成几个组，分成的组的个数称为组数，每一组两个端点的差称为组距，称这样画出的统计图表为频数分布表．
2、列频率分布表的步骤：
　　（1）计算极差，即计算最大值与最小值的差．
　　（2）决定组距与组数（组数与样本容量有关，一般来说样本容量越大，分组就越多，样本容量不超过100时，按数据的多少，常分成5～12组）．
　　（3）将数据分组．
　　（4）列频率分布表．
30．频数（率）分布折线图
一般利用直方图画频数分布折线图，在频数分布直方图中，把每个小长方形上面的一条边的中点顺次连接起来，得到频数折线图．
注意：折线图要与横轴相交，方法是在直方图的左右两边各延伸一个假想组，并将频数折线两端连接到假想组中点，它主要显示数据的变化趋势．
31．扇形统计图
（1）扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数（单位1），用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数．
（2）扇形图的特点：从扇形图上可以清楚地看出各部分数量和总数量之间的关系．
（3）制作扇形图的步骤
①根据有关数据先算出各部分在总体中所占的百分数，再算出各部分圆心角的度数，公式是各部分扇形圆心角的度数＝部分占总体的百分比×360°．　　②按比例取适当半径画一个圆；按扇形圆心角的度数用量角器在圆内量出各个扇形的圆心角的度数；
④在各扇形内写上相应的名称及百分数，并用不同的标记把各扇形区分开来．
32．折线统计图
（1）定义：折线图是用一个单位表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段依次连接起来．以折线的上升或下降来表示统计数量增减变化．
（2）特点：折线图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示出数量的增减变化情况．
（3）绘制折线图的步骤
①根据统计资料整理数据．
②先画纵轴，后画横轴，纵、横都要有单位，按纸面的大小来确定用一定单位表示一定的数量．　　③根据数量的多少，在纵、横轴的恰当位置描出各点，然后把各点用线段顺序连接起来．
33．算术平均数
（1）平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标．
（2）算术平均数：对于n个数x1，x2，…，xn，则＝（x1+x2+…+xn）就叫做这n个数的算术平均数．
（3）算术平均数是加权平均数的一种特殊情况，加权平均数包含算术平均数，当加权平均数中的权相等时，就是算术平均数．