2022年上海中考数学终极押题密卷 (2)(word版含答案)

这是一份2022年上海中考数学终极押题密卷 (2)(word版含答案)，共42页。试卷主要包含了计算，在实数范围内分解因式，不等式组的解集是　 　等内容，欢迎下载使用。
2022年上海中考数学终极押题密卷
一．选择题（共6小题，满分24分，每小题4分）
1．（4分）（2021秋•唐山期末）下列根式为最简二次根式的是（　　）
A．2 B． C． D．
2．（4分）（2022•雁塔区校级三模）下列运算正确的是（　　）
A．3a+2a＝5a2 B．﹣8a2÷4a＝2a
C．4a2•3a3＝12a6 D．（﹣2a2）3＝﹣8a6
3．（4分）（2022•南岗区模拟）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
4．（4分）（2022•和平区校级模拟）对于反比例函数y＝，下列说法正确的是（　　）
A．图象经过点（﹣2，﹣3）
B．图象位于第一、三象限
C．当x＞0时，y随x的增大而减小
D．当x＜0时，y随x的增大而增大
5．（4分）（2022•沈河区校级模拟）杨倩是获得东京奥运会中国首金的选手，她的十米气步枪比赛的最后五枪的成绩如下（单位：环）10.5，10.7，10.6，10.7，9.8，则这组数据的众数与中位数分别为（　　）
A．10.7环，10.6环 B．10.7环，10.5环
C．10.7环，9.8环 D．10.6环，10.7环
6．（4分）（2021秋•长沙期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC⊥BC，平行四边形ABCD的面积为48，OA＝3，则BC的长为（　　）

A．6 B．8 C．12 D．13
二．填空题（共12小题，满分48分，每小题4分）
7．（4分）（2021秋•通道县期末）计算：＝　 　．
8．（4分）（2022•涡阳县二模）在实数范围内分解因式：2x2﹣6＝　 　．
9．（4分）（2021秋•黄浦区期末）如图，D、E分别是△ABC的边BA、CA延长线上的点，DE∥BC，EA：AC＝1：2，如果＝，那么向量＝　 　（用向量表示）．

10．（4分）（2022•巴彦县二模）不等式组的解集是　 　．
11．（4分）（2022春•渝中区校级月考）某校在“3.12”植树节来临之际，特从初一、初二、高一、高二四个年级中抽调若干学生去植树．已知初一、初二抽调的人数之比为5：3，高一、高二抽调的人数之比为4：3．上午，初一、高一年级平均每人植树的棵数相同且大于3棵小于10棵，高二年级平均每人植树的棵数为初一、初二平均每人植树的棵数之和的2倍，上午四个年级平均每人植树的棵数总和大于30棵小于40棵，上午四个年级一共植树714棵．下午，初二年级因为要回校参加活动不再参与植树活动，高一、高二年级平均每人植树的棵数都有所降低，高一年级平均每人植树的棵数降低50%，高二年级平均每人植树的棵数降为原来的．若初一年级人数及人均植树的棵数不变，高一高二年级人数不变，且四个年级平均每人植树的棵数为整数，则四个年级全天一共植树 　 　棵．
12．（4分）（2022•新抚区模拟）如图，已知△ABC≌△DCE≌△HEF，三条对应边BC、CE、EF在同一条直线上，连接BH，分别交AC、DC、DE于点P、Q、K，其中S△PQC＝1，则图中三个阴影部分的面积和为　 　．

13．（4分）（2022春•南海区校级月考）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝3．我们定义：“四个顶点都在三角形边上的正方形是三角形的内接正方形”．
（1）如图1，四边形CDEF是△ABC的内接正方形，则正方形CDEF的边长a1等于 　 　；
（2）如图2，四边形DGHI是（1）中△EDA的内接正方形，那么第2个正方形DGHI的边长记为a2；继续在图2中的△HGA中按上述方法作第3个内接正方形，依此类推，……则第n个内接正方形的边长an＝　 　．（n为正整数）

14．（4分）（2022春•洪泽区期中）王老师为了解本班学生对新冠病毒防疫知识的掌握情况，对本班45名学生的新冠病毒防疫知识进行了测试，并把测试成绩分为5组，第1～4组的频数分别为12，10，6，8，则第5组的频率是 　 　．
15．（4分）（2021秋•玄武区期末）已知边长为2的正三角形，能将其完全覆盖的最小圆的面积为 　 　．
16．（4分）（2021秋•东莞市期末）边长为2的等边三角形的外接圆的半径为　 　．
17．（4分）（2022春•大丰区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝5，AD为中线，则△ABD与△ACD的周长之差＝　 　．

18．（4分）（2021秋•鼓楼区校级期末）如图，P是⊙O外一点，PB、PC是⊙O的两条切线，切点分别为B、C，若∠P为48°．点A在⊙O上（不与B、C重合），则∠BAC＝　 　°．

三．解答题（共7小题，满分78分）
19．（10分）（2021秋•新田县期末）计算：
+2sin45°．
20．（10分）（2020•长清区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A在x轴上，顶点C在y轴上，D是BC的中点，过点D的反比例函数图象交AB于E点，连接DE．若OD＝5，tan∠COD＝．
（1）求过点D的反比例函数的解析式；
（2）求△DBE的面积；
（3）x轴上是否存在点P使△OPD为直角三角形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

21．（10分）（2022春•泾阳县月考）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，且∠CAB＝∠CBD，已知AB＝4，AC＝6，BC＝5，BD＝5.5．
（1）求DE的长；
（2）求的值．

22．（10分）（2021秋•平阴县期末）如图，连接A市和B市的高速公路是AC高速和BC高速，现在要修一条新高速AB，在施工过程中，决定在A、B两地开凿隧道，从而将两地间的公路进行改建．汽车原来从A地到B地需途经C地沿折线ACB行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB行驶．已知BC＝80千米．∠A＝45°，∠B＝30°．
（1）开通隧道前，汽车从A地到B地要走多少千米？（结果保留根号）
（2）开通隧道后，汽车从A地到B地要走多少千米？（结果保留根号）

23．（12分）（2021秋•柯桥区期末）已知：如图，△ABC中，AB＝4，BC＝8，D为BC边上一点，BD＝2．
求证：∠BDA＝∠BAC．

24．（12分）（2022•鞍山模拟）抛物线与坐标轴交于A（﹣1，0）、B（4，0）、C（0，4），连接AC、BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点G是抛物线上第一象限内的一点，连接AG、CG、BG，AG与BC交于点H，当△BHG与△AHC的面积差为1时，求点G的坐标；
（3）如图2，点E是抛物线上第一象限内对称轴右侧的一点，连接EC，点D是抛物线的对称轴上的一点，连接ED、CD，当△CED是以点E为顶点的等腰直角三角形时，直接写出点E的横坐标．

25．（14分）（2021秋•金湖县期末）苏科版教材八年级下册第94页第19题，小明在学过圆之后，对该题进行重新探究，请你和他一起完成问题探究．
【问题提出】如图1，点E，F分别在方形ABCD中的边AD、AB上，且BE＝CF，连接BE、CF交于点M，求证：BE⊥CF．请你先帮小明加以证明．

【问题探究】小明把原问题转化为动点问题，如图1，在边长为6cm的正方形ABCD中，点E从点A出发，沿边AD向点D运动，同时，点F从点B出发，沿边BA向点A运动，它们的运动速度都是2cm/s，当点E运动到点D时，两点同时停止运动，连接CF、BE交于点M，设点E，F运动时间为t秒．
（1）如图1，在点E、F的运动过程中，点M也随之运动，请直接写出点M的运动路径长 　 　cm．
（2）如图2，连接CE，在点E、F的运动过程中．
①试说明点D在△CME的外接圆⊙O上；
②若①中的⊙O与正方形的各边共有6个交点，请直接写出t的取值范围．

2022年上海中考数学终极押题密卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题，满分24分，每小题4分）
1．（4分）（2021秋•唐山期末）下列根式为最简二次根式的是（　　）
A．2 B． C． D．
【考点】分母有理化；最简二次根式．
【专题】二次根式；运算能力．
【分析】根据最简二次根式的定义判断即可．
【解答】解：A选项，2是最简二次根式，符合题意；
B选项，原式＝，不是最简二次根式；
C选项，原式＝，不是最简二次根式；
D选项，原式＝2，不是最简二次根式；
故选：A．
【点评】本题考查了最简二次根式的定义，掌握最简二次根式的定义是解题的关键，（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
2．（4分）（2022•雁塔区校级三模）下列运算正确的是（　　）
A．3a+2a＝5a2 B．﹣8a2÷4a＝2a
C．4a2•3a3＝12a6 D．（﹣2a2）3＝﹣8a6
【考点】整式的混合运算．
【专题】整式；运算能力．
【分析】根据各个选项中的式子可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．
【解答】解：3a+2a＝5a，故选项A错误；
﹣8a2÷4a＝﹣2a，故选项B错误；
4a2•3a3＝12a5，故选项C错误；
（﹣2a2）3＝﹣8a6，故选项D正确；
故选：D．
【点评】本题考查整式的混合运算，解答本题的关键是明确整式混合运算的计算方法．
3．（4分）（2022•南岗区模拟）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
4．（4分）（2022•和平区校级模拟）对于反比例函数y＝，下列说法正确的是（　　）
A．图象经过点（﹣2，﹣3）
B．图象位于第一、三象限
C．当x＞0时，y随x的增大而减小
D．当x＜0时，y随x的增大而增大
【考点】反比例函数的性质．
【专题】反比例函数及其应用；推理能力．
【分析】根据反比例函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：∵反比例函数y＝﹣，
k＝﹣6＜0，
∴该函数图象为第二、四象限，故选项B不符合题意；
当x＝﹣2时，y＝3，即该函数过点（﹣2，3），故选项A不符合题意；
当x＞0时，y随x的增大而增大，故选项C不符合题意；
当x＜0时，y随x的增大而增大，故选项D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查反比例函数的性质，解答本题的关键是明确反比例函数的性质，利用反比例函数的性质解答．
5．（4分）（2022•沈河区校级模拟）杨倩是获得东京奥运会中国首金的选手，她的十米气步枪比赛的最后五枪的成绩如下（单位：环）10.5，10.7，10.6，10.7，9.8，则这组数据的众数与中位数分别为（　　）
A．10.7环，10.6环 B．10.7环，10.5环
C．10.7环，9.8环 D．10.6环，10.7环
【考点】众数；中位数．
【专题】数据的收集与整理；数据分析观念．
【分析】根据中位数和众数的定义求解：众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个；找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位数．
【解答】解：将数据重新排列为9.8、10.5、10.6、10.7、10.7，
所以这组数据的众数为10.7环，中位数为10.6环，
故选：A．
【点评】本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两个数的平均数．
6．（4分）（2021秋•长沙期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC⊥BC，平行四边形ABCD的面积为48，OA＝3，则BC的长为（　　）

A．6 B．8 C．12 D．13
【考点】平行四边形的性质．
【专题】多边形与平行四边形；推理能力．
【分析】根据平行四边形的性质得到AC＝2AO＝6，根据平行四边形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC＝2AO＝6，
∵AC⊥BC，平行四边形ABCD的面积为48，
∴AC•BC＝48，
∴BC＝8，
故选：B．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
二．填空题（共12小题，满分48分，每小题4分）
7．（4分）（2021秋•通道县期末）计算：＝　x﹣1　．
【考点】分式的加减法．
【专题】分式；运算能力．
【分析】根据分式的减法运算法则即可求出答案．
【解答】解：原式＝+
＝
＝
＝x﹣1，
故答案为：x﹣1．
【点评】本题考查分式的加减运算，解题的关键是熟练运用分式的加减运算法则，本题属于基础题型．
8．（4分）（2022•涡阳县二模）在实数范围内分解因式：2x2﹣6＝　　．
【考点】实数范围内分解因式；提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】计算题．
【分析】先提取公因式2后，再把剩下的式子写成x2﹣（）2，符合平方差公式的特点，可以继续分解．
【解答】解：2x2﹣6＝2（x2﹣3）＝2（x+）（x﹣）．
故答案为2（x+）（x﹣）．
【点评】本题考查实数范围内的因式分解，因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．在实数范围内进行因式分解的式子的结果一般要分到出现无理数为止．
9．（4分）（2021秋•黄浦区期末）如图，D、E分别是△ABC的边BA、CA延长线上的点，DE∥BC，EA：AC＝1：2，如果＝，那么向量＝　2　（用向量表示）．

【考点】*平面向量．
【专题】图形的相似；推理能力．
【分析】根据相似三角形的判定与性质求出BC＝2ED即可求解．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴△DEA∽△BCA，
∴，
∴ED＝，
∵，
∴，
故答案为：2
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，平面向量等知识，熟练掌握相似三角形判定与性质是解题的关键．
10．（4分）（2022•巴彦县二模）不等式组的解集是　x≥2　．
【考点】解一元一次不等式组．
【分析】分别求出不等式组中两个不等式的解集，再求出其公共部分即可．
【解答】解：，
由①得，x＞﹣1
由②得，x≥2；
∴不等式组的解集为x≥2．
故答案为：x≥2．
【点评】此题主要考查了解一元一次不等式，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
11．（4分）（2022春•渝中区校级月考）某校在“3.12”植树节来临之际，特从初一、初二、高一、高二四个年级中抽调若干学生去植树．已知初一、初二抽调的人数之比为5：3，高一、高二抽调的人数之比为4：3．上午，初一、高一年级平均每人植树的棵数相同且大于3棵小于10棵，高二年级平均每人植树的棵数为初一、初二平均每人植树的棵数之和的2倍，上午四个年级平均每人植树的棵数总和大于30棵小于40棵，上午四个年级一共植树714棵．下午，初二年级因为要回校参加活动不再参与植树活动，高一、高二年级平均每人植树的棵数都有所降低，高一年级平均每人植树的棵数降低50%，高二年级平均每人植树的棵数降为原来的．若初一年级人数及人均植树的棵数不变，高一高二年级人数不变，且四个年级平均每人植树的棵数为整数，则四个年级全天一共植树 　1224　棵．
【考点】分式方程的应用．
【分析】通过设未知数，根据题意列方程，根据实际情况取整，解出答案．
【解答】解：设
年级
初一
初二
高一
高二
抽调植树的人数（人）
5x
3x
4y
3y
上午平均每人植树棵数（棵）
m
n
m
2（m+n）
下午平均每人植树棵数（棵）
m
0
（1﹣50%）m
×2（m+n）
∵上午，初一、高一年级平均每人植树的棵数相同且大于3棵小于10棵，
∴3＜m＜10．
∵上午四个年级平均每人植树的棵数总和大于30棵小于40棵，
∴30＜m+n+m+2（m+n）＜40，
即30＜4m+3n＜40，
∴20＜3m+3n＜37．
又∵下午四个年级平均每人植树的棵数为整数，
∴（m+n）为5的倍数，m为2的倍数，
∴m+n＝10．
∴m取4或6或8．
∵上午四个年级一共植树714棵，
∴5xm+3xn+4ym+3y×2（m+n）＝714，即2xm+30x+4ym+60y＝714．
当m＝4时，代入得38x+76y＝714，两边同时除以38，
x+2y不是整数，所以m＝4舍去；
当m＝6时，代入得42x+84y＝714，两边同时除以42，
x+2y＝17．
当m＝8时，代入得46x+92y＝714，两边同时除以46，
x+2y不是整数，所以m＝8舍去；
所以m＝6．
则下午一共植树5xm+4y×（1﹣50%）m+3y××2（m+n）＝30x+60y＝30（x+2y）＝30×17＝510．
∴四个年级全天一共植树714+510＝1224（棵）．
【点评】本题考查了方程和不等式相结合解决实际问题，要考虑实际取整，通过分类讨论达到解答的目的，综合性比较强．
12．（4分）（2022•新抚区模拟）如图，已知△ABC≌△DCE≌△HEF，三条对应边BC、CE、EF在同一条直线上，连接BH，分别交AC、DC、DE于点P、Q、K，其中S△PQC＝1，则图中三个阴影部分的面积和为　13　．

【考点】相似三角形的判定与性质．
【专题】规律型．
【分析】根据全等三角形对应角相等，可以证明AC∥DE∥HF，再根据全等三角形对应边相等BC＝CE＝EF，然后利用平行线分线段成比例定理求出HF＝3PC，KE＝2PC，所以PC＝DK，设△DQK的边DK为x，DK边上的高为h，表示出△DQK的面积，再根据边的关系和三角形的面积公式即可求出三部分阴影部分的面积．
【解答】解：∵△ABC≌△DCE≌△HEF，
∴∠ACB＝∠DEC＝∠HFE，BC＝CE＝EF，
∴AC∥DE∥HF，
∴＝，＝＝，
∴KE＝2PC，HF＝3PC，
又∵DK＝DE﹣KE＝3PC﹣2PC＝PC，
∴△DQK≌△CQP（相似比为1）
设△DQK的边DK为x，DK边上的高为h，
则xh＝1，整理得xh＝2，
S△BPC＝x•2h＝xh＝2，
S四边形CEKQ＝×3x•2h﹣2＝3xh﹣2＝3×2﹣1＝6﹣1＝5，
S△EFH＝×3x•2h＝3xh＝6，
∴三个阴影部分面积的和为：2+5+6＝13．
故答案为13．
【点评】本题主要利用全等三角形的性质，找出阴影部分的图形边的关系和三角形的面积公式的解题的关键．
13．（4分）（2022春•南海区校级月考）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝3．我们定义：“四个顶点都在三角形边上的正方形是三角形的内接正方形”．
（1）如图1，四边形CDEF是△ABC的内接正方形，则正方形CDEF的边长a1等于 　2　；
（2）如图2，四边形DGHI是（1）中△EDA的内接正方形，那么第2个正方形DGHI的边长记为a2；继续在图2中的△HGA中按上述方法作第3个内接正方形，依此类推，……则第n个内接正方形的边长an＝　　．（n为正整数）

【考点】相似三角形的判定与性质；规律型：图形的变化类．
【专题】图形的相似．
【分析】（1）由正方形的性质可以得出△BFE∽△BCA，再根据相似三角形的性质就可以把正方形CDEF的边长表示出来，从而得出结论．
（2）由正方形的性质可以得出△EIH∽△EDA，再根据相似三角形的性质就可以把正方形IDGF的边长表示出来，从而得出结论，通过计算得出的结论寻找其中的变化规律就可以得出第n个内接正方形的边长的值．
【解答】解：（1）四边形CDEF是正方形，
∴EF＝FC，EF∥FC，
∴△BFE∽△BCA，
∴＝，
∴＝，
∴a1＝2，
故答案是：2；
（2）如图（2）四边形DGHI是正方形，
∴IH＝ID，IH∥AD，
∴△EIH∽△EDA，
∴＝，
∴＝，
∴a2＝，
如图3中，由以上同样的方法可以求得正方形PGQS的边长为：＝，
第4的个正方形的边长为：＝，
…
第n个内接正方形的边长an＝，
故答案为：＝．


【点评】本题考查了正方形的性质的运用，相似三角形的判定与性质，勾股定理的运用及规律的探索．
14．（4分）（2022春•洪泽区期中）王老师为了解本班学生对新冠病毒防疫知识的掌握情况，对本班45名学生的新冠病毒防疫知识进行了测试，并把测试成绩分为5组，第1～4组的频数分别为12，10，6，8，则第5组的频率是 　0.2　．
【考点】频数与频率．
【专题】数据的收集与整理；数据分析观念．
【分析】先计算出第5组的频数是45﹣（12+10+6+8）＝4，再根据频率＝频数÷总数即可求解．
【解答】解：∵有45个数据，共分成5组，第1～4组的频数分别为12，10，6，8，
∴第5组的频数是45﹣（12+10+6+8）＝9，
∴第5组的频率是＝0.2．
故答案为0.2．
【点评】本题是对频率、频数灵活运用的综合考查，各小组频数之和等于数据总和，各小组频率之和等于1．
15．（4分）（2021秋•玄武区期末）已知边长为2的正三角形，能将其完全覆盖的最小圆的面积为 　　．
【考点】正多边形和圆；等边三角形的性质；三角形的外接圆与外心．
【专题】正多边形与圆；运算能力．
【分析】先求出边长为2的正三角形的外接圆的半径，再求出其面积即可．
【解答】解：连接OB、OC，过O作OD⊥BC于D，
∵△ABC是边长为4的等边三角形，BC＝2，
∴∠BOC＝120°，
∴∠BOD＝∠BOC＝60°，BD＝1，
∴OB＝＝，
∴能够完全覆盖这个正三角形的最小圆的面积为：π×（）2＝，
故答案为：．

【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，根据题意画出图形，掌握正三角形的性质、利用数形结合求解是解答此题的关键．
16．（4分）（2021秋•东莞市期末）边长为2的等边三角形的外接圆的半径为　　．
【考点】三角形的外接圆与外心；等边三角形的性质．
【分析】经过圆心O作圆的内接正n边形的一边AB的垂线OC，垂足是C．连接OA，则在直角△OAC中，∠O＝．OC是边心距r，OA即半径R．根据三角函数即可求解．
【解答】解：如图所示：连接中心和顶点，作出边心距．
则AC＝1，∠O＝＝60°．
那么外接圆半径OA＝＝＝；
故答案为：．

【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心、等边三角形的性质；熟记等边三角形的性质是解决问题的关键．
17．（4分）（2022春•大丰区校级月考）如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝5，AD为中线，则△ABD与△ACD的周长之差＝　3　．

【考点】三角形的角平分线、中线和高．
【专题】三角形；几何直观；推理能力．
【分析】根据三角形的周长的计算方法得到△ABD的周长和△ADC的周长的差就是AB与AC的差．
【解答】解：∵AD为中线，
∴BD＝CD，
则C△ABD﹣C△ACD
＝（AB+AD+BD）﹣（AC+AD+CD）
＝AB+AD+BD﹣AC﹣AD﹣CD
＝AB﹣AC
＝8﹣5
＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查三角形的中线的定义：三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线，同时考查了三角形周长的计算方法．
18．（4分）（2021秋•鼓楼区校级期末）如图，P是⊙O外一点，PB、PC是⊙O的两条切线，切点分别为B、C，若∠P为48°．点A在⊙O上（不与B、C重合），则∠BAC＝　66或114　°．

【考点】切线的性质；圆周角定理．
【专题】与圆有关的位置关系；推理能力．
【分析】连接OB、OC，分点A在优弧BC上、点A在劣弧BC上两种情况，根据切线的性质定理、圆周角定理解答即可．
【解答】解：连接OB、OC，

∵PB、PC是⊙O的两条切线，
∴OB⊥PB，OC⊥PC，
∴∠BOC＝180°﹣∠P＝132°，
当点A在优弧BC上时，∠BAC＝∠BOC＝66°，
当点A′在劣弧BC上时，∠BA′C＝180°﹣66°＝114°，
∴∠BAC的度数为66°或114°，
故答案为：66或114．
【点评】本题考查的是切线的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
三．解答题（共7小题，满分78分）
19．（10分）（2021秋•新田县期末）计算：
+2sin45°．
【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．
【专题】实数；运算能力．
【分析】直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质和特殊角的三角函数值分别化简，进而计算得出答案．
【解答】解：原式＝1﹣+3+
＝1+3
＝4．
【点评】此题主要考查了零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质和特殊角的三角函数值，正确化简各数是解题关键．
20．（10分）（2020•长清区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A在x轴上，顶点C在y轴上，D是BC的中点，过点D的反比例函数图象交AB于E点，连接DE．若OD＝5，tan∠COD＝．
（1）求过点D的反比例函数的解析式；
（2）求△DBE的面积；
（3）x轴上是否存在点P使△OPD为直角三角形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

【考点】反比例函数综合题．
【分析】（1）由四边形OABC是矩形，得到BC＝OA，AB＝OC，根据tan∠COD＝，设OC＝3x，CD＝4x，求出OD＝5x＝5，OC＝3，CD＝4，得到D（4，3），代入反比例函数的解析式即可．
（2）根据D点的坐标求出点B，E的坐标即可求出结论；
（3）分类讨论：当∠OPD＝90°时，过D作PD⊥x轴于P，点P即为所求，当∠ODP＝90°时，根据射影定理即可求得结果．
【解答】解：（1）∵四边形OABC是矩形，
∴BC＝OA，AB＝OC，
∵tan∠COD＝，
∴设OC＝3x，CD＝4x，
∴OD＝5x＝5，
∴x＝1，
∴OC＝3，CD＝4，
∴D（4，3），
设过点D的反比例函数的解析式为：y＝，
∴k＝12，∴反比例函数的解析式为：y＝；

（2）∵点D是BC的中点，
∴B（8，3），
∴BC＝8，AB＝3，
∵E点在过点D的反比例函数图象上，
∴E（8，），
∴S△DBE＝BD•BE＝＝3；

（3）存在，
∵△OPD为直角三角形，
∴当∠OPD＝90°时，PD⊥x轴于P，
∴OP＝4，
∴P（4，0），
当∠ODP＝90°时，
如图，过D作DH⊥x轴于H，
∴OD2＝OH•OP，
∴OP＝＝．
∴P（，O），
∴存在点P使△OPD为直角三角形，
∴P（4，O），（，O）．

【点评】本题考查了待定系数法求函数的解析式，矩形的性质三角形的面积的求法，特别是（3）注意分类讨论，不能漏解．
21．（10分）（2022春•泾阳县月考）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，且∠CAB＝∠CBD，已知AB＝4，AC＝6，BC＝5，BD＝5.5．
（1）求DE的长；
（2）求的值．

【考点】相似三角形的判定与性质；三角形的面积．
【专题】图形的相似；推理能力．
【分析】（1）直接利用相似三角形的判定方法得出△ABC∽△BEC，进而利用相似三角形的性质得出答案；
（2）利用相似三角形的性质可得出，即可求解．
【解答】解：（1）∵∠CAB＝∠CBD，∠ACB＝∠BCE，
∴△ABC∽△BEC，
∴，
∵AB＝4，AC＝6，BC＝5，BD＝5.5，
∴，
解得：DE＝；
（2）∵△ABC∽△BEC，
∴，
∵AC＝6，BC＝5，
∴＝（）2＝．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，正确得出△ABC∽△BEC是解题关键．
22．（10分）（2021秋•平阴县期末）如图，连接A市和B市的高速公路是AC高速和BC高速，现在要修一条新高速AB，在施工过程中，决定在A、B两地开凿隧道，从而将两地间的公路进行改建．汽车原来从A地到B地需途经C地沿折线ACB行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线AB行驶．已知BC＝80千米．∠A＝45°，∠B＝30°．
（1）开通隧道前，汽车从A地到B地要走多少千米？（结果保留根号）
（2）开通隧道后，汽车从A地到B地要走多少千米？（结果保留根号）

【考点】解直角三角形的应用；勾股定理的应用．
【专题】解直角三角形及其应用；几何直观．
【分析】（1）过点C作AB的垂线CD，垂足为D，在直角△BCD中，解直角三角形求出CD，进而解答即可；
（2）在直角△ACD中，解直角三角形求出AD，再求出BD，进而求出答案．
【解答】解：（1）作CD⊥AB于D点，
由题意可知：BC＝80千米．∠A＝45°，∠B＝30°，
∴CD＝BC＝40千米，
∵∠A＝45°，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴AD＝CD＝40千米，
∴AC＝CD＝40（千米），
∴AC+BC＝80+40（千米），
即开通隧道前，汽车从A地到B地要走（80+40）千米；
（2）由（1）知CD＝40千米，
∵CD⊥AB，∠A＝45°，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴AD＝CD＝40千米，
∵∠B＝30°，
∴BD＝（千米），
∴AB＝40+40（千米），
答：开通隧道后，汽车从A地到B地可以走（40+40）千米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．
23．（12分）（2021秋•柯桥区期末）已知：如图，△ABC中，AB＝4，BC＝8，D为BC边上一点，BD＝2．
求证：∠BDA＝∠BAC．

【考点】相似三角形的判定与性质．
【专题】图形的相似；推理能力．
【分析】利用已知的条件可证得△ABD∽△CBA，再利用相似三角形的性质即可求解．
【解答】证明：在△ABC中，AB＝4，BC＝8，BD＝2．
∴，，
∴，
又∵∠ABD＝∠CBA，
∴△ABD∽△CBA，
∴∠BDA＝∠BAC．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性，熟记两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似是解决问题的关键．
24．（12分）（2022•鞍山模拟）抛物线与坐标轴交于A（﹣1，0）、B（4，0）、C（0，4），连接AC、BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，点G是抛物线上第一象限内的一点，连接AG、CG、BG，AG与BC交于点H，当△BHG与△AHC的面积差为1时，求点G的坐标；
（3）如图2，点E是抛物线上第一象限内对称轴右侧的一点，连接EC，点D是抛物线的对称轴上的一点，连接ED、CD，当△CED是以点E为顶点的等腰直角三角形时，直接写出点E的横坐标．

【考点】二次函数综合题．
【专题】代数几何综合题；二次函数图象及其性质；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【分析】（1）把点A、B、C的坐标代入二次函数解析式，利用待定系数法即可得抛物线的解析式；
（2）设G（x，﹣x2+3x+4），根据S△BHG＝S△ABG﹣S△ABH，S△AHC＝S△ABC﹣S△ABH，分两种情况，根据△BHG与△AHC的面积差为1，即可求解；
（3）过点E分别作EM⊥y轴于M，作EN⊥EM，过点D作DN⊥EN，垂足为N，证明△EMC≌△END（AAS），根据全等三角形的性质得CM＝DN，设E（m，﹣m2+3m+4），即4﹣（﹣m2+3m+4）＝m﹣，解方程即可得出答案．
【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，
∵抛物线y＝ax2+bx+c过A（﹣1，0），B（4，0），C（0，4）三点，
∴．
解得：．
∴抛物线对应的二次函数的解析式为y＝﹣x2+3x+4；
（2）设G（x，﹣x2+3x+4），
∵S△BHG＝S△ABG﹣S△ABH，S△AHC＝S△ABC﹣S△ABH，△BHG与△AHC的面积差为1，
∵A（﹣1，0）、B（4，0），
∴AB＝5，
①当S△BHG﹣S△AHC＝1时，
S△BHG﹣S△AHC＝S△ABG﹣S△ABH﹣S△ABC+S△ABH＝S△ABG﹣S△ABC＝1，
∴×5×（﹣x2+3x+4）﹣×5×4＝1，
∴x＝，
∴点G的坐标为（，）或（，）；
②当S△AHC﹣S△BHG＝1时，
S△AHC﹣S△BHG＝S△ABC﹣S△ABH﹣S△ABG+S△ABH＝S△ABC﹣S△ABG＝1，
∴×5×4﹣×5×（﹣x2+3x+4）＝1，
∴x＝或（负值不合题意，舍去），
∴点G的坐标为（，）；
综上，点G的坐标为（，）或（，）或（，）；

（3）∵y＝﹣x2+3x+4，
∴抛物线对称轴为x＝﹣＝，
，点E分别作EM⊥y轴于M，作EN⊥EM，过点D作DN⊥EN，垂足为N，

∴∠CME＝∠DNE＝90°，∠MEN＝90°，
∵△CED是以点E为顶点的等腰直角三角形，
∴∠CED＝90°，
∴∠CEM+∠MED＝∠DEN+∠MED＝90°，CE＝DE，
∴∠CEM＝∠DEN，
∴△EMC≌△END（AAS），
∴CM＝DN，
设E（m，﹣m2+3m+4）（m＞），
∴4﹣（﹣m2+3m+4）＝m﹣，
∴m＝或（不合题意，舍去），
∴点E的横坐标为．
【点评】本题是二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，三角形的面积，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等，其中（2），要注意分类求解，避免遗漏．
25．（14分）（2021秋•金湖县期末）苏科版教材八年级下册第94页第19题，小明在学过圆之后，对该题进行重新探究，请你和他一起完成问题探究．
【问题提出】如图1，点E，F分别在方形ABCD中的边AD、AB上，且BE＝CF，连接BE、CF交于点M，求证：BE⊥CF．请你先帮小明加以证明．

【问题探究】小明把原问题转化为动点问题，如图1，在边长为6cm的正方形ABCD中，点E从点A出发，沿边AD向点D运动，同时，点F从点B出发，沿边BA向点A运动，它们的运动速度都是2cm/s，当点E运动到点D时，两点同时停止运动，连接CF、BE交于点M，设点E，F运动时间为t秒．
（1）如图1，在点E、F的运动过程中，点M也随之运动，请直接写出点M的运动路径长 　　cm．
（2）如图2，连接CE，在点E、F的运动过程中．
①试说明点D在△CME的外接圆⊙O上；
②若①中的⊙O与正方形的各边共有6个交点，请直接写出t的取值范围．
【考点】圆的综合题．
【专题】几何综合题；推理能力．
【分析】【问题提出】利用HL证明△ABE≌△BCF，得∠ABE＝∠BCF，从而证明结论；
【问题探究】（1）由【问题提出】知，∠CMB＝90°，则点M在以CB为直径的圆上，找到起点和终点时点M的位置，从而解决问题；
（2）①由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知OM＝OC＝OE＝OD，则点D、C、M、E在同一个圆（⊙O）上；
②当⊙O与AB相切时，⊙O与正方形的各边共有5个交点，如图5，则有6个交点，所以“当⊙O与AB相切时”是临界情况，当⊙O与AB相切（切点为G），连接OG，并延长GO交CD于点H，则CH＝3，设⊙O的半径为R．由题意得：在Rt△CHO中，32+（6﹣R）2＝R2，则，可知，从而解决问题．
【解答】【问题提出】证明：∵ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠A＝∠ABC＝90°，
在Rt△ABE与Rt△BCF中，AB＝BC，BE＝CF，
∴△ABE≌△BCF（HL），
∴∠ABE＝∠BCF，
∵∠ABE+∠CBM＝90°，
∴∠BCF+∠CBM＝90°，
∴∠CMB＝90°，
∴BE⊥CF；
【问题探究】解：（1）由【问题提出】知，∠CMB＝90°，
∴点M在以CB为直径的圆上，
当t＝0时，点M与点B重合；如图2，

当t＝3时，点M为正方形对角线的交点．点M的运动路径为圆，其路径长，
故答案为：；
（2）①如图3．

由【问题提出】可知：∠CME＝90°，
∴△CME的外接圆的圆心O是斜边CE的中点，
则，
在Rt△CDE中，∠D＝90°，O是CE的中点，
∴，
∴OM＝OC＝OE＝OD，
∴点D、C、M、E在同一个圆（⊙O）上，
即点D在△CME的外接圆⊙O上；
②如图4，当⊙O与AB相切时，⊙O与正方形的各边共有5个交点，

如图5，则有6个交点，所以“当⊙O与AB相切时”是临界情况，

当⊙O与AB相切（切点为G），连接OG，并延长GO交CD于点H，
∵AB与⊙O相切，
∴OG⊥AB，
又∵AB∥CD，
∴OH⊥CD，
∴，
设⊙O的半径为R．由题意得：
在Rt△CHO中，32+（6﹣R）2＝R2，
解得，
∴，
∴，
即
∴如图5，当时，⊙O与正方形的各边共有6个交点．
【点评】本题是圆的综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，切线的性质，直角三角形的性质等知识，找到临界状态是解题的关键．

考点卡片
1．实数的运算
（1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．
（2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．

【规律方法】实数运算的“三个关键”
1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等．
2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算．
3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度．
2．规律型：图形的变化类
图形的变化类的规律题
首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．
3．整式的混合运算
（1）有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．
（2）“整体”思想在整式运算中较为常见，适时采用整体思想可使问题简单化，并且迅速地解决相关问题，此时应注意被看做整体的代数式通常要用括号括起来．
4．提公因式法与公式法的综合运用
提公因式法与公式法的综合运用．
5．实数范围内分解因式
实数范围内分解因式是指可以把因式分解到实数的范围（可用无理数的形式来表示），
一些式子在有理数的范围内无法分解因式，可是在实数范围内就可以继续分解因式．
例如：x2﹣2在有理数范围内不能分解，如果把数的范围扩大到实数范围则可分解
x2﹣2＝x2﹣（）2＝（x+）（x﹣）
6．分式的加减法
（1）同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．
（2）异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减．
说明：
①分式的通分必须注意整个分子和整个分母，分母是多项式时，必须先分解因式，分子是多项式时，要把分母所乘的相同式子与这个多项式相乘，而不能只同其中某一项相乘．
②通分是和约分是相反的一种变换．约分是把分子和分母的所有公因式约去，将分式化为较简单的形式；通分是分别把每一个分式的分子分母同乘以相同的因式，使几个较简单的分式变成分母相同的较复杂的形式．约分是对一个分式而言的；通分则是对两个或两个以上的分式来说的．
7．零指数幂
零指数幂：a0＝1（a≠0）
由am÷am＝1，am÷am＝am﹣m＝a0可推出a0＝1（a≠0）
注意：00≠1．
8．负整数指数幂
负整数指数幂：a﹣p＝1ap（a≠0，p为正整数）
注意：①a≠0；
②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（﹣3）﹣2＝（﹣3）×（﹣2）的错误．
③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数．
④在混合运算中，始终要注意运算的顺序．
9．最简二次根式
最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．

最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．
如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、3、a（a≥0）、x+y等；
含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a2、（x+y）2、x2+2xy+y2等．
10．分母有理化
（1）分母有理化是指把分母中的根号化去．
分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．
例如：①＝＝；②＝＝．
（2）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．
一个二次根式的有理化因式不止一个．
例如：﹣的有理化因式可以是+，也可以是a（+），这里的a可以是任意有理数．
11．分式方程的应用
1、列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．
必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性：如设和答叙述要完整，要写出单位等．
2、要掌握常见问题中的基本关系，如行程问题：速度＝路程时间；工作量问题：工作效率＝工作量工作时间
等等．
列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力．
12．解一元一次不等式组
（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集．
（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．
（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．
方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．
解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
13．反比例函数的性质
反比例函数的性质
（1）反比例函数y＝（k≠0）的图象是双曲线；
（2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；
（3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．
注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点．
14．反比例函数综合题
（1）应用类综合题
能够从实际的问题中抽象出反比例函数这一数学模型，是解决实际问题的关键一步，培养了学生的建模能力和从实际问题向数学问题转化的能力．在解决这些问题的时候我们还用到了反比例函数的图象和性质、待定系数法和其他学科中的知识．
（2）数形结合类综合题
利用图象解决问题，从图上获取有用的信息，是解题的关键所在．已知点在图象上，那么点一定满足这个函数解析式，反过来如果这点满足函数的解析式，那么这个点也一定在函数图象上．还能利用图象直接比较函数值或是自变量的大小．将数形结合在一起，是分析解决问题的一种好方法．
15．二次函数综合题
（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题
解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．
（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用
将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．
（3）二次函数在实际生活中的应用题
从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．
16．三角形的角平分线、中线和高
（1）从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
（2）三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．
（3）三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．
（4）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段．
（5）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．
17．三角形的面积
（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△＝×底×高．
（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
18．等边三角形的性质
（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．
①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．
（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．
等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
19．勾股定理的应用
（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．
（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．
②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．
③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．
④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．
20．平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
21．*平面向量
平面向量．
22．圆周角定理
（1）圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
注意：圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上．②角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．
（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
（3）在解圆的有关问题时，常常需要添加辅助线，构成直径所对的圆周角，这种基本技能技巧一定要掌握．
（4）注意：①圆周角和圆心角的转化可通过作圆的半径构造等腰三角形．利用等腰三角形的顶点和底角的关系进行转化．②圆周角和圆周角的转化可利用其“桥梁”﹣﹣﹣圆心角转化．③定理成立的条件是“同一条弧所对的”两种角，在运用定理时不要忽略了这个条件，把不同弧所对的圆周角与圆心角错当成同一条弧所对的圆周角和圆心角．
23．三角形的外接圆与外心
（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．
（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．
（3）概念说明：
①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．
②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．
③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．
24．切线的性质
（1）切线的性质
①圆的切线垂直于经过切点的半径．
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
（2）切线的性质可总结如下：
如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．
（3）切线性质的运用
由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．
25．正多边形和圆
（1）正多边形与圆的关系
把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．
（2）正多边形的有关概念
①中心：正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心．
②正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径．
③中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．
④边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
26．圆的综合题
圆的综合题．
27．轴对称图形
（1）轴对称图形的概念：
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．
（2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．
（3）常见的轴对称图形：
等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
28．中心对称图形
（1）定义
把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
注意：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同．
（2）常见的中心对称图形
平行四边形、圆形、正方形、长方形等等．
29．相似三角形的判定与性质
（1）相似三角形相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．
（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．
30．特殊角的三角函数值
（1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值．
sin30°＝； cos30°＝；tan30°＝；
sin45°＝；cos45°＝；tan45°＝1；
sin60°＝；cos60°＝； tan60°＝；
（2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．
（3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．
31．解直角三角形的应用
（1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问．
如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度．
（2）解直角三角形的一般过程是：
①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．
②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．
32．频数与频率
（1）频数是指每个对象出现的次数．
（2）频率是指每个对象出现的次数与总次数的比值（或者百分比）．即频率＝频数÷总数
一般称落在不同小组中的数据个数为该组的频数，频数与数据总数的比值为频率．频率反映了各组频数的大小在总数中所占的分量．
33．中位数
（1）中位数：
将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．
如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
（2）中位数代表了这组数据值大小的“中点”，不易受极端值影响，但不能充分利用所有数据的信息．
（3）中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的移动对中位数没有影响，中位数可能出现在所给数据中也可能不在所给的数据中出现，当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其趋势．
34．众数
（1）一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
（2）求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．
（3）众数不易受数据中极端值的影响．众数也是数据的一种代表数，反映了一组数据的集中程度，众数可作为描述一组数据集中趋势的量．．