2021-2022学年四川省内江市威远县凤翔中学八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年四川省内江市威远县凤翔中学八年级（下）期中数学试卷

副标题

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1. 下列各式是分式的是

A.  B.  C.  D.

2. 和点关于轴对称的点是

A.  B.  C.  D.

3. 若分式的值为，则的值为

A.  B.  C.  D.

4. 已知点在平面直角坐标系的第二象限内，则的取值范围在数轴上可表示为

A.  B.  C.  D.

5. 如果把分式中的、同时扩大倍，那么该分式的值

A. 为原来的倍 B. 为原来的 C. 不变 D. 为原来的

6. 小张和小李同学相约利用周末时间到江津科技馆参观，小张家离科技馆米，小李家离科技馆米，小张同学和小李同学同时从家出发，结果小张比小李晚分钟到达科技馆，已知小李步行的速度是小张步行速度的倍，为了求他们各自步行的速度，设小张同学的步行速度是米分，则可列得方程为

A.  B.
C.  D.

7. 一次函数与反比例函数在同一直角坐标系内的图象大致是

A.  B.  C.  D.

8. 如图，过反比例函数的图象上任意两点、分别作轴的垂线，垂足分别为、，连接、，设与的交点为，与梯形的面积分别为、，比较它们的大小，可得

A.
B.
C.
D. 大小关系不能确定
 

9. 如图，点在双曲线上，过作，垂足为，的垂直平分线交于，且，则的周长为

A.
B.
C.
D.

10. 若关于的方程的解是负数，则的取值范围是

A.  B.
C. ，且 D. ，且

11. 反比例函数图象上有三个点，，，其中，则，，的大小关系是

A.  B.  C.  D.

12. 如图．在直角坐标系中，矩形的边在轴上，边在轴上，点的坐标为，将矩形沿对角线翻折，点落在点的位置，且交轴于点那么点的坐标为

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共10小题，共22.0分）

13. 当______时，分式有意义．
14. 某种粒的直径为，用科学记数法表示是______．
15. 函数中，自变量的取值范围是______．
16. 已知，则分式的值为______．
17. 等腰三角形的周长为，则底边长与腰长的函数关系式是______其中的取值范围是______．
18. 已知一次函数，当时，对应的函数的取值范围是，的值为______．
19. 当______时，关于的方程会产生增根．
20. 如图，是反比例函数的常数图象上第二象限内的一点，轴且的面积为，则的值为______．
    
     

21. 如图，函数和的图象分别是和设点在上，轴交于点，轴交于点，的面积为______．
    
     

22. 一次函数的图象不经过第三象限，且关于的分式方程有整数解，则满足条件的整数的和为______．

三、解答题（本大题共6小题，共62.0分）

23. 计算、解方程：
    ；
    ；
    ；
    ；
    ．
24. 先化简，然后从的范围内选取一个合适的整数作为的值代入求值．
25. 某服装厂准备加工套运动服，在加工完套运动服后采用新技术，工作效率比原计划提高，结果共用了天完成任务．问原计划每天加工多少套运动服？
26. 已知一次函数与反比例函数的图象交于，两点．
    求一次函数和反比例函数的解析式；
    求的面积；
    是轴上一点，且，求出点坐标；
    是轴上一点，满足最大，求点的坐标．
    求不等式的解集．直接写出答案

27. 宜宾绿源超市购进、两种白醋，已知每瓶型白醋进价比型贵元，瓶型白醋与瓶型白醋进价共元．两种白醋的销售价格如下表：

求这两种型号的白醋每瓶的进价；
宜宾绿源超市打算购进这两种白醋共瓶，进货总价不超过元，全部售出后总利润不低于元．设应购进型白醋瓶，总利润为元．
求与之间的函数关系式；
求的取值范围，并求出全部售出这批白醋后的最大利润．

28. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，，经过点的直线与轴交于点．
    求直线的解析式；
    点是线段上一动点，若直线把的面积分成：的两部分，请求点的坐标；
    直线上有一个点，过作轴的垂线交直线于点，当时，求点坐标．
    在轴上找一点，使是等腰三角形，求点的坐标直接写结果．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：根据分式的定义，不是分式，故此选项不符合题意；
B.根据分式的定义，不是分式，故此选项不符合题意．
C.根据分式的定义，是分式，故此选项符合题意．
D.根据分式的定义，不是分式，故此选项不符合题意．
故选：．
根据分式的定义进行判断，即可解决此题．
本题主要考查分式的定义，熟练掌握分式的定义是解决本题的关键．
 

2.【答案】

【解析】解：点关于轴对称的点是．
故选：．
根据“关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答．
本题考查了关于轴、轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．
 

3.【答案】

【解析】解：根据题意，得：
且，
解得：；
故选：．
分式的值为零即：分子为，分母不为．
本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：分子为；分母不为这两个条件缺一不可．
 

4.【答案】

【解析】解：根据题意，得：，
解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
故选：．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

5.【答案】

【解析】解：把分式中的、同时扩大倍，那么该分式的值缩小为原来的，
故选：．
根据分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零的数，分式的值不变，可得答案．
本题考查了分式的性质，分式的分子分母都乘以或除以同一个不为零的数，分式的值不变．
 

6.【答案】

【解析】解：设小张同学的步行速度是米分，则小李步行的速度是米分，由题意可得，
．
故选：．
设小张同学的步行速度是米分，则小李步行的速度是米分，根据小张家离科技馆米，小李家离科技馆米，小张同学和小李同学同时从家出发，结果小张比小李晚分钟到达科技馆列出方程即可．
本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的分式方程．
 

7.【答案】

【解析】解：、由反比例函数的图象在一、三象限可知，，，一次函数的图象经过一、三、四象限，故本选项错误；
B、由反比例函数的图象在二、四象限可知，，，一次函数的图象经过一、二、四象限，故本选项错误；
C、由反比例函数的图象在二、四象限可知，，，一次函数的图象经过一、二、四象限，故本选项正确；
D、由反比例函数的图象在二、四象限可知，，，一次函数的图象经过一、二、四象限，故本选项错误．
故选：．
分别根据反比例函数及一次函数图象的特点对四个选项进行逐一分析即可．
本题考查的是反比例函数及一次函数图象，解答此题的关键是先根据反比例函数所在的象限判断出的符号，再根据一次函数的性质进行解答．
 

8.【答案】

【解析】

【分析】
此题主要考查了反比例函数中比例系数 的几何意义，即图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积 的关系即 ．
【解答】
解：由反比例函数系数 的几何意义可得： ；
又 ， ，
所以 ，即 ．
故选 B ．   

9.【答案】

【解析】解：如图所示，
是的垂直平分线，
，
，
点的纵坐标是，
把代入，得，解得，
，
的周长，
故选B．
由于是的垂直平分线，那么，据图可知点的纵坐标是，把代入反比例函数解析式易求，进而可求的周长．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、线段垂直平分线的性质，解题的关键是求出点的坐标．
 

10.【答案】

【解析】解：去分母得：，
解得：，
由分式方程解是负数，得到，且，
解得：，且，
故选：．
分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，由解为负数确定出的范围即可．
此题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，注意分母不为这个条件．
 

11.【答案】

【解析】解：反比例函数中，，
此反比例函数图象的两个分支在一、三象限；
，
点在第一象限，；
，
点，在第三象限，随的增大而减小，故，
由于，则在第一象限，在第三象限，所以，，，
于是．
故选：．
先根据反比例函数判断出函数图象所在的象限，再根据，判断出三点所在的象限，再根据点在各象限坐标的特点及函数在每一象限的增减性解答．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：当时，图象分别位于第一、三象限，横纵坐标同号；当时，图象分别位于第二、四象限，横纵坐标异号．
 

12.【答案】

【解析】解：如图，过作于，
点的坐标为，
，，
根据折叠可知：，
而，，
≌，
，，
设，那么，，
在中，，
，
，
又，
，
∽，
而，
，
，
即，
，，
，
的坐标为
故选：．
如图，过作于，根据折叠可以证明≌，然后利用全等三角形的性质得到，，设，那么，，利用勾股定理即可求出的长度，而利用已知条件可以证明∽，而，接着利用相似三角形的性质即可求出、的长度，也就求出了的坐标．
此题主要考查了图形的折叠问题，也考查了坐标与图形的性质，解题的关键是把握折叠的隐含条件，利用隐含条件得到全等三角形和相似三角形，然后利用它们的性质即可解决问题．
 

13.【答案】

【解析】解：当，即时，分式有意义．故答案为．
分母不为零，分式有意义，根据分母不为，列式解得的取值范围．
本题主要考查分式有意义的条件：分式有意义，则分母不能为．
 

14.【答案】

【解析】解：某种粒的直径为，用科学记数法表示是．
故答案为：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

15.【答案】且

【解析】解：根据题意得：且，
解得：且．
故答案为：且．
根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于，分母不等于，可以求出的范围．
考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为；
当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
 

16.【答案】

【解析】解：，
，，
．
．
故答案为：．
由已知条件可知，根据分式的基本性质，先将分式的分子、分母同时除以，再把代入即可．
本题主要考查了分式的基本性质及求分式的值的方法，把作为一个整体代入，可使运算简便．
 

17.【答案】 

【解析】解：因为等腰三角形的两腰相等，周长为，
所以，所以底边长与腰长的函数关系式为：；
两边之和大于第三边，，
所以，同时，所以，
所以的取值范围是：．
故答案为：；．
等腰三角形的两个腰是相等的，根据题中条件即可列出腰长和底边长的关系式．
本题主要考查对于一次函数关系式的掌握以及三角形性质的应用．
 

18.【答案】或

【解析】解：当时，的取值范围是，
当时，当时，，
当时，，
解得，，
当时，当时，，
当时，，
解得，，
的值为或．
故答案为：或．
根据题意，分两种情况：当时，当时，取最小值；当时，取最大值；当时，当时，取最大值；当时，取最小值；分别求出的值即可．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
 

19.【答案】或

【解析】解：方程两边都乘，得
，
最简公分母为，
原方程增根为或，
把代入整式方程，得，解得；
把代入整式方程，得，解得．
故答案为：或．
增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为的根．把增根代入化为整式方程的方程即可求出的值．
考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：
化分式方程为整式方程；
把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
 

20.【答案】

【解析】解：轴且的面积为，
，
故答案为：．
根据反比例函数的几何意义求即可．
本题考查了反比例函数的几何意义，注意的符合是关键．
 

21.【答案】

【解析】解：设点，则点，，
，，
，
故答案为：．
设点，则点，，得到，的长，最后求得的面积．
本题考查了反比例函数的图象上点的坐标特征，直角三角形的面积，解题的关键是熟知反比例函数图象上点的坐标的特征．
 

22.【答案】

【解析】解：一次函数的图象不经过第三象限，
，
解得，
由可得：，
关于的分式方程有整数解，为整数，
，，，
解得或或或或，
由上可得，或，
，
满足条件的整数的和为，
故答案为：．
根据一次函数的图象不经过第三象限，且关于的分式方程有整数解，可以求得的整数值，然后将它们相加即可．
本题考查一次函数的性质、分式方程的解，解答本题的关键是求出的整数值．
 

23.【答案】解：


；





；





；

，
，
方程两边都乘，得，
解得：，
检验：当时，，
所以是原分式方程的解，
即原分式方程的解是；

，
，
方程两边都乘，得，
解得：，
检验：当时，，
所以是增根，
所以原分式方程无实数根．

【解析】先根据算术平方根的定义，负整数指数幂，零指数幂和绝对值进行计算，再算乘法，最后算加减即可；
先根据分式的除法法则把除法变成乘法，再根据分式的乘法法则进行计算，再根据分式的减法法则进行计算即可；
先根据分式的减法法则算括号里面的，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，再根据分式的乘法法则进行计算即可；
方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可；
方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可．
本题考查了零指数幂，负整数指数幂，实数的混合运算，分式的混合运算和解分式方程等知识点，能正确根据实数的运算法则进行计算是解的关键，能正确根据分式的运算法则进行化简是解的关键，能把分式方程转化成整式法则是解的关键．
 

24.【答案】解：
，
，
，
，
且，，，是整数，
时，原式．

【解析】本题考查分式的化简求值、估算无理数的大小，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法，注意取得的的值必须使得原分式有意义．
根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后在中选取一个使得原分式有意义的整数值代入化简后的式子即可解答本题．
 

25.【答案】解：设原计划每天加工套运动服，则采用了新技术每天加工套运动服，
由题意得，，
解得：，
经检验：是原分式方程的解，
答：原计划每天加工套运动服．

【解析】设原计划每天加工套运动服，则采用了新技术每天加工套运动服，根据共用了天完成全部任务，列方程求解即可．
本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系列出方程．
 

26.【答案】解：将点代入反比例函数，
得，
，
将点代入，
得，
解得，
，
将，点坐标代入一次函数，
得，
解得，
；
设直线与轴的交点为，
则，
，
，，
的面积为；
是轴上一点，且，
，
解得，
或．
过点作关于轴对称，连接交轴于点，如图所示：

则此时最大为，
根据对称可知，
设的解析式：，
代入和，
得，
解得，
的解析式：，
当时，解得，
；
根据图象可知，不等式的解集是：或．

【解析】待定系数法求解析式；
先求出直线与轴的交点为，再求出与的面积即可；
根据题意，先求出的长，进一步求出点坐标；
过点作关于轴对称，连接交轴于点，根据轴对称性质，可得坐标，求出的解析式，即可求出点坐标；
根据图象即可确定解集．
本题考查了反比例函数的综合，涉及三角形面积，轴对称，最值问题，不等式等，综合性比较强，灵活运用所学知识是解题的关键．
 

27.【答案】解：设型白醋的进价为元瓶，型白醋的进价为元瓶，
根据题意得：，
解得：．
答：型白醋的进价为元瓶，型白醋的进价为元瓶；
设应购进型白醋瓶，总利润为元，则购进型白醋瓶，
根据题意得：；
根据题意得：，
解得：．
与之间的函数关系式为一次函数，且，
随的增大而减小，
当时，取最大值，最大值为．
综上所述，的取值范围为，全部售出这批白醋后的最大利润为元．

【解析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据数量关系，找出关于的函数关系式；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组，根据一次函数的性质结合的取值范围确定的最大值．
设型白醋的进价为元瓶，型白醋的进价为元瓶，根据“每瓶型白醋进价比型贵元，瓶型白醋与瓶型白醋进价共元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设应购进型白醋瓶，总利润为元，则购进型白醋瓶，根据总利润单瓶利润销售数量，即可找出与之间的函数关系式；
根据进货总价不超过元结合全部售出后总利润不低于元，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．
 

28.【答案】解：由得：，，
点．
设直线的解析式为：
，
解得：，
直线的解析式为；
，，．
，
，
设，，
当：：时，即，
，
，
；
当：：时，即，
，
，
．
综上，点的坐标为或；
设，则，
，
，
，
或，
或．
若是等腰三角形可分三种情况：
若，
，
，
点．
若，
，，
，
，
点为或．
若，
设，则，
在中，根据勾股定理可得：，
解得：，
点为，
综上所述：点的坐标为或或或．

【解析】根据题意，求得点的坐标，结合的坐标，利用待定系数法求解析式即可；
求出，设，分两种情况：：：时，：：时，分别求得的值，进而求得点的坐标；
设，则，由题意列出关于的方程，则可得出答案；
分三种情况，由等腰三角形的性质可得出答案．
本题是一次函数综合题，考查了坐标与图形的性质，待定系数法，勾股定理，三角形的面积，等腰三角形的性质，熟练掌握待定系数法是解题的关键．