2021-2022学年江西省吉安市永丰县九年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2021-2022学年江西省吉安市永丰县九年级（下）期中数学试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年江西省吉安市永丰县九年级（下）期中数学试卷副标题题号一二三总分得分      一、选择题（本大题共6小题，共18.0分）的倒数是A.  B.  C.  D. 如图，该几何体的左视图是A.
B.
C.
D.
 如图，直线，，，则A.
B.
C.
D. 某校有名学生，随机抽取了名学生进行体重调查，下列说法错误的是A. 总体是该校名学生的体重 B. 个体是每一个学生
C. 样本是抽取的名学生的体重 D. 样本容量是如图，四边形是的内接四边形，，，，，则的长为A.
B.
C.
D. 二次函数的图象如图，给出下列列结论：
．
其中，正确结论的结论是A.
B.
C.
D.  二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）地球上的海洋面积约为，用科学记数法表示应为______ ．若，则的值为______ ．已知两个相似多边形的周长比为：，它们的面积和为，则较小多边形的面积是______．关于的方程有两实数根，且，则的值为______．如图，点，，分别在正方形的边，，上，若，，则 ______ ．


  如图，在矩形中，，，点在边上运动，将沿翻折，使点落在点处，若有两条边存在倍的数量关系，则点到的距离是______． 三、解答题（本大题共12小题，共84.0分）计算：．如图，分别以的边、向外作等边和等边，直线与直线相交于点求证：．
  先化简，再求值：，请从不等式组的整数解中选择一个你喜欢的数求值．现有四张完全相同的不透明卡片，其正面分别写有数字，，，，把这四张卡片背面朝上洗匀后放在桌面上．
随机抽取一张卡片，则抽取的卡片上数字为负数的概率等于______；
先随机抽取一张卡片，其上的数字作为点的横坐标，然后放回并洗匀，再随机抽取一张卡片，其上的数字作为点的纵坐标，试用画树状图或列表的方法求出点在直线上的概率．如图，已知菱形，请仅用无刻度直尺按下列要求作图保留作图痕迹．
如图，点，分别是，的中点，以为边画一矩形；
如图，点是对角线上的点，，，以为边画一个正方形．
如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点．
求一次函数和反比例函数的表达式；
直线交轴于点，点是轴上的点，若的面积是，求点的坐标．
如表是年三月份某居民小区随机抽取户居民的用水情况：月用水量吨户数______，补全图中三月份用水量的条形统计图；
根据上表中的有关信息，分别写出众数______，中位数______．
为了倡导节约用水的常识，自来水公司实行“梯级用水，分类计费”，价格表如下：月用水梯级标准Ⅰ级吨以内含吨Ⅱ级超过吨的部分单价元吨如果该小区有户家庭，请估算该小区三月份有多少户家庭在Ⅰ级标准？
按上表收费，如果某用户本月交水费元，请问该用户本月用水多少吨？
某超市销售、两款保温杯，已知款保温杯的销售单价比款保温杯多元，用元购买款保温杯的数量与用元购买款保温杯的数量相同．
、两款保温杯的销售单价各是多少元？
由于需求量大，、两款保温杯很快售完，该超市计划再次购进这两款保温杯共个，且款保温杯的数量不少于款保温杯数量的两倍．若款保温杯的销售单价不变，款保温杯的销售单价降低，两款保温杯的进价每个均为元，应如何进货才能使这批保温杯的销售利润最大，最大利润是多少元？小明在学校阅览室看到如图所示的一个报刊支架，图为它的侧面示意图，已知，．
如图，挂在处报纸的垂落长度是，为了摆放的整齐和美观，要求报纸与地面的距离至少为，通过计算说明该报纸挂在点处是否合理？
如图，小明站在报刊支架前的点处观察报刊支架点、、在同一水平线上，测得，小明的眼睛到地面的高度为，当小明的视线恰好落在点处时，求的度数．结果精确到参考数据：，，，，，，，，
如图，与等边的边，分别交于点，，是直径，过点作于点．
求证：是的切线；
连接，当是的切线时，求的半径与等边的边长之间的数量关系．


  如图，若抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点，直线经过点，．
求抛物线的解析式；
点是直线下方抛物线上一动点，过点作轴于点，交于点，连接．
线段是否有最大值？如果有，求出最大值；如果没有，请说明理由；
在点运动的过程中，是否存在点，恰好使是以为腰的等腰三角形？如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
已知，如图，图，在等腰三角形中，平面内任意一点，连接，点是的中点．的角平分线交于点，点是射线上的一个动点，且若，是射线上的两个动点点在点的左侧，，点始终是的中点，连接，，，，四边形是平行四边形．
【感知探究一】
如图，当点在线段上时，与的位置关系为______，与的数量关系为______；
【感知探究二】
如图，当点不在射线上时，连接，试问与的数量关系和位置关系怎样？请说明理由；
【应用升华】
如图，在中，于点，于点，，，连接，点是中点，连接，若，，，求的长．

答案和解析 1.【答案】【解析】解：的倒数是，
故选：．
根据乘积为的两个数互为倒数，可得一个数的倒数．
本题考查了倒数，分子分母交换位置是求一个数的倒数的关键．
 2.【答案】【解析】解：从左面看该几何体所得到的图形是一个长方形，被挡住的棱用虚线表示，图形如下：

故选：．
根据左视图的意义，从左面看该几何体所得到的图形即可，注意能看见的轮廓线用实线表示，看不见的轮廓线用虚线表示．
本题考查简单几何体的三视图，理解视图的意义是画三视图的前提，理解能看见的轮廓线用实线表示，看不见的轮廓线用虚线表示是得出正确答案的关键．
 3.【答案】【解析】解：，，
，
，，
，
故选：．
根据“两直线平行，内错角相等”，再根据三角形的外角定理求解即可．
此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理及三角形外角定理是解题的关键．
 4.【答案】【解析】解：总体是该校名学生的体重，说法正确，故A不符合题意；
B.个体是每一个学生的体重，原来的说法错误，故B符合题意；
C.样本是抽取的名学生的体重，说法正确，故C不符合题意；
D.样本容量是，说法正确，故D不符合题意．
故选：．
总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．
此题主要考查了总体、个体、样本、样本容量，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．
 5.【答案】【解析】解：延长、交于，

四边形是的内接四边形，
，
，
，，
，
，
，，，，
设，则，，
，，
，，，
，
，
解得：，
即，
故选：．
延长、交于，根据圆内接四边形的性质得出，求出，，，根据直角三角形的性质得出，，，，设，则，，求出，，，根据得出，求出，再求出即可．
本题考查了圆内接四边形的性质，直角三角形的性质等知识点，能构造出直角三角形是解此题的关键，注意：圆内接四边形的对角互补．
 6.【答案】【解析】解：由图象可得时，，
，正确．
抛物线开口向下，
，
由抛物线对称轴的位置可得，
，即，正确．
设抛物线与轴的交点为，，则，
由图象不能判断与的大小关系，
与的大小关系不能确定，错误．
时，，，
，
，，
，，，
，正确．
故选：．
由是判断，由抛物线开口方向可得，由抛物线对称轴位置可得，从而判断，由一元二次方程根与系数的关系可得，从而判断，由，及，，可判断．
本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，掌握二次函数的性质．
 7.【答案】【解析】解：将用科学记数法表示为．
故答案为．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 8.【答案】【解析】解：，




，
故答案为：．
把变形，将代入即可得答案．
本题考查整式的变形及整体代入求值，解题的关键是用平方差公式变形．
 9.【答案】【解析】解：两个相似多边形的周长比为：，
两个相似多边形的面积比为：，
设较小多边形的面积为，则较大多边形的面积为，
它们的面积和为，
，
，
较小多边形的面积是，
故答案为：．
根据相似多边形的性质可得，两个相似多边形的面积比为：，从而设设较小多边形的面积为，则较大多边形的面积为，然后根据它们的面积和为，
列出关于的方程，进行计算即可解答．
本题考查了相似多边形的性质，熟练掌握相似多边形的性质是解题的关键．
 10.【答案】【解析】解：根据题意，得，
解得，
，，
，
解得舍或，
故答案为：．
根据题意可知判别式，求出的取值范围，再根据根与系数的关系可得，，根据完全平方公式可得列方程即可求出．
本题考查了一元二次方程，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键，注意判别式大于等于这个隐含的条件．
 11.【答案】【解析】解：四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
故答案为．
由正方形的性质可得，，通过证明∽，可得，可求解．
本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，证明∽是解题的关键．
 12.【答案】或【解析】解：如图，连接交于点，作于点，则，
四边形是矩形，，，
，，
点在边上运动，，
，
不存在的情况；
当点与点重合时，最大，此时，
，
，
不存在的情况；
当时，则，
，
由翻折得垂直平分，，
四边形，
，
，
，
，
，
；
当时，则，
，
，
，
是等边三角形，
，，
，
，
综上所述，点到的距离为或，
故答案为：或．
连接交于点，作于点，先由点在边上运动证明不存在和的情况，这样还存在两种情况，一是时，则，先求出，再根据面积等式列方程求得，再证明，则，可求得；二是时，则，所以，则，于是得是等边三角形，则，，所以，得．
此题考查矩形的性质、轴对称的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．
 13.【答案】解：原式
．【解析】直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质、绝对值的性质分别化简，进而计算得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
 14.【答案】证明：在等边和等边中，
，，，，
，
，
即，
在和中，
，
≌，
．【解析】根据等边三角形的性质，可得，，，进一步即可证明≌，即可得证．
本题考查了全等三角形的判定和性质，涉及等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质和全等三角形的判定方法是解题的关键．
 15.【答案】解：



，
，
解不等式得：，
解不等式得：，
原不等式组的解集为：，
该不等式组的整数解为：，，，，
，，
当时，原式．【解析】先算除法，再算加法，然后把的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
本题考查了分式的化简求值，一元一次不等式组的整数解，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 16.【答案】【解析】解：随机抽取一张卡片，则抽取的卡片上数字为负数的概率等于；
故答案为：；

根据题意画图如下：

共有个可能的结果，点在直线上有种，
则点在直线上的概率是．
由概率公式即可得出结果；
直接利用树状图法列举出所有可能，进而得出答案．
此题主要考查了树状图法求概率、概率公式、一次函数图象上点的坐标特征，正确列举出所有可能是解题关键．
 17.【答案】解：如图中，矩形即为所求；
如图中，正方形即为所求．
 【解析】连接，交于点，连接，延长交于点，连接，延长交于点，连接，，，四边形即为所求；
连接交于点，延长交于点，连接，延长交于点，连接交于点，连接，四边形即为所求．
本题考查作图复杂作图，菱形的性质，矩形的判定和性质，正方形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 18.【答案】解：将点代入，得：，
，
当时，，
，
将、代入，
得：，
解得，
；
一次函数解析式为，反比例函数解析式为；
在中，当时，，
解得，
，
设，
则，
，
，
解得或，
点的坐标为或．【解析】本题主要考查反比例函数与一次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式．
先根据点坐标求出反比例函数解析式，再求出点的坐标，继而根据点、坐标可得直线解析式；
先根据直线解析式求出点的坐标，再设，知，根据求出的值即可得出答案．
 19.【答案】    【解析】解：，
这户家庭三月份用电量的条形统计图：

故答案为；

根据题意可知，出现的次数最多，则众数为，
由表可知，共有个数据，则中位数为第、个的平均数，即为；
故答案为，；

小区三月份达到Ⅰ级标准的用户数：
户，
答：该小区三月份有户家庭在Ⅰ级标准；

，
该用户本月用水超过了吨，
设该用户本月用水吨，
，
解得，
答：该用户本月用水吨．
根据各用户数之和等于数据总和即可求出的值，根据表格数据补全统计图；
根据众数、中位数、平均数的定义计算即可；
用达标的用户数除以总用户数，乘以即可；
设该用户本月用水吨，列方程，解答即可．
本题考查了条形统计图的应用和众数、中位数，用样本估计总体．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键，条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
 20.【答案】解：设款保温杯的单价是元，则款保温杯的单价是元，
，
解得，，
经检验，是原分式方程的解，
则，
答：、两款保温杯的销售单价分别是元、元；
设购买款保温杯个，则购买款保温杯个，利润为元，
，
款保温杯的数量不少于款保温杯数量的两倍，
，
解得，，
当时，取得最大值，此时，，
答：当购买款保温杯个，款保温杯个时，能使这批保温杯的销售利润最大，最大利润是元．【解析】根据题意可以列出相应的分式方程，从而可以求得、两款保温杯的销售单价，注意分式方程要检验；
根据题意可以得到利润与购买款保温杯数量的函数关系，然后根据款保温杯的数量不少于款保温杯数量的两倍，可以求得款保温杯数量的取值范围，再根据一次函数的性质，即可求得应如何进货才能使这批保温杯的销售利润最大，最大利润是多少元．
本题考查分式方程的应用、一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和分式方程的知识解答，注意分式方程要检验．
 21.【答案】解：过点作，垂足为，

，，
，
在中，，
，
，
该报纸挂在点处不合理；
过点作，垂足为，过点作，垂足为，

则，，
，
，
由得：
，
在中，，
，
，
在中，，
，
的度数为．【解析】过点作，垂足为，利用等腰三角形的三线合一性质可求出的度数，然后在中，利用锐角三角函数定义求出的长，进行计算即可解答；
过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据题意可得，，从而可求出的长，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出，的长，最后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，等腰三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 22.【答案】证明：连接，如图所示：

，，
是等边三角形，
，
，
又，
，
，
即是的切线；
设半径为，等边的边长为，
由可知：，则，
在中，，，
，
，
又是的切线，
是直角三角形，且，，
，
，
解得：，
即，
的半径与等边的边长之间的数量关系为：．【解析】连接，根据已知条件可推出是等边三角形，利用即可证明，进而即可知，即可求证；
用含有和的式子分别表示出和的长，根据列出等式即可找到与的数量关系．
本题考查圆切线的判定与性质以及等边三角形的性质，熟练掌握圆切线的判定与性质以及等边三角形性质，以及利用已知条件分别表示出和的长，根据列出等式是解决本题的关键．
 23.【答案】解：对于，令，，，，
故点、的坐标分别为、，
将点、的坐标代入抛物线表达式得：，解得：，
故抛物线的表达式为：；
设：点，则点，
有，理由：，
，故有最大值，当时，最大值为：；
存在，理由：
；
；
；
Ⅰ当时，则，
解得：或舍去，
故，故点；
Ⅱ当时，则，
解得：或舍去和，
故，则，
故点
综上，点的坐标为：或【解析】由直线表达式求出点、的坐标，将点、的坐标代入抛物线表达式，即可求解；
根据即可求解；
分、两种情况，分别求解即可．
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、等腰三角形的性质等，其中，要注意分类求解，避免遗漏．
 24.【答案】  【解析】解：如图中，

，平分，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
故答案为：，；

如图中，结论：，．
理由：连接．

四边形是平行四边形，
与互相平分，
，
点是的中点，
，，
，，
，
，
，，
；

如图中，延长交的延长线与点．

，，
，
，
，，
≌，
，
，，
，
，
，，
，
在中，，，，
，
，
，
利用平行四边形的性质，等腰三角形的性质证明即可；
结论：，连接利用三角形中位线定理，平行四边形的性质证明即可；
如图中，延长交的延长线与点证明≌，推出，再证明，可得，解直角三角形求出，可得结论．
本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．