重庆市南开中学校2022届高三第十次质量检测数学试题

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重庆市南开中学校2022届高三第十次质量检测数学试题

试卷副标题

考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

请点击修改第I卷的文字说明

1．已知全集，集合，则（       ）

A． B．

C． D．

2．圆：与圆：的位置关系为（       ）

A．相交 B．相离 C．外切 D．内切

3．函数的图像大致为（       ）

A． B．

C． D．

4．已知e是自然对数的底数，，则a，b，c的大小关系为（       ）

A． B．

C． D．

5．若，则（       ）

A． B．0 C．1 D．2

6．已知抛物线的焦点为F，A为抛物线C上一点，直线AF交抛物线C的准线l于点B，且，则（       ）

A． B．4 C． D．6

7．已知且，则的值为（       ）

A． B． C． D．

8．中国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍者，下有表有广，而上有表无广．刍，草也，甍，屋盖也”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱．刍甍字面意思为茅草屋顶．”现有一个刍甍如图所示，四边形为正方形，为两个全等的等腰梯形，，则此刍甍的外接球的表面积为（       ）

A． B． C． D．

9．已知复数，则下列说法正确的是（       ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

10．已知点P是的中线BD上一点（不包含端点）且，则下列说法正确的是（       ）

A． B．

C． D．

11．已知正四棱锥的侧面是边长为6的正三角形，点M在棱PD上，且，点Q在底面及其边界上运动，且面，则下列说法正确的是（       ）

A．点Q的轨迹为线段

B．与CD所成角的范围为

C．的最小值为

D．二面角的正切值为

12．信息技术编程中会用到“括号序列”，一个括号序列是由若干个左括号和若干个右括号组成．合法括号序列可以按如下方式定义：①序列中第一个位置为左括号；②序列中左括号与右括号个数相同；③从序列第一个位置开始任意截取一个连续片段，该片段中左括号的个数不少于右括号的个数．例如（）（（））和（）（）都是合法括号序列，而（））（，）（）和（））（（）都不是合法括号序列．一个合法括号序列中包含的左括号和右括号的个数之和称为该序列的长度．若A和B都是括号序列，则AB表示将B拼接在A后得到的括号序列．根据以上信息，下列说法中正确的是（       ）

A．如果A，B是合法括号序列，则也是合法括号序列

B．如果是合法括号序列，则A，B一定都是合法括号序列

C．如果是合法括号序列，则A也是合法括号序列

D．长度为8的合法括号序列共有14种

第II卷（非选择题）

请点击修改第II卷的文字说明

13．双曲线的渐近线方程为，则________．

14．2021年10月26日国务院印发《2030年前碳达峰行动方案》，要求我国二氧化碳排放力争于2030年前达到峰值．低碳生活已经深入民心，新能源汽车备受欢迎，下表是某地区近5个月新能源汽车的销售量统计表：

若根据表中数据求得的x与y的线性回归方程为，则________．

15．若关于x的方程有解，则实数a的取值范围为________．

16．设函数，数列满足，则数列的前100项之和为_______．

17．已知等比数列满足：，．

(1)求数列的通项公式；

(2)求数列的前n项和．

18．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，D为BC边上一点，，．

(1)证明：；

(2)若，求的面积．

19．2022年3月23日“天宫课堂”第二课在中国空间站开讲，神舟十三号乘组航天员翟志刚、王亚平、叶光富相互配合进行授课，中央广播总台面向全球进行现场直播．此次授课活动采取天地对话方式进行，由航天员在轨演示太空“冰雪”实验、液桥演示实验、水油分离实验、太空抛物实验，介绍与展示空间科学实施，皆在传播普及空间科学知识，激发广大青年不断追寻“科学梦”实现“航天梦”的热情．某校组织在校中学生观看学习“天宫课堂”，并对其中500名学生进行了一次“飞天宇航梦”的调查，得到如下的两个等高条形图，其中被调查的男女学生比例为3：2．

(1)求m，n的值（结果用分数表示）；

(2)完成以下表格，并根据表格数据判断能否有的把握认为学生性别和有飞天宇航梦有关?

(3)在抽取的样本女生中，按有无飞天宇航梦用分层抽样的方法抽取5人．若从这5人中随机抽取3人进一步调查，求抽到有飞天宇航梦的女生人数X的分布列及数学期望．

附表：

．

20．在三棱柱中，，平面平面，E，F分别为线段的中点．

(1)求证：；

(2)若，直线与平面所成角的正弦值为，且，求三棱锥的体积．

21．已知函数

(1)当时，求的单调区间；

(2)若过原点作曲线的切线有两条，求a的取值范围，并证明这两条切线的斜率互为相反数．

22．已知点，动点到直线的距离为，且，记的轨迹为曲线．

(1)求的方程；

(2)过作圆的两条切线、（其中、为切点），直线、分别交的另一点为、．从下面①和②两个结论中任选其一进行证明．

①为定值；

②．

参考答案：

1．A

【解析】

【分析】

求出，即得解.

【详解】

解：由题得, 所以.

故选：A

2．A

【解析】

【分析】

根据圆心距以及圆的半径确定正确选项.

【详解】

圆：的圆心为，半径为.

圆：的圆心为，半径为.

，，

所以两圆相交.

故选：A

3．A

【解析】

【分析】

利用函数的奇偶性和特殊区间的函数值确定正确选项.

【详解】

解：的定义域为，，所以为奇函数，排除CD选项.

当时，，，由此排除B选项.

故选：A

4．A

【解析】

【分析】

根据的单调性可得，再由的符号，判断a，b，c的大小.

【详解】

由，而为增函数，

所以，而，故.

故选：A

5．C

【解析】

【分析】

利用赋值法分别赋值和求系数和，即得.

【详解】

∵，

令，则，即，

令，则，即，

，即.

故选：C.

6．D

【解析】

【分析】

根据抛物线的定义及三角形平行线分线线段成比例定理即可求解.

【详解】

由题意可知，过点作交于点，直线交轴于点,如图所示

由，得，即.

在中，，

由，得，即，所以,即,

所以,

由抛物线的定义知，.

故选：D.

7．D

【解析】

【分析】

根据正弦二倍角公式及辅助角公式，再利用三角函数的齐次式即可求解.

【详解】

由且，得

所以

.

所以的值为.

故选：D.

8．C

【解析】

【分析】

设，取中点为N，设，求出即得解.

【详解】

解：设，取中点为N，由题意知，球心O在直线上，

由可得，

设，则，

解得，故，

所以外接球的表面积.

故选：C

9．BD

【解析】

【分析】

对于A，举例判断，对于B，由复数相等的条件和复数的模的计算分析判断，对于C，两个虚数无大小关系，对于D，对已知的式子化简变形即可

【详解】

对于A，若，则满足，而不满足，所以A错误，

对于B，由，得，

所以或，所以或，所以，所以B正确，

对于C，因为两个虚数的模可以比较大小，而两个虚数不能比较大小，所以C错误，

对于D，由，得，所以，所以D正确，

故选：BD

10．AC

【解析】

【分析】

可以证明. 所以选项A正确，选项B错误；利用基本不等式证明选项C正确；利用基本不等式和对数函数的运算和性质证明选项D错误.

【详解】

解：因为，所以,

又三点共线，所以. 所以选项A正确，选项B错误；

，所以（当且仅当时等号成立），所以选项C正确；

因为，（当且仅当时等号成立）

所以，所以选项D错误.

故选：AC

11．ACD

【解析】

【分析】

作出与面平行且过的平面，即可得出点Q的轨迹判断A，当点在处时，异面直线所成角小于可判断B，当时求出可判断C，作出二面角的平面角求正切值判断D即可.

【详解】

对于A，取点,，使得，，连接,，如图，

由线段成比例可得，平面，平面，

所以平面，同理可得平面，

又平面，，所以平面平面，

故当点时，总有面，所以点Q的轨迹为线段，故A正确；

对于B，由知与CD所成角即为与NE所成角，在中，，由余弦定理可得，由，可知，即运动到点时，异面直线所成的角小于，故B错误；

对于C，当时，最小，此时，故C正确；

对于D，二面角即平面与底面所成的锐角，连接相交于，连接，取点H，使得，连接MH，过H作于G，连接，如图，

由正四棱锥可知，面，由，知，

，由可得，

，面，，又，，平面，，即为二面角的平面角，，故D正确.

故选：ACD

12．AD

【解析】

【分析】

根据合法括号序列的定义可判断A；举反例可说明B,C的正误；分类讨论，考虑在前面四个位置上左括号的个数，算出符合条件的合法括号序列共有14种，判断D.

【详解】

出题意知如果A，B是合法括号序列，则也是合法括号序列,A正确;

对于B,AB为（（））（）为合法括号序列，但取A为（（，B为））（）显然都不是合法括号序列，故B错误；

对于C, 如果是合法括号序列，比如（）（）为合法括号序列，

但A为）（，不是合法括号序列，故C错误；

对于D选项，由题意知第一个位置为左括号，最后一个位置为右括号，

分类考虑：（1）当前4个位置都为左括号时，则后4个位置都为右括号，故满足条件序列有1个；

（2）当前4个位置有3个左括号时，则第2，3，4个位置任取两个位置是左括号，第5，6，7个位置任取一个位置是右括号，故满足条件序列共有个；

（3）当前4个位置有2个左括号时，

则第2或第3个位置为左括号，第5个位置一定为左括号，第6，7个位置有一个为左括号，满足条件序列共有个，综上，共有个，D正确，

故选：AD．

13． ## 0.25

【解析】

【分析】

根据方程表示双曲线可得，化为标准方程，得到，由可求出结果.

【详解】

由表示双曲线，可知，

化为标准方程为，

所以，，

所以，，

所以，所以.

故答案为：.

14． ## 0.26

【解析】

【分析】

根据回归直线经过样本点中心可求出结果.

【详解】

,,

由，得，得.

故答案为：.

15．

【解析】

【分析】

参变分离得，求出的值域即的取值范围．

【详解】

有解，即，令，

，令，解得，令，解得，

所以在上单调递减，在上单调递增，又，所以的值域为，故的取值范围为．

故答案为：．

16．4950

【解析】

【分析】

先研究函数的性质，再根据函数的性质可得，最后求和即可.

【详解】

的定义域为，

且，

所以为R上的奇函数.

又因为在上都是增函数，

所以在上是增函数，

根据为R上的奇函数，从而可知为R上的增函数，

所以为R上单调递增奇函数，

所以，得，

即，

故．

故答案为：

17．(1)；

(2).

【解析】

【分析】

（1）解方程组求出的值即得解；

（2）利用错位相减法求解.

(1)

解：由题意，有．解得或（舍），

∴数列的通项公式.

(2)

解：令．

则①

②

①–②得：

∴．

18．(1)证明见解析

(2)

【解析】

【分析】

（1）根据正弦定理角化边可证结论成立；

（2）在三角形中，根据余弦定理求出，再根据三角形面积公式可求出结果.

(1)

由，，

得，

由正弦定理得，即.

(2)

，

在三角形中，，解得，

又，

所以的面积为.

19．(1)；

(2)表格见解析，能；

(3)分布列见解析，.

【解析】

【分析】

（1）由题可得被调查的男女学生人数及有无飞天宇航梦的学生人数，进而即得；

（2）由题可得，即得；

（3）由题可得X的可能取值为1，2，3，然后利用古典概型求概率，可得分布列，再利用期望公式即得.

(1)

由题可知被调查的男女学生分别为300人，200人，

男生有飞天宇航梦的学生有人，无飞天宇航梦的学生有人，

女生有飞天宇航梦的学生有人，无飞天宇航梦的学生有人，

所以；

(2)

∴，

所以有97.5%的把握认为学生性别和有飞天宇航梦有关；

(3)

根据题意，在抽取的5名女生中，有3名女生有飞天宇航梦，2名女生无飞天宇航梦，则X的可能取值为1，2，3．

故X的分布列为

∴X的数学期望．

20．(1)证明见解析

(2)

【解析】

【分析】

（1）先证线线垂直，再证明线面垂直，从而可得线线垂直；

（2）建立空间直角坐标系，根据题中的条件得，再将问题转化为求即可.

(1)

∵，E为AC的中点，∴，

又∵平面平面，平面平面，

∴平面，且平面，∴，

∵，∴，

又，∴平面，

又平面，∴．

(2)

如图，以为坐标原点，分别以为x，z轴正方向，所外建立空问直角坐标系，设，则，

.

设平面的法向量，

则，即是，解得，

由题意：，即，解得或，

∵，

∴，

由有，可知,

∴.

21．(1)单调减区间为，单调增区间为；

(2)，证明见解析.

【解析】

【分析】

（1）利用导数研究的单调性.

（2）由导数的几何意义求上任意一点的切线方程，由题意有两个不等正实根，利用判别式求参数范围，结合韦达定理证明两条切线的斜率关系.

(1)

由题设则，

当，故在上单减，

当，故在上单增；

所以单调增区间为，单调减区间为.

(2)

由题设，

故在处的切线方程为，

则，若切线过原点，则，

由题知，关于的方程有两个不等正实根，故且，即；                              

设两根分别为，则，且两切线的斜率，

所以，即两条切线的斜率互为相反数．

22．(1)

(2)条件选择见解析，证明见解析

【解析】

【分析】

（1）根据已知条件可得出关于、的等式，化简后可得出曲线的方程；

（2）设、、，分、两种情况讨论，在第一种情况下，直接验证；在第二种情况下，设直线的方程为，由直线与圆相切结合韦达定理可得出.

选①，分析出，利用三角形相似可求得的值；

选②，分析可知，结合勾股定理可证得结论成立.

(1)

解：由题意知，两边平方整即得，

所以，曲线的方程为.

(2)

证明：设、、，

当时，，则不妨设点，则点或，

此时，则；                  

当时，设直线，

由直线与圆相切可得，即，

联立可得，

，

由韦达定理可得，，

则

，

所以，，同理可得.

选①，由及可得，

则，所以，；

选②，出及可得：、、三点共线，则，

又，因此，.

【点睛】

方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：

（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；

（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.