人教版初中数学九年级下册期中测试卷（困难）（含答案解析）

这是一份人教版初中数学九年级下册期中测试卷（困难）（含答案解析），共32页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

人教版初中数学九年级下册期中测试卷
考试范围：第二十六.二十七章； 考试时间：100分钟；总分120分，
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。


第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）
1. 我们知道，两个一次函数的图像有一个交点，交点坐标就是相对应的二元一次方程的解，反之我们还可以通过图像法求得二元一次方程组的解．比如：一次函数y=x+1与反比例y=1x的图象交点横坐标可由方程x+1=1x求得，那么请你推断：方程m2+2=−4m中m的范围比较合理的是(   )
A. −2 2. 关于反比例函数y=2x的图象，下列叙述错误的是(    )
A. y随x的增大而减小 B. 图象位于一、三象限
C. 图象是轴对称图形 D. 点(−1,−2)在这个图象上
3. 如图，已知函数y1=kx(x>0)，y2=−2x(x<0)，点A在y轴的正半轴上，过点A作BC//x轴，交两个函数的图象于点B和C.下列说法中：
①若A的纵坐标为2，则C的横坐标为−1
②若2AC=AB，则k=12
③若AC=AB，则y1，y2的图象关于y轴对称
④当x<−2时，则y2的取值范围为y2<1
结论正确的是(    )
A. ①② B. ②④ C. ①③ D. ①③④
4. 一次函数y=kx−k与反比例函数y=kx在同一直角坐标系内的图象大致是(    )
A. B.
C. D.
5. 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，那么abc、2a+b、a+b+c、a−b+c这四个代数式中，值为正数的有(     )
A. 4个
B. 3个
C. 2个
D. 1个
6. 如图，在平面直角坐标系中，△ABE的顶点E在y轴上，原点O在AB边上，反比例函数y=kx(k≠0)的图象恰好经过顶点A和B，并与BE边交于点C，若BC：CE=3：1，△OBE的面积为352，则k的值为(    )
A. −2
B. −4
C. −6
D. −7
7. 将矩形ABCD和矩形CEFG分割成5块图形(如图中①②③④⑤)，并把这5块图形重新组合，恰好拼成矩形BEHN.若AM=1，DE=4，EF=3，那么矩形BEHN的面积为(    )
A. 20 B. 24 C. 30 D. 45
8. 视力表用来测量一个人的视力，如图是视力表的一部分，其中开口向下的两个“E”之间的变换是(    )
A. 平移
B. 旋转
C. 轴对称
D. 位似
9. 如图，△ABC的面积为1，分别取AC、BC两边的中点A1、B1，则四边形A1ABB2的面积为34，再分别取A1C、B1C的中点A2、B2，A2C、B2C的中点A2、B2，依次取下去….利用这一图形，计算出34+342+343+…+34n的值是(    )
A. 4n−1−14n−1 B. 4n−14n C. 2n−12n D. 2n−1−12n
10. 如图，在四边形ABCD中，AD//BC，∠ABC=90°，AB=27，AD=2，将△ABC绕点C顺时针方向旋转后得△A′B′C，当A′B′恰好经过点D时，△B′CD为等腰三角形，若BB′=2，则AA′=(    )
A. 11 B. 23 C. 13 D. 14
11. 如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP，CP的延长线分别交AD于点E，F，连接BD，DP，BD与CF相交于点H，给出下列结论：①BE=2AE；②△DFP∽△BPH；③△PFD∽△PDB；④DP2=PH·PC.其中正确的是(   )
A. ①②③④ B. ②③ C. ①②④ D. ①③④
12. 已知CD是⊙O的非直径的弦，弦AB过弦CD的中点P，则下列选项不正确的是(    )
A. 若AB是⊙O的直径，则AB平分∠CAD
B. 若AC2=PA⋅AB，则AB是⊙O的直径
C. 若△BCD是等腰三角形，则△ACD也是等腰三角形
D. 若PB=4PA，则CD=PB
第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
13. 如图，四边形OABC是平行四边形，点C在x轴上，反比例函数y=kx(x>0)的图象经过点A(5,12)，且与边BC交于点D.若AB=BD，则点D的坐标为______ ．



14. 如图，在矩形ABCD中，AB=3+2，AD=3.把AD沿AE折叠，使点D恰好落在AB边上的D′处，再将△AED′绕点E顺时针旋转α，得到△A′ED″，使得EA′恰好经过BD′的中点F.A′D″交AB于点G，连接AA′.有如下结论：①A′F的长度是6−2；②弧D′D″的长度是5312π；③△A′AF≌△A′EG；④△AA′F∽△EGF.上述结论中，所有正确的序号是          ．

15. 如图，在平面直角坐标系中，函数y=kx(k>0,x>0)的图象与等边三角形OAB的边OA，AB分别交于点M，N，且OM=2MA，若AB=3，那么点N的横坐标为______．


16. 如图，△ABC的三个顶点分别为A(1,2)，B(2,5)，C(6,1).若函数y=kx在第一象限内的图象与△ABC有交点，则k的取值范围是______．






三、解答题（本大题共8小题，共72.0分）
17. 如图，在Rt△AOB中，∠ABO=90°，OB=4，AB=8，且反比例函数y=kx在第一象限内的图象分别交OA、AB于点C和点D，连结OD，若S△BOD=4



(1)求反比例函数解析式；
(2)求C点坐标．
18. 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=12.点D在直线CB上，以CA，CD为边作矩形ACDE，直线AB与直线CE，DE的交点分别为F，G．
(1)如图，点D在线段CB上，四边形ACDE是正方形．
①若点G为DE中点，求FG的长．
②若DG=GF，求BC的长．
(2)已知BC=9，是否存在点D，使得△DFG是等腰三角形？若存在，求该三角形的腰长；若不存在，试说明理由．

19. 如图，李老师设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在一个自制类似天平的仪器的左边固定托盘A中放置一个重物，在右边活动托盘B(可左右移动)中放置一定质量的砝码，使得仪器左右平衡．改变活动托盘B与点O的距离x(cm)，观察活动托盘B中砝码的质量y(g)的变化情况．实验数据记录如下表：
x(cm)
10
15
20
25
30
y(g)
30
20
15
12
10
(1)猜测y与x之间的函数关系，求出函数关系式并加以验证；
(2)当砝码的质量为24g时，活动托盘B与点O的距离是多少？
(3)将活动托盘B往左移动时，应往活动托盘B中添加还是减少砝码？

20. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=kx(x>0)的图象上有一点D(m,43)，过点D作CD⊥x轴于点C，将点C向左平移2个单位长度得到点B，过点B作y轴的平行线交反比例函数的图象于点A，AB=4．
(1)点A的坐标为______(用含m的式子表示)；
(2)求反比例函数的解析式；
(3)设直线AD的解析式为y=ax+b(a,b为常数且a≠0).则不等式kx−(ax+b)>0的解集是______．
21. 如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象与反比例函数y=kx(k<0)的图象在第二象限交于A(−3,m)，B(n,2)两点．
(1)当m=1时，求一次函数的解析式；
(2)若点E在x轴上，满足∠AEB=90°，且AE=2−m，求反比例函数的解析式．

22. 如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，连接DE.过点A作AF⊥DE，垂足为F，⊙O经过点C、D、F，与AD相交于点G．
(1)求证：△AFG∽△DFC；
(2)若正方形ABCD的边长为4，AE=1，求⊙O的半径．


23. 如图，在△ABC中，点M为AC边的中点，点E为AB上一点，且AB=4AE，连接EM并延长交BC的延长线于点D.求证：BC=2CD．




24. 如图，在锐角三角形ABC中，AD是边BC上的高，以AD为直径的⊙O交AB于点E，交AC于点F.过点F作FG⊥AB，垂足为H，交AE⌢于点G，交AD于点M，连接AG，DE，DF．

(1)求证：∠GAD+∠EDF=180∘；
(2)若∠ACB=45∘，AD=4，tan∠ABC=2，求HF的长．答案和解析

1.【答案】A
【解析】
【分析】
本题主要考查了二次函数的图象，反比例函数的图象，解答本题的关键是理解函数图象的交点横坐标与方程的关系；首先将方程 m2+2=−4m 的实数根看成是抛物线 y=m2+2 和双曲线 y=−4m 的交点的横坐标，然后结合图象，直接写出 m 的取值范围即可．
【解答】
解：将方程 m2+2=−4m 的实数根看成是抛物线 y=m2+2 和双曲线 y=−4m 的交点的横坐标，
抛物线 y=m2+2 和双曲线 y=−4m 如图：

由图可知：方程 m2+2=−4m 中 m 的范围比较合理的是 −2 故选 A ．   
2.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查的是反比例函数的性质，即反比例函数y=kx(k≠0)的图象是双曲线：(1)当k>0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；(2)当k<0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．根据反比例函数的性质对四个选项进行逐一分析即可． 
【解答】
解：A：反比例函数解析式中k=2>0，则在同一个象限内，y随x增大而减小，选项中没有提到每个象限，故错误； 
B：2>0，图象经过一三象限，故正确； 
C：反比例函数图象都是关于原点对称的，故正确； 
D：把x=−1代入函数解析式，求得y=−2，故正确． 
故选A．
  
3.【答案】D
【解析】解：①将y=2代入y2=−2x得x=−1，故①正确．
②∵xB⋅yB=−2，xC=−12xB，yC=yB，
∴xC⋅yC=−12xB⋅yB=1，故②错误．
③若AC=AB，则k=2，
∴y1，y2的图象关于y轴对称，
故③正确．
④当x=−2时，y2=1，
∵y2=−2x(x<0)随x增大而增大，
∴x<−2时y2<1，
故④正确．
故选：D．
①将y=2代入y2=−2x求解．
②由2AC=AB得xC=−12xB，再由xB⋅yB=−2求解．
③若AC=AB，则k=2，2与−2互为相反数，y1，y2的图象关于y轴对称．
④将x=−2代入y2=−2x求出y值，再由函数增减性求解．
本题考查反比例函数的性质，解题关键是熟练掌握反比例函数的性质，掌握求反比例函数中k的方法．

4.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了反比例函数、一次函数的图象．灵活掌握反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质是解决问题的关键，在思想方法方面，本题考查了数形结合思想、分类讨论思想．由于本题不确定 k 的符号，所以应分 k>0 和 k<0 两种情况分类讨论，针对每种情况分别画出相应的图象，然后与各选择比较，从而确定答案．
【解答】
解： (1) 当 k>0 时，一次函数 y=kx−k   经过一、三、四象限，反比例函数经过一、三象限，如图所示：

(2) 当 k<0 时，一次函数 y=kx−k 经过一、二、四象限，反比例函数经过二、四象限．如图所示：

故选 B ．

  
5.【答案】C
【解析】略

6.【答案】D
【解析】解：连接OC.作CK⊥x轴于K，BF⊥x轴于F．

∵BC：CE=3：1，△OBE的面积为352，
∴S△OBC=34×352=1058，
设C(m,km)，则B(4m,k4m)，
∵S△OBC=S四边形OCBF−S△OBF=S四边形OCBF−S△OKC=S梯形CKFB，
∴1058=12⋅(−km−k4m)×3m，
∴k=−7，
故选：D．
由BC：CE=3：1，△OBE的面积为352，推出S△OBC=34×352=1058，设C(m,km)，则B(4m,k4m)，根据S△OBC=S四边形OCBF−S△OBF=S四边形OCBF−S△OKC=S梯形CKFB，构建方程即可解决问题；
本题考查反比例函数系数k的几何意义，三角形的面积、等高模型等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．

7.【答案】C
【解析】解：由题意知AN=EF=3，BC=AD=MN=AN+AM=4，
∴MD=AD−AM=4−1=3，
∵∠BEH=90°，
∴∠PED+∠BEC=∠BEC+∠EBC=90°，
∴∠PED=∠EBC，
∵BC=DE=4，
∴△BCE≌△EDP(AAS)，
∴PD=EC，
设HM=EC=PD=x，则MP=3−x，
∵∠HMP=∠EDP=90°，∠HPM=∠EPD，
∴△HPM∽△EPD，
∴MPPD=MHDE，即3−xx=x4，
解得x=2，
∴EC=2，DC=2+4=6，
∴S矩形BEHN=S矩形ABCD+S矩形CEFG
=BC×DC+EC×EF
=4×6+2×3
=30．
故选：C．
先判定△BCE≌△EDP(AAS)，即可得出PD=EC；设HM=EC=PD=x，则MP=3−x，再根据△HPM∽△EPD，即可得到MPPD=MHDE，即3−xx=x4，进而得到EC=2，DC=6，最后根据S矩形BEHN=S矩形ABCD+S矩形CEFG进行计算，即可得到矩形BEHN的面积．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合．

8.【答案】D
【解析】解：根据位似变换的特点可知它们之间的变换属于位似变换，
故选：D．
开口向下的两个“E”形状相似，但大小不同，因此它们之间的变换属于位似变换．如果没有注意它们的大小，可能会误选A．
本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，平移、旋转、对称的图形都是全等形．

9.【答案】B
【解析】解：∵A1、B1分别是AC，BC的中点，
∴A1、B1是△ABC的中位线，
∴A1B1//AB，A1B1=12AB，
∴△CA1B1∽△CAB，
∴S△A1B1CS△ABC=(A1B1AB)2=14，
∵S△ABC=1，
∴S△A1B1C=14，S四边形A1ABB1=1−14=34，
同理可得，342=14−142，343=142−143，…，34n=14n−1−14n，
∴34+342+343+…+34n=1−14+14−142+142−143+…+14n−1−14n=1−14n．
故选：B．
由△CA1B1∽△CAB，结合面积比等于相似比的平方，得出△CA1B1的面积为14，因此四边形A1ABB1的面积为1−14，以此类推，四边形的面积为14−142；142−143，…，…，根据规律求出式子的值．
本题考查了三角形中位线定理和相似三角形的判定与性质；相似三角形面积比等于相似比的平方是关键．

10.【答案】A
【解析】解：过D作DE⊥BC于E，
则∠DEC=∠DEB=90°，
∵AD//BC，∠ABC=90°，
∴∠DAB=∠ABC=90°，
∴四边形ABED是矩形，
∴BE=AD=2，DE=AB=27，
∵将△ABC绕点C顺时针方向旋转后得△A′B′C，
∴∠DB′C=∠ABC=90°，B′C=BC，A′C=AC，∠A′CA=∠B′CB，
∴△A′CA∽△B′CB，
∴A′AB′B=ACBC，
∵△B′CD为等腰三角形，
∴△B′CD为等腰直角三角形，
∴CD=2B′C，
设B′C=BC=x，则CD=2x，CE=x−2，
∵CD2=CE2+DE2，
∴(2x)2=(x−2)2+(27)2，
∴x=4(负值舍去)，
∴BC=4，
∴AC=AB2+BC2=211，
∴A′A2=2114，
∴A′A=11，
故选：A．
过D作DE⊥BC于E，则∠DEC=∠DEB=90°，根据矩形的性质得BE=AD=2，DE=AB=27，根据旋转的性质得到∠DB′C=∠ABC=90°，B′C=BC，A′C=AC，∠A′CA=∠B′CB，推出△B′CD为等腰直角三角形，得到CD=2B′C，设B′C=BC=x，则CD=2x，CE=x−2，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．

11.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查的正方形的性质，等边三角形的性质以及相似三角形的判定和性质，解答此题的关键是熟练掌握性质和定理． ① 正确．利用直角三角形 30 度角的性质即可解决问题； ② 正确，根据两角相等两个三角形相似即可判断； ③ 错误．通过计算证明 ∠FDP=∠PBD ，而 ∠PDB=30°≠∠DFP=60° ， ∠BPD 与 ∠DPF 均为钝角，即可判断； ④ 正确．利用相似三角形的性质即可证明．
【解答】
解： ∵△BPC 是等边三角形，
∴BP=PC=BC ， ∠PBC=∠PCB=∠BPC=60° ，
在正方形 ABCD 中，
∵AB=BC=CD=AD ， ∠A=∠ADC=∠BCD=∠ABC=90° ，
∴∠ABE=∠DCF=30° ，
∴BE=2AE ，故 ① 正确；
∵PC=CD ， ∠PCD=30° ， ∴∠PDC=75° ， ∴∠FDP=15° ，
∵∠DBA=45° ， ∴∠PBD=15° ，
∴∠FDP=∠PBD ，
∵∠DFP=∠PCB=∠BPC=60° ，
∴△DFP ∽ △BPH ；故 ② 正确；
∵∠FDP=∠PBD=15° ， ∠ADB=45° ，
∴∠PDB=30° ，而 ∠DFP=60° ，
∴∠PFD≠∠PDB ，而 ∠BPD 与 ∠DPF 均为钝角，
∴△PFD 与 △PDB 不会相似，故 ③ 错误；
∵∠PDH=∠PCD=30° ， ∠DPH=∠DPC ，
∴△DPH ∽ △CPD ， ∴DPPC=PHDP ，
∴DP2=PH⋅PC ，故 ④ 正确．
故正确的有 ①②④ ，
故选 C ．   
12.【答案】C
【解析】解：选项A：

∵AB是⊙O的直径，PC=PD，
∴BC=BD，
∴∠CAB=∠DAB，即AB平分∠CAD，
故选项A正确；
选项B：

∵AC2=PA⋅AB，∠CAP=∠BAC，
∴△CAP∽△BAC，
∴∠ACD=∠ABC，
∵AD=AD，
∴∠ACD=∠ABD，
∴∠ABC=∠ABD，则AC=AD，
∵AC=AD，PC=PD，
∴AB为⊙O的直径，
故选项B正确；
选项C：

∵△BCD是等腰三角形，
∴以点D为圆心，DC为半径作圆，得△BCD是等腰三角形，
连接BP并延长交⊙O于点A，得△ACD，由图可知，弦AB非⊙O的直径，
∴△ACD非等腰三角形，
故选项C不正确；
选项D：

∵∠A=∠D，∠C=∠B，
∴△PCA∽△PBD，
∴PAPD=PCPB，
∵PC=PD，
∴PD2=PA⋅PB，
∵PB=4PA，
∴PD2=4PA2，
∴PD=2PA，
∴PB=4PA=2PD，
又∵CD=2PD，
∴PB=CD，
故选项D正确，
故选：C．
选项A：根据垂径定理可知，BC=BD，在同圆中，等弧所对的圆周角相等，因而得出AB平分∠CAD；
选项B：由相似三角形的判定和性质，可以得出∠ACD=∠ABD，再由在同圆中，等弧所对的圆周角相等，得出∠ABC=∠ABD，再由垂径定理的推论，得出AB是⊙O的直径；
选项C：通过作图，展示特例；
选项D：根据题意作图，得出两个三角形相似，并得出对应边的关系，由PB=4PA，得出CD=PB．
本题考查了相似三角形的综合应用，涉及的知识点有：相似、与圆相关的计算、垂径定理、等腰三角形的性质及判定等，体现了数学的转化思想、模型思想、几何直观等．

13.【答案】(8,152)
【解析】
【分析】
本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及平行四边形的性质的运用，解决问题的关键是作辅助线构造相似三角形，依据平行四边形的对边相等以及相似三角形的对应边成比例进行计算，解题时注意方程思想的运用．
先根据点 A(5,12) ，求得反比例函数的解析式为 y=60x ，可设 D(m,60m) ， BC 的解析式为 y=125x+b ，把 D(m,60m) 代入，可得 b=60m−125m ，进而得到 BC 的解析式为 y=125x+60m−125m ，据此可得 OC=m−25m=AB ，过 D 作 DE⊥AB 于 E ，过 A 作 AF⊥OC 于 F ，根据 △DEB ∽ △AFO ，可得 DB=13−65m ，最后根据 AB=BD ，得到方程 m−25m=13−65m ，进而求得 D 的坐标．
【解答】
解： ∵ 反比例函数 y=kx(x>0) 的图象经过点 A(5,12) ，
∴k=12×5=60 ，
∴ 反比例函数的解析式为 y=60x ，
设 D(m,60m) ，
由题可得 OA 的解析式为 y=125x ， AO//BC ，
∴ 可设 BC 的解析式为 y=125x+b ，
把 D(m,60m) 代入，可得 125m+b=60m ，
∴b=60m−125m ，
∴BC 的解析式为 y=125x+60m−125m ，
令 y=0 ，则 x=m−25m ，即 OC=m−25m ，
∴ 平行四边形 ABCO 中， AB=m−25m ，
如图所示，过 D 作 DE⊥AB 于 E ，过 A 作 AF⊥OC 于 F ，则 △DEB ∽ △AFO ，

∴DBDE=AOAF ，而 AF=12 ， DE=12−60m ， OA=52+122=13 ，
∴DB=13−65m ，
∵AB=DB ，
∴m−25m=13−65m ，
解得 m1=5 ， m2=8 ，
又 ∵D 在 A 的右侧，即 m>5 ，
∴m=8 ，
∴D 的坐标为 (8,152).
故答案为： (8,152).   
14.【答案】①②④
【解析】解：∵把AD沿AE折叠，使点D恰好落在AB边上的D′处，
∴∠D=∠AD′E=90°=∠DAD′，AD=AD′=3，
∴四边形ADED′是正方形，
∴AD=AD′=D′E=DE=3，AE=2AD=6，∠EAD′=∠AED′=45°，
∴D′B=AB−AD′=2，
∵点F是BD′中点，
∴D′F=1，
∴EF=D′E2+D′F2=3+1=2，
∵将△AED′绕点E顺时针旋转α，
∴AE=A′E=6，∠D′ED′′=α，∠EA′D′′=∠EAD′=45°，
∴A′F=6−2，故①正确；
在中，D′F=1，EF=2，
∴∠FED′=30°
∴α=30°+45°=75°，
∴弧D′D″的长度=75°×π×3180°=5312π，故②正确；
∵AE=A′E，∠AEA′=75°，
∴∠A′AE≠∠AEA′，
∴A′A≠A′E，
∴△A′AF与△A′EG不全等，故③错误；
∵D′E=D′′E，EG=EG，
∴Rt△ED′G≌Rt△ED′′G(HL)，
∴∠D′GE=∠D′′GE，
∵∠EA′G=45°,∠A′AE=∠AA′E=52.5°,
∴∠A′AF=7.5°,∠AA′G=97.5°,
∴∠AGD′′=∠A′AG+∠AA′G=105°，
∴∠D′GE=52.5°=∠AA′F，
又∵∠AFA′=∠EFG，
∴△AA′F∽△EGF，故④正确，
故答案为：①②④．

由折叠的性质可得∠D=∠AD′E=90°=∠DAD′，AD=AD′，可证四边形ADED′是正方形，可得AD=AD′=D′E=DE=3，AE=2AD=6，∠EAD′=∠AED′=45°，由勾股定理可求EF的长，由旋转的性质可得AE=A′E=6，∠D′ED′′=α，∠EA′D′′=∠EAD′=45°，可求A′F=6−2，可判断①；由直角三角形的性质可得∠FED′=30°，由弧长公式可求弧D′D″的长度，可判断②；由等腰三角形的性质可判断③；由“HL”可证Rt△ED′G≌Rt△ED′′G，可得∠D′GE=∠AA′F=52.5°，可证△AA′F∽△EGF，可判断④，即可求解．
本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，弧长公式，等腰三角形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定等知识，灵活运用这些性质进行推理证明是本题的关键．

15.【答案】3+52
【解析】解：过点A、M分别作AC⊥OB，MD⊥OB，垂足为C、D，
∵△AOB是等边三角形，
∴AB=OA=OB=3，∠AOB=60°
∵又OM=2MA，
∴OM=2，MA=1，
在Rt△MOD中，
OD=12OM=1，MD=22−12=3，
∴M(1,3)；
∴反比例函数的关系式为：y=3x
在Rt△AOC中，
OC=12OA=32，AC=32−(32)2=332，
∴A(32,332)，
设直线AB的关系式为y=kx+b，把A(32,332)，B(3,0)代入得：
3k+b=032k+b=332 解得：k=−3，b=33，
∴y=−3x+33；
由题意得：y=−3x+33y=3x 解得：x=3±52，
∵x>32，
∴x=3+52，
故点N的横坐标为：3+52
根据等边三角形的性质和已知条件，可求出OM，通过做垂线，利用解直角三角形，求出点M的坐标，进而确定反比例函数的关系式；点N在双曲线上，而它的纵横坐标都不知道，因此可以用直线AB的关系式与反比例函数的关系式组成方程组，解出x的值，再进行取舍即可．
考查等边三角形的性质、待定系数法求函数的表达式、以及将两个函数的关系式组成方程组，通过解方程组求出交点坐标，在此仅求交点的横坐标即可，也就是求出方程组中的x的值．

16.【答案】2≤k≤494
【解析】解：反比例函数和三角形有交点的第一个临界点是交点为A，
∵过点A(1,2)的反比例函数解析式为y=2x，
∴k≥2．
随着k值的增大，反比例函数的图象必须和线段BC有交点才能满足题意，
设直线BCc的解析式为y=mx+n(m≠0)，则
2m+n=56m+n=1,
∴m=−1n=7,
∴直线BC的直线解析式为y=−x+7，
y=−x+7y=kx，得x2−7x+k=0
根据△≥0，得k≤494，
综上可知2≤k≤494．
故答案为2≤k≤494．
根据反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数和三角形有交点的临界条件分别是交点为A、与线段BC有交点，由此求解即可．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，两函数交点坐标的求法，有一定难度．注意自变量的取值范围．

17.【答案】解：(1)∵∠ABO=90°，S△BOD=4，
∴12×k=4，解得k=8，
∴反比例函数解析式为y=8x；
(2)∵∠ABO=90°，OB=4，AB=8，
∴A点坐标为(4,8)，
设直线OA的解析式为y=kx，
把A(4,8)代入得4k=8，解得k=2，
∴直线OA的解析式为y=2x，
解方程组y=8xy=2x得x=2y=4或x=−2y=−4，
∵点C在第一象限，
∴点C点坐标为(2,4)．
【解析】本题考查了待定系数法求函数解析式以及反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．
(1)根据反比例函数y=kx(k≠0)系数k的几何意义得到S△BOD=12k=3，求出k即可确定反比例函数解析式； 
(2)先确定A点坐标，再利用待定系数法求出直线OA的解析式为y=2x，然后解方程组y=8xy=2x，即可得到C点坐标．


18.【答案】解：(1)①在正方形ACDE中，DG=GE=6，
中Rt△AEG中，AG=AE2+EG2=65，
∵EG//AC，
∴△ACF∽△GEF，
∴FGAF=EGAC，
∴FGAF=612=12，
∴FG=13AG=25．

②如图1中，正方形ACDE中，AE=ED，∠AEF=∠DEF=45°，
∵EF=EF，
∴△AEF≌△DEF，
∴∠1=∠2，设∠1=∠2=x，
∵AE//BC，
∴∠B=∠1=x，
∵GF=GD，
∴∠3=∠2=x，
在△DBF中，∠3+∠FDB+∠B=180°，
∴x+(x+90°)+x=180°，
解得x=30°，
∴∠B=30°，
∴在Rt△ABC中，BC=ACtan30∘=123．

(2)在Rt△ABC中，AB=AC2+BC2=122+92=15，
如图2中，当点D中线段BC上时，此时只有GF=GD，
∵DG//AC，
∴△BDG∽△BCA，
设BD=3x，则DG=4x，BG=5x，
∴GF=GD=4x，则AF=15−9x，
∵AE//CB，
∴△AEF∽△BCF，
∴AEBC=AFBF，
∴9−3x9=15−9x9x，
整理得：x2−6x+5=0，
解得x=1或5(舍弃)
∴腰长GD为=4x=4．
如图3中，当点D中线段BC的延长线上，且直线AB，CE的交点中AE上方时，此时只有GF=DG，设AE=3x，则EG=4x，AG=5x，
∴FG=DG=12+4x，
∵AE//BC，
∴△AEF∽△BCF，
∴AEBC=AFBF，
∴3x9=9x+129x+27，
解得x=2或−2(舍弃)，
∴腰长DG=4x+12=20．
如图4中，当点D在线段BC的延长线上，且直线AB，EC的交点中BD下方时，此时只有DF=DG，过点D作DH⊥FG．
设AE=3x，则EG=4x，AG=5x，DG=4x+12，
∴FH=GH=DG⋅cos∠DGB=(4x+12)×45=16x+485，
∴GF=2GH=32x+965，
∴AF=GF−AG=7x+965，
∵AC//DG，
∴△ACF∽△GEF，
∴ACEG=AFFG，
∴124x=7x+96532x+965，
解得x=12147或−12147(舍弃)，
∴腰长GD=4x+12=84+48147，
如图5中，当点D中线段CB的延长线上时，此时只有DF=DG，作DH⊥AG于H．
设AE=3x，则EG=4x，AG=5x，DG=4x−12，
∴FH=GH=DG⋅cos∠DGB=16x−485，
∴FG=2FH=32x−965，
∴AF=AG−FG=96−7x5，
∵AC//EG，
∴△ACF∽△GEF，
∴ACEG=AFFG，
∴124x=96−7x532x−965，
解得x=12147或−12147(舍弃)，
∴腰长DG=4x−12=−84+48147，
综上所述，等腰三角形△DFG的腰长为4或20或84+48147或−84+48147．
【解析】(1)①只要证明△ACF∽△GEF，推出FGAF=EGAC，即可解决问题；②如图1中，想办法证明∠1=∠2=30°即可解决问题；
(2)分四种情形：①如图2中，当点D中线段BC上时，此时只有GF=GD，②如图3中，当点D中线段BC的延长线上，且直线AB，CE的交点中AE上方时，此时只有GF=DG，
③如图4中，当点D在线段BC的延长线上，且直线AB，EC的交点中BD下方时，此时只有DF=DG，如图5中，当点D中线段CB的延长线上时，此时只有DF=DG，分别求解即可解决问题；
本题考查四边形综合题、正方形的性质、矩形的性质、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数、平行线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．

19.【答案】解：(1)由图象猜测y与x之间的函数关系为反比例函数，
∴设y=kx(k≠0)，
把x=10，y=30代入得：k=300，
∴y=300x，
将其余各点代入验证均适合，
∴y与x的函数关系式为：y=300x；
(2)把y=24代入y=300x得：x=12.5，
∴当砝码的质量为24g时，活动托盘B与点O的距离是12.5cm．
(3)根据反比例函数的增减性，即可得出，随着活动托盘B与O点的距离不断减小，砝码的示数会不断增大；
∴应添加砝码．
【解析】(1)观察可得：x，y的乘积为定值300，故y与x之间的函数关系为反比例函数，将数据代入用待定系数法可得反比例函数的关系式；
(2)把x=24代入解析式求解，可得答案；
(3)利用函数增减性即可得出，随着活动托盘B与O点的距离不断增大，砝码的示数应该不断减小．
此题主要考查了反比例函数的应用，此题是跨学科的综合性问题，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．

20.【答案】解：(1)(m−2,4)；
(2)反比例函数y=kx(x>0)的图象上有A，D两点，

∴k=4×(m−2)=43m，
解得m=3，
∴k=4，
∴反比例函数的解析式为y=4x；
(3)03

【解析】
解： (1)D(m,43) ， BC=2 ，
∴OB=m−2 ，
又 ∵AB=4 ， AB⊥OC ，
∴A(m−2,4) ，
故答案为： (m−2,4) ；

(2) 见答案

(3)∵A(1,4) ， D(3,43) ，
∴ 不等式 kx−(ax+b)>0 的解集为 03 ．
故答案为： 03 ．
【分析】 (1) 依据 D(m,43) ， BC=2 ，可得 OB=m−2 ，再根据 AB=4 ， AB⊥OC ，即可得到 A(m−2,4) ；
(2) 依据反比例函数 y=kx(x>0) 的图象上有 A ， D 两点，即可得到 k=4×(m−2)=43m ，进而得到反比例函数的解析式为 y=4x ；
(3) 根据 A(1,4) ， D(3,43) ，可得不等式 kx−(ax+b)>0 的解集为 03 ．
此题考查了待定系数法求反比例函数的解析式以及平移的性质．解决问题的关键是利用反比例函数图象上点的坐标特征求得 A ， D 两点的坐标．   
21.【答案】解：(1)当m=1时，点A(−3,1)，
∵点A在反比例函数y=kx(k<0)的图象上，
∴k=−3×1=−3，
∴反比例函数的解析式为y=−3x；
∵点B(n,2)在反比例函数y=−3x图象上，
∴2n=−3，
∴n=−32，
设直线AB的解析式为y=ax+b，则−3a+b=1−32a+b=2，
∴a=23b=3，
∴直线AB的解析式为y=23x+3；
(2)如图，过点A作AM⊥x轴于M，过点B作BN⊥x轴于N，过点A作AF⊥BN于F，交BE于G，
则四边形AMNF是矩形，
∴FN=AM，AF=MN，
∵A(−3,m)，B(n,2)，
∴BF=2−m，
∵AE=2−m，
∴BF=AE，
在△AEG和△BFG中，∠AGE=∠BGF(对顶角相等)∠AEG=∠BFG=90°AE=BF，
∴△AEG≌△BFG(AAS)，
∴AG=BG，EG=FG，
∴BE=BG+EG=AG+FG=AF，
∵点A(−3,m)，B(n,2)在反比例函数y=kx的图象上，
∴k=−3m=2n，
∴m=−23n，
∴BF=BN−FN=BN−AM=2−m=2+23n，MN=n−(−3)=n+3，
∴BE=AF=n+3，
∵∠AEM+∠MAE=90°，∠AEM+∠BEN=90°，
∴∠MAE=∠NEB，
∵∠AME=∠ENB=90°，
∴△AME∽△ENB，
∴MEBN=AEBE=2−mn+3=2+23nn+3=23，
∴ME=23BN=43，
在Rt△AME中，AM=m，AE=2−m，根据勾股定理得，AM2+ME2=AE2，
∴m2+(43)2=(2−m)2，
∴m=59，
∴k=−3m=−53，
∴反比例函数的解析式为y=−53x．
【解析】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，勾股定理，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，构造出△AEG≌△BFG(AAS)是解本题的关键．
(1)将点A坐标代入反比例函数解析式中求出k，进而得出点B坐标，最后用待定系数法求出直线AB的解析式；
(2)先判断出BF=AE，进而得出△AEG≌△BFG(AAS)，得出AG=BG，EG=FG，即BE=BG+EG=AG+FG=AF，再求出m=−23n，进而得出BF=2+23n，MN=n+3，即BE=AF=n+3，再判断出△AME∽△ENB，得出MEBN=AEBE=23，得出ME=23BN=43，最后用勾股定理求出m，即可得出结论．

22.【答案】(1)证明：在正方形ABCD中，∠ADC=90°，
∴∠CDF+∠ADF=90°，
∵AF⊥DE，
∴∠AFD=90°，
∴∠DAF+∠ADF=90°，
∴∠DAF=∠CDF，
∵四边形GFCD是⊙O的内接四边形，
∴∠FCD+∠DGF=180°，
∵∠FGA+∠DGF=180°，
∴∠FGA=∠FCD，
∴△AFG∽△DFC．

(2)解：如图，连接CG．
∵∠EAD=∠AFD=90°，∠EDA=∠ADF，
∴△EDA∽△ADF，
∴EAAF=DADF，即EADA=AFDF，
∵△AFG∽△DFC，
∴AGDC=AFDF，
∴AGDC=EADA，
在正方形ABCD中，DA=DC，
∴AG=EA=1，DG=DA−AG=4−1=3，
∴CG=DG2+DC2=5，
∵∠CDG=90°，
∴CG是⊙O的直径，
∴⊙O的半径为52．
【解析】(1)欲证明△AFG∽△DFC，只要证明∠FAG=∠FDC，∠AGF=∠FCD；
(2)首先证明CG是直径，求出CG即可解决问题；
本题考查相似三角形的判定和性质、正方形的性质、圆周角定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．

23.【答案】证明：作CF//DE于DE，交AB于F，如图，

∵ME//CF，
∴AEEF=AMMC，
而M为AC边的中点，
∴AM=MC，
∴AE=EF，
∵AB=4AE，
∴EF=14AB，BF=12AB，
∴BF=2EF，
∵CF//DE，
∴BCCD=BFEF=2，
∴BC=2CD；
【解析】作CF//DE于DE，交AB于F，如图，根据平行线分线段成比例定理，由ME//CF得到AEEF=AMMC，且AM=MC，则AE=EF，由于AB=4AE，所以EF=14AB，BF=12AB，则BF=2EF，然后由CF//DE得到BCCD=BFEF=2，所以BC=2CD；
本题考查了平行线分线段成比例，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题．

24.【答案】(1)证明：由题可知∠AGF=∠ADF(同弧所对的圆周角相等)，
∵GF⊥AB，AD为圆的直径，
∴∠AGF+∠GAE=90°，∠ADF+∠FAD=90°，
∴∠GAE=∠FAD，
∴∠GAE+∠DAE=∠FAD+∠DAE，即∠GAD=∠EAF，
∵四边形AEDF是圆的内接四边形，
∴∠EAF+∠EDF=180°，
∴∠GAD+∠EDF=180°．
(2)解：如图，

连接OF，
∵AD是圆的直径，且AD是△ABC的高，GF⊥AB，
∴∠AED=∠ADB=∠AHM=∠AFD=90°，
∴△AHM∽△ADB，
∴AHHM=ADBD，
∵tan∠ABC=ADBD=2，
∴AHHM=2，
∵∠ACB=45°，
∴∠DAC=∠ADF=∠AFO=45°，
∴∠AOF=90°，
∵在Rt△AHM与Rt△FOM中：∠AMH=∠FMO(对顶角)，
∴△AHM∽△FOM，
∴FOOM=AHHM=2，
∵AD=4，
∴OF=OA=2，
∴FOOM=2，解得OM=1，AM=OA−OM=1，
设HM=x，则AH=2x，
在Rt△AHM中有：AH2+HM2=AM2，
即(2x)2+x2=1，解得x1=55，x2=−55(舍去)，
∴AH=255，
∵OF=OA=2，
∴AF=22，
在Rt△AHF中，有：AH2+HF2=AF2，
即(255)2+HF2=(22)2，
解得HF=655，或HF=−655(舍去)，
故HF的长为655．
【解析】(1)根据圆周角定理得出∠AGF=∠ADF，再根据角之间的互余关系及等量代换推出∠GAD=∠EAF，最后利用圆内接四边形的性质即可得证；
(2)作出辅助线OF，可得：△AHM∽△FOM，△AHM∽△ADB，根据相似三角形的性质得到三角形边之间的关系，最后根据勾股定理求解即可．
本题考查圆周角定理、勾股定理及相似三角形的判定与性质，此类题目可以从问题着手作辅助线，利用辅助线构造出相似三角形或直角三角形进行求解．