江西省上饶市广丰区东昌学校2021-2022学年八年级（下）期中数学试卷（含解析）

江西省上饶市广丰区东昌学校2021-2022学年八年级（下）期中数学试卷

一．选择题（本题共6小题，共18分）

1. 下列各式中，是二次根式的是

A.  B.  C.  D.

2. 下列计算正确的是

A.  B.  C.  D.

3. 已知一直角三角形的木版，三边的平方和为，则斜边长为

A.  B.  C.  D.

4. 下列命题中正确的是

A. 矩形的对角线相等且互相垂直
B. 对角线相等的平行四边形是菱形
C. 对角线相等且互相平分的四边形是矩形
D. 矩形的对角线平分一组对角

5. 如图，是的边的中点，平分，且，垂足为，且，，，则的周长是

A.
B.
C.
D.

6. 如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是，，，，，选取其中三块可重复选取按图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是

1. ，，
   B. ，，
   C. ，，
   D. ，，

二．填空题（本题共6小题，共18分）

7. 如果二次根式有意义，那么的取值范围是______．
8. 如图，点在数轴上所表示的数为，于点，且，以点为圆心，的长为半径作弧，交数轴于点，那么点表示的数是______．
9. 若，则等于______．
10. 如图，矩形沿着对角线折叠，使点落在处，交于点，，，则的长为______．
    
     

11. 如图，是以为斜边的直角三角形，，，为上一动点，且于，于，则线段长度的最小值是______．
    
     

12. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，四边形是平行四边形，点、、的坐标分别为，，，点是的中点，点为线段上的动点，若是以为腰的等腰三角形，则点的坐标为______．

三．解答题（本题共12小题，共84分）

13. 计算：．
14. 已知，如图、是四边形的对角线上的两点，，，，四边形是平行四边形吗？请说明理由．
15. 已知的三边长、、满足，试判断的形状，并说明理由．
16. 如图，在矩形中，、相交于点，于点若，求的度数．

17. 如图，、是不同边上的高，点、分别是、的中点，试证明．
    
     

18. 如图，平行四边形中，点在上，且，试分别在两个图中按要求使用无刻度直尺画图保留作图痕迹
    在图中，画出的平分线；
    在图中，画出的平分线．

19. 若，，求：
    ；
    ．
20. 如图，在长方形中，将沿对折至位置，与交于点．
    试说明：；
    如果，，求的长．
    
     

21. 如图，在中，是边上的一点，是的中点，过点作的平行线交的延长线于点，且，连接．
    求证：；
    如果，试判断四边形的形状，并证明你的结论．
22. 如图，点、是两直角边、上的一点，连接，已知点、、分别是、、的中点．
    求度数；
    连，取中点，连接，若，，求的长．

23. 阅读材料：如果一个三角形的三边长分别为，，，记，那么这个三角形的面积这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形三条边的边长直接求三角形面积的公式．中国的秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，故这个公式又被称为“海伦--秦九韶公式”完成下列问题：
    如图，在中，，，．
    求的面积；
    设边上的高为，边上的高为，求的值．
24. 如图，在矩形中，，，，分别是，边上的点，且，，，分别是对角线上的四等分点，顺次连接，，，，．

求证：四边形是平行四边形；
填空：当______时，四边形是矩形；
当______时，四边形是菱形；
求四边形的周长的最小值．
答案和解析

1.【答案】

【解析】解：、是二次根式，故此选项正确；
B、，根号下不能是负数，故不是二次根式；
C、是立方根，故不是二次根式；
D、，根号下不能是负数，故不是二次根式；
故选：．
直接利用二次根式的定义分析得出答案．
此题主要考查了二次根式的定义，正确把握定义是解题关键．
 

2.【答案】

【解析】解：与不是同类二次根式，不能合并，此选项计算错误；
B.与不是同类二次根式，不能合并，此选项计算错误；
C.，此选项计算正确；
D.，此选项计算错误；
故选：．
根据二次根式的加减运算法则和乘除运算法则逐一判断即可．
本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．
 

3.【答案】

【解析】解：设直角三角形的两直角边分别为，，斜边为，
根据勾股定理得：，
，
，即，
则．
故选B．
设出直角三角形的两直角边分别为，，斜边为，利用勾股定理列出关系式，再由三边的平方和为，列出关系式，联立两关系式，即可求出斜边的长．
此题考查了勾股定理，在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方，即直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．
 

4.【答案】

【解析】解：、矩形的对角线相等且互相平分，不一定垂直，故不符合题意；
B、对角线相等且互相平分的平行四边形是矩形，故不符合题意；
C、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故符合题意；
D、矩形的对角线不一定平分所在的对角，故不符合题意；
故选：．
根据特殊平行四边形的定义及性质逐项判定即可．
本题主要考查命题与定理知识，熟练掌握特殊平行四边形的定义及性质是解答此题的关键．
 

5.【答案】

【解析】解：延长线段交于．
平分，
，，，
≌，
，，
又是的边的中点，
，
的周长是，
故选：．
延长线段交于，从而构造出全等三角形，≌，进而证明是中位线，从而求出的长．
本题主要考查了中位线定理和全等三角形的判定．解决本题的关键是作出辅助线，利用全等三角形来得出线段相等，进而应用中位线定理解决问题．
 

6.【答案】

【解析】解：五种正方形纸片，面积分别是，，，，，
五种正方形纸片的边长分别是，，，，，
由题意可得，三角形各边的平方是对应的各个正方形的面积，
当选取的三块纸片的面积分别是，，时，，围成的三角形是直角三角形，面积是；
当选取的三块纸片的面积分别是，，时，，围成的三角形是直角三角形，面积是，
当选取的三块纸片的面积分别是，，时，，围成的直角三角形的面积是，
当选取的三块纸片的面积分别是，，时，，围成的直角三角形的面积是，
，
所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是，，，
故选：．
根据题意可知，三块正方形的面积中，两个较小的面积之和等于最大的面积，围成的三角形是直角三角形，再根据三角形的面积，分别计算出几个较大的正方形纸片围成的直角三角形的面积，比较大小，即可解答本题．
本题考查勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理的逆定理解答．
 

7.【答案】

【解析】解：二次根式有意义，则，
解得：．
故答案为：．
直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．
 

8.【答案】

【解析】解：在中，，，
．
以为圆心，以为半径画弧，交数轴的正半轴于点，
，
点表示的实数是．
故答案为：．
根据勾股定理，结合数轴即可得出结论．
本题考查的是勾股定理，实数与数轴以及复杂作图，熟知实数与数轴上各点是一一对应关系是解答此题的关键．
 

9.【答案】

【解析】解：，


．
故答案为：．
首先计算开平方和开立方，然后计算减法，求出算式的值即可．
此题主要考查了算术平方根和立方根的含义和求法，解答此题的关键是要明确：算术平方根本身是非负数．
 

10.【答案】

【解析】解：设，则．
根据折叠的性质，得
．
，
．
．
．
在直角三角形中，根据勾股定理，得

．
故答案为：．
设，则根据折叠的性质和平行线的性质，得，则，根据勾股定理即可求解．
此题主要是运用了折叠的性质、平行线的性质、等角对等边的性质和勾股定理．
 

11.【答案】

【解析】解：连接．

，，
；
又，
四边形是矩形，
，
当最小时，也最小，
即当时，最小，
，，
，
，
．
线段长的最小值为；
故答案是：．
先由矩形的判定定理推知四边形是矩形；连接，则，所以要使，即最短，只需即可；然后根据三角形的等积转换即可求得的值．
本题考查了勾股定理、矩形的判定与性质、垂线段最短．利用“两点之间垂线段最短”找出时，取最小值是解答此题的关键．
 

12.【答案】或或

【解析】解：如图，作于．

，，
，
点是的中点，
，
，
，，
当时，可得，，，
当时，，
综上所述，满足条件的点坐标为或或．
分两种情形分别讨论求解即可；
本题考查平行四边形的性质、坐标与图形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
 

13.【答案】解：


．

【解析】先化简，再算乘法与除法，最后算加减即可．
本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与运用．
 

14.【答案】解：结论：四边形是平行四边形，
证明：，
，
又  ，
≌，
，，
，
四边形是平行四边形．

【解析】首先根据条件证明≌，可得到，，可证出，根据一条对边平行且相等的四边形是平行四边形可证出结论．
此题主要考查了平行四边形的判定，以及三角形全等的判定与性质，解题的关键是根据条件证出≌．
 

15.【答案】解：为直角三角形，理由如下：
由题意得，，，
所以，，，
因为，
所以，
为直角三角形．

【解析】根据非负数的性质解得各边的长，再根据勾股定理的逆定理判定是否直角三角形．
此题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．也考查了非负数的性质，解本题的关键是求出，，的值．
 

16.【答案】解：四边形是矩形，
，，，，
，
，
，
，，
，
，
；
故的度数为．

【解析】由矩形的性质得出，得出，由直角三角形的性质求出，即可得出答案．
本题主要考查了矩形的性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质等知识；熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键．
 

17.【答案】证明：如图，连接、，
、分别是的、边上的高，点是的中点，
，
点是的中点，
．

【解析】连接、，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，再根据等腰三角形三线合一的性质证明即可．
本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质并作出辅助线构造出等腰三角形是解题的关键．
 

18.【答案】解：如图所示，平分．
如图，平分．
 

【解析】如图所示，连接，则平分．
如图所示，连接，，交于点，连接，则平分．
本题考查作图复杂作图，平行四边形的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

19.【答案】解：，，
，，
原式；
原式．

【解析】由与的值求出与的值，原式通分并利用同分母分式的加法法则变形，再利用完全平方公式化简，将各自的值代入计算即可求出值；
原式利用完全平方公式化简，将各自的值代入计算求出值．
此题考查了二次根式的化简求值，分式的加减法，以及分母有理化，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

20.【答案】证明：将沿对折至位置，
，
又在矩形中，，
，
，
；
解：设，则，，
在直角中，，
，即，
解得：，
即的长为．

【解析】本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应边相等．也考查了矩形的性质以及勾股定理．
根据平行线的性质以及折叠的性质可以证明，然后根据等角对等边即可证得；
设，则，，在直角中根据勾股定理即可列方程求得的长．
 

21.【答案】证明：
，
，
是的中点，
，
，
≌，
，
，
；

四边形是矩形．
理由：
，是的中点，
，

，
过点作的平行线交的延长线于点，即，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是矩形．

【解析】先由，利用平行线的性质可证，而是中点，那么，，利用可证≌，那么有，又，从而有；
四边形是矩形．由于平行等于，易得四边形是平行四边形，又，，利用等腰三角形三线合一定理，可知，即，那么可证四边形是矩形．
本题利用了平行线的性质、全等三角形的判定和性质、等量代换、平行四边形的判定、等腰三角形三线合一定理、矩形的判定等知识．
 

22.【答案】解：、、分别是、、的中点，
，．
，．
．
如图所示：连接、．

、分别是和的中点，
，．
同理：，．
四边形为平行四边形．
、、分别是、、的中点，
，，
由可知：，
四边形为矩形．
．
．

【解析】首先证明，，由平行线的性质可知，，从而可证明；
连接、首先证明四边形为矩形，然后利用勾股定理求解即可．
本题主要考查的是三角形的中位线定理、平行四边形的判定、矩形的判定、勾股定理、平行线的性质的综合应用，证得四边形是矩形是解题的关键．
 

23.【答案】解：根据题意知，
所以，
的面积为；
，
，
，，
．

【解析】根据题意先求，再将，，，的值代入题中所列面积公式计算即可；
按照三角形的面积底高分别计算出和的值，再求和即可．
本题考查了二次根式在三角形面积计算中的应用，读懂题中所列的海伦公式并正确运用，是解题的关键．
 

24.【答案】 

【解析】证明：四边形是矩形，
，，
，
，
，
，，分别是对角线上的四等分点，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
四边形是平行四边形；
当时，四边形是矩形．理由如下：
连接，如下图，

，，
，
，
，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，，分别是对角线上的四等分点，
，
，
四边形是平行四边形，
四边形是矩形，
故答案为：；
当时，四边形是菱形．理由如下：
连接、、，如下图，

，，
，
，
四边形是平行四边形，
，，，
，
，
，
四边形是菱形，
，即，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形．
故答案为：；
解：过作于，延长到点，使得，连接，，过作于点，如下图，

则，，，
，
，
，
，
，
当、、三点共线，的值最小，其值为，
四边形的周长的最小值为：．
证明≌，进而得，，便可得结论；
连接，证明四边形为平行四边形，得，进而得四边形是矩形；
连接、、，证明四边形是菱形，得，便可得四边形是菱形；
过作于，连接到点，使得，连接，与交于点，过作于点，求得的最小值为，进而便可求得四边形的周长的最小值．
本题主要考查了矩形的性质与判定，含角的直角三角形的性质，菱形的性质与判定，将军引马的应用，关键是综合应用矩形、菱形的性质与判定，含角的直角三角形的性质，将军引马原理等知识解决问题．