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01选择题-2021中考数学真题知识点分类汇编-锐角三角形（含答案，30题）
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这是一份01选择题-2021中考数学真题知识点分类汇编-锐角三角形（含答案，30题），共28页。试卷主要包含了，不考虑闸口与车辆的宽度等内容，欢迎下载使用。
01选择题-2021中考数学真题知识点分类汇编-锐角三角形（含答案，30题）
一．锐角三角函数的定义（共1小题）
1．（2021•云南）在△ABC中，∠ABC＝90°．若AC＝100，sinA＝，则AB的长是（ ）
A． B． C．60 D．80
二．特殊角的三角函数值（共3小题）
2．（2021•株洲）某限高曲臂道路闸口如图所示，AB垂直地面l1于点A，BE与水平线l2的夹角为α（0°≤α≤90°），EF∥l1∥l2，若AB＝1.4米，BE＝2米，车辆的高度为h（单位：米），不考虑闸口与车辆的宽度：
①当α＝90°时，h小于3.3米的车辆均可以通过该闸口；
②当α＝45°时，h等于2.9米的车辆不可以通过该闸口；
③当α＝60°时，h等于3.1米的车辆不可以通过该闸口．
则上述说法正确的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
3．（2021•天津）tan30°的值等于（ ）
A． B． C．1 D．2
4．（2021•泸州）在锐角△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，有以下结论：＝＝＝2R（其中R为△ABC的外接圆半径）成立．在△ABC中，若∠A＝75°，∠B＝45°，c＝4，则△ABC的外接圆面积为（ ）
A． B． C．16π D．64π
三．计算器—三角函数（共3小题）
5．（2021•烟台）如图所示，若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序及结果如下：
按键的结果为m；
按键的结果为n；
按键的结果为k．
下列判断正确的是（ ）
A．m＝n B．n＝k C．m＝k D．m＝n＝k
6．（2021•威海）若用我们数学课本上采用的科学计算器计算sin36°18′，按键顺序正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2021•东营）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝42°，BC＝8，若用科学计算器求AC的长，则下列按键顺序正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
四．解直角三角形（共8小题）
8．（2021•玉林）如图，△ABC底边BC上的高为h1，△PQR底边QR上的高为h2，则有（ ）
A．h1＝h2 B．h1＜h2
C．h1＞h2 D．以上都有可能
9．（2021•宜昌）如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则cos∠ABC的值为（ ）
A． B． C． D．
10．（2021•巴中）如图，点A、B、C在边长为1的正方形网格格点上，下列结论错误的是（ ）
A．sinB＝ B．sinC＝
C．tanB＝ D．sin2B+sin2C＝1
11．（2021•淄博）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE是斜边AB上的中线，过点E作EF⊥AB交AC于点F．若BC＝4，△AEF的面积为5，则sin∠CEF的值为（ ）
A． B． C． D．
12．（2021•黑龙江）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB的延长线上，连接CD，若AB＝2BD，tan∠BCD＝，则的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
13．（2021•宜宾）如图，在△ABC中，点O是角平分线AD、BE的交点，若AB＝AC＝10，BC＝12，则tan∠OBD的值是（ ）
A． B．2 C． D．
14．（2021•广东）如图，AB是⊙O的直径，点C为圆上一点，AC＝3，∠ABC的平分线交AC于点D，CD＝1，则⊙O的直径为（ ）
A． B．2 C．1 D．2
15．（2021•绍兴）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，cosB＝，点D是边BC的中点，以AD为底边在其右侧作等腰三角形ADE，使∠ADE＝∠B，连结CE，则的值为（ ）
A． B． C． D．2
五．解直角三角形的应用（共5小题）
16．（2021•呼和浩特）如图，正方形的边长为4，剪去四个角后成为一个正八边形，则可求出此正八边形的外接圆直径d，根据我国魏晋时期数学家刘徽的“割圆术”思想，如果用此正八边形的周长近似代替其外接圆周长，便可估计π的值，下面d及π的值都正确的是（ ）
A．d＝，π≈8sin22.5°
B．d＝，π≈4sin22.5°
C．d＝，π≈8sin22.5°
D．d＝，π≈4sin22.5°
17．（2021•长春）如图是净月潭国家森林公园一段索道的示意图．已知A、B两点间的距离为30米，∠A＝α，则缆车从A点到达B点，上升的高度（BC的长）为（ ）
A．30sinα米 B．米 C．30cosα米 D．米
18．（2021•十堰）如图，小明利用一个锐角是30°的三角板测操场旗杆的高度，已知他与旗杆之间的水平距离BC为15m，AB为1.5m（即小明的眼睛与地面的距离），那么旗杆的高度是（ ）
A．（15+）m B．5m C．15m D．（5+）m
19．（2021•随州）如图，某梯子长10米，斜靠在竖直的墙面上，当梯子与水平地面所成角为α时，梯子顶端靠在墙面上的点A处，底端落在水平地面的点B处，现将梯子底端向墙面靠近，使梯子与地面所成角为β，已知sinα＝cosβ＝，则梯子顶端上升了（ ）
A．1米 B．1.5米 C．2米 D．2.5米
20．（2021•温州）图1是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC．若AB＝BC＝1，∠AOB＝α，则OC2的值为（ ）
A．+1 B．sin2α+1 C．+1 D．cos2α+1
六．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共4小题）
21．（2021•德州）某商场准备改善原有楼梯的安全性能，把坡角由37°减至30°，已知原楼梯长为5米，调整后的楼梯会加长（ ）（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈）．
A．6米 B．3米 C．2米 D．1米
22．（2021
•潍坊）如图，一束水平光线照在有一定倾斜角度的平面镜上，若入射光线与出射光线的夹角为60°，则平面镜的垂线与水平地面的夹角α的度数是（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
23．（2021•衡阳）如图是某商场营业大厅自动扶梯的示意图．自动扶梯AB的倾斜角为37°，大厅两层之间的距离BC为6米，则自动扶梯AB的长约为（sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）（ ）
A．7.5米 B．8米 C．9米 D．10米
24．（2021•金华）如图是一架人字梯，已知AB＝AC＝2米，AC与地面BC的夹角为α，则两梯脚之间的距离BC为（ ）
A．4cosα米 B．4sinα米 C．4tanα米 D．米
七．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共6小题）
25．（2021•济南）无人机低空遥感技术已广泛应用于农作物监测．如图，某农业特色品牌示范基地用无人机对一块试验田进行监测作业时，在距地面高度为135m的A处测得试验田右侧边界N处俯角为43°，无人机垂直下降40m至B处，又测得试验田左侧边界M处俯角为35°，则M，N之间的距离为（ ）（参考数据：tan43°≈0.9，sin43°≈0.7，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，结果保留整数）
A．188m B．269m C．286m D．312m
26．（2021•日照）如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的古塔AB的高度，他从古塔底部点B处前行30m到达斜坡CE的底部点C处，然后沿斜坡CE前行20m到达最佳测量点D处，在点D处测得塔顶A的仰角为30°，已知斜坡的斜面坡度i＝1：，且点A，B，C，D，E在同一平面内，小明同学测得古塔AB的高度是（ ）
A．（10+20）m B．（10+10）m C．20m D．40m
27．（2021•深圳）如图，在点F处，看建筑物顶端D的仰角为32°，向前走了15米到达点E即EF＝15米，在点E处看点D的仰角为64°，则CD的长用三角函数表示为（ ）
A．15sin32° B．15tan64° C．15sin64° D．15tan32°
28．（2021•泰安）如图，为了测量某建筑物BC的高度，小颖采用了如下的方法：先从与建筑物底端B在同一水平线上的A点出发，沿斜坡AD行走130米至坡顶D处，再从D处沿水平方向继续前行若干米后至点E处，在E点测得该建筑物顶端C的仰角为60°，建筑物底端B的俯角为45°，点A、B、C、D、E在同一平面内，斜坡AD的坡度i＝1：2.4．根据小颖的测量数据，计算出建筑物BC的高度约为（参考数据：≈1.732）（ ）
A．136.6米 B．86.7米 C．186.7米 D．86.6米
29．（2021•重庆）如图，相邻两个山坡上，分别有垂直于水平面的通信基站MA和ND．甲在山脚点C处测得通信基站顶端M的仰角为60°，测得点C距离通信基站MA的水平距离CB为30m；乙在另一座山脚点F处测得点F距离通信基站ND的水平距离FE为50m，测得山坡DF的坡度i＝1：1.25．若ND＝DE，点C，B，E，F在同一水平线上，则两个通信基站顶端M与顶端N的高度差为（参考数据：≈1.41，≈1.73）（ ）
A．9.0m B．12.8m C．13.1m D．22.7m
30．（2021•重庆）如图，在建筑物AB左侧距楼底B点水平距离150米的C处有一山坡，斜坡CD的坡度（或坡比）为i＝1：2.4，坡顶D到BC的垂直距离DE＝50米（点A，B，C，D，E在同一平面内），在点D处测得建筑物顶点A的仰角为50°，则建筑物AB的高度约为（ ）
（参考数据：sin50°≈0.77；cos50°≈0.64；tan50°≈1.19）
A．69.2米 B．73.1米 C．80.0米 D．85.7米
参考答案与试题解析
一．锐角三角函数的定义（共1小题）
1．（2021•云南）在△ABC中，∠ABC＝90°．若AC＝100，sinA＝，则AB的长是（ ）
A． B． C．60 D．80
【解析】解：∵AC＝100，sinA＝，
∴BC＝60，
∴AB＝＝80，
【答案】D．
二．特殊角的三角函数值（共3小题）
2．（2021•株洲）某限高曲臂道路闸口如图所示，AB垂直地面l1于点A，BE与水平线l2的夹角为α（0°≤α≤90°），EF∥l1∥l2，若AB＝1.4米，BE＝2米，车辆的高度为h（单位：米），不考虑闸口与车辆的宽度：
①当α＝90°时，h小于3.3米的车辆均可以通过该闸口；
②当α＝45°时，h等于2.9米的车辆不可以通过该闸口；
③当α＝60°时，h等于3.1米的车辆不可以通过该闸口．
则上述说法正确的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【解析】解：由题知，
限高曲臂道路闸口高度为：1.4+2×sinα，
①当α＝90°时，h＜（1.4+2）米，即h＜3.4米即可通过该闸口，
故①正确；
②当α＝45°时，h＜（1.4+2×）米，即h＜1.4+米即可通过该闸口，
∵2.9＞1.4+，
∴h等于2.9米的车辆不可以通过该闸口，
故②正确；
③当α＝60°时，h＜（1.4+2×）米，即h＜1.4米即可通过该闸口，
∵3.1＜1.4+，
∴h等于3.1米的车辆可以通过该闸口，
故③不正确；
【答案】C．
3．（2021•天津）tan30°的值等于（ ）
A． B． C．1 D．2
【解析】解：tan30°＝．
【答案】A．
4．（2021•泸州）在锐角△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，有以下结论：＝＝＝2R（其中R为△ABC的外接圆半径）成立．在△ABC中，若∠A＝75°，∠B＝45°，c＝4，则△ABC的外接圆面积为（ ）
A． B． C．16π D．64π
【解析】解：∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣75°﹣45°＝60°，
∵＝2R，
∴2R＝＝＝，
∴R＝，
∴S＝πR2＝π（）2＝π，
【答案】A．
三．计算器—三角函数（共3小题）
5．（2021•烟台）如图所示，若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序及结果如下：
按键的结果为m；
按键的结果为n；
按键的结果为k．
下列判断正确的是（ ）
A．m＝n B．n＝k C．m＝k D．m＝n＝k
【解析】解：m＝23﹣＝8﹣4＝4；
n＝﹣22＝4﹣4＝0；
k＝﹣cos60°＝﹣＝4；
∴m＝k，
【答案】C．
6．（2021•威海）若用我们数学课本上采用的科学计算器计算sin36°18′，按键顺序正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解析】解：采用的科学计算器计算sin36°18′，按键顺序正确的是D选项中的顺序，
【答案】D．
7．（2021•东营）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝42°，BC＝8，若用科学计算器求AC的长，则下列按键顺序正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解析】解：在△ABC中，因为∠C＝90°，
所以tanB＝，
因为∠B＝42°，BC＝8，
所以AC＝BC•tanB＝8×tan42°．
【答案】D．
四．解直角三角形（共8小题）
8．（2021•玉林）如图，△ABC底边BC上的高为h1，△PQR底边QR上的高为h2，则有（ ）
A．h1＝h2 B．h1＜h2
C．h1＞h2 D．以上都有可能
【解析】解：如图，分别作出△ABC底边BC上的高为AD即h1，△PQR底边QR上的高为PE即h2，
在Rt△ADC中，h1＝AD＝5×sin55°，
在Rt△PER中，h2＝PE＝5×sin55°，
∴h1＝h2，
【答案】A．
9．（2021•宜昌）如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则cos∠ABC的值为（ ）
A． B． C． D．
【解析】解：法一、如图，
在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，AD＝BD＝3，
∴AB＝＝＝3，
∴cos∠ABC＝＝＝．
【答案】B．
法二、在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，AD＝BD＝3，
∴∠ABD＝∠BAD＝45°，
∴cos∠ABC＝cos45°＝．
【答案】B．
10．（2021•巴中）如图，点A、B、C在边长为1的正方形网格格点上，下列结论错误的是（ ）
A．sinB＝ B．sinC＝
C．tanB＝ D．sin2B+sin2C＝1
【解析】解：由勾股定理得：AB＝，AC＝，BC＝，
∴BC2＝AB2+AC2，
∴△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，
∴sinB＝，sinC＝，tanB＝，sin2B+sin2C＝，
【答案】A．
11．（2021•淄博）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE是斜边AB上的中线，过点E作EF⊥AB交AC于点F．若BC＝4，△AEF的面积为5，则sin∠CEF的值为（ ）
A． B． C． D．
【解析】解：连接BF，
∵CE是斜边AB上的中线，EF⊥AB，
∴EF是AB的垂直平分线，
∴S△AFE＝S△BFE＝5，∠FBA＝∠A，
∴S△AFB＝10＝AF•BC，
∵BC＝4，
∴AF＝5＝BF，
在Rt△BCF中，BC＝4，BF＝5，
∴CF＝＝3，
∵CE＝AE＝BE＝AB，
∴∠A＝∠FBA＝∠ACE，
又∵∠BCA＝90°＝∠BEF，
∴∠CBF＝90°﹣∠BFC＝90°﹣2∠A，
∠CEF＝90°﹣∠BEC＝90°﹣2∠A，
∴∠CEF＝∠FBC，
∴sin∠CEF＝sin∠FBC＝＝，
【答案】A．
12．（2021•黑龙江）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB的延长线上，连接CD
，若AB＝2BD，tan∠BCD＝，则的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【解析】解：过点D作DM⊥BC，交CB的延长线于点M，
∵∠ACB＝∠DMB＝90°，∠ABC＝∠DBM，
∴△ABC∽△DBM，
∴＝＝，
∵AB＝2BD，
∴＝＝＝，
在Rt△CDM中，
由于tan∠MCD＝＝，设DM＝2k，则CM＝3k，
又∵＝＝，
∴BC＝2k，AC＝4k，
∴＝＝2，
【答案】B．
13．（2021•宜宾）如图，在△ABC中，点O是角平分线AD、BE的交点，若AB＝AC＝10，BC＝12，则tan∠OBD的值是（ ）
A． B．2 C． D．
【解析】解：如图：
作OF⊥AB于F，
∵AB＝AC，AD平分∠BAC．
∴∠ODB＝90°．BD＝CD＝6．
∴根据勾股定理得：AD＝＝8．
∵BE平分∠ABC．
∴OF＝OD，BF＝BD＝6，AF＝10﹣6＝4．
设OD＝OF＝x，则AO＝8﹣x，在Rt△AOF中，根据勾股定理得：
（8﹣x）2＝x2+42．
∴x＝3．
∴OD＝3．
在Rt△OBD中，tan∠OBD＝＝＝．
法二：在求出AF＝4后
∵tan∠BAD＝＝．
∴＝．
∴OF＝3．
∴OD＝OF＝3．
∴tan∠OBD＝＝．
【答案】A．
14．（2021•广东）如图，AB是⊙O的直径，点C为圆上一点，AC＝3，∠ABC的平分线交AC于点D，CD＝1，则⊙O的直径为（ ）
A． B．2 C．1 D．2
【解析】解：如图，过点D作DT⊥AB于T．
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴DC⊥BC，
∵DB平分∠CBA，DC⊥BC，DT⊥BA，
∴DC＝DT＝1，
∵AC＝3，
∴AD＝AC﹣CD＝2，
∴AD＝2DT，
∴∠A＝30°，
∴AB＝＝＝2，
解法二：AD＝2DT 由此处开始，可以在Rt△ADT中用勾股定理得AT＝，再由垂径定理可得AB＝2AT得解．
【答案】B．
15．（2021•绍兴）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，cosB＝，点D是边BC的中点，以AD为底边在其右侧作等腰三角形ADE，使∠ADE＝∠B，连结CE，则的值为（ ）
A． B． C． D．2
【解析】解：设DE交AC于T,过点E作EH⊥CD于H．
∵∠BAC＝90°,BD＝DC,
∴AD＝DB＝DC,
∴∠B＝∠DAB,
∵∠B＝∠ADE,
∴∠DAB＝∠ADE,
∴AB∥DE,
∴∠DTC＝∠BAC＝90°,
∵DT∥AB,BD＝DC,
∴AT＝TC,
∴EA＝EC＝ED,
∴∠EDC＝∠ECD,
∵EH⊥CD,
∴CH＝DH,
∵DE∥AB,
∴∠EDC＝∠B,
∴∠ECD＝∠B,
∴cos∠ECH＝cosB＝,
∴＝,
∴＝＝2,
【答案】D．
五．解直角三角形的应用（共5小题）
16．（2021•呼和浩特）如图，正方形的边长为4，剪去四个角后成为一个正八边形，则可求出此正八边形的外接圆直径d，根据我国魏晋时期数学家刘徽的“割圆术”思想，如果用此正八边形的周长近似代替其外接圆周长，便可估计π的值，下面d及π的值都正确的是（ ）
A．d＝，π≈8sin22.5°
B．d＝，π≈4sin22.5°
C．d＝，π≈8sin22.5°
D．d＝，π≈4sin22.5°
【解析】解：如图，连接AD，BC交于点O，过点O作OP⊥BC于点P，
则CP＝PD，且∠COP＝22.5°，
设正八边形的边长为a，则a+2×a＝4，
解得a＝4（﹣1），
在Rt△OCP中，OC＝＝，
∴d＝2OC＝，
由πd≈8CD，
则π≈32（﹣1），
∴π≈8sin22.5°．
【答案】C．
17．（2021•长春）如图是净月潭国家森林公园一段索道的示意图．已知A、B两点间的距离为30米，∠A＝α，则缆车从A点到达B点，上升的高度（BC的长）为（ ）
A．30sinα米 B．米 C．30cosα米 D．米
【解析】解：由图可知，在△ABC中，AC⊥BC，
∴sinα＝＝，
∴BC＝30sinα米．
【答案】A．
18．（2021•十堰）如图，小明利用一个锐角是30°的三角板测操场旗杆的高度，已知他与旗杆之间的水平距离BC为15m，AB为1.5m（即小明的眼睛与地面的距离），那么旗杆的高度是（ ）
A．（15+）m B．5m C．15m D．（5+）m
【解析】解：由题意可得，四边形ABCD是矩形，BC＝15m，AB＝1.5m，
∴BC＝AD＝15m，AB＝CD＝1.5m，
在Rt△ADE中，∠EAD＝30°，AD＝15m，
∴DE＝AD•tan∠EAD＝15×＝5（m），
∴CE＝CD+DE＝（5+1.5）（m）．
【答案】D．
19．（2021•随州）如图，某梯子长10米，斜靠在竖直的墙面上，当梯子与水平地面所成角为α时，梯子顶端靠在墙面上的点A处，底端落在水平地面的点B处，现将梯子底端向墙面靠近，使梯子与地面所成角为β，已知sinα＝cosβ＝，则梯子顶端上升了（ ）
A．1米 B．1.5米 C．2米 D．2.5米
【解析】解：如图所示，
在Rt△ABC中，AC＝sinα×AB＝＝6（米）；
在Rt△DEC中，DC＝cosβ×DE＝＝6（米），EC＝＝＝8（米）；
∴AE＝EC﹣AC＝8﹣6＝2（米）．
【答案】C．
20．（2021•温州）图1是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC．若AB＝BC＝1，∠AOB＝α，则OC2的值为（ ）
A．+1 B．sin2α+1 C．+1 D．cos2α+1
【解析】解：∵AB＝BC＝1，
在Rt△OAB中，sinα＝，
∴OB＝，
在Rt△OBC中，
OB2+BC2＝OC2，
∴OC2＝（）2+12＝．
【答案】A．
六．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共4小题）
21．（2021•德州）某商场准备改善原有楼梯的安全性能，把坡角由37°减至30°，已知原楼梯长为5米，调整后的楼梯会加长（ ）（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈）．
A．6米 B．3米 C．2米 D．1米
【解析】解：在Rt△BAD中，AB＝5米，∠BAD＝37°，
则BD＝AB•sin∠BAD≈5×＝3（米），
在Rt△BCD中，∠C＝30°，
∴BC＝2BD＝6（米），
则调整后的楼梯会加长：6﹣5＝1（米），
【答案】D．
22．（2021•潍坊）如图，一束水平光线照在有一定倾斜角度的平面镜上，若入射光线与出射光线的夹角为60°，则平面镜的垂线与水平地面的夹角α的度数是（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
【解析】解：如图，作CD⊥平面镜，垂足为G，交地面于D．
∵EF⊥平面镜，
∴CD∥EF，
∴∠CDH＝∠EFH＝α，
根据题意可知：AG∥DF，
∴∠AGC＝∠CDH＝α，
∴∠AGC＝α，
∵∠AGC＝AGB＝×60°＝30°，
∴α＝30°．
【答案】B．
23．（2021•衡阳）如图是某商场营业大厅自动扶梯的示意图．自动扶梯AB的倾斜角为37°，大厅两层之间的距离BC为6米，则自动扶梯AB的长约为（sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）（ ）
A．7.5米 B．8米 C．9米 D．10米
【解析】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6米，
∵sin∠BAC＝＝sin37°≈0.6＝，
∴AB≈BC＝×6＝10（米），
【答案】D．
24．（2021•金华）如图是一架人字梯，已知AB＝AC＝2米，AC与地面BC的夹角为α，则两梯脚之间的距离BC为（ ）
A．4cosα米 B．4sinα米 C．4tanα米 D．米
【解析】解：过点A作AD⊥BC于点D，
∵AB＝AC＝2米，AD⊥BC，
∴BD＝DC，
∴cosα＝＝，
∴DC＝2cosα（米），
∴BC＝2DC＝2×2cosα＝4cosα（米）．
【答案】A．
七．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共6小题）
25．（2021•济南）无人机低空遥感技术已广泛应用于农作物监测．如图，某农业特色品牌示范基地用无人机对一块试验田进行监测作业时，在距地面高度为135m的A处测得试验田右侧边界N处俯角为43°，无人机垂直下降40m至B处，又测得试验田左侧边界M处俯角为35°，则M，N之间的距离为（ ）（参考数据：tan43°≈0.9，sin43°≈0.7，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，结果保留整数）
A．188m B．269m C．286m D．312m
【解析】解：由题意得：∠N＝43°，∠M＝35°，AO＝135m，BO＝AO﹣AB＝95m，
在Rt△AON中，
tanN＝＝tan43°，
∴NO＝≈150m，
在Rt△BOM中，
tanM＝＝tan35°，
∴MO＝≈135.7m，
∴MN＝MO+NO＝135.7+150≈286m．
【答案】C．
26．（2021•日照）如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的古塔AB的高度，他从古塔底部点B处前行30m到达斜坡CE的底部点C处，然后沿斜坡CE前行20m到达最佳测量点D处，在点D处测得塔顶A的仰角为30°，已知斜坡的斜面坡度i＝1：，且点A，B，C，D，E在同一平面内，小明同学测得古塔AB的高度是（ ）
A．（10+20）m B．（10+10）m C．20m D．40m
【解析】解：过D作DF⊥BC于F，DH⊥AB于H，
∴DH＝BF，BH＝DF，
∵斜坡的斜面坡度i＝1：，
∴＝1：，
设DF＝xm，CF＝xm，
∴CD＝＝2x＝20m，
∴x＝10，
∴BH＝DF＝10m，CF＝10m，
∴DH＝BF＝（10+30）m，
∵∠ADH＝30°，
∴AH＝DH＝×（10+30）＝（10+10）m，
∴AB＝AH+BH＝（20+10）m，
【答案】A．
27．（2021•深圳）如图，在点F处，看建筑物顶端D的仰角为32°，向前走了15米到达点E即EF＝15米，在点E处看点D的仰角为64°，则CD的长用三角函数表示为（ ）
A．15sin32° B．15tan64° C．15sin64° D．15tan32°
【解析】解：∵∠CED＝64°，∠F＝32°，∠CED＝∠F+∠EDF，
∴∠EDF＝∠CED﹣∠F＝64°﹣32°＝32°，
∴∠EDF＝∠F，
∴DE＝EF，
∵EF＝15米，
∴DE＝15米，
在Rt△CDE中，
∵sin∠CED＝，
∴CD＝DEsin∠CED＝15sin64°，
【答案】C．
28．（2021•泰安）如图，为了测量某建筑物BC的高度，小颖采用了如下的方法：先从与建筑物底端B在同一水平线上的A点出发，沿斜坡AD行走130米至坡顶D处，再从D处沿水平方向继续前行若干米后至点E处，在E点测得该建筑物顶端C的仰角为60°，建筑物底端B的俯角为45°，点A、B、C、D、E在同一平面内，斜坡AD的坡度i＝1：2.4．根据小颖的测量数据，计算出建筑物BC的高度约为（参考数据：≈1.732）（ ）
A．136.6米 B．86.7米 C．186.7米 D．86.6米
【解析】解：如图作DH⊥AB于H，延长DE交BC于F．
在Rt△ADH中，AD＝130米，DH：AH＝1：2.4，
∴DH＝50（米），
∵四边形DHBF是矩形，
∴BF＝DH＝50（米），
在Rt△EFB中，∠BEF＝45°，
∴EF＝BF＝50（米），
在Rt△EFC中，FC＝EF•tan60°，
∴CF＝50×≈86.6（米），
∴BC＝BF+CF＝136.6（米）．
【答案】A．
29．（2021•重庆）如图，相邻两个山坡上，分别有垂直于水平面的通信基站MA和ND．甲在山脚点C处测得通信基站顶端M的仰角为60°，测得点C距离通信基站MA的水平距离CB为30m；乙在另一座山脚点F处测得点F距离通信基站ND的水平距离FE为50m，测得山坡DF的坡度i＝1：1.25．若ND＝DE，点C，B，E，F在同一水平线上，则两个通信基站顶端M与顶端N的高度差为（参考数据：≈1.41，≈1.73）（ ）
A．9.0m B．12.8m C．13.1m D．22.7m
【解析】解：在Rt△MCB中，∠MCB＝60°，CB＝30m，tan∠MCB＝，
∴MB＝CB•tan∠MCB＝30×≈51.9（m），
∵山坡DF的坡度i＝1：1.25，EF＝50m，
∴DE＝40（m），
∵ND＝DE，
∴ND＝25（m），
∴两个通信基站顶端M与顶端N的高度差＝40+25﹣51.9＝13.1（m），
【答案】C．
30．（2021•重庆）如图，在建筑物AB左侧距楼底B点水平距离150米的C处有一山坡，斜坡CD的坡度（或坡比）为i＝1：2.4，坡顶D到BC的垂直距离DE＝50米（点A，B，C，D，E在同一平面内），在点D处测得建筑物顶点A的仰角为50°，则建筑物AB
的高度约为（ ）
（参考数据：sin50°≈0.77；cos50°≈0.64；tan50°≈1.19）
A．69.2米 B．73.1米 C．80.0米 D．85.7米
【解析】解：∵斜坡CD的坡度（或坡比）为i＝1：2.4，
∴DE：CE＝5：12，
∵DE＝50米，
∴CE＝120米，
∵BC＝150米，
∴BE＝150﹣120＝30（米），
∴AB＝tan50°×30+50
≈85.7（米）．
【答案】D．
01选择题-2021中考数学真题知识点分类汇编-锐角三角形（含答案，30题）
一．锐角三角函数的定义（共1小题）
1．（2021•云南）在△ABC中，∠ABC＝90°．若AC＝100，sinA＝，则AB的长是（ ）
A． B． C．60 D．80
二．特殊角的三角函数值（共3小题）
2．（2021•株洲）某限高曲臂道路闸口如图所示，AB垂直地面l1于点A，BE与水平线l2的夹角为α（0°≤α≤90°），EF∥l1∥l2，若AB＝1.4米，BE＝2米，车辆的高度为h（单位：米），不考虑闸口与车辆的宽度：
①当α＝90°时，h小于3.3米的车辆均可以通过该闸口；
②当α＝45°时，h等于2.9米的车辆不可以通过该闸口；
③当α＝60°时，h等于3.1米的车辆不可以通过该闸口．
则上述说法正确的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
3．（2021•天津）tan30°的值等于（ ）
A． B． C．1 D．2
4．（2021•泸州）在锐角△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，有以下结论：＝＝＝2R（其中R为△ABC的外接圆半径）成立．在△ABC中，若∠A＝75°，∠B＝45°，c＝4，则△ABC的外接圆面积为（ ）
A． B． C．16π D．64π
三．计算器—三角函数（共3小题）
5．（2021•烟台）如图所示，若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序及结果如下：
按键的结果为m；
按键的结果为n；
按键的结果为k．
下列判断正确的是（ ）
A．m＝n B．n＝k C．m＝k D．m＝n＝k
6．（2021•威海）若用我们数学课本上采用的科学计算器计算sin36°18′，按键顺序正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2021•东营）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝42°，BC＝8，若用科学计算器求AC的长，则下列按键顺序正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
四．解直角三角形（共8小题）
8．（2021•玉林）如图，△ABC底边BC上的高为h1，△PQR底边QR上的高为h2，则有（ ）
A．h1＝h2 B．h1＜h2
C．h1＞h2 D．以上都有可能
9．（2021•宜昌）如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则cos∠ABC的值为（ ）
A． B． C． D．
10．（2021•巴中）如图，点A、B、C在边长为1的正方形网格格点上，下列结论错误的是（ ）
A．sinB＝ B．sinC＝
C．tanB＝ D．sin2B+sin2C＝1
11．（2021•淄博）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE是斜边AB上的中线，过点E作EF⊥AB交AC于点F．若BC＝4，△AEF的面积为5，则sin∠CEF的值为（ ）
A． B． C． D．
12．（2021•黑龙江）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB的延长线上，连接CD，若AB＝2BD，tan∠BCD＝，则的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
13．（2021•宜宾）如图，在△ABC中，点O是角平分线AD、BE的交点，若AB＝AC＝10，BC＝12，则tan∠OBD的值是（ ）
A． B．2 C． D．
14．（2021•广东）如图，AB是⊙O的直径，点C为圆上一点，AC＝3，∠ABC的平分线交AC于点D，CD＝1，则⊙O的直径为（ ）
A． B．2 C．1 D．2
15．（2021•绍兴）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，cosB＝，点D是边BC的中点，以AD为底边在其右侧作等腰三角形ADE，使∠ADE＝∠B，连结CE，则的值为（ ）
A． B． C． D．2
五．解直角三角形的应用（共5小题）
16．（2021•呼和浩特）如图，正方形的边长为4，剪去四个角后成为一个正八边形，则可求出此正八边形的外接圆直径d，根据我国魏晋时期数学家刘徽的“割圆术”思想，如果用此正八边形的周长近似代替其外接圆周长，便可估计π的值，下面d及π的值都正确的是（ ）
A．d＝，π≈8sin22.5°
B．d＝，π≈4sin22.5°
C．d＝，π≈8sin22.5°
D．d＝，π≈4sin22.5°
17．（2021•长春）如图是净月潭国家森林公园一段索道的示意图．已知A、B两点间的距离为30米，∠A＝α，则缆车从A点到达B点，上升的高度（BC的长）为（ ）
A．30sinα米 B．米 C．30cosα米 D．米
18．（2021•十堰）如图，小明利用一个锐角是30°的三角板测操场旗杆的高度，已知他与旗杆之间的水平距离BC为15m，AB为1.5m（即小明的眼睛与地面的距离），那么旗杆的高度是（ ）
A．（15+）m B．5m C．15m D．（5+）m
19．（2021•随州）如图，某梯子长10米，斜靠在竖直的墙面上，当梯子与水平地面所成角为α时，梯子顶端靠在墙面上的点A处，底端落在水平地面的点B处，现将梯子底端向墙面靠近，使梯子与地面所成角为β，已知sinα＝cosβ＝，则梯子顶端上升了（ ）
A．1米 B．1.5米 C．2米 D．2.5米
20．（2021•温州）图1是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC．若AB＝BC＝1，∠AOB＝α，则OC2的值为（ ）
A．+1 B．sin2α+1 C．+1 D．cos2α+1
六．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共4小题）
21．（2021•德州）某商场准备改善原有楼梯的安全性能，把坡角由37°减至30°，已知原楼梯长为5米，调整后的楼梯会加长（ ）（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈）．
A．6米 B．3米 C．2米 D．1米
22．（2021
•潍坊）如图，一束水平光线照在有一定倾斜角度的平面镜上，若入射光线与出射光线的夹角为60°，则平面镜的垂线与水平地面的夹角α的度数是（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
23．（2021•衡阳）如图是某商场营业大厅自动扶梯的示意图．自动扶梯AB的倾斜角为37°，大厅两层之间的距离BC为6米，则自动扶梯AB的长约为（sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）（ ）
A．7.5米 B．8米 C．9米 D．10米
24．（2021•金华）如图是一架人字梯，已知AB＝AC＝2米，AC与地面BC的夹角为α，则两梯脚之间的距离BC为（ ）
A．4cosα米 B．4sinα米 C．4tanα米 D．米
七．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共6小题）
25．（2021•济南）无人机低空遥感技术已广泛应用于农作物监测．如图，某农业特色品牌示范基地用无人机对一块试验田进行监测作业时，在距地面高度为135m的A处测得试验田右侧边界N处俯角为43°，无人机垂直下降40m至B处，又测得试验田左侧边界M处俯角为35°，则M，N之间的距离为（ ）（参考数据：tan43°≈0.9，sin43°≈0.7，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，结果保留整数）
A．188m B．269m C．286m D．312m
26．（2021•日照）如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的古塔AB的高度，他从古塔底部点B处前行30m到达斜坡CE的底部点C处，然后沿斜坡CE前行20m到达最佳测量点D处，在点D处测得塔顶A的仰角为30°，已知斜坡的斜面坡度i＝1：，且点A，B，C，D，E在同一平面内，小明同学测得古塔AB的高度是（ ）
A．（10+20）m B．（10+10）m C．20m D．40m
27．（2021•深圳）如图，在点F处，看建筑物顶端D的仰角为32°，向前走了15米到达点E即EF＝15米，在点E处看点D的仰角为64°，则CD的长用三角函数表示为（ ）
A．15sin32° B．15tan64° C．15sin64° D．15tan32°
28．（2021•泰安）如图，为了测量某建筑物BC的高度，小颖采用了如下的方法：先从与建筑物底端B在同一水平线上的A点出发，沿斜坡AD行走130米至坡顶D处，再从D处沿水平方向继续前行若干米后至点E处，在E点测得该建筑物顶端C的仰角为60°，建筑物底端B的俯角为45°，点A、B、C、D、E在同一平面内，斜坡AD的坡度i＝1：2.4．根据小颖的测量数据，计算出建筑物BC的高度约为（参考数据：≈1.732）（ ）
A．136.6米 B．86.7米 C．186.7米 D．86.6米
29．（2021•重庆）如图，相邻两个山坡上，分别有垂直于水平面的通信基站MA和ND．甲在山脚点C处测得通信基站顶端M的仰角为60°，测得点C距离通信基站MA的水平距离CB为30m；乙在另一座山脚点F处测得点F距离通信基站ND的水平距离FE为50m，测得山坡DF的坡度i＝1：1.25．若ND＝DE，点C，B，E，F在同一水平线上，则两个通信基站顶端M与顶端N的高度差为（参考数据：≈1.41，≈1.73）（ ）
A．9.0m B．12.8m C．13.1m D．22.7m
30．（2021•重庆）如图，在建筑物AB左侧距楼底B点水平距离150米的C处有一山坡，斜坡CD的坡度（或坡比）为i＝1：2.4，坡顶D到BC的垂直距离DE＝50米（点A，B，C，D，E在同一平面内），在点D处测得建筑物顶点A的仰角为50°，则建筑物AB的高度约为（ ）
（参考数据：sin50°≈0.77；cos50°≈0.64；tan50°≈1.19）
A．69.2米 B．73.1米 C．80.0米 D．85.7米
参考答案与试题解析
一．锐角三角函数的定义（共1小题）
1．（2021•云南）在△ABC中，∠ABC＝90°．若AC＝100，sinA＝，则AB的长是（ ）
A． B． C．60 D．80
【解析】解：∵AC＝100，sinA＝，
∴BC＝60，
∴AB＝＝80，
【答案】D．
二．特殊角的三角函数值（共3小题）
2．（2021•株洲）某限高曲臂道路闸口如图所示，AB垂直地面l1于点A，BE与水平线l2的夹角为α（0°≤α≤90°），EF∥l1∥l2，若AB＝1.4米，BE＝2米，车辆的高度为h（单位：米），不考虑闸口与车辆的宽度：
①当α＝90°时，h小于3.3米的车辆均可以通过该闸口；
②当α＝45°时，h等于2.9米的车辆不可以通过该闸口；
③当α＝60°时，h等于3.1米的车辆不可以通过该闸口．
则上述说法正确的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【解析】解：由题知，
限高曲臂道路闸口高度为：1.4+2×sinα，
①当α＝90°时，h＜（1.4+2）米，即h＜3.4米即可通过该闸口，
故①正确；
②当α＝45°时，h＜（1.4+2×）米，即h＜1.4+米即可通过该闸口，
∵2.9＞1.4+，
∴h等于2.9米的车辆不可以通过该闸口，
故②正确；
③当α＝60°时，h＜（1.4+2×）米，即h＜1.4米即可通过该闸口，
∵3.1＜1.4+，
∴h等于3.1米的车辆可以通过该闸口，
故③不正确；
【答案】C．
3．（2021•天津）tan30°的值等于（ ）
A． B． C．1 D．2
【解析】解：tan30°＝．
【答案】A．
4．（2021•泸州）在锐角△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，有以下结论：＝＝＝2R（其中R为△ABC的外接圆半径）成立．在△ABC中，若∠A＝75°，∠B＝45°，c＝4，则△ABC的外接圆面积为（ ）
A． B． C．16π D．64π
【解析】解：∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣75°﹣45°＝60°，
∵＝2R，
∴2R＝＝＝，
∴R＝，
∴S＝πR2＝π（）2＝π，
【答案】A．
三．计算器—三角函数（共3小题）
5．（2021•烟台）如图所示，若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序及结果如下：
按键的结果为m；
按键的结果为n；
按键的结果为k．
下列判断正确的是（ ）
A．m＝n B．n＝k C．m＝k D．m＝n＝k
【解析】解：m＝23﹣＝8﹣4＝4；
n＝﹣22＝4﹣4＝0；
k＝﹣cos60°＝﹣＝4；
∴m＝k，
【答案】C．
6．（2021•威海）若用我们数学课本上采用的科学计算器计算sin36°18′，按键顺序正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解析】解：采用的科学计算器计算sin36°18′，按键顺序正确的是D选项中的顺序，
【答案】D．
7．（2021•东营）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝42°，BC＝8，若用科学计算器求AC的长，则下列按键顺序正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解析】解：在△ABC中，因为∠C＝90°，
所以tanB＝，
因为∠B＝42°，BC＝8，
所以AC＝BC•tanB＝8×tan42°．
【答案】D．
四．解直角三角形（共8小题）
8．（2021•玉林）如图，△ABC底边BC上的高为h1，△PQR底边QR上的高为h2，则有（ ）
A．h1＝h2 B．h1＜h2
C．h1＞h2 D．以上都有可能
【解析】解：如图，分别作出△ABC底边BC上的高为AD即h1，△PQR底边QR上的高为PE即h2，
在Rt△ADC中，h1＝AD＝5×sin55°，
在Rt△PER中，h2＝PE＝5×sin55°，
∴h1＝h2，
【答案】A．
9．（2021•宜昌）如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则cos∠ABC的值为（ ）
A． B． C． D．
【解析】解：法一、如图，
在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，AD＝BD＝3，
∴AB＝＝＝3，
∴cos∠ABC＝＝＝．
【答案】B．
法二、在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，AD＝BD＝3，
∴∠ABD＝∠BAD＝45°，
∴cos∠ABC＝cos45°＝．
【答案】B．
10．（2021•巴中）如图，点A、B、C在边长为1的正方形网格格点上，下列结论错误的是（ ）
A．sinB＝ B．sinC＝
C．tanB＝ D．sin2B+sin2C＝1
【解析】解：由勾股定理得：AB＝，AC＝，BC＝，
∴BC2＝AB2+AC2，
∴△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，
∴sinB＝，sinC＝，tanB＝，sin2B+sin2C＝，
【答案】A．
11．（2021•淄博）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE是斜边AB上的中线，过点E作EF⊥AB交AC于点F．若BC＝4，△AEF的面积为5，则sin∠CEF的值为（ ）
A． B． C． D．
【解析】解：连接BF，
∵CE是斜边AB上的中线，EF⊥AB，
∴EF是AB的垂直平分线，
∴S△AFE＝S△BFE＝5，∠FBA＝∠A，
∴S△AFB＝10＝AF•BC，
∵BC＝4，
∴AF＝5＝BF，
在Rt△BCF中，BC＝4，BF＝5，
∴CF＝＝3，
∵CE＝AE＝BE＝AB，
∴∠A＝∠FBA＝∠ACE，
又∵∠BCA＝90°＝∠BEF，
∴∠CBF＝90°﹣∠BFC＝90°﹣2∠A，
∠CEF＝90°﹣∠BEC＝90°﹣2∠A，
∴∠CEF＝∠FBC，
∴sin∠CEF＝sin∠FBC＝＝，
【答案】A．
12．（2021•黑龙江）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB的延长线上，连接CD
，若AB＝2BD，tan∠BCD＝，则的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【解析】解：过点D作DM⊥BC，交CB的延长线于点M，
∵∠ACB＝∠DMB＝90°，∠ABC＝∠DBM，
∴△ABC∽△DBM，
∴＝＝，
∵AB＝2BD，
∴＝＝＝，
在Rt△CDM中，
由于tan∠MCD＝＝，设DM＝2k，则CM＝3k，
又∵＝＝，
∴BC＝2k，AC＝4k，
∴＝＝2，
【答案】B．
13．（2021•宜宾）如图，在△ABC中，点O是角平分线AD、BE的交点，若AB＝AC＝10，BC＝12，则tan∠OBD的值是（ ）
A． B．2 C． D．
【解析】解：如图：
作OF⊥AB于F，
∵AB＝AC，AD平分∠BAC．
∴∠ODB＝90°．BD＝CD＝6．
∴根据勾股定理得：AD＝＝8．
∵BE平分∠ABC．
∴OF＝OD，BF＝BD＝6，AF＝10﹣6＝4．
设OD＝OF＝x，则AO＝8﹣x，在Rt△AOF中，根据勾股定理得：
（8﹣x）2＝x2+42．
∴x＝3．
∴OD＝3．
在Rt△OBD中，tan∠OBD＝＝＝．
法二：在求出AF＝4后
∵tan∠BAD＝＝．
∴＝．
∴OF＝3．
∴OD＝OF＝3．
∴tan∠OBD＝＝．
【答案】A．
14．（2021•广东）如图，AB是⊙O的直径，点C为圆上一点，AC＝3，∠ABC的平分线交AC于点D，CD＝1，则⊙O的直径为（ ）
A． B．2 C．1 D．2
【解析】解：如图，过点D作DT⊥AB于T．
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴DC⊥BC，
∵DB平分∠CBA，DC⊥BC，DT⊥BA，
∴DC＝DT＝1，
∵AC＝3，
∴AD＝AC﹣CD＝2，
∴AD＝2DT，
∴∠A＝30°，
∴AB＝＝＝2，
解法二：AD＝2DT 由此处开始，可以在Rt△ADT中用勾股定理得AT＝，再由垂径定理可得AB＝2AT得解．
【答案】B．
15．（2021•绍兴）如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，cosB＝，点D是边BC的中点，以AD为底边在其右侧作等腰三角形ADE，使∠ADE＝∠B，连结CE，则的值为（ ）
A． B． C． D．2
【解析】解：设DE交AC于T,过点E作EH⊥CD于H．
∵∠BAC＝90°,BD＝DC,
∴AD＝DB＝DC,
∴∠B＝∠DAB,
∵∠B＝∠ADE,
∴∠DAB＝∠ADE,
∴AB∥DE,
∴∠DTC＝∠BAC＝90°,
∵DT∥AB,BD＝DC,
∴AT＝TC,
∴EA＝EC＝ED,
∴∠EDC＝∠ECD,
∵EH⊥CD,
∴CH＝DH,
∵DE∥AB,
∴∠EDC＝∠B,
∴∠ECD＝∠B,
∴cos∠ECH＝cosB＝,
∴＝,
∴＝＝2,
【答案】D．
五．解直角三角形的应用（共5小题）
16．（2021•呼和浩特）如图，正方形的边长为4，剪去四个角后成为一个正八边形，则可求出此正八边形的外接圆直径d，根据我国魏晋时期数学家刘徽的“割圆术”思想，如果用此正八边形的周长近似代替其外接圆周长，便可估计π的值，下面d及π的值都正确的是（ ）
A．d＝，π≈8sin22.5°
B．d＝，π≈4sin22.5°
C．d＝，π≈8sin22.5°
D．d＝，π≈4sin22.5°
【解析】解：如图，连接AD，BC交于点O，过点O作OP⊥BC于点P，
则CP＝PD，且∠COP＝22.5°，
设正八边形的边长为a，则a+2×a＝4，
解得a＝4（﹣1），
在Rt△OCP中，OC＝＝，
∴d＝2OC＝，
由πd≈8CD，
则π≈32（﹣1），
∴π≈8sin22.5°．
【答案】C．
17．（2021•长春）如图是净月潭国家森林公园一段索道的示意图．已知A、B两点间的距离为30米，∠A＝α，则缆车从A点到达B点，上升的高度（BC的长）为（ ）
A．30sinα米 B．米 C．30cosα米 D．米
【解析】解：由图可知，在△ABC中，AC⊥BC，
∴sinα＝＝，
∴BC＝30sinα米．
【答案】A．
18．（2021•十堰）如图，小明利用一个锐角是30°的三角板测操场旗杆的高度，已知他与旗杆之间的水平距离BC为15m，AB为1.5m（即小明的眼睛与地面的距离），那么旗杆的高度是（ ）
A．（15+）m B．5m C．15m D．（5+）m
【解析】解：由题意可得，四边形ABCD是矩形，BC＝15m，AB＝1.5m，
∴BC＝AD＝15m，AB＝CD＝1.5m，
在Rt△ADE中，∠EAD＝30°，AD＝15m，
∴DE＝AD•tan∠EAD＝15×＝5（m），
∴CE＝CD+DE＝（5+1.5）（m）．
【答案】D．
19．（2021•随州）如图，某梯子长10米，斜靠在竖直的墙面上，当梯子与水平地面所成角为α时，梯子顶端靠在墙面上的点A处，底端落在水平地面的点B处，现将梯子底端向墙面靠近，使梯子与地面所成角为β，已知sinα＝cosβ＝，则梯子顶端上升了（ ）
A．1米 B．1.5米 C．2米 D．2.5米
【解析】解：如图所示，
在Rt△ABC中，AC＝sinα×AB＝＝6（米）；
在Rt△DEC中，DC＝cosβ×DE＝＝6（米），EC＝＝＝8（米）；
∴AE＝EC﹣AC＝8﹣6＝2（米）．
【答案】C．
20．（2021•温州）图1是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC．若AB＝BC＝1，∠AOB＝α，则OC2的值为（ ）
A．+1 B．sin2α+1 C．+1 D．cos2α+1
【解析】解：∵AB＝BC＝1，
在Rt△OAB中，sinα＝，
∴OB＝，
在Rt△OBC中，
OB2+BC2＝OC2，
∴OC2＝（）2+12＝．
【答案】A．
六．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共4小题）
21．（2021•德州）某商场准备改善原有楼梯的安全性能，把坡角由37°减至30°，已知原楼梯长为5米，调整后的楼梯会加长（ ）（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈）．
A．6米 B．3米 C．2米 D．1米
【解析】解：在Rt△BAD中，AB＝5米，∠BAD＝37°，
则BD＝AB•sin∠BAD≈5×＝3（米），
在Rt△BCD中，∠C＝30°，
∴BC＝2BD＝6（米），
则调整后的楼梯会加长：6﹣5＝1（米），
【答案】D．
22．（2021•潍坊）如图，一束水平光线照在有一定倾斜角度的平面镜上，若入射光线与出射光线的夹角为60°，则平面镜的垂线与水平地面的夹角α的度数是（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
【解析】解：如图，作CD⊥平面镜，垂足为G，交地面于D．
∵EF⊥平面镜，
∴CD∥EF，
∴∠CDH＝∠EFH＝α，
根据题意可知：AG∥DF，
∴∠AGC＝∠CDH＝α，
∴∠AGC＝α，
∵∠AGC＝AGB＝×60°＝30°，
∴α＝30°．
【答案】B．
23．（2021•衡阳）如图是某商场营业大厅自动扶梯的示意图．自动扶梯AB的倾斜角为37°，大厅两层之间的距离BC为6米，则自动扶梯AB的长约为（sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）（ ）
A．7.5米 B．8米 C．9米 D．10米
【解析】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6米，
∵sin∠BAC＝＝sin37°≈0.6＝，
∴AB≈BC＝×6＝10（米），
【答案】D．
24．（2021•金华）如图是一架人字梯，已知AB＝AC＝2米，AC与地面BC的夹角为α，则两梯脚之间的距离BC为（ ）
A．4cosα米 B．4sinα米 C．4tanα米 D．米
【解析】解：过点A作AD⊥BC于点D，
∵AB＝AC＝2米，AD⊥BC，
∴BD＝DC，
∴cosα＝＝，
∴DC＝2cosα（米），
∴BC＝2DC＝2×2cosα＝4cosα（米）．
【答案】A．
七．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共6小题）
25．（2021•济南）无人机低空遥感技术已广泛应用于农作物监测．如图，某农业特色品牌示范基地用无人机对一块试验田进行监测作业时，在距地面高度为135m的A处测得试验田右侧边界N处俯角为43°，无人机垂直下降40m至B处，又测得试验田左侧边界M处俯角为35°，则M，N之间的距离为（ ）（参考数据：tan43°≈0.9，sin43°≈0.7，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，结果保留整数）
A．188m B．269m C．286m D．312m
【解析】解：由题意得：∠N＝43°，∠M＝35°，AO＝135m，BO＝AO﹣AB＝95m，
在Rt△AON中，
tanN＝＝tan43°，
∴NO＝≈150m，
在Rt△BOM中，
tanM＝＝tan35°，
∴MO＝≈135.7m，
∴MN＝MO+NO＝135.7+150≈286m．
【答案】C．
26．（2021•日照）如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的古塔AB的高度，他从古塔底部点B处前行30m到达斜坡CE的底部点C处，然后沿斜坡CE前行20m到达最佳测量点D处，在点D处测得塔顶A的仰角为30°，已知斜坡的斜面坡度i＝1：，且点A，B，C，D，E在同一平面内，小明同学测得古塔AB的高度是（ ）
A．（10+20）m B．（10+10）m C．20m D．40m
【解析】解：过D作DF⊥BC于F，DH⊥AB于H，
∴DH＝BF，BH＝DF，
∵斜坡的斜面坡度i＝1：，
∴＝1：，
设DF＝xm，CF＝xm，
∴CD＝＝2x＝20m，
∴x＝10，
∴BH＝DF＝10m，CF＝10m，
∴DH＝BF＝（10+30）m，
∵∠ADH＝30°，
∴AH＝DH＝×（10+30）＝（10+10）m，
∴AB＝AH+BH＝（20+10）m，
【答案】A．
27．（2021•深圳）如图，在点F处，看建筑物顶端D的仰角为32°，向前走了15米到达点E即EF＝15米，在点E处看点D的仰角为64°，则CD的长用三角函数表示为（ ）
A．15sin32° B．15tan64° C．15sin64° D．15tan32°
【解析】解：∵∠CED＝64°，∠F＝32°，∠CED＝∠F+∠EDF，
∴∠EDF＝∠CED﹣∠F＝64°﹣32°＝32°，
∴∠EDF＝∠F，
∴DE＝EF，
∵EF＝15米，
∴DE＝15米，
在Rt△CDE中，
∵sin∠CED＝，
∴CD＝DEsin∠CED＝15sin64°，
【答案】C．
28．（2021•泰安）如图，为了测量某建筑物BC的高度，小颖采用了如下的方法：先从与建筑物底端B在同一水平线上的A点出发，沿斜坡AD行走130米至坡顶D处，再从D处沿水平方向继续前行若干米后至点E处，在E点测得该建筑物顶端C的仰角为60°，建筑物底端B的俯角为45°，点A、B、C、D、E在同一平面内，斜坡AD的坡度i＝1：2.4．根据小颖的测量数据，计算出建筑物BC的高度约为（参考数据：≈1.732）（ ）
A．136.6米 B．86.7米 C．186.7米 D．86.6米
【解析】解：如图作DH⊥AB于H，延长DE交BC于F．
在Rt△ADH中，AD＝130米，DH：AH＝1：2.4，
∴DH＝50（米），
∵四边形DHBF是矩形，
∴BF＝DH＝50（米），
在Rt△EFB中，∠BEF＝45°，
∴EF＝BF＝50（米），
在Rt△EFC中，FC＝EF•tan60°，
∴CF＝50×≈86.6（米），
∴BC＝BF+CF＝136.6（米）．
【答案】A．
29．（2021•重庆）如图，相邻两个山坡上，分别有垂直于水平面的通信基站MA和ND．甲在山脚点C处测得通信基站顶端M的仰角为60°，测得点C距离通信基站MA的水平距离CB为30m；乙在另一座山脚点F处测得点F距离通信基站ND的水平距离FE为50m，测得山坡DF的坡度i＝1：1.25．若ND＝DE，点C，B，E，F在同一水平线上，则两个通信基站顶端M与顶端N的高度差为（参考数据：≈1.41，≈1.73）（ ）
A．9.0m B．12.8m C．13.1m D．22.7m
【解析】解：在Rt△MCB中，∠MCB＝60°，CB＝30m，tan∠MCB＝，
∴MB＝CB•tan∠MCB＝30×≈51.9（m），
∵山坡DF的坡度i＝1：1.25，EF＝50m，
∴DE＝40（m），
∵ND＝DE，
∴ND＝25（m），
∴两个通信基站顶端M与顶端N的高度差＝40+25﹣51.9＝13.1（m），
【答案】C．
30．（2021•重庆）如图，在建筑物AB左侧距楼底B点水平距离150米的C处有一山坡，斜坡CD的坡度（或坡比）为i＝1：2.4，坡顶D到BC的垂直距离DE＝50米（点A，B，C，D，E在同一平面内），在点D处测得建筑物顶点A的仰角为50°，则建筑物AB
的高度约为（ ）
（参考数据：sin50°≈0.77；cos50°≈0.64；tan50°≈1.19）
A．69.2米 B．73.1米 C．80.0米 D．85.7米
【解析】解：∵斜坡CD的坡度（或坡比）为i＝1：2.4，
∴DE：CE＝5：12，
∵DE＝50米，
∴CE＝120米，
∵BC＝150米，
∴BE＝150﹣120＝30（米），
∴AB＝tan50°×30+50
≈85.7（米）．
【答案】D．
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