江苏省宿迁市泗阳县2021-2022学年八年级（下）期中数学试卷（含解析）

江苏省宿迁市泗阳县2021-2022学年八年级（下）期中数学试卷

一．选择题（本题共12小题，共36分）

1. 下列汽车标志图案中属于中心对称图形的是

A.  B.  C.  D.

2. 下列各式中，属于分式的是

A.  B.  C.  D.

3. 一个布袋里装有个红球，个黑球，个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，则下列事件中，发生可能性最大的是

A. 摸出的是红球 B. 摸出的是黑球 C. 摸出的是绿球 D. 摸出的是白球

4. 若分式的值为零，则

A.  B.  C.  D.

5. 下列调查中，适宜采用普查方式的是

A. 了解全国八年级学生对新冠肺炎病毒的认知情况
B. 防疫期间，进入校园要测量体温
C. 考察线上学习期间全市中小学生作业完成情况
D. 了解全市中学生在疫情期间的作息情况

6. 下列分式中，属于最简分式的是

A.  B.  C.  D.

7. 菱形具有而矩形不一定具有的性质是

A. 两组对角分别相等 B. 对角线相等
C. 对角线互相平分 D. 对角线互相垂直

8. 一组数据共个，分为组，第到第组的频数之和为，第组的频率为，则第组的频数为

A.  B.  C.  D.

9. 把分式中的、都扩大倍，则分式的值

A. 扩大倍 B. 缩小倍 C. 不变 D. 扩大倍

10. 如图，在四边形中，，要使四边形是平行四边形，下列可添加的条件不正确的是

A.
B.
C.
D.

11. 如图，已知点、分别是四边形的边、的中点，、分别是对角线、的中点，要使四边形是菱形，则四边形需满足的条件是

A.
B.
C.
D.

12. 如图，在正方形中，，是对角线上一动点，点从点出发，连接，过点作交边于点，连接，取的中点，若点移动的路径长为，则点移动路径长为

1.  B.  C.  D.

二．填空题（本题共8小题，共32分）

13. “抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上”是______事件从“必然”、“随机”、“不可能”中选一个．
14. 若分式有意义，则实数的取值范围是______．
15. 为了了解我县八年级学生每天做家庭作业所用时间，从我县八年级学生中随机抽取名学生进行调查，则在该调查中，样本指的是______．
16. 如表是某种绿豆在相同条件下发芽试验的结果：

根据以上数据，该种绿豆发芽的概率的估计值为______结果精确到．

17. 菱形的对角线，，则菱形的面积______．
18. 如图，将绕点旋转到的位置，点落在边上，连接若，，则______．
    
     

19. 若分式的值是正整数，则整数的值为______．
20. 如图，在菱形中，，，点和点分别在边和边上运动，且满足，则的最小值为______．
     

三．解答题（本题共8小题，共82分）

21. 约分：
    通分：与
22. 化简求值：，其中．
23. 如图，在▱中，，求和的度数．

24. 第届北京冬奥会在全国掀起冰雪运动的热潮，某校组织了关于冬奥知识竞赛的活动，随机抽取了若干名学生的成绩进行统计，并按照成绩从低到高分成，，，，五个小组，绘制如下不完整的频数分布直方图和扇形统计图，请根据图表信息，解答下列问题：
    
    样本容量为______，频数分布直方图中______；
    扇形统计图中小组所对应的扇形圆心角为，求的值并补全频数分布直方图；
    若成绩在分以上不含分为优秀，全校共有名学生，估计成绩优秀的学生有多少名？
25. 如图，、、分别是各边的中点，连接、、．
    求证：四边形为平行四边形；
    加上条件______从三个条件；平分；中选择一个，写序号，能使结论______成立从两个结论四边形为菱形；四边形为矩形中选择一个，写序号，并加以证明．
26. 如图，方格纸中每个小方格都是边长为个单位的正方形，建立如图所示平面直加坐标系，的顶点均在格点上，其中点坐标为．
    以点为旋转中心，画出绕点顺时针旋转的；
    画关于点对称的；
    若平面内存在一点，使、、、四点构成的四边形是平行四边形，则点的坐标为______．

27. 如图，在矩形中，对角线、相交于点，，，点从点出发沿以每秒的速度向点运动，同时点从点出发沿方向以每秒的速度向点运动，设运动的时间为秒，当点运动到点时，点停止运动．过点作于点．
    
    填空：______，______，______用含有的式子表示．
    是否存在某一时刻，使四边形为菱形？若存在，求出的值：若不存在，请说明理由．
    若在某一时刻，平面内存在一点，使、、、四点构成的四边形是矩形，求出的值．
28. 在正方形中，点是平面内一点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接在图形旋转不断特殊化的过程中，我们发现了一些有趣的结论，一起来探索一下吧．
    
    如图，若点在上运动，连接，当，时，______，______．

如图，若恰好经过点，连接，求证：．
如图，若点在上运动．
中的结论还成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请探索三条线段、、的数量关系，并说明理由．
若，点在上，且，则的最小值为______．
答案和解析

1.【答案】

【解析】解：中心对称图形，即把一个图形绕一个点旋转后能和原来的图形重合，、、都不符合；
是中心对称图形的只有．
故选：．
根据中心对称的概念和各图形的特点即可求解．
本题考查中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
 

2.【答案】

【解析】解：选项是多项式，是整式，故该选项不符合题意；
选项的分母中不含字母，故B选项不符合题意；
选项的分母中含有字母，故C选项符合题意；
选项的分母中不含字母，故D选项不符合题意；
故选：．
根据分式的定义即可得出答案．
本题考查了分式的定义，掌握一般地，如果，表示两个整式，并且中含有字母，那么式子叫做分式是解题的关键，注意是数字．
 

3.【答案】

【解析】解：因为白球最多，所以被摸到的可能性最大．
故选：．
个数最多的就是可能性最大的．
本题主要考查可能性大小的比较：只要总情况数目相同，谁包含的情况数目多，谁的可能性就大；反之也成立；若包含的情况相当，那么它们的可能性就相等．
 

4.【答案】

【解析】解：依题意得：且．
解得，
故选：．
根据若分式的值为零，需同时具备两个条件：分子为；分母不为计算即可．
本题考查的是分式为的条件和一元一次方程的解法，掌握若分式的值为零，需同时具备两个条件：分子为；分母不为是解题的关键．
 

5.【答案】

【解析】解：、了解全国八年级学生对新冠肺炎病毒的认知情况，适宜采用抽样调查方式，故本选项不合题意；
B、对防疫期间，进入校园要测量体温，适宜采用普查方式，故本选项符合题意；
C、考察线上学习期间全市中小学生作业完成情况，适宜采用抽样调查方式，故本选项不合题意；
D、了解全市中学生在疫情期间的作息情况，适宜采用抽样调查方式，故本选项不合题意；
故选：．
由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
 

6.【答案】

【解析】解：、原式，不是最简分式，故本选项不符合题意；
B、原式，不是最简分式，故本选项不符合题意；
C、原式，不是最简分式，故本选项不符合题意；
D、该式子是最简分式，故本选项符合题意；
故选：．
最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．
本题考查了分式的基本性质和最简分式，能熟记分式的化简过程是解此题的关键，首先要把分子分母分解因式，然后进行约分．
 

7.【答案】

【解析】解：、矩形的两组对角相等，菱形的两组对角相等，故A错误；
B、矩形的每条对角线相等，菱形不具有该性质，故B错误；
C、菱形和矩形的对角线都相互平分，故C错误；
D、菱形的对角线互相垂直，而矩形的对角线不具有该性质，故D正确．
故选：．
依据菱形的性质和矩形的性质进行判断即可．
本题主要考查的是矩形的性质和菱形的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键．
 

8.【答案】

【解析】解：第组的频数：，
则第组的频数为：，
故选：．
首先计算出第组的频数，再用总数减去前组的频数可得第组的频数．
此题主要考查了频数与频率，关键是掌握频数是指每个对象出现的次数．频率是指每个对象出现的次数与总次数的比值或者百分比即频率频数总数．
 

9.【答案】

【解析】解：，
分式，中的，都扩大倍，则分式的值不变，
故选：．
将原分式中的、用、代替，将分式化简，再与原分式进行比较．
本题考查了分式的基本性质．解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论．
 

10.【答案】

【解析】解：、当，时，四边形可能为等腰梯形，所以不能证明四边形为平行四边形；
B、，，一组对边分别平行且相等，可证明四边形为平行四边形；
C、，，两组对边分别平行，可证明四边形为平行四边形；
D、，
，
，
，
，
四边形为平行四边形；
故选：．
根据平行四边形的判定方法，逐项判断即可．
本题主要考查平行四边形的判定方法，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
 

11.【答案】

【解析】解：点、分别是四边形的边、的中点，、分别是对角线、的中点，
，，
当时，四边形是菱形，
当时，四边形是菱形．
故选：．
由点、分别是四边形的边、的中点，、分别是对角线、的中点，根据三角形中位线的性质，可得，，又由当时，四边形是菱形，即可求得答案．
此题考查了中点四边形的性质、菱形的判定以及三角形中位线的性质，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键．
 

12.【答案】

【解析】解：过点作的垂线，交于，交于，连接交于，连接，如图所示：
则，
四边形是正方形，
，
，
，
四边形是矩形，
，、是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，
≌，
，，
，
，
当点在点时，点与点重合，的中点即为的中点，
的中点移动的路径长即为的长，
四边形是正方形，
，
是的中点，
，
即的中点移动的路径长为．
故选：．
过点作的垂线，交于，交于，连接交于，连接，先由等腰直角三角形的性质得，根据全等三角形的性质得到，于是得到，，，然后证的中点移动的路径长即为的长，最后由三角形中位线定理得即可．
本题是四边形综合题，主要考查了正方形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、三角形中位线的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握正方形的判定与性质是解题的关键．
 

13.【答案】随机

【解析】解：“抛掷一枚质地均匀的硬币，正面向上”是随机事件，
故答案为：随机．
根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
 

14.【答案】

【解析】解：根据题意得，
解得，
故答案为：．
根据分式有意义的条件：分母不等于即可得出答案．
本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件：分母不等于是解题的关键．
 

15.【答案】名学生每天做家庭作业所用时间

【解析】解：为了了解我县八年级学生每天做家庭作业所用时间，从我县八年级学生中随机抽取名学生进行调查，则在该调查中，样本指的是名学生每天做家庭作业所用时间，
故答案为：名学生每天做家庭作业所用时间．
直解根据样本的定义求解即可．
本题主要考查总体、个体、样本、样本容量的定义，熟练掌握总体、个体、样本、样本容量的定义时解答此题的关键．
 

16.【答案】

【解析】解：根据表中的发芽的频率，当实验次数的增多时，发芽的频率越来越稳定在左右，所以可估计这种绿豆发芽的机会大约是．
故答案为．
根据利用频率估计概率得到随实验次数的增多，发芽的频率越来越稳定在左右，由此该种绿豆发芽的概率的估计值为．
本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率；用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．
 

17.【答案】

【解析】解：菱形的对角线，，
菱形的面积为：．
故答案为：．
由菱形的对角线，，根据菱形的面积等于其对角线积的一半，即可求得菱形的面积．
此题考查了菱形的性质．解此题的关键是掌握菱形的面积等于其对角线积的一半定理的应用．
 

18.【答案】

【解析】解：，，
，
由旋转的性质得，，
，
，
由旋转性质知，
，
故答案为：．
由三角形内角和定理求得，由旋转性质得，进而求得，再根据旋转性质得的度数，进而由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求得结果．
本题考查了旋转的性质．等腰三角形的性质，三角形内角和定理，关键是求．
 

19.【答案】或

【解析】解：分式的值是正整数，
或，
或，
故答案为：或．
根据分式的值是正整数可以得出或，然后求解即可．
本题主要考查分式的值为正整数，分母中的整数字母取值的问题，按照数的整除特点来解题是解答此题的关键．
 

20.【答案】

【解析】解：如图，连接，作点的对称点，连接，交于，连接，

在菱形中，，
，，
是等边三角形，
点，点关于对称，
，，
，
又是等边三角形，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
当点，点，点三点共线时，的最小值为的长，
，
故答案为：．
由“”可证≌，可得，则，即当点，点，点三点共线时，的最小值为的长，由勾股定理可求解．
本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，证明三角形全等是解题的关键．
 

21.【答案】解：原式；

与，最简公分母为：，
则，
．

【解析】直接利用分式的性质化简，进而得出答案；
首先得出最简公分母，进而得出答案．
此题主要考查了通分与约分，正确掌握分式的性质是解题关键．
 

22.【答案】解：



，
当时，
原式
．

【解析】利用分式的混合运算的相应的法则进行化简，再代入相应的值运算即可．
本题主要考查分式的化简求值，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

23.【答案】解：四边形为平行四边形，
，，
，
，
．

【解析】根据平行四边形的性质可知：，，得出，求出的度数，即可得出的度数．
本题考查平行四边形的性质，属于基础题，解题关键是熟练掌握平行四边形的性质并灵活运用．
 

24.【答案】 

【解析】解：样本容量为，
则；
故答案为：；；
．
组的人数是：如图所示：

样本、两组的百分数的和为，
名
答：估计成绩优秀的学生有名．
根据组的频数以及百分比，即可求得总人数，然后根据百分比的意义求得的值；
利用乘以对应的百分比，即可求解；
利用全校总人数乘以对应的百分比，即可求解．
本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
 

25.【答案】 

【解析】证明：已知、、为、、的中点，
为的中位线，根据三角形中位线定理，
，．
即，，
四边形为平行四边形．
解：选平分证明四边形为菱形，
平分，
，
又为平行四边形，
，
，
，
，
平行四边形为菱形．
选证明四边形为菱形，
，，，，
又，
，
平行四边形为菱形．
故答案为：；．
根据三角形中位线定理可证；
若选平分：则在中为平行四边形基础上，再证一组邻边相等即证明；若选：根据三角形中位线定理即可证明．
本题考查了平行四边形的判定与性质，三角形中位线性质定理，菱形的判定定理．认真分析图中的几何关系，熟练掌握平行四边形以及菱形的判定定理是解题关键．
 

26.【答案】或或

【解析】解：如图，的即为所求；
如图，即为所求；
点的坐标为或或．
故答案为：或或．


利用旋转变换的性质分别作出，，阿德对应点，，即可；
利用中心对称变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；
画出平行四边形，可得结论．
本题考查作图旋转变换，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是掌握旋转变换的性质，学会用分类讨论的思想思考问题．
 

27.【答案】   

【解析】解：四边形是矩形，
，，，，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，，
故答案为：，，；

存在．
理由：，，
四边形是平行四边形，
当时，四边形是菱形，
，
，
时，四边形是菱形．

当时，存在一点，使、、、四点构成的四边形是矩形，
此时，
，
，
当时，存在一点，使、、、四点构成的四边形是矩形，
此时，
，
，
综上所述，满足条件的的值为或．
证明是等边三角形，推出，可得结论；
存在，当时，四边形是菱形，构建方程求解即可；
分两种情形，当时，当时，存在一点，使、、、四点构成的四边形是矩形，分别构建方程求解．
本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
 

28.【答案】  

【解析】解：如图，四边形是正方形，
，，
由旋转得，，
，
≌，
，，
，
、、三点在同一条直线上，
，，
，，
，
故答案为：，．
证明：如图，，，，
≌，
，
，
，
．
解：不成立，，
理由：如图，连接，
，，
，
由旋转得，，
，
≌，
，，
，
，
，
，
，
如图，作于点，则，
，
，
，
，
，点在上，且，
，
，
当点与点重合时，，此时线段最短，
的最小值为，
故答案为：．
由四边形是正方形得，，由旋转得，，再证明≌，得，，可证明、、三点在同一条直线上，即可由，，求得的长和的长，再根据勾股定理求出长；
类比中的方法，先证明≌，得，则，再由勾股定理求得，所以；
中的结论不成立，先证明≌，得，，则，根据勾股定理得，而，所以；
作于点，则，所以，得，由，得，当点与点重合时，，此时线段最短，根据勾股定理求出的长即可．
此题考查正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识，根据正方形的性质和旋转的性质得出三角形全等的条件，从而证明三角形全等是解题的关键．