第07讲 幂函数指数函数-【高考培优直通车】2022年高三数学大一轮复习精品讲义（上海专用）

第07讲-幂函数指数函数（原卷版）

                                                                        教学内容

1．已知f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f（1﹣x）＝f（1+x），若f（1）＝2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）＝（　　）

A．﹣50 B．0 C．2 D．50

2．设f（x）是定义域为R的偶函数，且在（0，+∞）单调递减，则（　　）

A．f（log3）＞f（2）＞f（2） 

B．f（log3）＞f（2）＞f（2） 

C．f（2）＞f（2）＞f（log3） 

D．f（2）＞f（2）＞f（log3）

3．已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）﹣g（x）＝x3+x2+1，则f（1）+g（1）＝（　　）

A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3

4．已知f（x）是奇函数，且当x＜0时，f（x）＝﹣eax．若f（ln2）＝8，则a＝　　．

5．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x+4）＝f（x﹣2）．若当x∈[﹣3，0]时，f（x）＝6﹣x，则f（919）＝　　．

知识点一：幂函数

知识梳理

1、幂的有关概念：

正整数指数幂：

零指数幂：

负整数指数幂：

分数指数幂：

2、幂函数的定义：

形如的函数叫幂函数。

注意：幂函数的底数是变量x，系数是1，高中阶段指数取有理数。

3、幂函数的图象.

根据幂函数的定义域,先作出其在第一象限的图象,再由其奇偶性作出其他象限的图形,具体见下图,的图象.

其中互质.

4、幂函数的性质

所有的幂函数在（0，）都有定义，并且函数图像都通过点（1，1）

k>0时：（图A）

（1）图象都通过（0，0），（1，1）；

（2）在第一象限内，函数值随x的增大而增大（增函数）。

k<0时；（图B）

（1）图象都通过点（1，1）（2）在第一象限内，函数值随x的增大而减小（减函数）

（3）在第一象限内，图象向上与y轴无限地接近，向右与x轴无限地接近。

设幂函数的指数，其中p、q互素

当p是偶数时，的定义域关于原点不对称，故它是非奇非偶函数；

当p是奇数时，如果q是偶数，那么是偶函数；如果q是奇数，那么是奇函数

当时，幂函数的单调区间是整个定义域，或是将定义域分为两个单调区间.具体情况可由上述图像直观得到

例题精讲

题型一：幂函数的定义 

例1．已知幂函数图像经过点（2，8），则该幂函数的解析式是（　　）

A．y＝3x B． C．y＝x3 D．

例2．已知幂函数y＝f（x）的图象过点（4，2），则f（16）＝（　　）

A．2 B．4 C．2或﹣2 D．4或﹣4

变式1．若函数f（x）＝|m﹣1|xm+1是幂函数，则m＝（　　）

A．0 B．1 C．0或2 D．1或2

变式2．若幂函数f（x）经过点，且f（a）＝8，则a＝（　　）

A．2 B．3 C．128 D．512

题型二：幂函数的图象

例1．已知幂函数y1＝xa，y2＝xb，y3＝xc，y4＝xd在第一象限的图象如图所示，则（　　）

A．a＞b＞c＞d B．b＞c＞d＞a C．d＞b＞c＞a D．c＞b＞d＞a

例2．图中C1、C2、C3为三个幂函数y＝xα在第一象限内的图象，则解析式中指数α的值依次可以是（　　）

A．、3、﹣1 B．﹣1、3、 C．、﹣1、3 D．﹣1、、3

变式1．幂函数y＝xn（n+1）（n为正整数）的图象一定经过第　一、二　象限．

变式2．已知函数，当0＜x＜1时图象在直线y＝x上方，则m的取值范围是　（0，2）　．

题型三：幂函数的单调性、奇偶性及其应用

例1．已知幂函数的图象在（0，+∞）上单调递减，则实数a的值是（　　）

A．1 B．﹣2 C．1或﹣2 D．

例2．已知幂函数f（x）＝（t2﹣4t﹣4）xt﹣2在（0，+∞）上单调递减，则f（4）＝（　　）

A． B． C．32 D．64

变式1．已知函数f（x）＝﹣x3，若f（m﹣2）＞f（2m），则m的取值范围是（　　）

A．（﹣1，1） B．（﹣2，+∞） C．（﹣3，3） D．（﹣∞，﹣2）

变式2．若幂函数f（x）的图象过点（64，2），则f（x）＜f（x2）的解集为（　　）

A．（﹣∞，0） B．（0，1） 

C．（1，+∞） D．（0，1）∪（1，+∞）

巩固练习

1．已知a＝，b＝，c＝，则（　　）

A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b

2．已知三个数a＝60.7，b＝0.70.8，c＝0.80.7，则三个数的大小关系是（　　）

A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．a＞c＞b

3．下列大小关系，正确的是（　　）

A．0.993.3＜0.994.5 B．log20.8＜log3π 

C．0.535.2＜0.355.2 D．1.70.3＜0.93.1

4．已知，，，则下列关系式正确的是（　　）

A．T1＜T2＜T3 B．T3＜T1＜T2 C．T2＜T3＜T1 D．T2＜T1＜T3

5．已知幂函数f（x）＝，若f（a+1）＜f（10﹣2a），则a的取值范围是（　　）

A．（0，5） B．（5，+∞） C．（﹣1，3） D．（3，5）

6．已知幂函数f(x)的图象经过点，P(x1，y1)，Q(x2，y2)(x1<x2)是函数图象上的任意不同两点，给出以下结论：

①x1f(x1)>x2f(x2)；②x1f(x1)<x2f(x2)；③>；④<.

其中正确结论的序号是(　　)

A．①②   B．①③   C．②④   D．②③

7．已知幂函数(∈Z)为偶函数,且在区间（0，+∞）上是单调减函数.(1)求函数；(2)讨论的奇偶性.

知识点二：指数函数

知识梳理

①定义：一般地,函数叫做指数函数．

与幂函数不同，在这个函数中，自变量是指数，而底数则是常数．

②基本性质：1）函数的定义域为R；2）函数的值域为；

3）当时函数为减函数，当时函数为增函数．

③函数图像：

1）指数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、二象限；

2）指数函数都以轴为渐近线（当时，图象向左无限接近轴，当时，图象向右无限接近轴）；

3）对于相同的，函数的图象关于轴对称．

④函数值的变化特征：

例题精讲

例1．方程的解集是________．

例2．方程：的解为________．

例3．若，则等于________．

例4．已知，求：

（1）；

（2）的值．

例5．化简下列各式：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）已知，求的值．

例6．若，上述函数是指数函数的个数是　　

例7．求下列函数的定义域：

（1）；

（2）．

例8．求满足下列条件的实数的范围：

（1）；

（2）；

（3）．

例9．如图所示，曲线，，，分别为指数函数，，，的图象，则，，，与的大小关系为　　

例10．与函数的图象关于轴对称的函数图象是　　

例11．比较 ， ， 的大小．

巩固练习

1．（1）函数的定义域为                      ，值域为      .

（2）函数的定义域为                      ，值域为         .

（3）函数的定义域是                  ；值域是       .

（4）

（5）函数的定义域  ，值域         ；在区间                上是增函数.

（6）函数的定义域是         ，值域是        ．

2．若函数的图象与轴有交点，则实数的范围是_____________

3．(1)函数的图象一定过____________象限.

(2)函数的图象一定过定点，则点的坐标是_________.

4．当时，不等式恒成立，则的取值范围是．

5．不等式的解集为，则实数的取值范围是．

6． 已知函数，

（1）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围；

（2）若的最小值为，求实数的值；

（3）若对任意实数，均存在以为三边边长的三角形，求实数的取值范围．

7．已知函数．

（1）若，求的值；

（2）若对于恒成立，求实数m的取值范围．

 1、设函数，“该函数的图像过点”是“该函数为幂函数”的（    ）．

    (A) 充分非必要条件               (B) 必要非充分条件   

    (C) 充要条件                 (D) 既非充分又非必要条件

2、下列函数中，既是单调函数，又是奇函数的是（　　）

A．y＝x5 B．y＝5x C．y＝log2x D．y＝x﹣1

3、已知幂函数f（x）＝（m∈Z）在区间（0，+∞）上是单调增函数，且y＝f（x）的图象关于y轴对称，则f（﹣2）的值为（　　）

A．16          B．8   C．﹣16   D．﹣8

4、下列函数中为幂函数且为偶函数的是（　　）

A．f（x）＝x2 B．f（x）＝3x 

C．f（x）＝（1﹣x）2 D．f（x）＝x

5、已知函数．

（1）证明：当时，函数是减函数；

（2）根据a的不同取值，讨论函数的奇偶性，并说明理由；

（3）当，且时，证明：对任意，存在唯一的，使得，

且．

笔耕不辍