第08讲 对数和对数函数-【高考培优直通车】2022年高三数学大一轮复习精品讲义（上海专用）

第08讲-对数和对数函数(原卷版)

                                                                        教学内容

1．若10x＝2,10y＝3，则10＝________.

2. 已知幂函数为偶函数，且在上是减函数，求的解析式.

3.已知函数的最小值是，求实数的值。

4.（1）已知是奇函数，求常数的值；

（2）画出函数的图象，并利用图象回答：为何值时，方程无解？有一解？有两解？

知识点一： 对数运算

知识梳理

对数：

（1）对数的定义：如果，那么幂指数叫做以为底的对数（logarithm）．记作：,其中叫做底数（base），叫做真数．

(2)指数式与对数式的互化式:

(3)对数的换底公式 : (,且,,且, )

(4)对数恒等式：(,且, )  

(5)对数的四则运算法则:若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则

①;  ②;

③;    ④

(6)常用对数和自然对数

以10为底的对数，叫做常用对数（common logarithms），简记为．以无理数为底的对数叫做自然对数（natural logarithms），记作，简记为，其中．

例题精讲

例1.计算

（1）；  （2）；

（3）已知，，求、的值；

（4）已知，且，求的值．

例2. 计算：（1）；（2）

例3.已知，，试用表示。

例4.设、、，且。

（1）求证：，                     （2）比较、、的大小

巩固练习

1. 计算_______．

2.  设，且，则(   )

（A）      （B）      

（C）        （D）

知识点二：  对数函数

知识梳理

例题精讲

例1.求下列函数的定义域：

（1）；（2）；（3）．

例2.作出下列函数的图像，并指出其单调区间．

(1)y=lg(－x)，(2)y=log2|x＋1| ，

例3.（1）比较与（且）的大小；

（2）已知：，，，比较和的大小．

例4.对数式log(a－2)(5－a)＝b中，实数a的取值范围是(　　)

例5.已知函数的定义域是，值域是，求实数、的值．

例6.已知函数在区间上是增函数，求实数的取值范围．

例7.已知函数的定义域为R，求实数的取值范围．

补：若值域为R，求实数的取值范围。

例8.判断函数的奇偶性．

例9.设，且，定义在区间内的函数是奇函数．

（1）       求的取值范围；

（2）       讨论函数的单调性．

例10、已知函数（）为偶函数．

（1）求常数的值；

（2）当取何值时函数的值最小？并求出的最小值；

（3）设（），试根据实数的取值，讨论函数与的图像的公共点个数．

例11

已知函数，函数的图像与函数

的图像关于直线对称.

（1）求函数的解析式；

（2）若函数在区间上的值域为，求实数的取值范围；

（3）设函数，试用列举法表示集合．

巩固练习

1、函数的定义域是                  ．

2、函数的图像（   ）

（A） 关于原点对称  （B）关于主线对称  （C） 关于轴对称  （D）关于直线对称

3. 若函数的定义域为，则的取值范围是         .

4、若函数（且）的值域为，则实数的取值范围是                   ．

5、函数的单调增区间是                ．

6、在函数中，若函数在内为增函数，则实数的取值范围是          .

7. 已知函数

（1）求的定义域；

（2）判断的奇偶性并证明

知识点三：指数对数方程不等式

知识梳理

1、含有指数、对数的方程

①    指数方程与对数方程的定义：在指数上含有未知数的方程，叫做指数方程；

在对数符号后面含有未知数的方程，叫做对数方程。

②解指数、对数方程的基本思想：化同底或换元。

③指数方程的基本类型：

（1）其解为；

（2），转化为代数方程求解；

（3），转化为代数方程求解；

（4），用换元法先求方程的解，再解指数方程。

④ 对数方程的基本类型：

（1）,其解为；

（2），转化为求解；

（3），用换元法先求方程的解，再解对数方程。

⑤指数方程和对数方程的近似解

   利用函数图象和二分法可以求指数方程和对数方程的近似解.

2、含有指数、对数的不等式

  指数不等式  类型Ⅰ：

                      当时，以上不等式同解于不等式：

                      当时，以上不等式同解于不等式：

              类型Ⅱ：型不等式——换元法求解

对数不等式  类型Ⅰ：

当时，以上不等式同解于不等式：

当时，以上不等式同解于不等式：

类型Ⅱ： 型不等式——换元法求解

例题精讲

例1、解下列方程：

(1)9x+6x=22x+1；         (2)log4(3-x)+log(3+x)=log4(1-x)+log(2x+1)；

(3)log2(9x-1-5)-log2(3x-1-2)=2．

例2、解关于x的方程：lg(x2-2ax)-lg(6a-3)=0．

例3、当a为何值时，关于x的方程4x-(2a+1)·2x+a2+2=0的根一个比另一个大1．

例4、（1）方程的解集为；

（2）方程的解集为．

例5、不等式的解集为         ．

例6、已知满足不等式,求函数 的最大值和最小值

巩固练习

1.解方程：

2．方程的解为          .

3.解方程：

4．已知函数(且)满足，若是的反函数，则关于x的不等式的解集是     ．

5.设不等式时，求的最大值和最小值．

1．设a＝log0.20.3，b＝log20.3，则（　　）

A． B．ab＜0 C．a+b＜0 D．ab＜a+b

2．记函数的定义域为集合A，函数g（x）＝lg[（x﹣a+1）（x﹣a﹣1）]的定义域为集合B．

（Ⅰ）求集合A；

（Ⅱ）若A∩B＝A，求实数a的取值范围．

3．若对任意x∈R恒成立，则实数a的取值范围是　  ．

4．已知函数．

（1）求的反函数；

（2）若的反函数是它本身，求的值．

5．设函数f（x）＝lg（x2﹣2x+a）．

（1）求函数f（x）的定义域A；

（2）若对任意实数m，关于x的方程f（x）＝m总有解，求实数a的取值范围．

6．已知函数（m＞0，m≠1）的图象恒经过与m无关的定点A．

（1）求点A的坐标；

（2）若偶函数g（x）＝ax2+bx﹣c，x∈[1﹣2c，c]的图象过点A，求a、b、c的值．

7、已知函数（其中）.

（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；

（2）判断（其中且）的正负号，并说明理由；

（3）若两个函数与在闭区间上恒满足，则称函数与在闭区间上是分离的. 试判断的反函数与在闭区间上是否分离？若分离，求出实数a的取值范围；若不分离，请说明理由．

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