第10讲 函数的奇偶性和单调性-【高考培优直通车】2022年高三数学大一轮复习精品讲义（上海专用）

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第10讲-函数的奇偶性和单调性（原卷版）
学习目标：
1．掌握函数的奇偶性和图像的性质；能判断一些简单函数的奇偶性；能判断分段函数、抽象函数的奇偶性；
2．会运用函数的奇偶性求有关函数的值和解析式；
3．会运用函数的奇偶性研究函数的其他性质；
4．掌握函数的单调性的相关概念，熟练应用定义法证明函数的单调性；
5．掌握奇偶性与单调性的联系以及复合函数单调性法则，并会灵活应用

教学内容


1.给出下列函数:
（1）； （2）； （3）；　
（4） （5）
其中不存在反函数的是__________________.
2.求下列函数的反函数：
（1）； （2）；


3. 若既在的图象上，又在它反函数图象上，求的值





知识点一：函数奇偶性
知识梳理
1．偶函数和奇函数

偶函数
奇函数
定义
条件
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有
f(－x)＝f(x)
f(－x)＝－f(x)
结论
函数f(x)叫作偶函数
函数f(x)叫作奇函数
图象特征
图象关于y轴对称
图象关于原点对称
2．奇偶函数的性质
(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．
(2)在公共定义域内
①两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数．
②两个偶函数的和函数、积函数都是偶函数．
③一个奇函数、一个偶函数的积函数是奇函数．
即：奇奇奇，偶偶偶，奇奇偶，偶偶偶，奇偶奇；（记忆窍门：奇(－)偶(＋)）
(3)若f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则f(0)＝0.
(4)若g(x)是偶函数函数，那么y=f(g(x))一定是偶函数.（复合函数奇偶性口诀：内偶则偶，内奇同外）
3．判断函数奇偶性的方法
(1)定义法

注：①对于较复杂的解析式，可先对其进行化简，再利用定义进行判断，同时应注意化简前后的等价性．②所给函数的定义域若不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性．
(2)图象法

(3)性质法：
①设，的定义域分别是，那么在它们的公共定义域上：奇奇奇，偶偶偶，奇奇偶，偶偶偶，奇偶奇；
②若某奇函数若存在反函数，则其反函数必是奇函数

例题精讲
一、函数的奇偶性
（一）判断函数奇偶性
【例1】设是上的任意函数，则下列叙述正确的是（ ）
A．是奇函数 B．是奇函数
C．是偶函数 D．是偶函数
【例2】判断函数的奇偶性：
⑴； ⑵； ⑶；




⑷； ⑸； ⑹．




【例3】是非奇非偶函数，证明如下： ，这种证法正确吗？若正确，说明理由；若不正确，请给出正确的证法．



【例4】如图，在直角坐标平面内有一个边长为、中心在原点的正六边形，. 直线与正六边形交于M、N两点，记的面积为，则函数的奇偶性为（ )
x
L
N
M
O
F
E
D
C
B
A
y
A．偶函数 　　　　　　　　　 B．奇函数
C．不是奇函数，也不是偶函数 　　　 D．奇偶性与有关[来





【例5】已知函数，其中.根据的不同取值，讨论的奇偶性，并说明理由．


【例6】若函数为偶函数且非奇函数，则实数的取值范围为_____．


【例7】已知函数对一切，都有．求证：为奇函数．



（二）利用函数奇偶性
【例8】定义在上的函数是奇函数，则常数___,____
【例9】、设，是定义在上的函数，，则“，均为偶函数”是“为偶函数”___ 的条件。
充分而不必要
【例9】（1）已知是奇函数,且.若,则_______ .
（2）已知定义在R上的奇函数和偶函数满足，若， 则



x
0
y
1
2
3
y=f(x)
y=g(x)

13、已知是偶函数，是奇函数，它们的定义域均为[-3，3]，且它们在上的图像如图所示，则不等式的解集是_________.





【例10】设为定义在上的奇函数,且时,,则函数在上的零点个数为（　　）
A． B． C． D．
【例11】已知函数()，如果（），那么的值是（　　）
A． B．3 C．5 D．


【例12】设是函数的图象上一点，向量，，且.数列是公差不为0的等差数列，且，则_____．



【例13】设为实常数,是定义在R上的奇函数,当时,,若对一切成立,则的取值范围为___________．




【例14】已知定义在上的函数(为实常数)，
（1）当时，证明：不是奇函数；
（2）设是奇函数，求与的值；
（3）当是奇函数时，证明对任何实数，都有成立．











巩固练习
1、判断下列函数的奇偶性：
（1） （2） （3）


2、函数是偶函数的充要条件是___________
3、为上的奇函数，当时，，则当时,= 。



4．设函数，其中、（，）为已知实常数，.
下列关于函数的性质判断正确的命题的序号是_______________．
① 若，则对任意实数恒成立；
② 若，则函数为奇函数；
③若，则函数为偶函数；
5．已知，，且，，
则=_____．


6．设函数是定义域为的奇函数，，，求的值．



7．已知函数，，，且与的图像在轴上的截距相等．
（1）求的值；
（2）若，，试讨论函数的奇偶性．












8．
已知函数，（为正常数），且函数与的图像在轴上的截距相等．
（1）求的值；
（2）若（为常数），试讨论函数的奇偶性．











知识点二：函数单调性
知识梳理
1．单调函数的定义

增函数
减函数
定
义
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2
当x1 当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数
图象描述

自左向右看图象是上升的

自左向右看图象是下降的
2．函数单调性的常用结论
(1)若f(x)，g(x)均是区间A上的增(减)函数，则f(x)＋g(x)也是区间A上的增(减)函数；
(2)若k>0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k<0，则kf(x)与f(x)单调性相反；
(3)函数y＝f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反；
(4)函数y＝f(x)(f(x)≥0)在公共定义域内与y＝的单调性相同；
(5)奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反．
(6)对于任意的，都有，表示单调递增；对于任意的，都有，表示单调递减．
3．判断函数单调性(单调区间)的常用方法
(1)定义法：先求定义域，再根据取值、作差、变形、定号的顺序得结论．(切记：高考中对函数单调性的证明，只能使用定义法)
(2)图象法：若函数是以图象形式给出的，或者函数的图象可作出，可由图象的升、降写出它的单调性(区间)．
(3)复合函数法：适用于形如y＝f(φ(x))的复合函数，具体规则如下表：
函数
增减情况
内函数t＝φ(x)
增
增
减
减
外函数y＝f(t)
增
减
增
减
y＝f(φ(x))
增
减
减
增
　　

y＝f(φ(x))的单调性可以利用口诀——“同增异减”来判断，即内外函数的单调性相同时，为增函数；单调性不同时为减函数．
(4)性质法：利用函数单调性的有关结论，确定简单的初等函数的单调性
增函数与减函数
定义：一般地，设函数的定义域为，如果对于定义域内的某个区间内的任意两个自变量，，当时，都有（），那么就说在区间上是增（减）函数．
注：①函数的单调区间是函数定义域的子集，在讨论函数的单调性的基础上不要忽略函数定义域的要求；
②一个函数有多个单调递增或递减区间时不能用“”连接；如的单调递减区间时和而不能写成。

利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤
【步骤】
① 任取，且；
② 作差 （偶有做商比较大小的）；
③ 变形（通常是通分、因式分解和配方）；
④ 定号（即判断差的正负）；
⑤下结论（即指出函数在给定的区间上的单调性）；

单调性的其它等价形式
①对于任意的，都有，表示单调递增；
对于任意的，都有，表示单调递减.
②对于任意的，都有，表示单调递增；
对于任意的，都有，表示单调递减.
③若是奇函数，且对定义域内的任意（）都有
恒成立，则在定义域内递增；
恒成立，则在定义域内递减.

例题精讲
（一）单调性概念
【例15】下列命题中正确的命题是（ ）
A．若存在，当时，有，则说函数在区间上是增函数；
B．若存在（，当时，有，则说函数在区间上是增函数；
C．函数的定义域为，若对任意的，都有，则函数在上一定是减函数；
D．若对任意，当时，有，则说函数在区间上是增函数．


【例17】已知函数，单调递增区间为_____．


【例18】，证明是上的递增函数．


【例19】判断函数在区间上的单调性。




【例20】已知，当时，不等式恒成立，求实数的取值范围






【例21】定义在上的偶函数在上是增函数，且对一切,恒有成立，试判断在上的单调性，并证明你的结论．






【例22】已知满足对任意都有成立，那么的取值范围是_____．



【例23】2、求下列函数的单调区间：
（1）函数的单调增区间为____________
（2）求函数的单调区间。




【例24】设,函数在单调递减,则（　　）
A．在上单调递减,在上单调递增
B．在上单调递增,在上单调递减
C．在上单调递增,在上单调递增
D．在上单调递减,在上单调递减

【例25】设x∈R，若函数为单调递增函数，且对任意实数x，都有（e是自然对数的底数），则的值等于_____．

【例26】动点在圆上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知时间时，点的坐标是，则当时，动点的纵坐标关于（单位：秒）的函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．和

【例27】设、、是定义域为的三个函数，对于命题：①若、、均为增函数，则、、中至少有一个增函数；②若、、均是以为周期的函数，则、、均是以为周期的函数，下列判断正确的是（ ）
A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题
C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题









【例28】已知函数，，．
（1）若，试判断并用定义证明函数的单调性；
（2）当时，求证函数存在反函数．




【例29】在定义域上满足任意，
（1）若在上递增，判断在定义域上单调性，并说明理由；
（2）若在上递增，判断在定义域上单调性，并说明理由．




巩固练习
1．函数的增区间是，则的递区间是_____．


2、的递增区间是__________，递减区间是__________。




3、求函数 的单调递增区间

4、．证明在定义域上为减函数.

5、求的单调递增区间


6、已知函数，函数,求函数的单调区间？





7、已知函数，令，问是否存在实数，使在上是减函数，在上是增函数？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由．






8．设为奇函数，为常数．
（1）求的值；
（2）判断函数在上的单调性，并说明理由；
（3）若对于区间上的每一个值，不等式恒成立，求实数的取值范围．









知识点三：奇偶性单调性综合
知识梳理
奇偶性单调性综合应用
例题精讲
（二）利用函数单调性
【例30】，在定义域上为增函数，则的取值范围．



【例31】已知是上的减函数，那么的取值范围是_____．



【例32】已知定义域为的奇函数，又是减函数，且，求的取值范围．



【例33】问题“求方程的解”有如下的思路：方程可变为，考察函数可知，，且函数在上单调递减，∴原方程有唯一解．仿照此解法可得到不等式：的解是_____．
【例34】，
（1）在区间上是增函数，求的取值范围；
（2）的单调递增区间是，求的取值范围．


【例35】对于定义域为的函数，若有常数，使得对于任意的,存在唯一的满足等式，则称为函数的“均值”．
（1）判断1是否为函数的“均值”，请说明理由；
（2）若函数存在“均值”，求实数的取值范围．









【巩固训练】

1．是否存在实数，使函数在区间上是增函数？如此存在，说明可取哪些值；如果不存在，说明理由．



2．已知函数，若在是增函数，求实数的范围.






3、已知函数.
（1）用定义证明：当时，函数在上是增函数；
（2）若函数在上有最小值，求实数的值．




三、函数的奇偶性与单调性综合应用
【例36】下列函数：①；②；③；④；⑤中，既是偶函数，又是在区间上单调递减函数为　　．（写出符合要求的所有函数的序号）


【例37】【2012年嘉定区一模理科第12题】已知函数，，则满足的的取值范围是________________．


【例38】（黄浦区2013届高三一模理科17）若是上的奇函数，且在上单调递增，则下列结论：①是偶函数；②对任意的都有；③在上单调递增；④在上单调递增．其中正确结论的个数为（ ）
A．1　 　　　　B．2　　　　C．3　　　　　 　D．4

【例39】（青浦区2013届高三一模18）已知函数是定义在上的单调增函数且为奇函数，数列是等差数列，，则的值（ ）
A．恒为正数 B．恒为负数 C．恒为0 D．可正可负

【例40】已知是单调减函数，若将方程与的解分别称为函数的不动点与稳定点．则“是的不动点”是“是的稳定点”的（　　）
A．充要条件　　　　　 B．充分不必要条件　　
C．必要不充分条件　　 D．既不充分也不必要条件

【例41】已知集合是满足下列两个条件的函数的全体：①在定义域上是单调函数；②在的定义域内存在闭区间，使在上的值域为．若函数，，则实数的取值范围是________________．


【例42】已知函数的定义域是且，,当时,．
(1)求证:是奇函数；
(2)求在区间)上的解析式；
(3)是否存在正整数，使得当x∈时,不等式有解?证明你的结论．














【例43】已知函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数．
（1）如果函数在上是减函数，在上是增函数，求的值；
（2）设常数，求函数的最大值和最小值；
（3）当是正整数时，研究函数的单调性，并说明理由．







巩固练习
1．下列函数既是奇函数，又在区间[－1，1]上单调递减的是( )
A． B．
C． D．


2．定义在R上的偶函数满足：对任意的，
有恒成立. 则当时，有（ ）
A． B．
C． D．

3．已知函数，，
若对任意的，均有，则实数的取值范围是　 ．









4．设函数，.
（1）解方程：；
（2）令，，求证：
；
（3）若是实数集上的奇函数，且对任意实数恒成立，求实数的取值范围．














5．对于函数，若存在实数，使成立，则称为函数的不动点．
⑴已知函数．
①若对任意实数，函数恒有两个相异的不动点，求实数的取值范围；
②在①的条件下，若的图像上两点的横坐标都是函数的不动点，且两点关于直线对称，求实数的最小值．
⑵命题“若定义在实数集上的奇函数存在有限个相异的不动点，则不动点的个数是奇数个”是否正确？若正确则加以证明，若不正确请举一反例加以说明．





















1、已知，，则的单调递增区间 .
2、如果函数在区间上是减函数，则的取值范围是
3、若函数在上单调递减，求实数的取值范围。

4.已知是上的减函数，那么的取值范围是



5、已知函数,满足对任意,都有成立,则的取值范围是__________.


6、已知在定义域上是减函数，且，求的取值范围．

7、已知函数式定义在上的偶函数，且在上是增函数，且，求满足的的取值范围。


8、已知是定义在上的奇函数，且它在区间上单调递减，且，求实数的取值范围。




9、 “求方程的解”有如下的思路：方程可变为，考察
函数可知，，且函数在上单调递减，∴原方程有唯一解
．仿照此解法可得到不等式：的解是 ．


10、已知偶函数在区间单调增加，则满足的取值范围
是 。



11、已知是定义在上的奇函数，且在上是减函数，并且，求实数的取值范围．

12、下列命题中正确的命题是………………（ ）
（A）若存在，当时，有，则说函数在区间上是增函数；
（B）若存在（，当时，有，则说函数在区间上是增函数；
（C）函数的定义域为，若对任意的，都有，则函数在上一定是减函数；
（D）若对任意，当时，有，则说函数在区间上是增函数。



13、“”是“函数在区间上为增函数”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件


14、定义在上的函数为减函数，求满足不等式的的值的集合





15、已知偶函数在上是增函数，求不等式的解集。







16、已知二次函数。
（1）函数在上单调递增，求实数的取值范围；
（2）关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围；






17．（1）已知：，求函数的单调区间和值域；
（2），函数，判断函数的单调性并予以证明；
（3）当时，上述（1）、（2）小题中的函数，，若对任意，总存在，使得成立，求的取值范围．


















18．已知函数的定义域为，若在上为增函数，则称为“一阶比增函数”；若在上为增函数，则称为“二阶比增函数”.我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为，所有“二阶比增函数”组成的集合记为.
(Ⅰ)已知函数，若且，求实数的取值范围；
(Ⅱ)已知，且的部分函数值由下表给出，










求证：；
(Ⅲ)定义集合
请问：是否存在常数，使得，，有成立？若存在，求出的最小值；若不存在，说明理由.

















笔耕不辍

1、函数为奇函数或偶函数的必要条件是定义域关于原点对称；
2、判断函数的奇偶性，首先要研究函数的定义域是否关于原点对称，有时还要对函数进行化简整理，但必须注意不能改变函数的定义域；
3、偶函数的图像关于轴对称对称；奇函数的图像关于原点对称；
4、函数包括奇函数、偶函数、既奇又偶函数、非奇非偶函数四类；
5、分段函数的奇偶性要分段讨论；奇偶性的等价形式：