第11讲 函数的对称性与周期性-【高考培优直通车】2022年高三数学大一轮复习精品讲义（上海专用）

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第11讲-函数的对称性与周期性（原卷版）学习目标： 1.理解函数的周期性和对称性的含义；2.了解函数周期性和对称性的常见结论；3.会运用函数的周期性和对称性处理各类函数问题。                                                                          教学内容1.设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)<0的解集为________． 2．函数f(x)＝(x＋1)是________函数．(填“奇”“偶”或“非奇非偶”)               知识点一：函数的周期性知识梳理1、周期函数的定义一般地，对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有，那么函数就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的一个周期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。显然，若T是函数的周期，则也是的周期。如无特别说明，我们后面一般所说的周期是指函数的最小正周期。说明：周期函数不一定都有最小正周期。2、关于函数周期性的一些常见结论1.若，则是周期函数，是它的一个周期； 2.的周期为的周期为；3.对于非零常数，若函数满足，则函数的一个周期为.4.对于非零常数，若函数满足，则函数的一个周期为.5.对于非零常数，若函数满足，则函数的一个周期为.6. 对于非零常数，若函数满足，则的一个周期为.若函数满足，则的一个周期为.若函数满足，则的一个周期为.若函数满足，则的一个周期为.7. 对于非零常数，若函数满足，则的一个周期为.  例题精讲题型一：利用周期性求函数值例1.已知定义在R上的奇函数满足，则的值为 (      )A、－1           B、0             C、1                 D、2例2.已知奇函数满足的值为              . 题型二：利用周期性求解析式例3.设奇函数的定义域为，且，当时，，求在上的表达式. 题型三：类周期函数例4：已知函数f(x)对任意x∈R，都有f(x＋2π)＝f(x)，当x∈(0，π)时，f(x)＝2sin ，则f 等于(　　)A.         B.        C．1        D.例5：已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝－f(x＋2)，当x∈(0,2]时，f(x)＝2x＋log2x，则f(2 020)等于(　　)A．5       B.      C．2       D．－5 巩固练习1、已知函数f(x)＝是奇函数．(1)求实数m的值；(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．    2、设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式．       3、设定义在R上的函数f(x)满足f(x＋3)＝f(x)，且当x∈[0,3)时，f(x)＝2x－x2＋1，则f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 021)＝________.     知识点二：函数的对称性知识梳理一、对称性的概念及常见函数的对称性 1、对称性的概念 ①函数轴对称：如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。 ②中心对称：如果一个函数的图像沿一个点旋转180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心。 2、常见函数的对称性（所有函数自变量可取有意义的所有值） ⑴常数函数;⑵一次函数;⑶二次函数;⑷反比例函数;⑸幂函数;⑹正弦函数;⑺余弦函数;⑻正切函数;⑼正弦型函数;⑽耐克函数;⑾绝对值函数：这里主要说的是和两类。前者显然是偶函数，它会关于轴对称;后者是把轴下方的图像对称到轴的上方，是否仍然具备对称性，这也没 有一定的结论，例如就没有对称性，而却仍然是轴对称。⑿形如的图像是双曲线，其两渐近线分别直线(由分母为零确定)和直线(由分子、分母中的系数确定)，对称中心是点。二、抽象函数的对称性【此类问题涉及到了函数图象的两种对称性，一种是同一函数自身的对称性，我们称其为自对称；另一种是两个函数之间的对称性 ，我们称其为互对称。】1、函数图象本身的对称性（自对称问题）（1）轴对称①的图象关于直线对称   ② 的图象关于直线对称.特别地，函数的图像关于轴对称的充要条件是.（2）中心对称         ①的图象关于点对称   。②   的图象关于点对称.特别地，函数的图像关于原点对称的充要条件是.   2、两个函数图像的对称性（互对称问题）（1）函数与图象关于直线对称。（2）函数与图象关于直线对称（3）函数与图象关于直线对称（4）函数与图象关于直线对称即直线对称（注意不是 ）（5）函数与图象关于轴对称。（6）函数与图象关于轴对称。（7）函数与图象关于直线成轴对称。（8）函数与图象关于直线成轴对称。（9）函数与的图像关于直线对称。（10）函数与的图像关于直线对称。（11）函数有反函数，则和的图像关于直线对称。（12）函数与的图像关于点成中心对称。特别地，函数与图象关于原点对称。 例题精讲例1.已知函数定义域为，且对于任意实数满足，当时，，则         .例2.已知函数图象的对称中心是，则             . 例3.已知函数，则该函数的对称轴方程为              .       例4.已知函数，函数与的图像关于轴对称，求函数在区间上的最值.    例5. 设，函数的图像与函数的图像关于点对称．求函数的解析式．      巩固练习1、已知函数f(x)的定义域为R，对任意x都有f(2＋x)＝f(2－x)，且f(－x)＝f(x)，则下列结论不正确的是(　　)A．f(x)的图象关于直线x＝2对称B．f(x)的图象关于点(2,0)对称C．f(x)的周期为4D．y＝f(x＋4)为偶函数  2、已知函数f(x)的定义域为R，当x∈[－2，2]时，f(x)单调递减，且函数y＝f(x＋2)为偶函数，则下列结论正确的是(　　)A．f(π)<f(3)<f()B．f(π)<f()<f(3)C．f()<f(3)<f(π)D．f()<f(π)<f(3)  3、已知函数f(x)的定义域为R，且f(x)为奇函数，其图象关于直线x＝2对称．当x∈[0,4]时，f(x)＝x2－4x，则f(2 022)＝________. 知识点三：函数的周期性和对称性综合知识梳理1、常见周期函数的函数方程：（1）函数值之和定值型，即函数对于定义域中任意满足，则有，故函数的周期是特例：，则是以为周期的周期函数； （2）两个函数值之积定值型，即倒数或负倒数型若，则得，所以函数的周期是（3）分式型，即函数满足由得，进而得，由前面的结论得的周期是 特例：，则是以为周期的周期函数.，则是以为周期的周期函数.，则是以为周期的周期函数.2、函数的对称性与周期性之间的联系：双对称性函数的周期性具有多重对称性的函数必具有周期性。即，如果一个函数有两条对称轴（或一条对称轴和一个对称中心、或两个纵坐标相同的对称中心），则该函数必为周期函数。相关结论如下：结论1：两线对称型：如果定义在上的函数有两条对称轴、，即，且，那么是周期函数，其中一个周期 结论2：两点对称型：如果函数同时关于两点、（）成中心对称，即和，那么是周期函数，其中一个周期 结论3：一线一点对称型：如果函数的图像关于点（）成中心对称，且关于直线（）成轴对称，那么是周期函数，其中一个周期下面给出结论3的证明：证明：                                 推论1：如果偶函数的图像关于直线（）对称，那么是周期函数，其中一个周期推论2：如果偶函数的图像关于直线（）对称，那么是周期函数，其中一个周期推论3：如果奇函数的图像关于直线（）对称，那么是周期函数，其中一个周期推论4：如果奇函数关于点（）成中心对称，那么是周期函数，其中一个周期例题精讲例1.设函数在上满足，，且在闭区间［0，7］上，只有．（1）试判断函数的奇偶性；（2）试求方程=0在闭区间［-2020，2020］上的根的个数，并证明你的结论．      例2.若函数在上是奇函数，且在上是增函数，且.①求的周期；②证明的图象关于点中心对称;关于直线轴对称, ;③讨论在上的单调性；    例3.若定义在实数集上的奇函数的图像关于直线对称，且当时，，则方程在区间内的所有实根之和为________．           例4. 已知集合是满足下列性质的函数的全体：存在实数、，对于定义域内的任意，均有成立，称数对为函数的“伴随数对”；（1）判断函数是否属于集合，并说明理由；（2）若函数，求满足条件的函数的所有“伴随数对”；（3）若、都是函数的“伴随数对”，当时，；当时，，求当时，函数的解析式和零点； 巩固练习1.已知函数是以为周期的偶函数，当时，，令函数，则的反函数为______________________. 2.记函数的定义域为. 如果存在实数、使得对任意满足且的恒成立，则称为函数.（1）设函数，试判断是否为函数，并说明理由；（2）设函数，其中常数，证明：是函数；（3）若是定义在上的函数，且函数的图象关于直线（为常数）对称，试判断是否为周期函数？并证明你的结论.         1.已知函数是定义在R上的偶函数，且对任意，都有，当的时候，，在区间上的反函数为，则______.    2.若函数，则的值为______.        3.已知定义在上的奇函数满足，且当时，；若对于任意，都有，则实数的取值范围是______.    4.设函数的定义域为D，如果存在非零常数T，对于任意x∈D，都有，则称函数是“似周期函数”，非零常数T为函数的“似周期”．现有下面四个关于“似周期函数”的命题：① 如果“似周期函数”的“似周期”为﹣1，那么它是周期为2的周期函数；② 函数是“似周期函数”；③ 函数是“似周期函数”；④ 如果函数是“似周期函数”，那么“”．其中是真命题的序号是　　　　　　．（写出所有满足条件的命题序号） 5. 定义在上的函数满足：对任意的实数，存在非零常数，都有成立.（1）若函数，求实数和的值；（2）当时，若，，求函数在闭区间上的值域；（3）设函数的值域为，证明：函数为周期函数.     6. 已知函数定义域为，对于任意恒有；（1）若，求的值；（2）若时，，求函数的解析式及值域；（3）若时，，求在区间上的最大值与最小值.           笔耕不辍