第25讲-直线方程-【高考培优直通车】2022年高三数学大一轮复习精品讲义（上海专用）

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第25讲-直线方程（解析版）
学习目标：
掌握直线的方程、倾斜角、直线的位置关系、点到直线的距离

教学内容

1.解关于、的二元一次方程组，并对解的情况进行讨论：
。
【答案】，
（1）当即时，方程组有唯一解；
（2）当时，此时，
①当但即时，此方程组无解；
②当即且时，此方程组有无穷多解，此时令，则原方程组的解可表示为。
















知识点一：直线方程的形式
知识梳理
类型
直线方程
方向向量
法向量
斜率
截距
轴
轴
两点式




/
/
点方向式




/
/
点法向式




/
/
点斜式




/
/
截距式






斜截式




/

一般式






注意：
（1）点法向式方程和一般式方程可以表示所有的直线；
（2）两点式方程和点方向式方程不能表示水平和垂直的直线；
（3）点斜式方程和斜截式方程不能表示斜率不存在的直线；
（4）截距式方程不能表示经过原点的直线．
例题精讲
例1．经过点，且方向向量为的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
由直线方向向量可得直线斜率，由直线点斜式方程可整理得到结果.
【详解】
直线的方向向量为，直线的斜率，
直线的方程为，即.
故选：A.
例2．过点，倾斜角为150°的直线方程为（ ）
A．y－2＝－ (x＋4)
B．y－(－2)＝－ (x－4)
C．y－(－2)＝ (x－4)
D．y－2＝ (x＋4)
【答案】B
【分析】
求出直线的倾斜角的正切值即为直线的斜率，又直线过点，则由求出的斜率和点的坐标写出直线的方程即可
【详解】
由直线的倾斜角为，得到直线的斜率
又直线过点
则直线的方程为
故选：B
例3．已知直线的斜率为3，且经过点A(2，1)，则的点斜式方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
由点斜式方程的定义直接写出答案即可得出结果.
【详解】
直线的斜率为3，且经过点A(2，1)，
的点斜式方程为：
故选：B.
例4．经过两点、的直线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
求出直线的两点式方程，再化为一般方程可得答案.
【详解】
经过两点、的直线的方程为，即.
故选：D.

巩固练习
1．过两点(－2，1)和(1，4)的直线方程为（ ）
A．y＝－x＋3 B．y＝x－3
C．y＝x＋3 D．y＝－x－3
【答案】C
【分析】
直接代入两点式方程，可求.
【详解】
代入两点式得直线方程＝，整理得y＝x＋3，
故选：C．
2．经过两点A(－1，－5)和B(2，13)的直线在x轴上的截距为（ ）
A．－1 B．1
C．－ D．
【答案】C
【分析】
先由两点式方程求出直线方程，即可求得在x轴上的截距.
【详解】
解析：由直线的两点式可得直线的方程为，即6x－y＋1＝0，
将代入可得在x轴上的截距为.
故选：C.
3．直线l过A(－1，－1)，B(2，5)两点，点C(1 009，b)在直线l上，则b的值为（ ）
A．2 015 B．2 016
C．2 019 D．2 020
【答案】C
【分析】
先由求出直线方程，将代入即可求得.
【详解】
因为直线l过A(－1，－1)，B(2，5)两点，则直线方程为，
整理得，将代入可得，解得.
故选：C.
4．过点和的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由两点式方程即可求出.
【详解】
由两点式得，，
整理得.
故选B.
5．在x轴，y轴上的截距分别是－3，4的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
设分别求x轴，y轴上的截距，即可判断各项直线方程是否符合要求.
【详解】
A：时，，即；时，，即，故正确；
B：时，，即；时，，即，故错误；
C：时，，即；时，，即，故错误；
D：时，，即；时，，即，故错误；
故选：A.


知识点二：直线倾斜角和斜率
知识梳理
（1）直线的倾斜角为平面直角坐标系中直线与轴正半轴的夹角．
取值范围：；
（2）直线的斜率：
；．
（3） 若直线过点，，则该直线的斜率，．


例题精讲
例1．直线倾斜角为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
求出的值，可得出，在所求分式的分子和分母同时除以，利用弦化切可求得所求代数式的值.
【详解】
由已知可得，
所以，.
故选：D.
例2．直线xsinα-y+2=0的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
根据直线方程，得到斜率为，推出斜率的范围，进而可得倾斜角的范围.
【详解】
直线的斜率为，
∵， ∴
∴倾斜角的取值范围是.
故选：B.
【点睛】
关键点点睛：该题考查的是有关根据直线方程求直线倾斜角的取值范围的问题，正确解题的关键是要明确倾斜角与斜率的关系，以及斜率的范围.
例3．直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
分斜率存在不存在，若斜率存在，根据直线方程求出斜率，由斜率求倾斜角.
【详解】
设直线的倾斜角为，
当时，；
当时，则．
因为
所以
综上可得：．
故选：A


巩固练习
1．将直线绕着原点逆时针旋转，得到新直线的斜率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
原直线的倾斜角为，旋转后倾斜角为，从而求得斜率.
【详解】
原直线的倾斜角为，旋转后倾斜角为，所以新直线的斜率为.
故选：.
2．直线的倾斜角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
将一般式化成斜截式，再根据即可求解
【详解】
由变形可得，则，又，所以，
故选：C
【点睛】
本题考查由直线的一般式求解直线倾斜角，属于基础题

知识点三：两直线的位置关系
知识梳理
两条直线的位置关系：
已知，，则
（1）系数法：
①；
特别地，若的斜率为，的斜率为，则；
②与相交；
③与重合；
④与平行．
（2）向量法：
已知的法向量为，的法向量为，则
①；
特别地，若的斜率为，的斜率为，则；
②与相交；
③与平行或重合．
（3）行列式法：
已知，，，则
①与相交；②与重合；③与平行．
4、两条相交直线和的夹角：
（1）若、的法向量分别为、，且、的方向向量分别为、，则
或，；
（2）若、的斜率分别为、，且到的角为，到的角为，则
；，．





例题精讲
【例1】“a＝1”是“直线ax＋2y－8＝0与直线x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的(　　)
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】设直线l1：ax＋2y－8＝0，直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0.若l1与l2平行，则a(a＋1)－2＝0，即a2＋a－2＝0，解得a＝1或a＝－2.当a＝－2时，直线l1的方程为－2x＋2y－8＝0，即x－y＋4＝0，直线l2的方程为x－y＋4＝0，此时两直线重合，则a≠－2.当a＝1时，直线l1的方程为x＋2y－8＝0，直线l2的方程为x＋2y＋4＝0，此时两直线平行．故“a＝1”是“直线ax＋2y－8＝0与直线x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的充要条件．故选A.
【例2】直线(2m－1)x＋my＋1＝0和直线mx＋3y＋3＝0垂直，则实数m的值为(　　)
A．1　　　　　　　　　　　 B．0
C．2 D．－1或0
【答案】D　
【解析】由两直线垂直可得m(2m－1)＋3m＝0，解得m＝0或－1.故选D.
【例3】若直线x＋(1＋m)y－2＝0与直线mx＋2y＋4＝0平行，则m的值是(　　)
A．1 B．－2
C．1或－2 D．－
【答案】A
【答案】①当m＝－1时，两直线方程分别为x－2＝0和x－2y－4＝0，此时两直线相交，不符合题意．②当m≠－1时，两直线的斜率都存在，由两直线平行可得解得m＝1.综上可得m＝1.故选A.
【例4】经过两条直线2x＋3y＋1＝0和x－3y＋4＝0的交点，并且垂直于直线3x＋4y－7＝0的直线的方程为________．
【答案】　4x－3y＋9＝0
【解析】　法一：由方程组
解得即交点为，
因为所求直线与直线3x＋4y－7＝0垂直，
所以所求直线的斜率为k＝.
由点斜式得所求直线方程为y－＝，
即4x－3y＋9＝0.
法二：由垂直关系可设所求直线方程为4x－3y＋m＝0，
由方程组可解得交点为，
代入4x－3y＋m＝0得m＝9，
故所求直线方程为4x－3y＋9＝0.
法三：由题意可设所求直线的方程为(2x＋3y＋1)＋λ(x－3y＋4)＝0，
即(2＋λ)x＋(3－3λ)y＋1＋4λ＝0，①
又因为所求直线与直线3x＋4y－7＝0垂直，
所以3(2＋λ)＋4(3－3λ)＝0，
所以λ＝2，代入①式得所求直线方程为4x－3y＋9＝0.



巩固练习
1．已知直线l1：mx＋y－1＝0与直线l2：(m－2)x＋my－2＝0，则“m＝1”是“l1⊥l2”的(　　)
A．充分不必要条件　　　 B．充要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A.
【解析】：由l1⊥l2，得m(m－2)＋m＝0，解得m＝0或m＝1，所以“m＝1”是“l1⊥l2”的充分不必要条件，故选A.
2．已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与l2：2(k－3)x－2y＋3＝0平行，则k的值是(　　)
A．1或3 B．1或5
C．3或5 D．1或2
【答案】C
【解析】：.法一：由两直线平行得，当k－3＝0时，两直线的方程分别为y＝－1和y＝，显然两直线平行．当k－3≠0时，由＝≠，可得k＝5.综上，k的值是3或5.
法二：当k＝3时，两直线平行，故排除B，D；当k＝1时，两直线不平行，排除A.
知识点四：点到直线的距离
知识梳理
（1）点到直线的距离为
；



（2）直线与直线的距离为
．


例题精讲
【例1】已知点P(4，a)到直线4x－3y－1＝0的距离不大于3，则a的取值范围是________．
【答案】[0，10]
【解析】由题意得，点P到直线的距离为＝.又≤3，即|15－3a|≤15，解得0≤a≤10，所以a的取值范围是[0，10]．
【例2】若两平行直线3x－2y－1＝0，6x＋ay＋c＝0之间的距离为，则c的值是________．
【答案】2或－6
【解析】依题意知，＝≠，解得a＝－4，c≠－2，即直线6x＋ay＋c＝0可化为3x－2y＋＝0，又两平行线之间的距离为，所以＝，解得c＝2或－6.
【例3】已知△ABC的顶点为A（2，1），B（﹣2，3），C（0，﹣1），则AC边上的中线长为（　　）
A．3 B．32 C．4 D．42
【考点】两点间的距离公式．
【解答】解：根据题意，设AC的中点为D，
△ABC的顶点为A（2，1），B（﹣2，3），C（0，﹣1），则D（1，0），
|BD|=9+9=32，
故选：B．


【例4】在平面直角坐标系中，已知点A（cos15°，sin15°），B（cos75°，sin75°），则|AB|＝（　　）
A．1 B．2 C．3 D．2
【考点】两点间的距离公式．
【解答】解：∵|AB|2＝（cos15°﹣cos75°）2+（sin15°﹣sin75°）2＝2﹣2（cos15°cos75°+sin15°sin75°）＝2﹣2cos（﹣60°）＝2﹣2×12=1，
∴|AB|＝1，
故选：A．

巩固练习
1.已知点A（﹣2，﹣1），B（a，3）且|AB|＝5，则a的值为　1或﹣5　．
【考点】两点间的距离公式．
【解答】解：∵点A（﹣2，﹣1），B（a，3），且|AB|＝5，
∴(−2−a)2+(−1−3)2=5，
∴a＝1 或 a＝﹣5，
故答案为 1或﹣5．
2.设点P为直线l：x＋y－4＝0上的动点，点A(－2,0)，B(2,0)，则|PA|＋|PB|的最小值为(　　)
A．2 B.
C．2 D.
【答案】A
【解析】依据题意作出图象如下，

设点B(2,0)关于直线l的对称点为B1(a，b)，则它们的中点坐标为，且|PB|＝|PB1|，由对称性，得
解得a＝4，b＝2，所以B1(4,2)，因为|PA|＋|PB|＝|PA|＋|PB1|，所以当A，P，B1三点共线时，|PA|＋|PB|最小，此时最小值为|AB1|＝＝2.

知识点五：点与直线的位置关系
知识梳理
直线同侧/异侧：
（1）在直线的右侧；
在直线的左侧．
（2）点、在直线同侧；
点、在直线异侧．
例题精讲
例1.点与直线的关系
（1）点在直线的两侧，则的取值范围___________；
【答案】
解析：略
（2） 点在直线的同侧，则的取值范围___________；
【答案】
解析：略

巩固练习
1.点，线段与直线相交，则的取值范围___________；
【答案】
解析：略

知识点六：点直线的对称问题
知识梳理
点关于直线的对称问题：
点

直线
轴
轴




对称点






补充：
①点关于直线的对称的点为；
②点关于直线的对称的点为；
③点关于直线的对称点满足．
或者，其中．





例题精讲
例1.对称与反射问题
（1）直线关于点的对称直线是________；
（2）直线关于点轴的对称直线是________；
（3）直线关于点轴的对称直线是________；
（4）直线关于点的对称直线是________；
（5）直线关于点的对称直线是________；
（6）直线关于点的对称直线是________；
（7）直线关于点的对称直线是________；
（8）直线关于点的对称直线是________；
（8）直线关于点的对称直线是________；
（9）直线关于点的对称直线是________；
（10）直线关于点的对称直线是________；
（11）点,在直线上取一点,使最大，则点坐标为__________；
（12）点,在直线上取一点,使最小，则点坐标为__________；
【答案】



1.已知直线l与过点M(−3,2)，N(2,−3)的直线垂直，则直线l的倾斜角是(   )
A. π3 B. 2π3 C. π4 D. 3π4
【答案】C
【解析】
解：∵直线过点M(−3,2)、N(2,−3)，
∴直线MN的斜率为2−(−3)−3−2=−1，
由垂直关系可得直线l的斜率为1，
设直线l的倾斜角为α，
∵直线l的倾斜角α满足tanα=1，
解得α=π4．
故选：C．
2.直线经过第二、三、四象限，则斜率和在轴上的截距满足的条件为（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
【答案】B
【分析】
作出的图象，由图象可得结论.
【详解】
在平面直角坐标系中作出图象，如图所示：

由图可知：，.
故选：B.
3.已知两直线l1：x＋8y＋7＝0和l2：2x＋y－1＝0.
(1)求l1与l2的交点坐标；
(2)求过l1与l2交点且与直线x＋y＋1＝0平行的直线方程.
解析： (1)联立两条直线的方程： 解得x＝1，y＝－1.所以l1与l2的交点坐标是(1，－1)．
(2)设与直线x＋y＋1＝0平行的直线l方程为x＋y＋c＝0，
因为直线l过l1与l2的交点(1,－1)，所以c＝0.
所以直线l的方程为x＋y＝0.






笔耕不辍
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● 笔耕不辍：教师引导学生借助知识脑图总结重难点