第26讲-圆-【高考培优直通车】2022年高三数学大一轮复习精品讲义（上海专用）

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第26讲-圆（解析版）
学习目标：
1. 理解圆的方程、
2. 熟练运用直线与圆的位置关系
3、熟练运用圆与圆的位置关系

教学内容

1.在平面直角坐标系中，经过三点(0，0)，(1，1)，(2，0)的圆的方程为________________.
解析　法一　设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，则解得D＝－2，E＝0，F＝0，故圆的方程为x2＋y2－2x＝0.
法二　设O(0，0)，A(1，1)，B(2，0)，所以kOA＝1，kAB＝＝－1，所以kOA·kAB＝－1，所以OA⊥AB.所以OB为所求圆的直径，所以圆心坐标为(1，0)，半径为1.故所求圆的方程为(x－1)2＋y2＝1，即x2＋y2－2x＝0.
答案　x2＋y2－2x＝0
2.设直线y＝x＋2a与圆C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B两点，若|AB|＝2，则圆C的面积为________.
解析　圆C的标准方程为x2＋(y－a)2＝a2＋2，圆心为C(0，a)，点C到直线y＝x＋2a的距离为d＝＝.又|AB|＝2，得＋＝a2＋2，解得a2＝2.所以圆C的面积为π(a2＋2)＝4π.
答案　4π
3.直线x＋y＋2＝0分别与x轴、y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是(　　)
A.[2，6] B.[4，8] C.[，3] D.[2，3]
解析　由题意知圆心的坐标为(2，0)，半径r＝，圆心到直线x＋y＋2＝0的距离d＝＝2，所以圆上的点到直线的最大距离是d＋r＝3，最小距离是d－r＝.易知A(－2，0)，B(0，－2)，所以|AB|＝2，所以2≤S△ABP≤6.
答案　A
4．方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是______________．
解析　方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0
转化为2＋(y＋a)2＝－a2－a＋1，
所以若方程表示圆，则有－a2－a＋1>0，
∴3a2＋4a－4<0，∴－2




























知识点一：圆的方程
知识梳理
(1)圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，圆心为(a，b)，半径为r.
(2)圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，圆心为，半径为r＝.


例题精讲
例1、圆心在直线x－2y＝0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得的弦的长为2，则圆C的标准方程为________.
解析：设圆心(a>0)，半径为a.
由勾股定理得()2＋＝a2，解得a＝2.
所以圆心为(2，1)，半径为2，
所以圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.
答案　(x－2)2＋(y－1)2＝4　
例2、设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若∠FAC＝120°，则圆的方程为________.
解析：由题意知该圆的半径为1，设圆心C(－1，a)(a>0)，则A(0，a).
又F(1，0)，所以＝(－1，0)，＝(1，－a).
由题意知与的夹角为120°，
得cos 120°＝＝－，解得a＝.
所以圆的方程为(x＋1)2＋(y－)2＝1.
答案　(x＋1)2＋(y－)2＝1
例3：过点(1,2)总可作两条直线与圆x2＋y2＋kx＋2y＋k2－15＝0相切，则k的取值范围是__________．
解析　将圆的方程配方得
2＋(y＋1)2＝16－k2，
由条件可知点A(1,2)在圆外，从而有
解之得k∈∪


巩固练习
1.一个圆经过椭圆＋＝1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________.
解析　由题意知，椭圆顶点的坐标为(0，2)，(0，－2)，(－4，0)，(4，0).由圆心在x轴的正半轴上知圆过顶点(0，2)，(0，－2)，(4，0).
设圆的标准方程为(x－m)2＋y2＝r2，
则有解得
所以圆的标准方程为＋y2＝.
答案　＋y2＝　(2)
2.已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为，则圆C的方程为________.
解析　∵圆C的圆心在x轴的正半轴上，设C(a，0)，且a>0.
则圆心C到直线2x－y＝0的距离d＝＝，解得a＝2.∴圆C的半径r＝|CM|＝＝3，因此圆C的方程为(x－2)2＋y2＝9.
答案　 (x－2)2＋y2＝9





知识点二：直线(圆)与圆的位置关系
知识梳理
1.直线与圆的位置关系的判定
(1)几何法：把圆心到直线的距离d和半径r的大小加以比较：dr相离.
(2)代数法：将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组，利用判别式Δ来讨论位置关系：Δ>0相交；Δ＝0相切；Δ<0相离.
2．圆与圆的位置关系的判定
已知两圆的圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，则
(1)当|O1O2|＞r1＋r2时，两圆外离；
(2)当|O1O2|＝r1＋r2时，两圆外切；
(3)当|r1－r2|＜|O1O2|＜r1＋r2时，两圆相交；
(4)当|O1O2|＝|r1－r2|时，两圆内切；
(5)当0≤|O1O2|＜|r1－r2|时，两圆内含．
例题精讲
考法1　圆的弦长相关计算
例1、　在直角坐标系xOy中，曲线y＝x2＋mx－2与x轴交于A，B两点，点C的坐标为(0，1).当m变化时，解答下列问题：
(1)能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；
(2)证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.
(1)解　不能出现AC⊥BC的情况，理由如下：
设A(x1，0)，B(x2，0)，则x1，x2满足方程x2＋mx－2＝0，
所以x1x2＝－2.又C的坐标为(0，1)，
故AC的斜率与BC的斜率之积为·＝－，
所以不能出现AC⊥BC的情况.
(2)证明　BC的中点坐标为，可得BC的中垂线方程为y－＝x2.
由(1)可得x1＋x2＝－m，
所以AB的中垂线方程为x＝－.
联立
又x＋mx2－2＝0， ③
由①②③解得x＝－，y＝－.
所以过A，B，C三点的圆的圆心坐标为，半径r＝.
故圆在y轴上截得的弦长为2＝3，
即过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.
考法2　圆的切线问题
例2、过点P(－3，1)，Q(a，0)的光线经x轴反射后与圆x2＋y2＝1相切，则a的值为______.
解析　点P(－3，1)关于x轴的对称点为P′(－3，－1)，
所以直线P′Q的方程为x－(a＋3)y－a＝0.
依题意，直线P′Q与圆x2＋y2＝1相切.
∴＝1，解得a＝－.答案　－





例3、已知⊙O：x2＋y2＝1，点A(0，－2)，B(a，2)，从点A观察点B，要使视线不被⊙O挡住，则实数a的取值范围是(　　)
A.(－∞，－2)∪(2，＋∞) B.∪
C.∪ D.
解析　易知点B在直线y＝2上，过点A(0，－2)作圆的切线.
设切线的斜率为k，则切线方程为y＝kx－2，
即kx－y－2＝0.
由d＝＝1，得k＝±.
∴切线方程为y＝±x－2，和直线y＝2的交点坐标分别为，.
故要使视线不被⊙O挡住，则实数a的取值范围是∪.
故选B
例4、已知圆心在x轴上的圆C过点（0，0）和（﹣1，1），圆D的方程为（x﹣4）2+y2＝4
（1）求圆C的方程；
（2）由圆D上的动点P向圆C作两条切线分别交y轴于A，B两点，求|AB|的取值范围．
解：（1）过两点A（0，0）和B（﹣1，1）的直线的斜率为﹣1，
则线段AB的中垂线方程为：，整理得：y＝x+1．
取y＝0，得x＝﹣1．
∴圆C的圆心坐标为（﹣1，0），半径为1，
∴圆C的方程为：（x+1）2+y2＝1；
（2）设P（x0，y0），A（0，a），B（0，b），
则直线PA方程为，整理得：（y0﹣a）x﹣x0y+ax0＝0．
∵直线PA与圆C相切，可得，化简得；
同理可得PB方程，
因而a，b为的两根，
∴丨AB丨＝|a﹣b|＝，
令t＝x0+2∈[4，8]，则，配方可求得，．
故答案为：[]．
考法3　轨迹问题
例5、已知圆M：（x+1）2+y2＝1，圆N：（x﹣1）2+y2＝9，动圆P与圆M外切并与
圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|．
解：（I）由圆M：（x+1）2+y2＝1，可知圆心M（﹣1，0）；圆N：（x﹣1）2+y2＝9，
圆心N（1，0），半径3．
设动圆的半径为R，
∵动圆P与圆M外切并与圆N内切，∴|PM|+|PN|＝R+1+（3﹣R）＝4，
而|NM|＝2，由椭圆的定义可知：动点P的轨迹是以M，N为焦点，4为长轴长的椭圆，
∴a＝2，c＝1，b2＝a2﹣c2＝3．
∴曲线C的方程为（x≠﹣2）．
（II）设曲线C上任意一点P（x，y），
由于|PM|﹣|PN|＝2R﹣2≤3﹣1＝2，所以R≤2，当且仅当⊙P的圆心为（2，0）R＝2时，其半径最大，其方程为（x﹣2）2+y2＝4．
①l的倾斜角为90°，则l与y轴重合，可得|AB|＝．
②若l的倾斜角不为90°，由于⊙M的半径1≠R，可知l与x轴不平行，
设l与x轴的交点为Q，则，可得Q（﹣4，0），所以可设l：y＝k（x+4），
由l于M相切可得：，解得．
当时，联立，得到7x2+8x﹣8＝0．
∴，．
∴|AB|＝＝＝
由于对称性可知：当时，也有|AB|＝．
综上可知：|AB|＝或．

巩固练习
1.一动圆与两圆x2+y2＝1和x2+y2﹣8x+12＝0都外切，则动圆圆心轨迹为（　　）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线的一支 D．抛物线
解：设动圆的圆心为P，半径为r，
而圆x2+y2＝1的圆心为O（0，0），半径为1；
圆x2+y2﹣8x+12＝0的圆心为F（4，0），半径为2．
依题意得|PF|＝2+r|，|PO|＝1+r，
则|PF|﹣|PO|＝（2+r）﹣（1+r）＝1＜|FO|，
所以点P的轨迹是双曲线的一支．
故选：C．
2.一动圆与圆x2+y2﹣2x＝0外切，同时与y轴相切，动圆圆心的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）若过点P（4，0）的直线L与曲线C交于A，B两点，求证：以AB为直径的圆经过坐标原点．
解：（1）圆x2+y2﹣2x＝0化为（x﹣1）2+y2＝1的圆心C（1，0），
与圆x2+y2﹣2x＝0外切，同时与y轴相切的动圆圆心满足：到定点C（1，0）与到定直线x＝﹣1的距离相等，
因此与圆x2+y2﹣2x＝0外切，同时与y轴相切的动圆圆心的轨迹是抛物线：y2＝4x．
（2）依题意可设过P的直线l方程为：x＝my+4（m∈R），
设A（x1，y1），B（x2，y2）
直线代入y2＝4x得：y2﹣4my﹣16＝0，
依题意可知△＞0恒成立，且y1•y2＝﹣16，
所以x1x2+y1y2＝（y1•y2）2+y1•y2＝0．
所以以AB为直径的圆经过坐标原点．

知识点三：与圆有关的最值和范围问题
知识梳理
处理与圆有关的最值问题时，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，利用转化思想和数形结合思想求解．与圆有关的最值问题，常见类型及解题思路如下：
常见类型
解题思路
圆的面积最小问题
转化为求半径最小问题
圆上的点到圆外的点(直
线)的距离的最值
应先求圆心到圆外的点(直线)的距离，再加上半径或减去半径求得最值
μ＝型
转化为动直线斜率的最值问题
t＝ax＋by型
转化为动直线截距的最值问题，或用三角代换求解
m＝(x－a)2＋(y－b)2型
转化为动点与定点的距离的平方的最值问题

例题精讲
例1、已知圆C的方程是x2＋y2－8x－2y＋8＝0，直线l：y＝a(x－3)被圆C截得的弦长最短时，直线l方程为________________.
解析：圆C的标准方程为(x－4)2＋(y－1)2＝9，
∴圆C的圆心C(4，1)，半径r＝3.
又直线l：y＝a(x－3)过定点P(3，0)，
则当直线y＝a(x－3)与直线CP垂直时，被圆C截得的弦长最短.因此a·kCP＝a·＝－1，
∴a＝－1.
故所求直线l的方程为y＝－(x－3)，即x＋y－3＝0.
答案　x＋y－3＝0
例2、在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣a﹣2）2＝1，点A（0，3），若圆C上存在点
M，满足|MA|＝2|MO|（O为坐标原点），则实数a的取值范围是（　　）
A．[﹣3，0] B．（﹣∞，﹣3]∪[0，+∞）
C．[0，3] D．（﹣∞，0]∪[3，+∞）
解：设M（x，y），则|MA|＝，|MO|＝，
∵|MA|＝2|MO|，∴x2+（y﹣3）2＝4（x2+y2），
整理得：x2+（y+1）2＝4，
M的轨迹是以N（0，﹣1）为圆心，以2为半径的圆N，
又∵M在圆C上，
∴圆C与圆N有公共点，
∴1≤|CN|≤3，
即1≤≤3，
解得﹣3≤a≤0．
故选：A．
例3、已知点P（x，y）为圆x2+y2＝1上的动点，则3x+4y的最小值为（　　）
A．5 B．1 C．0 D．﹣5
解析　点P（x，y）为圆x2+y2＝1上的动点，令x＝cosα，y＝sinα，
3x+4y＝3cosα+4sinα＝5（cosα+sinα）＝5sin（α+θ），其中tanθ＝．
5sin（α+θ）≥﹣5．可得3x+4y的最小值为：﹣5．故选：D．
例4、若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P与A、B距离之比为，当P，A，B不共线时，△PAB面积的最大值是（　　）
A．2 B． C． D．
【解答】解：设A（1，0），B（﹣1，0），P（x，y）
则＝，化简得（x+3）2+y2＝8，
如图，

当点P到AB（x轴）距离最大时，△PAB面积的最大值，
∴△PAB面积的最大值是×2×2＝2．故选：A．



巩固练习
1.已知圆x2－2x＋y2－2my＋2m－1＝0，当圆的面积最小时，直线y＝x＋b与圆相切，则b＝(　　)
A．±1 B．1 C．± D.
[解析]　(1)由题意可知，圆x2－2x＋y2－2my＋2m－1＝0化为标准形式为(x－1)2＋(y－m)2＝m2－2m＋2，圆心为(1，m)，半径r＝，当圆的面积最小时，半径r＝1，此时m＝1，即圆心为(1,1)，由直线和圆相切的条件可知＝1，解得b＝±.故选C.
2．已知点P(x，y)在圆x2＋(y－1)2＝1上运动，则的最大值与最小值分别为________．
[解析]设＝k，则k表示点P(x，y)与点A(2,1)连线的斜率．当直线PA与圆相切时，k取得最大值与最小值．设过(2,1)的直线方程为y－1＝k(x－2)，即kx－y＋1－2k＝0.由＝1，解得k＝±.
[答案]　，－


1．经过三点A(－1,0)，B(3,0)，C(1,2)的圆的面积S＝(　　)
A．π B．2π C．3π D．4π
解析：选D　法一：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，将A(－1,0)，B(3,0)，C(1,2)的坐标代入圆的方程可得解得D＝－2，E＝0，F＝－3，所以圆的方程为x2＋y2－2x－3＝0，即(x－1)2＋y2＝4，所以圆的半径r＝2，所以S＝4π.故选D.
法二：根据A，B两点的坐标特征可知圆心在直线x＝1上，设圆心坐标为(1，a)，则r＝＝|a－2|，所以a＝0，r＝2，所以S＝4π，故选D.
2．已知圆(x－1)2＋y2＝1被直线x－y＝0分成两段圆弧，则较短弧长与较长弧长之比为(　　)
A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．1∶5
解析：选A　(x－1)2＋y2＝1的圆心为(1,0)，半径为1.圆心到直线的距离d＝＝，所以较短弧所对的圆心角为，较长弧所对的圆心角为，故两弧长之比为1∶2，故选A.
3．已知圆C过点A(2,4)，B(4,2)，且圆心C在直线x＋y＝4上，若直线x＋2y－t＝0与圆C相切，则t的值为(　　)
A．－6±2 B．6±2 C．2±6 D．6±4
解析：选B　因为圆C过点A(2,4)，B(4,2)，所以圆心C在线段AB的垂直平分线y＝x上，又圆心C在直线x＋y＝4上，联立解得x＝y＝2，即圆心C(2,2)，圆C的半径r＝＝2.又直线x＋2y－t＝0与圆C相切，所以＝2，解得t＝6±2.
4．圆(x－3)2＋(y－3)2＝9上到直线3x＋4y－11＝0的距离等于2的点有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解析：选B　圆(x－3)2＋(y－3)2＝9的圆心为(3,3)，半径为3，圆心到直线3x＋4y－11＝0的距离d＝＝2，∴圆上到直线3x＋4y－11＝0的距离为2的点有2个．故选B.
5．圆x2＋y2＝1上的点到直线3x＋4y－25＝0的距离的最小值为(　　)
A．4 B．3 C．5 D．6
解析：选A　易知圆x2＋y2＝1的圆心坐标为(0,0)，半径为1，圆心到直线3x＋4y－25＝0的距离d＝＝5，所以圆x2＋y2＝1上的点到直线3x＋4y－25＝0的距离的最小值为5－1＝4.
6．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0，－2)，点B(1，－1)，P为圆x2＋y2＝2上一动点，则的最大值是(　　)
A．1 B．3 C．2 D.
解析：选C　设动点P(x，y)，令＝t(t>0)，则＝t2，整理得，(1－t2)x2＋(1－t2)y2－2x＋(2－4t2)y＋2－4t2＝0，(*)
易知当1－t2≠0时，(*)式表示一个圆，且动点P在该圆上，
又点P在圆x2＋y2＝2上，所以点P为两圆的公共点，两圆方程相减得两圆公共弦所在直线l的方程为x－(1－2t2)y－2＋3t2＝0，
所以圆心(0,0)到直线l的距离d＝≤，解得0


7．直线y＝x＋1与圆x2＋y2＋2y－3＝0交于A，B两点，则|AB|＝________.
解析：由x2＋y2＋2y－3＝0，得x2＋(y＋1)2＝4.
∴圆心C(0，－1)，半径r＝2.圆心C(0，－1)到直线x－y＋1＝0的距离d＝＝，
∴|AB|＝2＝2＝2.
答案：2
8．过点M的直线l与圆C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B两点，C为圆心，当∠ACB最小时，直线l的方程为____________________．
解析：易知当CM⊥AB时，∠ACB最小，直线CM的斜率为kCM＝＝－2，从而直线l的斜率为kl＝－＝，其方程为y－1＝，即2x－4y＋3＝0.
答案：2x－4y＋3＝0
9．过点(，0)作直线l与曲线y＝相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于________．
解析：令P(，0)，如图，易知|OA|＝|OB|＝1，所以S△AOB＝|OA|·|OB|·sin∠AOB＝sin∠AOB≤，当∠AOB＝90°时，△AOB的面积取得最大值，此时过点O作OH⊥AB于点H，则|OH|＝，于是sin∠OPH＝＝＝，易知∠OPH为锐角，所以∠OPH＝30°，则直线AB的倾斜角为150°，故直线AB的斜率为tan 150°＝－.
答案：－





10．已知圆C：x2＋y2－2x－4y＋1＝0上存在两点关于直线l：x＋my＋1＝0对称，经过点M(m，m)作圆C的切线，切点为P，则|MP|＝________.
解析：圆C：x2＋y2－2x－4y＋1＝0的圆心坐标为C(1,2)，半径r＝2，因为圆上存在两点关于直线l对称，所以直线l：x＋my＋1＝0过点(1,2)，所以1＋2m＋1＝0，得m＝－1，所以M(－1，－1)，|MC|2＝(1＋1)2＋(2＋1)2＝13，r2＝4，所以|MP|＝＝3.
答案：3
11.在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2+y2﹣12x+32＝0的圆心为Q，过点P（0，2）且斜率为k的直线与圆Q相交于不同的两点A，B．
（Ⅰ）求k的取值范围；
（Ⅱ）是否存在常数k，使得向量与共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．
解：（Ⅰ）圆的方程可写成（x﹣6）2+y2＝4，所以圆心为Q（6，0），过P（0，2）
且斜率为k的直线方程为y＝kx+2．
代入圆方程得x2+（kx+2）2﹣12x+32＝0，
整理得（1+k2）x2+4（k﹣3）x+36＝0． ①
直线与圆交于两个不同的点A，B等价于△＝[4（k﹣3）2]﹣4×36（1+k2）＝42（﹣8k2﹣6k）＞0，
解得，即k的取值范围为．
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），则，
由方程①，②
又y1+y2＝k（x1+x2）+4． ③
而．
所以与共线等价于（x1+x2）＝﹣3（y1+y2），
将②③代入上式，解得．
由（Ⅰ）知，故没有符合题意的常数k．
12．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点K（﹣1，0）的直线l与C相交于A、B两点，点A关于x轴的对称点为D．
（Ⅰ）证明：点F在直线BD上；
（Ⅱ）设，求△BDK的内切圆M的方程．
解：（Ⅰ）抛物线C：y2＝4x①的焦点为F（1，0），
设过点K（﹣1，0）的直线L：x＝my﹣1，
代入①，整理得
y2﹣4my+4＝0，
设L与C 的交点A（x1，y1），B（x2，y2），则
y1+y2＝4m，y1y2＝4，
点A关于X轴的对称点D为（x1，﹣y1）．
BD的斜率k1＝＝＝，
BF的斜率k2＝．
要使点F在直线BD上
需k1＝k2
需4（x2﹣1）＝y2（y2﹣y1），
需4x2＝y22，
上式成立，∴k1＝k2，
∴点F在直线BD上．
（Ⅱ）＝（x1﹣1，y1）（x2﹣1，y2）＝（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2＝（my1﹣2）（my2﹣2）+y1y2＝4（m2+1）﹣8m2+4＝8﹣4m2＝，
∴m2＝，m＝±．
y2﹣y1＝＝4＝，
∴k1＝，BD：y＝（x﹣1）．
易知圆心M在x轴上，设为（a，0），M到x＝y﹣1和到BD的距离相等，即
|a+1|×＝|（（a﹣1）|×，
∴4|a+1|＝5|a﹣1|，﹣1＜a＜1，
解得a＝．
∴半径r＝，
∴△BDK的内切圆M的方程为（x﹣）2+y2＝．


笔耕不辍
1．直线与圆的位置关系：相交、相切和相离
直线与圆的位置关系的判断方法主要有点线距离法和判别式法：
(1)点线距离法：设圆心到直线的距离为d，圆的半径为r，则d＜r⇔直线与圆相交，d＝r⇔直线与圆相切，d＞r⇔直线与圆相离．
(2)判别式法：设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0，联立消去y，得关于x的一元二次方程，其根的判别式为Δ，则直线与圆相离⇔Δ＜0，直线与圆相切⇔Δ＝0，直线与圆相交⇔Δ＞0.




2．圆与圆的位置关系
设圆C1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r，圆C2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r，两圆心之间的距离为d，则圆与圆的五种位置关系的判断方法如下：
(1)d＞r1＋r2⇔两圆外离；
(2)d＝r1＋r2⇔两圆外切；
(3)|r1－r2|＜d＜r1＋r2⇔两圆相交；
(4)d＝|r1－r2|(r1≠r2)⇔两圆内切；
(5)0≤d＜|r1－r2|(r1≠r2)⇔两圆内含．