第37讲-二项式定理、抽样方法、统计-【高考培优直通车】2022年高三数学大一轮复习精品讲义（上海专用）

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第37讲-二项式定理、抽样方法、统计（解析版）
学习目标：
1. 掌握基础公式
2. 能够运用统计.二项式解决一些实际问题
3. 熟练掌握二项式定理公式

教学内容

1.将6本不同的书按下列分法，各有多少种不同的分法？
（1）分给学生甲3本，学生乙2本，学生丙1本；
（2）分给甲、乙、丙3人，其中1人得3本、1人得2本、1人得1本；
（3）分给甲、乙、丙3人，每人2本；
（4）分给甲、乙、丙3人，其中一人4本，另两人每人1本．
【答案】
（1）是指定人应得数量的非均匀问题：方法数为；
（2）是没有指定人应得数量的非均匀问题：方法数为；
（3）是指定人应得数量的均匀问题：方法数为；
（4）是部分均匀地分给人的问题：方法数为．
【解析】

分给人（有序）
分成堆（无序）
非均匀


均匀


部分均匀








知识点一（ 二项式定理）
1、二项式定理：
公式，叫做二项式定理.其中叫做二项式系数；公式右边的多项式叫做的二项展开式；叫做二项展开式的通项，它表示第项；二项式系数与数字系数的积叫做项的系数.
二项展开式的特性如下：
（1）系数规律：；
（2）项数规律：二项和的次幂的展开式共有个项.
（3）指数规律：各项的次数均为；二项展开式中的次数由降到0，的次数由0升到，
与指数之和为.
（4）求常数项、项的系数或者有理项时，要根据通项公式讨论对的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性 .

2、二项式系数的性质：
展开式的二项式系数是，，，…，．
（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（即）．
（2）增减性与最大值： （中间一项或两项最大）,若为偶数，中间一项（第＋1项）的二项式系数最大；若为奇数，中间两项（第和＋1项）的二项式系数最大.
（3）系数的最大项：求展开式中最大的项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为，设第项系数最大，应有，从而解出来．
（4）各二项式系数和：
奇数项（偶数项）二项式系数和：.


3、二项展开式的系数的性质：
（1） （2）
（3） （4）
（5）





【例题精讲】
1、求展开式中的指定项
【例1】（1）展开式中的第四项是 ；
（2）若的展开式中的系数是，则 ；
（3） 已知 (是正整数)的展开式中，的系数小于，则 ；
（4） 在的展开式中，的系数是的系数与的系数的等差中项，若实数，那么 ；
（5）若与的展开式中含的系数相等，则实数的取值范围是．

【答案】（1）；（2）1；（3）1；（4）；（5）

【例2】（1）的展开式中的系数是___；
（2）在的展开式中的系数为_______．
【答案】（1）-18；（2）-168．
【解析】(2)原式=(1+3x)6(1－x)6，其中(1+3x)6展开式通项Tk+1=3kxk，(1－x)6展开式通项为Tr+1=(－x)r.
原式=(1+3x)6(1－x)6展开式的通项为.
现要使
必须或
故项系数为30(－1)5+31(－1)4+32(－1)3+33(－1)2+34 (－1)+35(－1)0=－168.

2、常数项
【例3】（1）若的展开式中的常数项为，则实数 ，
（2）已知的展开式的常数项是第项，则的值为 ，
（3）若展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为 ，（用数字作答），
（4）已知的展开式中第三项与第五项的系数之比为，其中，则展开式中常数项是 （用数字作答）.
【答案】（1）-1；（2）8；（3）20；（4）.

【例4】的展开式中的常数项为 ，
的展开式中没有常数项，，且，则
展开式中的常数项为 （用数字作答）.
【答案】（1）-5；（2）5；（3）4246.
【解析】(2)


（3）

.

3、有理项
【例5】的展开式中共有_____项是有理项．
【答案】26
【解析】

【例6】求二项式的展开式中：
（1）常数项；
（2）有几个有理项（只需求出个数即可）；
（3）有几个整式项（只需求出个数即可）．
【答案】
（1）
（2）
（3）

4、系数最大的项
【例7】已知的展开式中，二项式系数最大的项的值等于，求．
【答案】

【例8】展开式中系数最大的项是第几项？
【答案】假设项最大，，化简得到，又，，展开式中系数最大的项为,有

【例9】求的展开式中，系数绝对值最大的项以及系数最大的项．
【答案】假设系数绝对值最大的项是，，化简得到

，展开式中系数最大的项为,
有
系数最大项应该为项数为奇数的项内，即取偶数0,2,4,6,8,10各项时，系数最大的项是第5项，即

5、赋值法的应用
【例10】设
（1）求（2）求（3）
（4）（5）求各项二项式系数的和。
【答案】（1）令,得
（2）令得而由（1）知
两式相加，得。
（3）由（2）得
（4）令得=1，亦得
（5）各项二项式系数的和为

【例11】设，求
（1）展开式中各二项式系数的和；（2）展开式中各项系数的和；
（3）的值；（4）的值；（5）的值。
【答案】令
（1）注意到这里，故展开式中各二项式系数的和：
（2）令，得
∴展开式中各项系数的和

（3）注意到，
∴∴
（4）仿（3）得
又∴
（5）法一：由
∴
令，得，又∴
法二：由二项式的展开式知，
∴
又，
∴∴

【巩固练习】
1、在的二项展开式中，若中间项的系数是，则实数 .
【答案】-2
【解析】因为一共有7项，中间项为第四项，即

2、在的展开式中，的系数为，
在的展开式中的系数等于，
在的展开式中，含的项的系数是.
【答案】7；-20；-15.
3、已知的展开式中第三项与第五项的系数之比为，则展开式中常数项是 ．（用数字作答）.
【答案】45

4、若的展开式中含有常数项，则最小的正整数等于 ．
【答案】由展开式通项有
，
由题意得，
故当时，正整数的最小值为5.


5、在的展开式中，有多少个有理项？
【答案】7
【解析】的展开式中的通项为：

∵3与5互质∴要使此项为有理项，只要能被3和5整除，即能被15整除
又∵∴=0，15×1，15×2，…，15×6，共有7项是有理项.


6、若展开式前三项的二项式系数和等于，求的展开式中系数最大的项？
【答案】由解出,假设项最大，
，化简得到，又，，
展开式中系数最大的项为,有

7、,则 .
【答案】
【解析】
令，得，又∴.
8、若，则的值
为 ．
【答案】-1
【解析】把赋值，可得把赋值0，可得


知识点二（ 统计）
【知识梳理】
一、总体和样本
1、总体与个体：在统计问题中，我们把研究对象的全体叫做总体，总体中的每一个对象叫做个体．
2、总体分布：整体取值的概率分布规律．
3、总体均值：如果总体有个个体，它们的值分别为，那么叫做总体均值．我们用有限总体中所有个体的平均数来表示总体的平均状态．
4、总体中位数：把总体中的各个个体，依由小到大的顺序排列，当N为奇数时，位于该数列正中位置的数叫做总体的中位数，记作．当为偶数时，位于该数列正中位置的两个数的平均数叫做总体的中位数．总体中位数也可以用来表示总体的“平均”水平．
5、众数：一组数据中出现次数最多的数据．如：的众数是3．
6、总体方差：设总体有个个体，它们分别为，那么各个个体与总体平均数的差的平方分别是，我们把它们的平均数叫做总体方差，记作，即，其平方根称为总体标准差．总体方差反映了各个个体偏离平均数的程度．越大，总体中各个个体之间的差别越大；越小，总体中各个个体之间的差别越小．
二、抽样技术
从总体中抽出一部分个体组成的集合叫做样本（也叫做子样），样本中所含个体的个数叫做样本容量，抽取样本的过程叫做抽样．

1、随机抽样：如果在抽样过程中能使总体中的每一个个体都有同样的可能性被选入样本，那么这种抽样叫做随机抽样，所得的样本称为随机子样．在样本容量不大时，随机抽样可以用抽签方法；在样本容量较大时，可以使用随机数表．
2、系统抽样：把总体中的每一个个体编上号，按某种相等的间隔抽取样本的方法，叫做系统抽样．如果总体中个体的总数为，样本的容量为，那么间隔．
3、分层抽样：把总体分成若干个部分，然后在每个部分随机抽样的方法，叫做分层抽样．
分层抽样的方法如下：先将总体个数N按要求分成k层，每层的个体数分别记作；在每层中分别随机抽取个个体组成容量为的样本，使得，，．
三、统计估计
统计估计可分为两类：一类是用样本中某事件出现的频率估计该事件出现的概率，简称概率估计（可能性估计）；另一类是用样本的算数平均数和样本标准差估计总体均值和总体标准差，简称参数估计．
总体均值的点估计值：如果样本为，样本的容量为n，那么可以用样本的平均值作为总体均值的点估计值．
总体标准差的点估计值：如果样本为，样本的容量为n，那么可以用样本的标准差作为总体标准差的点估计值．
是总体标准差，s是样本标准差．当样本容量较大时，s可用来估计总体标准差．

【例题精讲】
一、总体和样本
例1对某校高一年级学生的体重作统计，在这个问题中总体是（ ）
A．该校全体学生； B．该校高一全体学生；
C．该校全体学生的体重数； D．该校高一全体学生的体重数．
【答案】D
【解析】根据总体指的是研究对象的的具体问题的整体


例2已知以下数据：．求：总体平均数，总体中位数，总体众数，总体方差，总体标准差．
【答案】

例3设有两组数据与，它们的平均数分别为，则新的一组数的平均数是 ．
【答案】平均数为
【解析】根据平均数的定义即可求出
例4若数据的平均数为，方差为，则的平均数和方差分别为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C.
【解析】

所以答案选C.
例5在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是（ ）
甲地：总体均值为3，中位数为4 乙地：总体均值为1，总体方差大于0
丙地：中位数为2，众数为3 丁地：总体均值为2，总体方差为3
【答案】D.
【解析】考查统计的概念

例6由个整数形成的样本数据中，至少有六个互不相同的整数，若平均数、中位数、唯一的众数和全距（即样本中最大数与最小数之差）都是，则可能成为样本数据中的最大整数是 ．
【答案】13

【巩固练习】
1．若点上，且数据的方差为8，则数据的方差为 ．
【答案】72

2．已知数据的均值为6，方差为8，则=_____．
【答案】2

3．已知是这五个数据的中位数，又知这四个数据的平均数为3，则的最小值为_________．
【答案】由题意可知，，即.

故当时，取最小值，即
4．若，，，…，的方差为，则，，，…，的方差为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】的方差为3，的方差为3的方差为27.

二、抽样技术 分层 系统 随机
例1某单位有青年职工人，中年职工人数是老年职工人数的倍，老、中、青职工共有人．为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工人，则该样本中的老年职工人数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设老年职工有人，中年职工人数是老年职工人数的2倍，则中年职工有人，
， 所以每个个体被抽到的概率为.
例2．某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有个、个、个、个销售点．公司为了调查产品销售的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其销售收入和售后服务情况，记这项调查为②．则完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次是（ ）
A．分层抽样法，系统抽样法        B．分层抽样法，简单随机抽样法
C．系统抽样法，分层抽样法        D．简单随机抽样法，分层抽样法
【答案】B
【解析】 根据题意可得这两项调查分别符合分层抽样以及简单的随机抽样

例3．某中学采用系统抽样的方法从该校高一年级全体名学生中抽取50名学生进行体能测试．现将名学生从1到进行编号，求得间隔数．若从中随机抽取1个数的结果是抽到了7，则在编号为33-48的这16个学生中抽取的一名学生其编号应该是 ___________．
【答案】

例4为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17.5―18岁的男生体重（kg）,得到频率分布直方图如下：
这100名学生中体重在的学生人数是（ ）
A．20 B．30 C．40 D．50
【答案】C









【巩固练习】
1．某学院的，，三个专业共有1200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本．已知该学院的专业有380名学生，专业有420名学生，则在该学院的专业应抽取____名学生．
【答案】40
【解析】因为C专业的学生有，由分层抽样原理，应抽取名

2.某学校高一年级有个学生，高二年级有个学生，高三年级有个学生，采用分层抽样抽取一个容量为45人的样本，高一年级被抽取20人，高三年级被抽取10人，高二年级共有学生300人，则此学校共有多少人？
【答案】.
【解析】高二年级被抽取15人，每个个体抽取概率为，所以，共有人.
3.某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班5名男生和5名女生在某次数学测验中的成绩，5名男生的成绩分别为86,94,88,92,90,5名女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是（ ）.
A.这种抽样方法是一种分层抽样
B.这种抽样方法是一种系统抽样
C.这5名男生成绩的方差大于这5名女生成绩的方差
D.该把班级男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数
【答案】C.
【解析】分层抽样要求男女生总人数之比=男女生抽样人数比，所以A错；系统抽样需要先对个体进行编号再抽样，所以B错；通过计算男生方差为8,女生方差为，所以C正确；男生的平均数为90，女生的为91，但5名男生的成绩不能代替全班男生的成绩，所以D错.

4.一个总体中有100个个体，随机编号为0，1，2，…，99，依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1，2，3，…，10．现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第1组随机抽取的号码为，那么在第小组中抽取的号码个位数字与的个位数字相同．若，则在第7组中抽取的号码是___________．
【答案】63

5.学校为了解学生在课外读物方面的支出情况，抽取了个同学
进行调查，结果显示这些同学的支出都在（单位：元），其中支出在
（单位：元）的同学有人，其频率分布直方图如右图所示，则的值为（　　）
频率/组距
元
0.037
0.023
0.01
10
20
30
40
50

A．100 C．120
B．130 D．390
【答案】A




1. 已知展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为，则
【答案】
【解析】各项系数的和为，各项二项式系数的和，
2.（1）在的展开式中，的系数是__________________（用数字作答）.
（2）在的展开式中，x3的系数是 .（用数字作答）
（3）若—n的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为 ．
（4）设常数，展开式中的系数为，则＝ ．
【答案】（1）-14；（2）84；（3）－540；（4）0.5

3、在的二项展开式中，若常数项为，则等于 ．
【答案】
【解析】根据二项式展开式 ，因为为整数 所以.

4、若的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为 ．
【答案】 15
【解析】令可得，则其通项公式为，解得 带回原式即可得

5、求值：
【答案】59049

【解析】


6、若多项式( )

(A)9 (B)10 (C)－9 (D)－10

【答案】D
【解析】令，得令即为所求


7. 若的二项展开式中前三项的系数依次成等差数列，则_____．
【答案】
【解析】


8、已知，
若，则自然数 ．
【答案】4

9．有甲、乙、丙、丁四人参加广州亚运会某项射击选拔赛的平均成绩依次是，方差依次是，则参加亚运会该项目角逐的最佳人选是 ．
【答案】丙
【解析】先看平均数丙和丁的平均数比较高且相等，其次再看方差，甲和丙的方差比较小，成绩比较稳定，综合看来应选择丙。

10．某校选修篮球课程的学生中，高一学生有名，高二学生有名，现用分层抽样的方法在这名学生中抽取一个样本，已知在高一学生中抽取了人，则在高二学生中应抽取__________人．
【答案】
【解析】根据分层抽样的特点 求得每个个体被抽到得概率为

11、将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，… ，600. 采用系统抽样疗法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003．这600名学生分住在三个营区，从001到300在第I营区，从301到495在第II营区，从496到600在第III营区．三个营区被抽中的人数依次为（ ）
A．26,16,8 B．25,17,8 C．25,16,9 D．24,17,9
【答案】系统抽样后的样本号码组成了一个等差数列，
，公差为，则
由题意，，故选B
12、已知的展开式各项系数和比它的二项式系数和大．
(1)求展开式中二项式系数最大的项；
(2)求展开式中系数最大的项．
【答案】令得展开式的各项系数之和为，而展开式的二项式系数的和为
，∴有．∴．
(1)∵，故展开式共有，其中二项式系数最大的项为第三、第四两项．
∴，．
(2)设展开式中第项的系数最大．
，
故有 即 解得．∵，
∴，即展开式中第项的系数最大．

13、已知总体的各个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a，b，12，13.7，18.3，20，且总体的中位数为10.5．若要使该总体的方差最小，则a，b的取值分别是________________．
【答案】由中位数意义，可知，依题意，总体中个体的数量为
∴总体平均数
于是总体方差
当且仅当时等号成立。所以。
事实上方差是描述全体数据偏离平均值的程度的量，要使方差最小，只须各数据大小应尽可能地接近，故.

14、某校高一年级128名学生参加某次数学联考，随机抽取该校高一年级其中10名学生的联考数学成绩如下表：
学生
a
b
c
d
e
f
g
h
i
j
成绩
78
68
80
85
82
75
80
92
79
81
该校高一学生数学联考成绩标准差的点估计值等于 ．（精确到0.1）
【答案】
15、（1）某小区所有263户家庭人口数分组列表如下：
家庭人口数
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
家庭数
20
29
48
50
46
36
19
8
4
3
求总体平均数，总体中位数，总体方差和标准差；
（2）若某小区有2630户，从中抽取263户所得的家庭人口数的分布列同（1）中的表格，求该小区2630户家庭人口数的总体方差．
【答案】（1）①总体平均数，即平均每户人口数为人.
②是奇数，
那么为数列：的正中位置.
因为，
所以第个数属于每户个的每个组.故总体中位数.
③总体方差：


.
④总体标准差：.
（2）该小区户家庭人口数的总体方差为