第14讲 导数的应用（导数与函数的单调性）-【高考艺术生专用】2022年高考数学一轮复习讲义（基础版，全国通用版）

第14讲   导数的应用（导数与函数的单调性）

1．函数的单调性与导数的关系

函数在区间内可导，

(1)若，则在区间内是单调递增函数；

(2)若，则在区间内是单调递减函数；

(3)若恒有，则在区间内是常数函数．

注意：讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则

2.求函数单调区间的步骤

（1）确定函数的定义域

（2）求导数

（3）解不等式，

（4）结合定义域下结论。

3．已知函数单调性求参数范围

(1)已知可导函数在区间D上单调递增，则在区间D上恒成立；

(2)已知可导函数在区间D上单调递减，则在区间D上恒成立；

(3)已知可导函数在区间D上存在增区间，则在区间D上有解；

(4)已知可导函数在区间D上存在减区间，则在区间D上有解．

考点一： 求函数的单调区间（不含参）

1．（2021·江苏仪征·）函数的单调递增区间为（    ）

A．           B． 

C．          D．

【答案】D

【详解】

由题得，令得：或 ，故单调递增区间为：，

故选：D.

2．（2021·东台市第一中学高二月考）函数的单调递减区间是（    ）．

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

解：，

则，

由得，

故选：D.

3．（2021·中宁县中宁中学（理））函数的递增区间是（    ）

A．和 B．

C． D．

【答案】D

【详解】

由，得

令，即，解得

所以函数的递增区间是

故选：D

4．（2021·安徽金安·六安一中高二月考（理））函数的单调递增区间为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

对于函数，有，可得，

所以，函数的定义域为，，

由，因为，解得.

因此，函数的单调递增区间为.

故选：B.

5．（2021·清远市清新区凤霞中学高二期中）函数的单调递减区间是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】

由题意知，由，得．

故选：A

6．（2021·安徽镜湖·芜湖一中高二期中（理））已知函数，若在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

详解：因为，

令可得-2≤x≤2，所以要使函数f(x）在区间上单调递减，

则区间（2m，m+1）是区间的子区间，

所以，求解不等式组可得：，

解得-1≤m<1，所以实数m的取值范围是.

故选：D

7．（2021·黑龙江甘南·高二期中（理））若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】

函数，.

则，

因为在区间上单调递减，

则在区间上恒成立，即，

所以在区间上恒成立，

所以，解得，

故选：A.

8．（2021·山东兰陵四中）若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

，

当，解得：，

由条件可知，

所以 ，解得：.

故选：D

考点二：己知函数的单调区间求参数的取值范围

1．（2021·陕西省洛南中学高二月考（理））若函数在区间单调递增，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】

由题意得，的定义域为，，

因为在上单调递增，

所以在上恒成立，

即，又函数在上单调递减，

所以.

故选：A

2．（2021·渭南市尚德中学高二月考（理））已知在上是增加的，则的取值范围是（    ）

A． B． C．或 D．或

【答案】B

【详解】

由题意得函数的导数大于等于0，可得在上恒成立，

，

故选：B

3．（2021·黑龙江佳木斯一中（理））如果函数在上单调递增，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

因为函数，所以，

因为函数在上单调递增，

所以对恒成立，即对恒成立，

所以.

故选:D

4．（2021·全国）若函数在区间内单调递减，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

由得，

由于函数在区间内单调递减，

即在上恒成立，即，

即得在恒成立，所以，

故选：D.

5．（2021·陕西长安一中高二期末（理））若函数在上为减函数，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

由题意得，在上恒成立，所以在上恒成立，因为在的最大值为，所以.

故选：A.

6．（2021·全国高二单元测试）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

因为在区间上单调递增，

故在区间上恒成立.

即在区间恒成立.

故.

故选：.

考点三：存在单调区间问题

1．（2021·江西南昌十中（文））函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】

由题意得，，

因为函数在区间内存在单调递增区间，

所以存在使得成立，即.

故选:C

2．（2021·广州市天河外国语学校高二期中）已知函数在区间上存在单调递增区间，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

∵函数在区间上存在单调增区间，

∴函数在区间上存在子区间使得不等式成立，

，

设，

则或，

即或，

得或，

则；

故选：A．

3．（2021·广东高三月考）若函数在上存在单调递减区间，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

因为在上存在单调递减区间，所以在上有解，所以当时有解，而当时，，（此时），所以，所以的取值范围是.

故选：B.

考点四：不单调问题

1．（2021·全国）若函数在区间上不是单调函数，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．不存在这样的实数

【答案】B

【详解】

由题意得，在区间上至少有一个实数根，

而的根为，区间的长度为2，

故区间内必含有2或．

∴或，

∴或，

故选：B．

2．（2021·奉新县第一中学高二月考（文））若函数在其定义域上不单调，则实数的取值范围为（    ）

A．或 B．或 C． D．

【答案】A

【详解】

由题意，函数，可得，

因为函数在其定义域上不单调，

即有变号零点，

结合二次函数的性质，可得，

即，解得或，

所以实数的取值范围为.

故选：A.

3．（2021·山西运城·（理））已知函数在区间上不单调，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

由，①当时函数单调递增，不合题意；②当时，函数的极值点为，若函数在区间不单调，必有，解得.

故选：C.

4．（2021·天津市滨海新区塘沽第一中学高二期中）函数在区间上不单调，则实数的取值范围是（    ）

A．(-∞，-3] B．(-3，1)

C．[1，+∞) D．(-∞，-3]∪[1，+∞)

【答案】B

【详解】

，

如果函数在区间[-1，2]上单调，

那么a-1≥0或，即，解得a≥1或a≤-3，

所以当函数在区间[-1，2]上不单调时，.

故选：B

5．（2021·银川三沙源上游学校（理））已知函数在区间上不单调，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

由，

①当时函数单调递增，不合题意；

②当时，函数的极值点为，若函数在区间不单调，必有，解得.

故选：B．

6．（2021·全国高二课时练习）若函数不是单调函数，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【详解】

的定义域为，，

令解得.

由于函数在上不是单调函数，

所以，解得.

故选：D

7．（2021·江西上高二中高二月考（文））已知函数在区间上不是单调函数，则的取值范围是

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】

试题分析：，是增函数，故需，，所以.

考点：函数的单调性．