第18讲 任意角和弧度制,三角函数的概念-【高考艺术生专用】2022年高考数学一轮复习讲义（基础版，全国通用版）

第18讲 任意角和弧度制,三角函数的概念

1．任意角、角的分类：

①按旋转方向不同分为正角、负角、零角．

②按终边位置不同分为象限角和轴线角．

(2)终边相同的角：

终边与角相同的角可写成．

2.弧度制：

①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．

②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，，是以角作为圆心角时所对圆弧的长，为半径．

③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．比值与所取的的大小无关，仅与角的大小有关．

3.弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度．

若一个角的弧度数为，角度数为，则，．

知识点2．三角函数的定义

1.任意角的三角函数定义：

设是一个任意角，角α的终边与单位圆交于点，那么

（1）点的纵坐标叫角α的正弦函数，记作；

（2）点的横坐标叫角α的余弦函数，记作；

（3）点的纵坐标与横坐标之比叫角α的正切函数，记作.它们都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数．

2．三角函数在各象限内的符号口诀是：一全正、二正弦、三正切、四余弦

知识点3．扇形的弧长及面积公式

 (1)弧长公式

在半径为的圆中，弧长为的弧所对的圆心角大小为，则变形可得，此公式称为弧长公式，其中的单位是弧度．

(2)扇形面积公式，

题型一：任意角的概念

1．（2021·全国高二课时练习）钟表的分针在1.5小时内转了（    ）

A．180° B．-180° C．540° D．-540°

2．（2021·河北张家口·）某学校大门口有一座钟楼，每到夜晚灯光亮起都是一道靓丽的风景，有一天因停电导致钟表慢10分钟，则将钟表拨快到准确时间分针所转过的弧度数是（    ）

A． B． C． D．

3．（2021·咸阳百灵学校高一月考）若将钟表调快5分钟，则分针转动角为（    ）

A． B． C． D．

4．（2021·全国高一课前预习）将分针拨快30分钟，则分针转过的弧度数是（   ）

A． B． C． D．

5．（2021·江苏宿迁·）小亮发现时钟显示时间比北京时间慢了一个小时，他需要将时钟的时针旋转（    ）

A． B． C． D．

题型二：终边相同的角的集合

1．（2021·全国高二课时练习）下列各角，与330°角的终边相同的角是（    ）

A．510° B．150° C．-150° D．-390°

2．（2021·银川三沙源上游学校高一月考（文））在0°~360°范围内，与－690°角的终边相同的角是（    ）

A．150° B．210° C．30° D．330°

3．（2021·北京十五中高一期中）在0360°范围内，与角终边相同的角是（    ）

A．17° B．107° C．197° D．287°

4．（2021·全国高一课时练习）下列各角中，与终边相同的角为（　　）

A． B． C． D．

5．（2021·全国高一课时练习）在－360°到0°内与角1250°终边相同的角是(　　)

A．170° B．190°

C．－190° D．－170°

题型三：象限角

1．（2021·全国高二课时练习）下列各角，与330°角的终边相同的角是（    ）

A．510° B．150° C．-150° D．-390°

2．（2021·银川三沙源上游学校高一月考（文））在0°~360°范围内，与－690°角的终边相同的角是（    ）

A．150° B．210° C．30° D．330°

3．（2021·北京十五中高一期中）在0360°范围内，与角终边相同的角是（    ）

A．17° B．107° C．197° D．287°

4．（2021·全国高一课时练习）下列各角中，与终边相同的角为（　　）

A． B． C． D．

题型四：弧长公式，扇形面积公式

1．（2021·全国高三模拟预测（文））已知扇形的圆心角为，面积为，则该扇形所在圆的半径为（    ）

A． B． C． D．

2．（2021·镇远县文德民族中学校）已知扇形的半径为2，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数是（    ）

A．1 B．2 C． D．4

3．（2021·银川三沙源上游学校高一月考（文））扇形的中心角为120°，半径为，则此扇形的面积为（    ）

A． B． C． D．

4．（2021·白沙黎族自治县白沙中学高一期中）扇形的半径为1，圆心角的弧度数为2，则这个扇形的周长是（    ）

A．3 B．4 C．5 D．以上都不对

5．（2021·全国高一专题练习）“数摺聚清风，一捻生秋意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句，折扇出人怀袖，扇面书画，扇骨雕琢，是文人雅士的宠物，所以又有“怀袖雅物”的别号．如图是折扇的示意图，其中，，为的中点，则扇面（图中扇环）部分的面积是（    ）

A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm2

6．（2021·上海高一课时练习）若的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所夹的扇形的面积为（    ）

A． B． C． D．

7．（2021·全国高一课时练习）已知弧度数为的圆心角所对的弦长为，则这个圆心角所对的弧长是（    ）

A． B． C． D．

8．（2021·江西省乐平中学高一开学考试）如图，一把折扇完全打开后，扇面的两条弧，的弧长分别是和，且AD=10，则图中阴影部分的面积是（    ）

A． B． C． D．

9．（2021·上海宝山·高一期末）我国扇文化历史悠久，其中折扇扇面是由两个半径不同的同心圆，按照一定的圆心角被剪而成，如图所示，该扇面的圆心角为，长为，长为，则扇面的面积为（    ）

A． B． C． D．

10．（2021·全国高三专题练习（理））如图所示，扇环的两条弧长分别是4和10，两条直边与的长都是3，则此扇环的面积为（    ）

A．84 B．63 C．42 D．21

题型五：任意角的三角函数定义

1．（2021·北京市第一四二中学高三月考）若角的终边经过点，则的值为（    ）

A． B． C． D．

2．（2021·全国高二课时练习）已知角的终边经过点，则（    ）

A． B． C． D．

3．（2021·重庆市第七中学校高三月考）已知角的终边经过点，则（    ）

A． B． C． D．

4．（2021·九龙坡·重庆市育才中学）已知角的始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（    ）

A． B． C． D．

5．（2021·全国高一课时练习）已知，则角所在的象限是（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

6．（2021·北京景山学校远洋分校高一期中）角的终边落在射线上，则的值为（    ）

A． B． C． D．

7．（2021·河南（文））已知角的终边在直线上，则（    ）

A． B． C． D．

8．（2021·绥德中学高一月考）是第二象限角，其终边上一点，且，则的值为（    ）

A． B． C． D．

9．（2021·全国）已知角终边经过点，且，则（    ）

A． B． C． D．

10．（2021·河南高一期末（文））已知，角的终边上一点，则（    ）

A． B． C． D．