第28-31讲 数列-【高考艺术生专用】2022年高考数学一轮复习特训特练（基础版，全国通用版）

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第31讲 数列求和常用方法1．（2021·北京东城·东直门中学高二月考）已知数列是等差数列，数列是各项均为正数的等比数列，且，，.（1）求数列和的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1），；（2），.【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，且，依题意有，由，又，解得，∴，即， ；（2）∵，∴前项和.∴前项和，.2．（2021·黑龙江大庆中学高三月考（理））已知等差数列的前项和为., .（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【详解】（1）由,  ,得，解得, 所以；（2）.因为，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以.3．（2021·庆阳第六中学高一期末）已知等差数列的前项和为，，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．【答案】（1）；（2）【详解】（1）设公差为,由已知得,解得,,∴.（2）∵∴.4．（2021·全国）设函数，计算.【答案】2011【详解】解：由已知，，设，，即5．（2021·全国高二课时练习）设奇函数对任意都有求和的值；数列满足：，数列是等差数列吗？请给予证明；【答案】解：（1），；（2）是等差数列.【详解】解：（1）∵，且f（x）是奇函数∴ ∴，故因为，所以．令，得，即．（2）令又两式相加．所以，故，又．故数列{an}是等差数列．6．（2021·江苏省前黄高级中学高三月考）已知正项等差数列中，，且成等比数列，数列的前项和为，．（1）求数列和的通项公式；（2）若，求数列的前项和的取值范围．【答案】（1），；（2）.【详解】解：（1）设正项等差数列的公差为d，则， ∵，且成等比数列，∴，解得，∴，由得，即是等比数列，又，∴；（2） ∴ ∵，∴.7．（2021·江苏苏州·高三月考）在①，②，③中任选两个，补充在横线上，并回答下面问题.已知公差不为0的等差数列，且___________.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.【答案】条件选择见解析；（1）；（2）．【详解】（1）选①②：因为是等差数列，且，，所以，解得，，所以.选①③：所以，解得，，所以.选②③：因为是等差数列，且，所以，解得，，所以.（2）因为，所以，所以.8．（2021·全国高二课时练习）数列的前项和为，是和1的等差中项，等差数列满足,.（1）求数列，的通项公式；（2）若，求数列的前项和.【答案】（1） an＝2n－1；bn＝2n－17；（2） .【详解】（1）∵an是Sn和1的等差中项，∴Sn＝2an－1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2an－1)－(2an－1－1)＝2an－2an－1，∴an＝2an－1，当n＝1时，a1＝S1＝2a1－1.∴a1＝1且an≠0，∴＝2，∴{an}是首项为1，公比为2的等比数列，∴an＝2n－1，Sn＝a1＋a2＋…＋an＝＝2n－1.设{bn}的公差为d，b1＝－S4＝－15，b9＝－15＋8d＝1，∴d＝2，∴bn＝－15＋(n－1)×2＝2n－17.（2）cn＝＝，∴Wn＝＝＝.9．（2021·河南洛阳·高三期中（文））已知正项数列满足：，，.（1）证明：是等差数列并求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）证明见解析，；（2）.【详解】（1）由得：，∴是以为首项，以为公差的等差数列，，则.（2）由（1）知： ，∴，…①两边同乘得，，…②①②得，，.10．（2021·全国高二单元测试）已知数列的前项和，数列是首项为1，公比为的等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【详解】（1）当时，；当时，.所以.（2）当时，，此时，易知当时上式也成立.当时，，此时，①上式两端同时乘以，得，②①②，得，所以，易知当时此式也成立.综上，.11．（2021·河南洛阳·高三期中（理））已知正项数列的前项和，满足：.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【详解】（1）当时，，.当时，，…①，，…②①②得：，即：.，.是以为首项，以为公差的等差数列，.（2）由（1）可知，则，…①两边同乘得：，…②①②得：，.