上海市2022届高三高考冲刺卷五数学试题d

这是一份上海市2022届高三高考冲刺卷五数学试题d，共24页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上，设，则“”是“”的等内容，欢迎下载使用。

绝密★启用前
湖南省四大名校名师团队2022届高三下学期高考猜题卷（A）数学试题
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
题号
一
二
三
四
五
总分
得分






注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
评卷人
得分



一、单选题
1．已知实数a满足，（其中i为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（       ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知全集，集合，，则集合B可能是（       ）
A． B． C． D．
3．已知函数为奇函数，当时，，且，则实数a=（       ）
A．－1 B．－2 C．－4 D．－8
4．设，则“”是“”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知直线与x轴和y轴分别交于A、B两点，动点P在以点A为圆心，2为半径的圆上，当 最大时，△APB的面积为（       ）
A． B．1 C．2 D．
6．已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为．若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为（       ）
A． B． C． D．
7．已知P是曲线上的一动点，曲线C在P点处的切线的倾斜角为，若，则实数a的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
8．在一个正三角形的三边上，分别取一个距顶点最近的十等分点，连接形成的三角形也为正三角形（如图1所示，图中共有个正三角形）．然后在较小的正三角形中，以同样的方式形成一个更小的正三角形，如此重复多次，可得到如图2所示的优美图形（图中共有个正三角形），这个过程称之为迭代．在边长为的正三角形三边上，分别取一个三等分点，连接成一个较小的正三角形，然后迭代得到如图3所示的图形（图中共有个正三角形），其中最小的正三角形面积为（       ）

A． B． C． D．
评卷人
得分



二、多选题
9．下图是国家统计局发布的2020年2月至2021年2月全国居民消费价格涨跌幅折线图．

说明：（1）在统计学中，同比是指本期统计数据与上一年同期统计数据相比较，例如2021年2月与2020年2月相比较：环比是指本期统计数据与上期统计数据相比较，例如2020年4月与2020年3月相比较．
（2）同比增长率，环比增长率．
则下列四个结论中正确的是（       ）
A．2020年11月居民消费价格低于2019年同期
B．2020年3月至6月居民的消费价格持续下降
C．2020年3月的消费价格低于2020年4月的消费价格
D．2020年7月的消费价格低于2020年3月的消费价格
10．函数在区间的图象如下图，则下列说法正确的是（       ）

A．函数的最小正周期为 B．函数的最小正周期为
C．函数的图象关于对称 D．函数在单调递减
11．已知双曲线，的左右焦点分别为，，双曲线C上两点A，B关于坐标原点对称，点P为双曲线C右支上上一动点，记直线PA，PB的斜率分别为，，若，，则下列说法正确的是（       ）
A． B．
C．的面积为 D．的面积为1
12．已知，，且，则下列结论一定正确的是（       ）
A． B．
C． D．
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
评卷人
得分



三、填空题
13．的展开式的中的系数是______．
14．设抛物线的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B．设，AF与BC相交于点D．若，则△ACD的面积为______．
15．在三角形ABC中，点D在边BC上，若，，则______．
评卷人
得分



四、双空题
16．如图，将正四面体每条棱三等分，截去顶角所在的小正四面体，余下的多面体就成为一个半正多面体，亦称“阿基米德体”．点，，是该多面体的三个顶点，点是该多面体表面上的动点，且总满足，若，则该多面体的表面积为______，点N轨迹的长度为______．

评卷人
得分



五、解答题
17．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
(1)求证：；
(2)若，，，且，求的面积．
18．已知，如图四棱锥中，底面ABCD为菱形，，，平面ABCD，E，M分别是BC，PD中点，点F是棱PC上的动点．

(1)证明：平面PAD；
(2)请确定F点的位置，使得直线AF与平面PCD所成的角取最大值．
19．已知等差数列的前n项和为，且，；数列的前n项和，且，数列的，．
(1)求数列、的通项公式；
(2)若数列满足：，当时，求证：．
20．新能源汽车补贴政策将于2022年12月31日终止，智行时代新能源汽车市场调研机构在某市对新能源汽车补贴终止与工薪阶层购买新能源汽车意向的相关关系进行调研，在2023年将有意向购置或更换汽车的工薪阶层群体中随机抽取了500人，他们月收入（单位：千元）的频数分布及对“有购买新能源汽车意向”的人数如下表：
月收入






频数
50
100
150
100
50
50
有购买新能源汽车意向人数
5
55
100
50
20
45

(1)根据以上统计数据完成下面的列联表，并判断是否有97.5%的把握 认为“新能源汽车补贴终止，对工薪阶层购买意向与月收入有关”？

月收入不低于6千元的人数
月收入低于6千元的人数
合计
会购买新能源汽车



不会购买新能源汽车



合计




(2)智行时代新能源汽车市场调研机构在该市继续调研新能源汽车购买意向的影响因素，从抽取的500名工薪阶层群体中，月收入在（单位：千元）的群体中随机抽取15人进行问卷调研，其中月收入在（单位：千元）有10人，5人有新能源汽车购买意向，月收入在（单位：千元）有5人，2人有新能源汽车购买意向；该机构从月收入在（单位：千元）和）（单位：千元）的2组人员中分别每组随机选取2人，召开“新能源汽车价格对购买意向影响因素”的研讨会，记这4人中有新能源汽车购买意向的人数为随机变量，求随机变量的分布列及数学期望．
附：，．

0.050
0.025
0.010
0.005
0.001

3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

21．已知椭圆的左、右焦点分别为，，P为椭圆上一动点，直线与圆相切于Q点，且Q是线段的中点，三角形的面积为2．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点P（点P不在x轴上）作圆的两条切线、，切点分别为M，N，直线MN交椭圆C于点D、E两点，求三角形ODE的面积的取值范围．
22．已知函数，（e是自然对数的底数，．
(1)求函数的最小值；
(2)若函数有且仅有两个零点，求实数a的取值范围．

参考答案：
1．D
【解析】
【分析】
利用复数相等求出参数，化简复数，从而得答案．
【详解】
由已知，，则，
所以在复平面内对应的点为位于第四象限，
故选：D．
2．C
【解析】
【分析】
依题意可得且，即可判断；
【详解】
解：因为，，又，所以且，
所以集合可能是；
故选：C．
3．B
【解析】
【分析】
根据奇函数的性质列式求解即可.
【详解】
因为函数为奇函数，且，所以，又当时，，所以，所以，解得
故选：B．
4．A
【解析】
【分析】
运用绝对值不等式的解法和余弦函数的图象和性质，化简两已知不等式，结合充分必要条件的定义，即可得到结论．
【详解】
∵，
，
则，
可得“”是“”的充分不必要条件，故选A.
【点睛】
本题考查充分必要条件的判断，同时考查余弦函数的图象和性质，运用定义法和正确解不等式是解题的关键，属于基础题．
5．C
【解析】
【分析】
先求圆A的方程，当最大时，直线PB是圆的切线，结合切线方程即可求出结果．
【详解】
由已知，圆A的方程为，当最大时，
此时直线PB是圆的切线，即直线PB的方程为：或，
当直线PA的方程为时，△APB的面积为，
当直线PA的方程为时，△APB的面积为，
故选：C．
6．A
【解析】
【分析】
求出圆柱的底面半径和高即得解.
【详解】
解：由题意四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为，所以四棱锥的高为，
若圆柱的一个底面的周圆经过四棱锥四条侧棱的中点，圆柱的底面半径为，一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，故圆柱的高为1，
故圆柱的体积为．
故选：A．
7．D
【解析】
【分析】
对函数求导，利用导数的几何意义以及给定倾斜角的范围，转化为恒成立问题求解a的范围即可.
【详解】
因为，所以，
因为曲线在M处的切线的倾斜角，
所以对于任意的恒成立，
即对任意恒成立，
即，又，当且仅当，
即时，等号成立，故，
所以a的取值范围是．
故选：D．
8．A
【解析】
【分析】
记第个正三角形的边长为，第个正三角形的边长为，根据与的关系判断出为等比数列，由此求解出最小的正三角形的边长，从而面积可求.
【详解】
设第个正三角形的边长为，则个正三角形的边长为，
由条件可知：，
又由图形可知：，所以，
所以，所以是首项为，公比为的等比数列，
所以，所以，所以，
所以最小的正三角形的面积为：，
故选：A.
【点睛】
关键点点睛：解答本题的关键是将已知问题转化为等比数列问题，通过每一次的迭代分析正三角形的边长之间的关系，从而分析得到正三角形的边长成等比数列，据此可进行相关计算.
9．ABD
【解析】
【分析】
根据折线图和计算公式结合选项一一判断即可．
【详解】
选项A：由国居民消费价格涨跌幅折线图可知，同比增长率为－0.5%，由题中说明所给同比增长率定义可知：2020年11月居民消费价格低于2019年同期，故A正确；
选项B：由国居民消费价格涨跌幅折线图可知：2020年3月到6月环比增长率为负值，
由题中所给的环比增长率定义可知：2020年3月至6月居民的消费价格持续下降，
所以B正确；
选项C：设2020年3月的消费价格为，2020年4月的消费价格为，
根据题中所给的环比增长率公式可得：，
所以，所以C错误；
选项D：设2020年5月的消费价格为，2020年6月的消费价格为，2020年7月的消费价格为，根据题中所给的环比增长率公式可得：，，
，所以，所以D正确；
故选：ABD．
10．ACD
【解析】
【分析】
由图象求出的值，利用余弦型函数的周期公式可判断AB选项；利用余弦型函数的对称性可判断C选项；利用余弦型函数的单调性可判断D选项.
【详解】
由图知在图象上，且为图象上升时与轴的交点，
所以，解得，
设函数的最小正周期为，
因为，所以，所以，令，得，
所以，所以选项A正确，选项B错误；
因为，所以，
所以函数的图象关于对称，所以选项C正确；
因为当时，，
所以函数在上单调递减，所以选项D正确.
故选：ACD．
11．BD
【解析】
【分析】
根据点差法，结合双曲线的定义逐一判断即可.
【详解】
，，因为A，B关于坐标原点对称，则，曲已知得，，两式相减得，所以，因为，所以，得，所以选项B正确A错误；
因为P在右支上，记，则，因为，所以，解得或（舍去），所以的面积为．所以选项D正确C错误．
故选：BD．
【点睛】
关键点睛：应用点差法和双曲线的定义是解题的关键.
12．AC
【解析】
【分析】
构造函数，利用导数判断函数的单调性，得出，结合不等式以及指、对数函数的性质逐一判断即可.
【详解】
令，则，
所以当时，，所以在上单调递增；
由得，即，
∵，∴，
∴，即，
∴，即，∴，A正确；
由知，所以，所以选项B错误；
由知，所以选项C正确．
由，知，所以，
所以D错误，
故选：AC．
13．5
【解析】
【分析】
由，则分别求出中的与的系数即可求解．
【详解】
，所以展开式中的系数是．
故答案为：5
14．##
【解析】
【分析】
根据抛物线的定义可得四边形ABCD为平行四边形，结合平行四边形性质可逐步求解.
【详解】
如图所示，由已知，．得．因为轴，，又，所以四边形ABCD为平行四边形，且，所以，解得，代入得，所以．
故答案为：.

15．
【解析】
【分析】
由平面向量基本定理得到，，从而求出答案.
【详解】
由已知，得，
所以，
因为，所以，，
所以．
故答案为：
16．         
【解析】
【分析】
先求出正四面体的表面积，由该多面体是正四面体截去顶角所在的小正四面体，得出小正四面体的侧面面积和底面面积可得答案；通过证明垂直于一截面，从而得出点的轨迹，可得答案.
【详解】
根据题意该正四面体的棱长为，点，，分别是正四面体的棱三等分点.
该正四面体的表面积为
该多面体是正四面体截去顶角所在的小正四面体
每个角上小正四面体的侧面面积为
每个角上小正四面体的底面面积为
所以该多面体的表面积为：
如图设点为该多面体的一个顶点，则,
在中，
则,所以,即
同理,,由,所以平面.
由点是该多面体表面上的动点，且总满足，
则点的轨迹是线段
所以点N轨迹的长度为：
故答案为： （1）           （2）

【点睛】
关键点睛：本题考查求多面体的表面积和求动点轨迹的长度问题，解答本题的关键是先证明平面，得出点的轨迹是线段，从而求解，属于中档题.
17．(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用正弦定理求解；
（2）由（1）得，再利用余弦定理，并将，且代入求得a，c，然后利用面积公式求解.
(1)
解：因为，
由正弦定理可得：，
所以；
(2)
由（1）得，
由余弦定理得：，
所以，即，
将，代入，得，
即，
解得或，
∵，∴，
∴舍去，
∴，．
从而，
由可知，
所以．
所以的面积．
18．(1)证明见解析
(2)F为PC的中点
【解析】
【分析】
（1）连接AC，由已知可得△ABC为正三角形，则，由可得，由已知线面垂直可得，再由线面垂直的判定定理可证得结论，
（2）以AE、AD、AP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求解
(1)
连接AC，∵底面ABCD为菱形，，
∴△ABC为正三角形，
∵E是BC的中点，∴，
又，
∴，
∵平面ABCD，平面ABCD，∴，
∵，PA、平面PAD，
∴平面PAD，
(2)
由（1）知，AE、AD、AP两两垂直，故以AE、AD、AP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，，
∴，，．
设，．
设平面PCD的法向量为，
则
令，则，，
∴．
设直线AF与平面PCD所成的角为，
则，
当时，最大，此时F为PC的中点．

19．(1)，
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）由，得到，再由求解；由，，得，，两式相减得到，从而数列是等比数列求解；
（2）由（1）得到，，利用裂项相消法求解.
(1)
解：因为，由，得，
所以，即，
设等差数列的公差为d，
所以，
所以．
由，，得，，
两式相减得，
即，
又，
所以数列是以1为首项、2为公比的等比数列，
则；
(2)
由（1）知：，
，
∴
．
20．(1)列联表见解析，有97.5%的把握；
(2)分布列见解析，
【解析】
【分析】
（1）根据表中数据完成列联表，利用卡方公式即可判断结果；
（2）的取值分别是0，1，2，3，4，分别求解各情况的概率即可得分布列，从而求出数学期望．
(1)
由题意列联表如下：

月收入不低于6千元的人数
月收入低于6千元的人数
合计
赞成
65
210
275
不赞成
35
190
225
合计
100
400
500

，
所以有97.5%的把握认为“对新能源汽车补贴终止与工薪阶层购买意向的态度与月收入以6500元为分界点有关” ．
(2)
依题设的取值分别是0，1，2，3，4，
，
，
，
，
，
所以的分布列为：

0
1
2
3
4
P






．
21．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）依题可得OQ为的中位线，根据椭圆的定义可得：，结合三角形面积公式可得，又从而可求出，即可得出椭圆方程；
（2）设，，由几何性质可知P、M、O、N四点共圆，且PO为该圆直径，写出圆方程表达式，从而求出直线MN的方程，代入椭圆方程结合弦长公式求出，和点到直线MN距离，并写出三角形ODE的面积的表达式，分析其单调性从而求出取值范围．
(1)
连接OQ，由，且所以OQ为的中位线，
所以且，所以根据椭圆的定义可得：，
所以，解得，所以，
所以，解得，所以，
故椭圆C的方程为：．

(2)
设，，则，由几何性质可知P、M、O、N四点共圆，且PO为该圆直径，则以线段OP为直径的圆的方程为，
又圆O的方程为，
两式相减得直线MN的方程为．
由消去y整理得．
因为直线MN交椭圆C于D、E两点，设，
所以，
，，
则
．
又原点到直线DE的距离为，
所以三角形ODE 的面积为
．
设，因为所以，
因为在单调递增，所以
所以．

22．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）对函数进行求导，根据导数与0的关系判断单调性得其最小值；
（2）对进行二次求导，分为，和三种情形，根据导数判断函数的单调性结合零点存在定理得结果.
(1)
因为，，所以，
因为在上单调递增，且，
所以，当时，，在区间上单调递减，
当时，，在区间上单调递增，所以．
(2)
由题设：
所以，令，
因为，则，所以在上单调递增；
当时，由（1）知只有一个零点，不合题意，
当时，因为在上单调递增，且，，
故存在，使得，即，，
所以当时，，在区间上单调递减．
当时，，在区间上单调递增，
所以，
则．
所以没有零点，不合题意；
当时，因为在区间上单调递增，
且，，
所以存在满足，
所以，当时，，在区间上单调递减，
当时，，在区间上单调递增，
所以，
又
，
先证：，设，，
当时，，单调递减，当时，.单调递增，
所以，当且仅当时取等号，
因为，所以
，
又因为，且
所以，，，，
所以时，有且仅有两个零点，，
故实数a的取值范围为．
【点睛】
利用导数研究函数的最值主要是通过导数判断函数的单调性，若导函数含有参数，要对参数进行分类讨论，分类讨论标准的制定可考虑判别式、零点分布等知识，对于函数的零点主要依据为函数图象与轴交点的情形，难点在与端点处函数值符号的判定.