重庆市第八中学校2022届高考全真模拟数学试题

这是一份重庆市第八中学校2022届高考全真模拟数学试题，共23页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上，若随机事件A，B满足，则，定义域为的偶函数，满足，已知函数，则下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
绝密★启用前重庆市第八中学校2022届高考全真模拟数学试题试卷副标题考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx题号一二三四总分得分     注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明评卷人得分  一、单选题1．已知集合，则（       ）A． B． C． D．2．若复数在复平面对应点在第三象限，则a，b满足（       ）A． B．C． D．3．若随机事件A，B满足，则（       ）A． B． C． D．4．已知体积公式中的常数k称为“立圆率”．对于等边圆柱（轴截面是正方形的圆柱）、正方体、球体均可利用公式求体积（在等边圆柱中，D表示底面圆的直径；在正方体中，D表示棱长；在球体中，D表示直径）．假设运用此体积公式求得等边圆柱（底面圆的直径为a）、正方体（棱长为a）、球（直径为a）的“立圆率”分别为，则（       ）A． B．C． D．5．若函数在区间内恒有，则的单调递增区间是（       ）A． B． C． D．6．已知1，这5个数的平均数为3，方差为2，则这4个数的方差为（       ）A．1 B． C． D．27．如图，在平行四边形中，E是的中点，，与相交于O．若，，则的长为（       ）A．2 B．3 C．4 D．58．定义域为的偶函数，满足．设，若是偶函数，则（       ）A． B． C．2021 D．2022评卷人得分  二、多选题9．已知函数，则下列说法正确的是（       ）A．该函数的最大值为2B．该函数的最小正周期为C．是该函数的一个对称中心D．该函数的对称轴为10．曲线C的方程为，则下列说法正确的是（       ）A．存在实数使得曲线C的轨迹为圆B．存在实数使得曲线C的轨迹为椭圆C．存在实数使得曲线C的轨迹为双曲线D．无论（且）取何值，曲线C的焦距为定值11．设函数的定义域为，是的极小值点，以下结论一定正确的是（       ）A．是的最小值点B．是的极大值点C．是的极大值点D．是的极大值点12．如图，一只蚂蚁从正方形的顶点A出发，每一次行动顺时针或逆时针经过一条边到达另一顶点，其中顺时针的概率为，逆时针的概率为，设蚂蚁经过n步到达B，D两点的概率分别为．下列说法正确的有（       ）A． B．C． D．第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明评卷人得分  三、填空题13．已知分别为椭圆的左、右焦点，直线与椭圆交于P，Q两点，则的周长为______．14．在等差数列中，，则数列的前13项和为______．15．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑如图，三棱锥为一个鳖臑，其中平面，，，，M为垂足，则三棱锥的外接球的表面积为________．16．已知锐角三角形的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且，若，则的取值范围为_______．评卷人得分  四、解答题17．在等比数列中，分别是下表第一，第二，第三行中的某一个数，且中的任何两个数不在下表的同一列． 第一列第二列第三列第一行341第二行865第三行91216 (1)写出，并求数列的通项公式；(2)若数列满足，求数列的前项和．18．已知函数的部分图象如图所示．(1)求函数的解析式；(2)将函数的图象上所有的点向右平移个单位，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象．当时，方程恰有三个不相等的实数根，求实数a的取值范围和的值．19．规定抽球试验规则如下：盒子中初始装有白球和红球各一个，每次有放回的任取一个，连续取两次，将以上过程记为一轮．如果每一轮取到的两个球都是白球，则记该轮为成功，否则记为失败．在抽取过程中，如果某一轮成功，则停止；否则，在盒子中再放入一个红球，然后接着进行下一轮抽球，如此不断继续下去，直至成功．(1)某人进行该抽球试验时，最多进行三轮，即使第三轮不成功，也停止抽球，记其进行抽球试验的轮次数为随机变量X，求X的分布列和数学期望；(2)为验证抽样试验成功的概率不超过，有1000名数学爱好者独立的进行该抽球试验，记t表示成功时抽球试验的轮次数，y表示对应的人数，部分统计数据如下表：t12345y23298604020 求y关于t的回归方程，并预测成功的总人数（四舍五入精确到1）．附：经验回归方程系数：，；参考数据：，，（其中，）．20．如图，在直三棱柱中，，M为的中点． (1)若，证明：平面；(2)若是正三角形，P为线段上的动点，求与平面所成角的正弦值的取值范围．21．设函数，已知是函数的极值点．(1)求a的值，并求函数的单调区间；(2)若，求证：．22．已知抛物线的焦点为F，不过原点的直线l交抛物线C于A，B两不同点，交x轴的正半轴于点D．(1)当为正三角形时，求点A的横坐标；(2)若，直线，且和C相切于点E；①证明：直线过定点，并求出定点坐标；②的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．
参考答案：1．B【解析】【分析】先化简集合B，并求得，再去求即可解决.【详解】方程有二根或，则由，可得则，或则或故选：B2．D【解析】【分析】根据复数的除法运算求出复数，再根据复数的几何意义即可得出答案.【详解】∵，又因为复数在复平面对应点在第三象限，所以，解得.故选：D.3．B【解析】【分析】先由题意计算出，再根据条件概率求出即可.【详解】解：由题意知：，得，故.故选：B.4．C【解析】【分析】计算出等边圆柱、正方体、球的体积，再利用公式求解出、、，即可求得答案.【详解】设等边圆柱、正方体、球的体积分别为，所以，所以，，，因为，所以，故选：C.5．D【解析】【分析】先求出的范围，再由条件判断出的范围，再根据复合函数“同增异减”原则求单调区间．【详解】解：当时，，因为函数在区间内恒有，，函数，由和复合而成，因为时，在上是增函数，所以只要求的单调增区间．的单调递增区间为，的单调增区间为，故选：．6．B【解析】【分析】利用平均数，方差公式即得.【详解】∵1，这5个数的平均数为3，方差为2，∴，即，∴这4个数的平均数为，∴，即，∴这4个数的方差为.故选：B.7．C【解析】【分析】先以为基底表示，再利用向量的数量积把转化为关于的方程，即可求得的长【详解】在平行四边形中，E是的中点，，与相交于O．设， 则由，可得则，解之得，则则又，则，解之得，即的长为4故选：C8．C【解析】【分析】由题可得，结合条件可得函数周期为4，进而可得，即得.【详解】∵，∴，又为偶函数，∴，即，∴，又是定义域为R偶函数，∴，∴周期为4，又，∴，∴.故选：C.9．BCD【解析】【分析】由正弦的二倍角公式化简函数，以及求得函数的定义域，再由正弦函数的性质逐一判断可得选项.【详解】解：函数，且函数，即，对于A，当时，取得最大值2，但函数中，故A不正确；对于B，因为，其中，所以该函数的最小正周期为，故B正确；对于C，因为，所以是该函数的一个对称中心，故C正确；对于D，因为当时，取得最值，所以该函数的对称轴为，故D正确，故选：BCD.10．BCD【解析】【分析】对于A，由可判断；对于B，当时，表示椭圆；对于C，当时，表示双曲线；对于D，当时，椭圆的，当时，双曲线的，由此可判断.【详解】解：对于A，因为，所以不存在实数使得曲线C的轨迹为圆，故A不正确；对于B，当且时，即时，表示椭圆，所以存在实数使得曲线C的轨迹为椭圆，故B正确；对于C，当，即时，表示双曲线，故C正确；对于D，当时，表示椭圆，此时椭圆的，所以曲线C的焦距为定值；当时，表示双曲线，此时双曲线的，所以曲线C的焦距为定值；故D正确，故选：BCD.11．BD【解析】【分析】根据极值的定义、极值的性质和图象变换逐项判断后可得正确的选项.【详解】对A，是的极小值点，不一定是最小值点，故A错误；对B，因函数与函数的图象关于x轴对称，故应是的极大值点，故B正确；对C，因函数与函数的图象关于y轴对称，故应是的极小值点，故C错误；对D，因函数与函数的图象关于原点对称，故是的极大值点，故D正确.故选：BD.12．ACD【解析】【分析】有四种情形：，求其概率可判断A；从顶点A出发经过2n步到达B、D两点为不可能事件，所以可判断B；对于C，当为偶数时，当为奇数时，先计算从点或点出发经过两步到达点的概率，再讨论从顶点出发经过步到达点的两种情形：①从顶点出发经过步到达点，再经过两步到达点的概率为，②从顶点出发经过步到达点，再经过两步到达点的概率为，可得可判断C；利用可判断D；【详解】对于A，有四种情形：，其所求的概率为，故A正确；对于B，当为偶数时，从顶点出发，只能到达点或点，此时，当为奇数时，从顶点出发，只能到达点或点，此时，即从顶点A出发经过2n步到达B、D两点为不可能事件，所以，故B错误；对于C，当为偶数时，当为奇数时，先计算从点或点出发经过两步到达点的概率，分别为，，现讨论从顶点出发经过步到达点的两种情形：①从顶点出发经过步到达点，再经过两步到达点的概率为，②从顶点出发经过步到达点，再经过两步到达点的概率为，故，可得，又，所以，故C正确；对于D，，所以，故D正确；故选：ACD.13．【解析】【分析】首先得到椭圆的焦点坐标，即可判断直线过左焦点，再根据椭圆的定义计算可得；【详解】解：椭圆，所以，即、，直线过左焦点，所以，，，所以；故答案为：14．【解析】【分析】由等差数列的通项公式得，再代入求和公式可求得答案.【详解】解：设等差数列的公差为d，因为，，，则，故答案为：．15．【解析】【分析】取AC的中点O，连接MO、BO，则点O就是三棱锥的外接球的球心，解三角形和运用球的表面积公式可计算得答案．【详解】解：取AC的中点O，连接MO、BO，则，，所以，则，又，所以，所以点O就是三棱锥的外接球的球心，所以三棱锥的外接球的球半径为，所以三棱锥的外接球的表面积为，故答案为：．16．【解析】【分析】由题可得，将用含的式子表示，然后根据角的范围，求的取值范围.【详解】∵，∴，即，∵又，且都为锐角，故，，又，所以又，所以，得，，所以，故.故答案为：.17．(1)；(2).【解析】【分析】（1）先得到，，，从而求出等比数列的通项公式；（2）求出，利用分组求和法即得.(1)由题意知：，，，因为是等比数列，所以公比为2，所以数列的通项公式．(2)∵，∴,18．(1)(2)，【解析】【分析】(1) 根据图示，即可确定A和的值，再由周期确定，最后将点带入；即可求出答案.(2) 先根据题意写出，再根据的取值范围求出的取值范围.即可根据的对称性求出与的值.即可求出答案.(1)解：由图示得：，又，所以，所以，所以，又因为过点，所以，即，所以，解得，又，所以，所以；(2)解：由已知得，当时，，令，则，令，则，，，，所以，因为有三个不同的实数根，则，所以，即，所以．19．(1)分布列见解析，数学期望为；(2)，预测成功的总人数为465.【解析】【分析】(1) X的取值可能为1，2，3，分别求得随机变量取每一值的概率，得出分布列，由此可得数学期望；(2) 令，则，由公式求得其回归方程并可得预测成功的人的总人数.(1)解：X的取值可能为1，2，3，所以；，所以X的分布列为：X123P 所以数学期望为：；(2)解：令，则，由题知：，所以，所以，，故所求的回归方程为：，所以估计时，；估计时，，估计时，；预测成功的人的总人数为.20．(1)证明见解析(2)【解析】【分析】（1）由线面垂直的性质得到，再由，即可得到平面，从而得到，再由勾股定理逆定理得到，从而得证；（2）取的中点为，连接，取的中点，连接，由面面垂直的性质得到平面，建立如图所示空间直角坐标系，设，，与平面所成角为，利用空间向量法求出线面角的正弦值，(1)证明：在直三棱柱中，平面，平面，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以，又在矩形中，，，即，所以，因为，平面，所以平面，(2)解：取的中点为，连接，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，取的中点，连接，同理可得平面，如图建立空间直角坐标系，则，，，，设，，则，易知平面的法向量为，设与平面所成角为，设，所以当时，当时，，因为在上单调递减，所以关于单调递减，故，综上可得21．(1)，函数的减区间为，增区间为(2)证明见解析【解析】【分析】（1）由已知得，，由此可求得，再运用导函数，分析导函数的符号，从而可得函数的单调区间；（2）由已知将不等式等价于，令，运用导函数得出函数的单调性，分，分别证明即可.(1)解：由已知得，所以，又是函数的极值点，所以，解得，所以，则，令，则，因为，所以，所以在上单调递增，即在上单调递增，又，所以当时，，当时，，所以函数的减区间为，增区间为；(2)证明：因为，所以，所以不等式等价于，又，所以，所以不等式等价于，令，则，令，则，所以当时，，当时，，所以函数在单调递增，在上单调递减，即函数在单调递增，在上单调递减，所以，所以函数在上单调递减，所以当时，，，即，所以，所以；当时，，，即，所以，所以，所以当时，，不等式得证．【点睛】方法点睛：1、利用导数证明不等式或解决不等式恒成立问题,关键是把不等式变形后构造恰当的函数，然后用导数判断该函数的单调性或求出最值，达到证明不等式的目的；2、利用导数解决不等式恒成立问题，应特别注意区间端点是否取得到；3、学会观察不等式与函数的内在联系，学会变主元构造函数再利用导数证明不等式.总之，无论是证明不等式，还是解不等式，我们都可以构造恰当的函数，利用到函数的单调性或最值，借助导数工具来解决，这种解题方法也是转化与化归思想在中学数学中的重要体现.22．(1)3(2)证明见解析，定点为（1,0），最小值为16【解析】【分析】（1）根据抛物线C的方程，可以求得焦点坐标，由 是正三角形，设点A和D的坐标，可以求解；（2）过点A，作准线的垂线，得垂足P，构造平行四边形，设A点的坐标，以A点的纵坐标为参变量，分别计算直线，AE，AB的方程 以及三角形AEB的面积即可.(1)∵ ，∴抛物线焦点坐标F（1,0），准线方程为x=-1，设A(a，t)，D(m，0)，因为 是正三角形，必有，解得 ，即A点横坐标为3；(2)如图，设A点在第一象限，过A点作准线x=-1的垂线，得垂足P，连接PF， ， ，∴四边形APFD是平行四边形， ，设A(a，t) ，则P(-1，t)，直线PF的斜率为 ，设 的方程为 ，联立方程，消去x得： ，因为是抛物线C的切线， ， ， ， ，即E点的坐标为 ，直线AE的方程为：     ，其中 ，化简得：，故AE过定点F（1，0）；直线l的方程为： ，化简得： ，联立方程，消去x得 ， ， ，即A，B两点的纵坐标之差的绝对值为 ，过E点作x轴的平行线交l于H点，则 ， ，用铅垂高水平底的方法计算三角形AEB的面积， ，当且仅当t=2时等号成立， 的最小值为16；综上，A点的横坐标为3，直线AE过定点F（1,0），三角形AEB的面积最小值为16.【点睛】本题的核心观察到四边形APFD是平行四边形，设点A的纵坐标为参数，这样计算会简便一些，计算三角形AEB的面积用初中的方法——水平底铅垂高比较方便，便于使用韦达定理.