广东省广州市2022届高三三模数学试题-

这是一份广东省广州市2022届高三三模数学试题-，共23页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上，设甲，已知，则，“总把新桃换旧符”，对于任意都有，则的取值范围为，在中，角、、的对边分别是、、等内容，欢迎下载使用。
绝密★启用前广东省广州市2022届高三三模数学试题试卷副标题考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx题号一二三四总分得分     注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明评卷人得分  一、单选题1．设集合，，，则（       ）A． B． C． D．2．若复数满足，则在复平面内的共轭复数对应的点位于（       ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．设甲：实数；乙：方程是圆，则甲是乙的（       ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．已知，则（       ）A． B． C． D．5．等比数列中，，且，，成等差数列，则的最小值为（       ）A． B． C． D．16．“总把新桃换旧符”（王安石）、“灯前小草写桃符”（陆游），春节是中华民族的传统节日，在宋代人们用写“桃符”的方式来祈福避祸，而现代人们通过贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿，某商家在春节前开展商品促销活动，顾客凡购物金额满80元，则可以从“福”字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件，若有5名顾客都领取一件礼品，则他们中恰有3人领取的礼品种类相同的概率是（       ）A． B． C． D．7．在正方体中，用空间中与该正方体所有棱成角都相等的平面去截正方体，在截面边数最多时的所有多边形中，多边形截面的面积为，周长为，则A．为定值，不为定值 B．不为定值，为定值C．与均为定值 D．与均不为定值8．对于任意都有，则的取值范围为（       ）A． B．C． D．评卷人得分  二、多选题9．已知向量，，则下列结论中正确的是（       ）A． B．C． D．10．在中，角、、的对边分别是、、．下面四个结论正确的是（       ）A．，，则的外接圆半径是4B．若，则C．若，则一定是钝角三角形D．若，则11．已知双曲线（）的左､右焦点分别为F1（−c，0），F2（c，0）.直线与双曲线左､右两支分别交于A，B两点，M为线段AB的中点，且|AB|=4，则下列说法正确的有（       ）A．双曲线的离心率为 B．C． D．12．已知函数，若关于x的方程恰有两个不同解，则的取值可能是（       ）A． B． C．0 D．2第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明评卷人得分  三、填空题13．若函数是偶函数，则___________．14．若，则___________．15．已知点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与到轴的距离之和的最小值为___________．16．讲一个半径为5的水晶球放在如图所示的工艺架上，支架是由三根金属杆PA､PB､PC组成，它们两两成60°角.则水晶球的球心到支架P的距离是___________.评卷人得分  四、解答题17．在中，内角，，所对的边分别是，，，且满足，．(1)求；(2)若，求的面积．18．已知递增等差数列满足，，数列满足.（1）求的前n项和；（2）若，求数列的通项公式.19．为监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取10件零件，度量其内径尺寸（单位： ）.根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的内径尺寸服从正态分布.（1）假设生产状态正常，记表示某一天内抽取的10个零件中其尺寸在之外的零件数，求及的数学期望；（2）某天正常工作的一条生产线数据记录的茎叶图如下图所示：①计算这一天平均值与标准差；②一家公司引进了一条这种生产线，为了检查这条生产线是否正常，用这条生产线试生产了5个零件，度量其内径分别为（单位： ）：85，95，103，109，119，试问此条生产线是否需要进一步调试，为什么？参考数据： ， ，， ， ，， ， .20．如图甲是由正方形，等边和等边组成的一个平面图形，其中，将其沿，，折起得三棱锥，如图乙.（1）求证：平面平面；（2）过棱作平面交棱于点，且三棱锥和的体积比为，求直线与平面所成角的正弦值.21．已知椭圆C：（a＞b＞0）的右焦点为F（1,0），且点P在椭圆C上，O为坐标原点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设过定点T（0,2）的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，且∠AOB为锐角，求直线l的斜率k的取值范围．22．已知函数．（1）讨论的单调性；（2）当时，，求实数的取值范围．
参考答案：1．C【解析】【分析】由补集和交集的定义可求得结果.【详解】解：由题可得，.故选：C.2．A【解析】【分析】先求出复数，再求出的共轭复数判断所在象限即可.【详解】由得，则，则复平面内的共轭复数对应的点位于第一象限.故选：A.3．B【解析】【分析】由方程表示圆可构造不等式求得的范围，根据推出关系可得结论.【详解】若方程表示圆，则，解得：；∵，，，甲是乙的必要不充分条件.故选：B.4．A【解析】【分析】利用两角和差余弦公式和辅助角公式可求得，结合二倍角余弦公式可求得结果.【详解】，，.故选：A.5．D【解析】【分析】根据等差中项的知识列方程，求得，结合数列的单调性求得的最小值.【详解】设等比数列的公比为，由于，，成等差数列，所以，即，也即，解得，所以，所以.，，当时，，当时，，所以，所以的最小值为.故选：D6．D【解析】【分析】先由组合及分步计数原理求出恰有3人领取的礼品种类相同的情况，再求出总情况，由古典概型求解即可.【详解】先考虑恰有3人领取的礼品种类相同的，先从5人中选取3人有种，再从三类礼品中领取一件有，另外2人从剩下的2类礼品中任意选择有种，按照分步乘法计数原理可得种，又总情况有种，故恰有3人领取的礼品种类相同的概率是.故选：D.7．B【解析】利用正方体棱的关系，判断平面所成的角都相等的位置，可知截面边数最多时为六边形，如图所示，可计算出周长为定值，当六边形的边长相等即截面为正六边形时，截面面积最，．【详解】正方体的所有棱中，实际上是3组平行的棱，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，如图：与面平行的面且截面是六边形时满足条件，不失一般性设正方体边长为1，可得平面与其他各面的交线都与此平面的对角线平行，即等设，则，∴，∴，同理可得六边形其他相邻两边的和为，∴六边形的周长为定值．当六边形的边长相等即截面为正六边形时，截面面积最大，最大面积为， 故可得周长为定值，面积为定值，故选B.【点睛】本题主要考查了利用平面几何的知识解决立体几何，考查学生的空间想象能力，属于中档题.8．B【解析】【分析】，由导数的单调性求出，所以转化为：任意恒成立，令，分类讨论值，求出，即可求出答案.【详解】，令，则，所以在上单调递减，在上单调递减，所以，所以，所以转化为：，令，，①当时，，所以在上单调递增，所以，所以.②当时，您，所以，（i）当即时，，所以在上单调递增，，所以.(ii)当即时， 在上单调递减，在上单调递增，，所以，所以.综上，的取值范围为：.故选：B.9．ABC【解析】【分析】按照向量数量积的坐标运算、模的坐标运算、夹角公式及平行的坐标公式依次判断即可.【详解】，A正确；，B正确；，则，C正确；，D错误.故选：ABC.10．BC【解析】根据正弦定理可求出外接圆半径判断A，由条件及正弦定理可求出，可判断B,由余弦定理可判断C，取特殊角可判断D.【详解】由正弦定理知，所以外接圆半径是2，故A错误；由正弦定理及可得，，即，由，知，故B正确；因为，所以C为钝角，一定是钝角三角形，故C正确；若，显然，故D错误.故选：BC11．BD【解析】【分析】连接，设，由已知，利用双曲线的定义求得，判断D正确，根据直线的斜率把图中线段用表示，从而求得，得离心率判断A，由数量积的定义计算数量积判断BC．【详解】如图，连接，设，因为，所以，D正确.又为线段的中点，所以.又，所以，则，得，所以双曲线的离心率为，A不正确；，B正确，C不正确.故选：BD．12．BC【解析】【分析】利用函数的单调性以及已知条件得到，代入，令，求导，利用导函数的单调性分析原函数的单调性，即可求出取值范围.【详解】因为的两根为，所以，从而．令，则，．因为，所以，所以在上恒成立，从而在上单调递增．又，所以，即的取值范围是，故选：BC．【点睛】关键点睛：本题考查利用导数解决函数的范围问题.构造函数 ，利用导数求取值范围是解决本题的关键.13．##2.5【解析】【分析】利用偶函数的性质求解，代入求解即可.【详解】解：因为函数是偶函数，故，即，解得.故，则.故答案为：.14．【解析】【分析】根据已知条件配凑，再利用二项式定理的通项公式即可求解.【详解】由题意可知，，展开式的通项公式为，由，得出求的项是.令，解得，所以.故答案为：.15．1【解析】【分析】由抛物线的定义可得，再求出的值即可.【详解】由抛物线可知其焦点为，由抛物线的定义可知，故点到点的距离与到轴的距离之和为，即点到点的距离与到轴的距离之和的最小值为1.故答案为：.16．5【解析】【分析】由题意画出示意图，O为球心，利用所给数据，求出DA，PD，OD，利用cos60°=cos30°cos∠CPD解出PO即可.【详解】解：设PO=x，作OD⊥平面BPA，连接AD，DB，则PA=，DA=，PD=，OD=，cos60°=cos30°cos∠CPD，，1=，，所以x=，故答案为：5. 【点睛】本题考查直线与球相切的有关问题，考查学生逻辑思维能力，空间想象能力，是中档题.关键是利用含有直二面角的三面角三余弦定理cos∠APC=cos∠APDcos∠CPD计算求解.17．(1)(2)【解析】【分析】（1）利用余弦定理即可求解的值；（2）在中，，利用两角和的余弦公式即可求解角，，，利用利用三角形面积公式即可求解.(1)解：因为所以．则．因为，所以．(2)解：因为，则．所以．得．则．所以，．因为，则所以.18．（1）；（2）.【解析】（1）根据等差数列公式，列出方程组，求得的hi，得到，进而求得，得到答案.（2）由（1）得到，化简得到，代入数据计算得到答案.【详解】（1）设数列公差为，由，解得或（舍去），所以，则，即，所以，所以数列的前n项和.（2）由（1）知，又由，.【点睛】本题考查了等差、等比数列通项公式，等比数列的前和公式，以及“分组法”求和的应用，其中解答中熟记等差、等比数列的通项公式和求和公式，以及合理利用“分组法”求和，准确计算是解答的关键，注重考查推理与运算能力，属于中档试题.19．（1）0.0260；（2）① ；②生产线异常，需要进一步调试，理由见解析.【解析】（1）根据原则,可求得当和时的概率,结合对立事件的概率关系即可求得;由正态分布的期望公式即可求得X的数学期望.（2）根据茎叶图,列出数据即可求得平均值,由方差公式先求得,再求得标准差;由正态分布的原则,计算出.观测5个零件与该范围关系,即可判断是否需要进一步调试.【详解】（1）由题意知：或 ，，∵，∴；（2）①，所以②结论：需要进一步调试．理由如下：如果生产线正常工作，则服从正态分布，，零件内径在之外的概率只有0.0026，而根据原则，知生产线异常，需要进一步调试．【点睛】关键点睛：（1）解题关键利用原则和正态分布的期望公式求解；（2）根据茎叶图,列出数据求得标准差，再由正态分布的原则，进而求解；难度属于中档题20．（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）取的中点为，连接，，证明，，即证平面，即证得面面垂直；（2）建立如图空间直角坐标系，写出对应点的坐标和向量的坐标，再计算平面法向量，利用所求角的正弦为即得结果.【详解】（1）证明：如图，取的中点为，连接，.∵，∴.∵，，∴，同理.又，∴，∴.∵，，平面，∴平面.又平面，∴平面平面；（2）解：如图建立空间直角坐标系，根据边长关系可知，，，，，∴，.∵三棱锥和的体积比为，∴，∴，∴.设平面的法向量为，则，令，得.设直线与平面所成角为，则.∴直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】方法点睛：求空间中直线与平面所成角的常见方法为：（1）定义法：直接作平面的垂线，找到线面成角；（2）等体积法：不作垂线，通过等体积法间接求点到面的距离，距离与斜线长的比值即线面成角的正弦值；（3）向量法：利用平面法向量与斜线方向向量所成的余弦值的绝对值，即是线面成角的正弦值.21．（1）＋＝1（2）∪【解析】（1）由c＝1得a2＝b2＋1，再代入P点坐标可求得a,b；（2）设直线l的方程为y＝kx＋2，A（x1，y1），B（x2，y2），直线方程与椭圆方程联立消元得的一元二次方程，其判别式需大于0，由韦达定理得，条件∠AOB为锐角对应，代入后可求得的范围．【详解】（1）由题意得c＝1，所以a2＝b2＋1，①又点P在椭圆C上，所以＋＝1，②由①②可解得a2＝4，b2＝3，所以椭圆C的标准方程为＋＝1.（2）设直线l的方程为y＝kx＋2，A（x1，y1），B（x2，y2），由得（4k2＋3）x2＋16kx＋4＝0，因为Δ＝16（12k2－3）＞0，所以k2＞，则x1＋x2＝，x1x2＝.因为∠AOB为锐角，所以·＞0，即x1x2＋y1y2＞0，所以x1x2＋（kx1＋2）（kx2＋2）＞0，所以（1＋k2）x1x2＋2k（x1＋x2）＋4＞0，即（1＋k2）·＋2k·＋4＞0，解得k2＜.又k2＞，所以＜k2＜，解得－＜k＜－或＜k＜.所以直线l的斜率k的取值范围为∪【点睛】本题考查椭圆标准方程，考查直线与椭圆相交问题．求椭圆标准方程可以用待定系数法，即即代入点的坐标得的一个等式，再由c=1得一等式，联立后求得，得标准方程，本题也可根据椭圆定义求解，先求得椭圆上的点P到两焦点的距离之和为长轴长，再短轴长即得．22．（1）见解析；（2）．【解析】【分析】（1）求导对分类讨论的正负得出的单调性；（2）变形，利用导数对的值进行分类讨论，得出函数的单调性，由单调性即可得出实数的取值范围．【详解】（1）由题知，的定义域为，∴．（对函数求导后，由于恒大于0，故对进行正负分类讨论，从而判断函数的单调性）当时，在上恒成立，故在上是增函数；当时，令得在上有，在上有∴在上是减函数，在上是增函数（2）当时，，即（*）．令则．①若，由（1）知，当时，在上是增函数故有即，得，故有．（由（1）可判断，此不等式为常见不等式，熟记更利于解题）（当且仅当，即，且时取等号）（根据及基本不等式可知需对和的大小分类讨论）∴函数在区间上单调递增，∴，∴（*）式成立．②若，令则，当且仅当时等号成立．∴函数在区间上单调递增．∵∴，使得则当时，，即．∴函数在区间上单调递减（构造函数，对其求导并根据零点存在性定理判断的单调性）∴，即（*）式不恒成立．综上所述，实数的取值范围是．【点睛】本题主要考查了利用导数分类讨论求函数的单调性以及利用导数研究不等式的恒成立问题，属于中档题.