四川省眉山第一中学2022届高考适应性考试数学（理）试题-

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四川省眉山第一中学2022届高考适应性考试数学（理）试题

试卷副标题

考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

请点击修改第I卷的文字说明

1．设全集，集合，，则（       ）

A． B． C． D．

2．已知复数，则在复平面内复数对应的点到虚轴的距离为（       ）

A．8 B．4 C．5 D．6

3．设命题，则为（       ）

A． B．

C． D．

4．展开式中的系数为（       ）

A．-260 B．-60 C．60 D．260

5．记为等比数列的前项和，若，，则（       ）

A． B． C． D．

6．第24届冬季奥运会于2022年2月4日至20日在北京举行，中国代表团取得了9枚金牌，4枚银牌，2枚铜牌的历史最好成绩．2月8日，在自由式滑雪女子大跳台坡面障碍技巧比赛中，中国运动员谷爱凌在最后一跳中完美地完成了超高难度动作1620，得分反超对手，获得了金牌．已知六个裁判为谷爱凌这一跳的打分分别为95，95，95，93，94，94，评分规则为去掉六个原始分中的一个最高分和一个最低分，剩下四个有效分的平均数即为该选手的本轮得分．设这六个原始分的中位数为，方差为；四个有效分的中位数为，方差为．则下列结论正确的是（       ）

A．， B．，

C．， D．，

7．若点在角的终边上，则（       ）

A．2 B． C． D．

8．已知双曲线的一条渐近线与抛物线的一个交点为，且点到抛物线的焦点的距离为，则双曲线的离心率为（       ）

A． B． C． D．

9．中国共产党第二十次全国代表大会于2022年下半年在北京召开，党的二十大是我们党带领全国人民全面建设社会主义现代化国家，向第二个百年奋斗目标进军新征程的重要时刻召开的一次十分重要的代表大会．相信中国共产党一定会继续带领中国人民实现经济发展和社会进步．资料显示，2021年，我国的GDP达到了17.7万亿美元，同期美国的GDP达到了23万亿美元，综合考虑多方面因素，将中国的GDP增速估计为6%，美国的GDP增速估计为2%，那么中国最有可能在（       ）年实现对美国GDP的超越．

参考数据：，

A．2024 B．2026 C．2028 D．2030

10．已知边长为1的菱形中，，点满足，则的值是

A． B． C． D．

11．如图是一个简单几何体的三视图，若，则该几何体外接球表面积的最小值为（       ）

A． B． C． D．

12．已知叫做双曲余弦函数，叫做双曲正弦函数.若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

第II卷（非选择题）

请点击修改第II卷的文字说明

13．已知变量，满足约束条件，则的最大值为______．

14．为了宣传2022年北京冬奥会和冬残奥会，某学校决定派小明和小李等共5名志愿者将两个吉样物“冰墩墩”和“雪容融”安装在学校的体育广场，每人参与且只参与一个吉样物的安装，每个吉样物都至少由两名志愿者安装，若小明和小李必须安装不同的吉祥物，则不同的分配方案种数为_______．

15．已知可导函数的定义域为，满足，且，则不等式的解集是________．

16．定义函数，其中[x]表示不超过x的最大整数，例如[1.3]=1，[-1.5]=-2，[2]=2，当时，的值域为An，记集合An中元素的个数为，则的值为_________.

17．已知函数，且图象的相邻两条对称轴之间的距离为，请从条件①、条件②、条件③中任意选择两个作为已知条件作答．

条件①：的最小值为；

条件②：的图象的一个对称中心为；

条件③：的图象经过点．

(1)求的解析式；

(2)在中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，，，求周长的最大值.

18．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，点S是边AB的中点．AB=2，AD=4，

(1)若O是侧棱PC的中点，求证：SO//平面PAD；

(2)若二面角P-AD-B的大小为，求直线PD与平面PBC所成角的正弦值．

19．我国在芯片领域的短板有光刻机和光刻胶，某风险投资公司准备投资芯片领域，若投资光刻机项目，据预期，每年的收益率为30％的概率为，收益率为％的概率为；若投资光刻胶项目，据预期，每年的收益率为30％的概率为0.4，收益率为％的概率为0.1，收益率为零的概率为0.5．

(1)已知投资以上两个项目，获利的期望是一样的，请你从风险角度考虑为该公司选择一个较稳妥的项目；

(2)若该风险投资公司准备对以上你认为较稳妥的项目进行投资，4年累计投资数据如下表：

请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于的线性回归方程，并预测到哪一年年末，该公司在芯片领域的投资收益预期能达到0.75亿元．

附：收益＝投入的资金×获利的期望；线性回归中，，．

20．已知P是离心率为 的椭圆 上任意一点，且P到两个焦点的距离之和为4．

(1)求椭圆C的方程；

(2)设点A是椭圆C的左顶点，直线AP交y轴于点D，E为线段AP的中点，在x轴上是否存在定点M，使得直线DM与OE交于Q，且点Q在一个定圆上，若存在，求点M的坐标与该圆的方程；若不存在，说明理由．

21．已知函数.

(1)当时，求曲线在点处的切线方程；

(2)设，是函数的两个极值点，且，证明：.

22．如图，曲线是著名的笛卡尔心形曲线，它的极坐标方程为．曲线是经过极点且在极轴上方的圆，其圆心在经过极点且垂直于极轴的直线上，直径为1．

(1)求曲线的极坐标方程，并求曲线和曲线交点的极坐标；

(2)以极点为坐标原点，极轴所在的直线为x轴，经过极点且垂直于极轴的直线为y轴，建立平面直角坐标系，曲线的参数方程为（t为参数）．若曲线与曲线相交于除极点外的M，N两点，求线段MN的长度．

23．已知函数，．

(1)当a＝2时，求不等式的解集；

(2)若，使成立，求a的取值范围．

参考答案：

1．B

【解析】

【分析】

根据补集、交集的定义计算可得；

【详解】

解：因为，所以，又；

所以；

故选：B

2．A

【解析】

【分析】

首先求出、，即可化简，再根据复数的几何意义写出再复平面内所对应的点的坐标，即可判断；

【详解】

解：因为，所以，，

所以，则在复平面内所对应的点的坐标为，点到虚轴的距离为；

故选：A

3．B

【解析】

【分析】

根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解.

【详解】

根据全称命题与存在性命题的关系，可得：

命题“”的否定为“”.

故选：B.

4．A

【解析】

【分析】

利用二项式定理直接展开.

【详解】

展开式的通项公式为.

要求的系数，只需.

故选：A

5．B

【解析】

【分析】

设等比数列的公比为，根据已知条件求出的值，利用等比数列的求和公式以及基本性质可求得的值.

【详解】

设等比数列的公比为，由可知，所以，

.

故选：B.

6．D

【解析】

【分析】

由中位数求法分别求出、，再根据方差公式求、，比较它们的大小即可得答案.

【详解】

由题设，评分从小到大为，去掉一个最高、低分为，

所以，平均数，，

所以.

故选：D

7．C

【解析】

【分析】

先利用诱导公式化简，再利用任意角的三角函数定义得到，再利用二倍角公式进行求解.

【详解】

因为，

，即，

所以，则.

故选：C.

8．C

【解析】

【分析】

由题意，根据抛物线的定义可求出A点坐标，可得双曲线渐近线的斜率，即可求出双曲线的离心率.

【详解】

设，由抛物线方程知，焦点，准线方程为，

由，解得，

所以，不妨取，即，

所以双曲线一条渐近线的斜率，

所以，即，

故选：C

9．C

【解析】

【分析】

由题可得，进而可得，即得.

【详解】

设中国最有可能在年后实现对美国GDP的超越，

则，即，

∴，

∴，

故中国最有可能在2028年实现对美国GDP的超越．

故选：C.

10．D

【解析】

【分析】

将通过线性运算进行拆解，转变成与向量和相关的数量积和模长求解即可.

【详解】

由题意可得大致图像如下：

；

又，

本题正确选项：

【点睛】

本题考查向量的数量积的求解，处理此类问题的关键是将所求向量进行线性拆解，拆解为已知模长和夹角的两个向量的问题.

11．B

【解析】

【分析】

根据题意，还原几何体，并求得其外接球表面积的表达式，利用基本不等式即可求得结果.

【详解】

根据三视图，可以还原几何体如下所示，为方便讨论，在长方体中还原如下：

如图所示，三棱锥即为所求几何体，其中长方体的长、宽、高分别为，

故该几何体的外接球与长方体外接球是同一个球，设其半径为，

则，故其外接球表面积，

又因为，

故可得，

当且仅当时取得最小值；

故外接球表面积的最小值为.

故选：B.

【点睛】

本题考察根据三视图还原几何体，以及长方体外接球半径的求解和利用基本不等式求最值，属综合困难题.

12．D

【解析】

【分析】

结合的单调性，由不等式化简得在上恒成立，结合导数求得的最大值，从而求得的取值范围.

【详解】

在上递增，，

所以，.

依题意关于的不等式在上恒成立，

整理得在上恒成立，

即在上恒成立，

即在上恒成立，

，

所以时，，时，，

所以在递减，递增，，

所以，所以.

故选：D

【点睛】

求解含参数的不等式恒成立问题，可考虑通过变形，分离参数，然后通过构造函数法，结合导数研究所构造函数的单调性、极值、最值等，从而求得参数的取值范围.

13．

【解析】

【分析】

画出约束条件所表示的平面区域，结合图象确定目标函数的最优解，代入即可求解.

【详解】

画出约束条件所表示的平面区域，如图所示，

目标函数，可化为，

当直线过点时，此时直线在轴上的截距最大，此时目标函数取得最大值，

又由，解得，

所以目标函数的最大值为.

故答案为：.

14．

【解析】

【分析】

由题意，只需将这5个人分成两组，并且分成的人数为或两组，同时将小明和小李分在不同的组，结合分步计数原理，即可求解.

【详解】

根据题意，除去小明和小李后，剩余的3人与小明同组的人数确定分组方法：

即种不同的方法，这两组安装吉祥物的方法又有种方法，

由分步计数原理可得，共有种不同的方法.

故答案为：.

15．

【解析】

【分析】

构造函数，由导数确定单调性，将已知不等式转化为关于不等式，然后利用单调性即可求解．

【详解】

设，则 ，

因为，，所以，可得在上单调递减，

不等式，即，即，所以，

因为在上单调递减，所以，又因为，

所以不等式的解集为：，

故答案为：．

16．

【解析】

【分析】

根据函数的定义判断在上值域中元素的个数，进而可得通项公式，应用裂项相消法求目标式的值.

【详解】

由题设，，

所以在各区间上值域中元素个数为1、1、2、…、，

所以，则，

所以.

故答案为：.

【点睛】

关键点点睛：利用[x]的定义判断在上值域元素的个数，再应用分组、等差数列前n项和公式求，最后由裂项相消法求目标式的值.

17．(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）若选①②，由①得，再根据正弦函数的图象的对称中心可求出，即可得解；

若选①③，由①得，再根据正弦函数的图象经过点可求出，即可得解；

若选②③，根据正弦函数的图象的对称中心可求出，根据正弦函数的图象经过点求出，即可得解.

（2）根据求出，再根据余弦定理得，再根据基本不等式，即可得解.

(1)

因为图象的相邻两条对称轴之间的距离为，所以，即，所以，所以，

若选①②，则，，，即，，

因为，所以，

所以；

若选①③，则，，即，

因为，所以，所以，得，

所以；

若选②③，，，即，，

因为，所以，此时，

因为，所以，即，所以，

所以

(2)

由（1）知，，

因为，所以，

因为，所以，

所以，即，

因为，当且仅当时，取等号，

所以，所以，

所以，即周长的最大值为.

18．(1)证明见解析

(2)

【解析】

【分析】

（1）取线段PD的中点H，连接SO、OH、HA，证明四边形ASOH是平行四边形，然后利用线面平行的判定定理进行证明即可；

（2）解法一：取AD、BC的中点E、F，连结PE、EF过点E做于G．利用面面垂直的判定定理证明平面平面PEF，从而得到平面PBC，然后利用线面角的定义及公式求解即可.

解法二：取线段AD、BC的中点E、F，连结PE、EF．以E为原点，、方向分别为x轴、y轴正方向，建立坐标系，求出和平面PBC的法向量，然后利用线面角的向量公式求解即可.

(1)

取线段PD的中点H，连接SO、OH、HA，如图

在中，O、H分别是PC、PD的中点，所以且

所以且

所以四边形ASOH是平行四边形，所以

又平面PAD，平面PAD，所以平面PAD

(2)

解法一：取AD、BC的中点E、F，连结PE、EF过点E做于G．

如图，由点E是线段AD的中点，可得，又

所以是二面角的平面角，即，又,

所以平面PEF，又，所以平面PEF．

又平面PBC，所以平面平面PEF，

又平面平面，，

所以平面PBC

在中，，，，所以

设直线PD与平面PBC所成角为，则

所以直线PD与平面PBC所成角的正弦值为．

又平面PAD，平面PAD，所以平面PAD

解法二：取线段AD、BC的中点E、F，连结PE、EF．由点E是线段AD的中点，可得，又，所以是二面角的平面角，即，以E为原点，、方向分别为x轴、y轴正方向，建立如图所示坐标系，在中，，知：，所以

，，,

所以，，

设平面PBC的法向量，则，即

可取，设直线PD与平面PBC所成角为，

则

所以直线PD与平面PBC所成角的正弦值为，

19．(1)该风投公司投资光刻胶项目；

(2)；2022年年末．

【解析】

【分析】

（1）设投资光刻机项目和光刻胶项目的年收益分别为和，分别列出和的分布列，计算出数学期望，使期望值相等求解出的值，再计算方差即可比较；

（2）根据题目所给公式先计算回归系数和，写出回归直线方程，列出收益的表达式，使收益大于或等于亿元，求解的取值范围．

(1)

若投资光刻机项目，设收益率为，则的分布列为

所以．

若投资光刻胶项目，设收益率为，则的分布列为

所以．

因为投资以上两个项目，获利的期望是一样的，

所以，所以．

因为，

，

所以，，

这说明光刻机项目和光刻胶项目获利相等，但光刻胶项目更稳妥．

综上所述，建议该风投公司投资光刻胶项目．

(2)

，，

，，

则，

，故线性回归方程为．

设该公司在芯片领域的投资收益为Y，则，解得，

故在2022年年末该投资公司在芯片领域的投资收益可以超过0.75亿元．

20．(1)

(2)存在，

【解析】

【分析】

（1）由椭圆定义和离心率可得答案；

（2）设存在定点，设出直线AP的方程为．联立直线方程和椭圆方程，利用韦达定理可得直线OE的方程、直线DM方程，再联立两个方程可得答案.

(1)

因为，所以，

又，所以，

故椭圆方程为：．

(2)

设存在定点，满足条件．由已知，

设直线AP的方程为，

由消去y整理得，

，

所以，，

时，，

所以直线OE的方程为，①

由中，令，得，从而，

又，所以，

所以直线DM方程为，②

由①②消去参数k，得，即，③

方程③要表示圆，当且仅当，此时圆的方程为，

时，在上述圆上，

所以存在定点使直线DM与OE的交点Q在一个定圆上，

且定圆方程为：.

21．(1)

(2)证明见解析

【解析】

【分析】

（1）根据导数的几何意义求出切线斜率，再根据点斜式方程写出切线方程.

（2）函数有两个极值点可得有两个不同的实数根，令，构造函数，利用函数的单调性证明不等式.

(1)

由题，当时，，，

，，

所以曲线在点处的切线方程为：，

化简得：.

(2)

证明：函数的定义域为，，

由题知，方程有两个不同的正根，，

设，则①，②，

①②得：，

①②得：，

消去a得，

令，则，，

要证，即证，即证，即证，

令，则，

当时，所以函数在内单调递增，

又因为，所以，所以，所以.

22．(1),；

(2)2.

【解析】

【分析】

（1）根据圆的极坐标方程求出，联立曲线和曲线的方程求交点即可；

（2）写出的极坐标方程，求出M,N的极坐标，由极坐标的意义求线段MN的长度.

(1)

曲线的极坐标方程为.

与方程联立代入得，,解得或,

故所求交点坐标分别为

(2)

因为曲线为过原点倾斜角是 的直线，故其极坐标方程为和.

联立两曲线与的方程，解得两交点的极坐标分别为，

所以.

23．(1)；

(2).

【解析】

【分析】

（1）根据绝对值的性质，利用分类讨论思想进行求解即可；

（2）根据存在性的性质，利用常变量分离法，结合基本不等式进行求解即可.

(1)

当a＝2时，，

当时，，恒成立，解得；

当时，，由，得，解得；

当时，，无解，综上所述，的解集为；

(2)

当，时，．

由得，即．

当时，，所以．

若使成立，则只需，

而

（当且仅当x＝0时等号成立），所以a的取值范围为．