上海市七宝中学2022届高三冲刺模拟卷二数学试

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上海市七宝中学2022届高三冲刺模拟卷二数学试题

试卷副标题

考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

请点击修改第I卷的文字说明

1．已知数列是等比数列，数列分别满足下列各式，其中数列必为等比数列的是（       ）

A． B．

C． D．

2．已知与是直线(为常数)上两个不同的点，则关于和的方程组的解的情况是（       ）

A．无论如何,总是无解 B．无论如何,总有唯一解

C．存在使之恰有两解 D．存在使之有无穷多解

3．若对任意，都有，那么在上………………

A．一定单调递增 B．一定没有单调减区间

C．可能没有单调增区间 D．一定没有单调增区间

4．在数列{an}中，对任意，都有（k为常数），则称{an}为“等差比数列”. 下面对“等差比数列”的判断： ①k不可能为0；②等差数列一定是等差比数列；③等比数列一定是等差比数列；④通项公式为的数列一定是等差比数列，其中正确的判断为

A．①② B．②③ C．③④ D．①④

第II卷（非选择题）

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5．设，若复数在复平面内对应的点位于实轴上，则__________．

6．已知集合，，且，则实数a的取值范围是______________________ .

7．设函数在上是减函数，则实数的取值范围是_________.

8．从5名志愿者中选出3名，分别从事翻译、导游、保洁三项不同的工作，每人承担一项，其中甲不能从事翻译工作，则不同的选派方案共有_____种.

9．已知为抛物线上一点，点到抛物线的焦点的距离为7，到轴的距离为5，则___________.

10．若函数是奇函数，则__________．

11．已知直三棱柱的各棱长都相等，体积为18．若该三棱柱的所有顶点都在球O的表面上，则球O的体积为______．

12．设函数的定义域为.若对于内的任意，，都有，则称函数为“Z函数”.有下列函数：①；②；③；④.其中“Z函数”的序号是___________(写出所有的正确序号)

13．若等差数列的首项为公差为，前项的和为，则数列为等差数列，且通项为．类似地，若各项均为正数的等比数列的首项为，公比为，前项的积为，则数列为等比数列,通项为_______.

14．已知为圆的一条直径，点的坐标满足不等式组，则的取值范围是___________.

15．已知为定义在上的增函数，且任意，均有，则_____.

16．定义在上的函数满足，，已知，则数列的前项和______.

17．如图，四面体中，、分别是、的中点，，．

（1）求证：平面；

（2）求点到平面的距离．

18．已知函数，（为实数）．

（1）根据的不同取值，讨论函数的奇偶性，并说明理由；

（2）若对任意的，都有，求的取值范围．

19．如图，某污水处理厂要在一正方形污水处理池内修建一个三角形隔离区以投放净化物质，其形状为三角形，其中P位于边上，Q位于边上，已知米，，设，记，当越大，则污水净化效果越好.

（1）求关于的函数解析式，并求定义域；

（2）求最大值，并指出等号成立条件？

20．已知、是双曲线的两个顶点，点是双曲线上异于、的一点，为坐标原点，射线交椭圆于点，设直线、、、的斜率分别为、、、.

（1）若双曲线的渐近线方程是，且过点，求的方程；

（2）在（1）的条件下，如果，求的面积；

（3）试问：是否为定值？如果是，请求出此定值；如果不是，请说明理由.

21．设数列满足，其中，且，为常数.

（1）若是等差数列，且公差，求的值；

（2）若，且存在，使得对任意的都成立，求的最小值；

（3）若，且数列不是常数列，如果存在正整数，使得对任意的均成立. 求所有满足条件的数列中的最小值.

参考答案：

1．C

【解析】

【分析】

应用特殊值法，判断各选项中数列中是否会出现0即可排除A、B、D.

【详解】

A：当是首项为1，公比的等比数列，不是等比数列，不符合；

B：当公比时，不是等比数列，不符合；

C：令，当时是等比数列，符合.

D：当时，不是等比数列，不符合；

故选：C

2．B

【解析】

【分析】

判断直线的斜率存在，通过点在直线上，推出的关系，再求解方程组的解，即可求解，得到答案．

【详解】

由题意，点与是直线(为常数)上两个不同的点，

直线的斜率存在，所以，即，

且，所以，

由方程组，

可得：，即，

所以方程组有唯一的解．

故选B．

【点睛】

本题主要考查了直线方程的应用，直线的斜率的求法，以及一次函数根与系数的关系和方程组的综合应用，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．

3．C

【解析】

【详解】

试题分析：对任意，都有，但在上不单调递增，且没有单调增区间，对任意，都有，且有单调增区间，对任意，都有，且有单调减区间，选C

考点：函数单调性

4．D

【解析】

【分析】

由分母不能为0，可判断出①②③；把④通项公式代入题设中，满足条件，进而推断④正确.

【详解】

对于①，若k＝0，则分母必为0，故k≠0，故①正确；

当等差数列为常数列时,分母为0,不满足题设的条件，故②不正确；

当等比数列为常数列时，不满足题设，故③不正确；

对于④，把an＝a•bn+c代入结果为b，为常数，故④正确；

故选D．

【点睛】

本题主要考查了数列的递推式，考查新定义，考查了学生综合分析问题的能力．属于基础题.

5．.

【解析】

【详解】

试题分析：由题意得.

【考点】复数运算

【名师点睛】复数代数形式的四则运算的法则是进行复数运算的理论依据，加减运算类似于多项式的合并同类项，乘法法则类似于多项式的乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式，再将分母实数化.

6．

【解析】

【分析】

由并集的定义及数轴表示可得解.

【详解】

在数轴上表示出集合和集合,要使，只有.

【点睛】

本题主要考查了集合的并集运算，利用数轴找关系是解题的关键，属于基础题.

7．

【解析】

根据单调性可得满足的不等式，从而可求实数的取值范围.

【详解】

因为在上是减函数，故，所以

故答案为：.

8．48

【解析】

【分析】

应用排列数求出所有可能方案数、选出3名且甲从事翻译工作方案数，由间接法求结果.

【详解】

从5名志愿者中选出3名任意安排有种，

若选出3名且甲从事翻译工作，则种，

所以5名志愿者中选出3名且甲不能从事翻译工作的选派方案有种.

故答案为：48

9．4

【解析】

【分析】

根据抛物线的定义计算．

【详解】

由题意，解得．

故答案为：4．

10．-3

【解析】

【详解】

∵是奇函数，则，

当时，，

∴．

11．

【解析】

【分析】

设出直三棱柱的棱长，由体积解出棱长，再得出外接球的半径后求体积

【详解】

设直三棱柱的棱长为，则体积为，解得，

故底面外接圆的半径为，三棱柱外接球的半径为，

球的体积

故答案为：

12．③④

【解析】

【分析】

新定义说是增函数的意思，判断各函数的是否为增函数可得．

【详解】

当时，，由，得，，所以在定义域内是增函数，

①是常数函数，②是减函数，③是增函数，④是增函数，

故答案为：③④

【点睛】

关键点点睛：本题考查新定义，解题关键是理解新定义，新定义“Z函数”即为增函数，因此只要判断函数的单调性即可得．

13．

【解析】

【详解】

因为在等差数列{an}中前n项的和为Sn的通项，且写成了=a1+

所以在等比数列{bn}中前n项的积为Tn的开n方的形式．

类比可得

故答案为

14．

【解析】

【分析】

由约束条件作出可行域，由数量积的坐标运算求得表达式，利用数形结合得到最优解，则答案可求．

【详解】

由不等式组作出可行域如图，

，，，

，

即求可行域上的点到原点距离的平方，再减去1的最值，

当，时，取最大值19，

当，时，取最小值为1．

的取值范围是，．

故答案为：，．

【点睛】

方法点睛：利用线性规划求最值的步骤

①在平面直角坐标系内作出可行域；

②考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形；

③在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解；

④将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值．

15．

【解析】

【分析】

设，令、求得，结合单调性求出a值，代入验证即可得结果.

【详解】

设，

令得：；

令得：，

因为为定义在上的增函数，

所以，

当时，由矛盾.

故.

故答案为：

16．

【解析】

【分析】

由已知条件可得，进而求得，以及周期，利用周期性求的前项和.

【详解】

由题设，两边平方得：，

化简得，

∵得：，

∴，，,则，，

综上，是周期为2的数列且，，

因此，数列的前项和.

故答案为：

17．（1）证明见解析；（2）．

【解析】

【分析】

（1）由等腰三角形得，，再勾股定理可得，进而根据线面垂直的判定定理证得结论；

（2）根据等积法可得，结合（1）中结论，可得即为棱锥的高，代入棱锥的体积公式，即可得解．

【详解】

（1）证明：，为中点，，

，为中点，

，,

在中，，，，

，，即．

又，，平面

平面.

（2）设点到平面的距离为，

利用等体积法知，即，

在中，，，∴，

∵，，∴，

∴点到平面的距离为．

【点睛】

本题考查的知识点是直线与平面垂直的判定，棱锥的体积公式，熟练掌握空间直线与直线垂直、直线与平面垂直之间的转化关系是解答的关键，属于中档题.

18．（1）讨论见解析；（2）

【解析】

【分析】

（1）分别令和，构造出恒等式后，求得的值，则根据奇偶函数定义可知奇偶性；

（2）分别令和，利用分离变量的方法可得到参数与函数最值的大小关系，进而得到的取值范围.

【详解】

（1）由题意知：函数的定义域为

①若为偶函数，则，即

②若为奇函数，，即

综上所述：当时，为奇函数；当时，为偶函数；当时，为非奇非偶函数

（2）由得：       

当时，              

由得：       

当时，              

若恒成立，则

的取值范围为

【点睛】

本题考查函数奇偶性的讨论、恒成立问题的求解；解决恒成立问题的常用方法为分离变量法，将问题转化为参数与函数最值之间大小关系的比较问题，进而通过求解函数最值得到参数的范围.

19．(1)，;(2) 时,最大值是3

【解析】

（1）在中求 ,在中求,再求出得解.

（2要求最大值，恒等转化成型利用三角函数性质可得解.

【详解】

（1）在中,, ;

在中,

由题知，且

，

（2）

，

当时，即时最大值是3

【点睛】

本题考查三角恒等变换在三角函数图象和性质中的应用.

（1）利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式化成或的形式；

（2）根据自变量的范围确定的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值.

20．（1）；（2）的面积为；（3）定值为.

【解析】

【分析】

（1）设双曲线的方程为，将点的坐标代入双曲线的方程，求出的值，可求出双曲线的方程；

（2）设点的坐标为，设直线的方程为，则，由点在双曲线上得出，可得出，利用斜率公式以及条件可求出射线的方程，由此可得出点的纵坐标，由此计算出的面积；

（3）由题意得出，设点、，则，利用斜率公式得出，，由此可得出的值.

【详解】

（1）由于双曲线的渐近线方程为，可设双曲线的方程为，

将点的坐标代入双曲线的方程得，

因此，双曲线的方程为；

（2）设射线所在直线的方程为，设点，则，

因为点在双曲线上，所以，可得.

，.

所以，射线所在直线的方程为.

联立直线的方程与椭圆的方程，解得，

所以，点的纵坐标为，因此，的面积为；

（3）设点、，

由于点在双曲线上，则，得，

，，，

同理可得，因此，.

【点睛】

本题考查利用双曲线的渐近线方程求双曲线的方程，同时也考查了双曲线中三角形面积的计算以及椭圆、双曲线中的直线斜率的关系，解题时要充分利用点的坐标所满足的等式进行化简计算，考查运算求解能力，属于中等题.

21．（1）（2）（3）3

【解析】

【详解】

试题分析：（1）利用等差数列定义将条件转化为公差关系，解方程可得的值；（2）先求的值；即得数列为等比数列，分离变量将不等式恒成立问题转化为对应函数最值问题：,即，最大值，再根据数列单调性确定最大值，即得的最小值；（3）本题由于求周期最小值，可以从小逐个验证即可：为常数列，舍去；时，可推得，舍去；时，可取一个数列满足条件.

试题解析：解：（1）由题意，可得，

化简得，又，所以.                                                  

（2）将代入条件，可得，解得，

所以，所以数列是首项为1，公比的等比数列，所以.     

欲存在，使得，即对任意都成立，

则，所以对任意都成立.                                     

令，则，

所以当时，；当时，；当时，．

所以的最大值为，所以的最小值为.                              

（3）因为数列不是常数列，所以．

①若，则恒成立，从而，，所以，

所以，又，所以，可得是常数列．矛盾．

所以不合题意.                                                                                       

②若，取（*），满足恒成立．       

由，得．

则条件式变为．

由，知；

由，知；

由，知．

所以，数列（*）适合题意．

所以的最小值为.