上海市2022届高考模拟卷（二）数学试题9

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上海市2022届高考模拟卷（二）数学试题

试卷副标题

考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

请点击修改第I卷的文字说明

1．下列函数中，在其定义域上是减函数的是（       ）

A． B．

C． D．

2．已知等比数列的公比为，是的前项和.则“数列单调递减”是“，”的（       ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

3．设函数，若对于任意，在区间上总存在唯一确定的，使得，则m的最小值为

A． B． C． D．

4．已知平面向量、、满足，，，且． 若对每一个确定的向量，记的最小值为． 现有如下两个命题

命题 当变化时，的最大值为；

命题：当变化时，不存在最小值；

则下列选项中，正确的是（       ）

A．为真命题，为假命题 B．为假命题，为真命题

C．、都为真命题 D．、都为假命题

第II卷（非选择题）

请点击修改第II卷的文字说明

5．已知集合，用列举法表示集合为___________.

6．若两个球的表面积之比为，则这两个球的体积之比为__________．

7．不等式的解集是________

8．已知，则_____________.

9．若是直线的一个方向向量，则直线的倾斜角大小为_________．

10．若复数满足，则______．

11．若的二项展开式中前3项的系数成等差数列，则其各项系数之和为___________.

12．若函数的值域是，则函数的值域是________.

13．有七名同学排队进行核酸检测，其中小王站在正中间，并且小李､小张两位同学要站在一起，则不同的排队法有___________种.

14．设为等比数列的前项和，若，，，则的公比的取值范围是______．

15．已知椭圆()与直线交于A、B两点，，且中点的坐标为，则此椭圆的方程为________．

16．若数列满足，存在，对任意，使得，则的取值范围是__________．

17．如图，直三棱柱的底面是等腰直角三角形，，，高等于3，点为所在线段的三等分点.

（1）请直接写出此三棱柱的体积和三棱锥的体积；

（2）求异面直线、所成的角的大小.

18．设{an}是等差数列，公差为d，前n项和为Sn.

（1）设a1＝40，a6＝38，求Sn的最大值；

（2）设，数列{bn}的前n项和为Tn，且对任意的n∈N*，都有Tn≤20，求d的取值范围.

19．如图1,某小区中有条长为50米,宽为6.5米的道路ABCD,在路的一侧可以停放汽车,已知小型汽车的停车位是一个2.5米宽,5米长的矩形,如GHPQ,这样该段道路可以划出10个车位,随着小区居民汽车拥有量的增加,停车难成为普遍现象.经过各方协商,小区物业拟压缩绿化,拓宽道路,改变车位方向增加停车位,如图2,改建后的通行宽度保持不变,即G到AD的距离不变.

(1)绿化被压缩的宽度BE与停车位的角度∠HPE有关,记为停车方便,要求,写出关于的函数表达式；

(2)沿用(1)的条件和记号,实际施工时,BE=3米,问改造后的停车位增加了多少个?

20．已知､为椭圆和双曲线的公共顶点，，分别为双曲线和椭圆上不同于､的动点，且满足（，），设直线､､､的斜率分别为､､､.

（1）求证：点､､三点共线；

（2）当，时，若点､都在第一象限，且直线的斜率为，求的面积；

（3）若､分别为椭圆和双曲线的右焦点，且，求的值.

21．已知函数，其中．

（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；

（2）记点，求证：存在实数，使得点在函数图像上的充要条件是；

（3）对于给定的非负实数，求最小的实数，使得关于的不等式对一切恒成立.

参考答案：

1．D

【解析】

由复合函数单调性的判断，结合指数函数、幂函数的单调性可判断AC，结合二次函数的性质可判断B，由一次函数的单调性可判断D.

【详解】

解：A:因为为减函数，所以为增函数；

B: 对称轴为，图象开口向上，所以在上为增函数；

C:因为在定义域上为减函数，所以在定义域上为增函数；

D:当时，为减函数，当时，为减函数，且，

所以在定义域上为减函数.

故选:D.

2．B

【解析】

【分析】

根据单调递减，可得或，由，可得，根据充分条件和必要条件的定义即可求解.

【详解】

因为是等比数列且公比为，可得

若数列单调递减，则或，

若可得，所以，或，

由可得，即，所以或，

所以由，可得，

若，可得为单调递减函数，

若是递减数列，则，或，

所以充分性不成立必要性成立，

所以“数列单调递减”是“，”的必要而不充分条件

故选：B.

3．B

【解析】

先求，再由存在唯一确定的，使得，得，从而得解.

【详解】

当时，有，所以.

在区间上总存在唯一确定的，使得，

所以存在唯一确定的，使得.

，所以.

故选B.

【点睛】

本题主要考查了三角函数的图像和性质，考查了函数与方程的思想，正确理解两变量的关系是解题的关键，属于中档题.

4．A

【解析】

【分析】

设，，可求得点的轨迹方程为，求得，然后求出关于的二次函数关系式，利用二次函数的基本性质可得出的最小值，可得出关于的函数关系式，利用换元法结合双勾函数的单调性可求得的最大值和最小值，即可得出结论.

【详解】

不失一般性，设，，，

可得，所以点的轨迹方程为，

所以点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆，且，解得，

因为即，

因为，所以，

，

因为，则，

所以，当时，取得最小值，

且，

令，可得，

所以，，

令，其中，下面证明函数在上为减函数，在上为增函数，

任取、且，即，

所以，，

因为，则，，则，

所以，函数在上为减函数，同理可证函数在上为增函数，

令，其中，

则函数在上单调递增，在上单调递减，

所以，，

又因为，即，所以.

故为真命题，为假命题，

故选：A.

5．

【解析】

【分析】

解一元二次不等式，根据集合描述法得到集合的列举法表示.

【详解】

由可得，

，

故答案为：

6．1:8

【解析】

【详解】

试题分析：由求得表面积公式得半径比为，由体积公式可知体积比为

考点：球体的表面积体积

7．

【解析】

【分析】

原不等式化为，等价于，利用一元二次不等式的解法可得结果.

【详解】

故答案为：

【点睛】

本题主要考查分式不等式以及一元二次不等式的解法，属于基础题,

8．

【解析】

【分析】

直接利用诱导公式计算可得.

【详解】

解：因为，所以

故答案为：.

9．

【解析】

【分析】

先根据直线方向向量求出斜率，再由直线方向向量和倾斜角关系求出倾斜角.

【详解】

因为是直线的一个方向向量，所以直线的斜率，

所以直线的倾斜角大小为．

故答案为：．

10．

【解析】

【分析】

设，根据二阶行列式的计算公式列方程求解即可.

【详解】

解：设，

则由已知，

即，

，解得.

故.

故答案为：.

11．6561

【解析】

【分析】

先利用通项公式求得前三项的系数，再根据前三项的系数成等差数列，求得n，再令求解.

【详解】

的二项展开式中前3项是，

所以前三项的系数是：，

因为前三项的系数成等差数列，

所以，即，

解得，

令得：其各项系数之和为，

故答案为：6561

12．

【解析】

【分析】

由给定条件求出的值域，换元借助对勾函数性质即可得解.

【详解】

因函数的值域是，从而得函数值域为，

函数变为，，由对勾函数的性质知在上递减，在上递增，

时，，而时，，时，，即，

所以原函数值域是.

故答案为：

13．192

【解析】

【分析】

根据小李和小张在小王的左侧、右侧两种情况，应用分步计算分别求出排列方法数，进而可得总排队方法数.

【详解】

当小李和小张在小王的左侧时共有（种）排列方法，

同理，当小李和小张在小王的右侧时也有96种排列方法，

∴共有192种排列方法.

故答案为：192

14．

【解析】

【分析】

首先讨论和时不符合题意，可得，再由等比数列前项和公式求出，由即可求解.

【详解】

设等比数列的公比为，

因为，所以，

若，则与矛盾，，

若，则与矛盾，

所以，

因为 ，则

所以，可得，

故答案为：.

15．

【解析】

【分析】

根据在上求出m的值，联立直线方程和椭圆方程，结合中点坐标公式、韦达定理、弦长公式即可求出a、b，从而确定椭圆的方程．

【详解】

由于的中点坐标为且满足直线方程，

即有，解得，则的中点坐标为．

设，，由得，

则，

∵的中点坐标为，∴，即，

则，即，故，

又，

解得，故．

∴椭圆方程为．

故答案为：．

16．

【解析】

【分析】

由递推公式判断数列的单调性后求解

【详解】

由题意得，当时，，而，，

①当时，，为递增数列，且当趋向于无穷大时，趋向于无穷大，故不合题意，

②当时，，此时当趋向于无穷大时，趋向于0，符合题意，

故答案为：

17．（1），；（2）.

【解析】

【分析】

（1）根据底面是等腰直角三角形，高等于3，利用柱体体积公式求解；利用等体积法由求解；

（2）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，分别求得的坐标，设异面直线、所成的角为，由求解.

【详解】

（1）因为底面是等腰直角三角形，，，高等于3，

所以此三棱柱的体积 ，

三棱锥；

（2）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系：

则，

所以，

设异面直线、所成的角为，

所以，

因为，所以 .

18．（1）2020（2）d≤log20.9

【解析】

（1）运用等差数列的通项公式可求得其公差，再由等差数列的求和公式，结合配方法和二次函数的最值求法，求得最大值；

（2）由题意可得数列是以2为首项，为公式的等比数列，再讨论，判断数列的单调性和求和公式、范围，结合不等式恒成立问题解法，解不等式可得所求范围.

【详解】

（1），可得，

可得，

由为正整数，可得＝100或101时，取得最大值2020；

（2）设，数列的前项和为，

可得，数列为首项为2，公比为的等比数列，

若，可得；，可得为递增数列，无最大值；

当时，，

对任意的，都有，可得20，且，

解得.

【点睛】

此题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列不等式恒成立问题解法，运用数学转化思想，考查化简运算能力，属于中档题.

19．（1），；（2）5

【解析】

【分析】

（1）由题意知，根据三角形的边角关系，得出关于的函数表达式；（2）根据（1）可知，根据，解出和的值，然后根据图2计算改造后的停车位的个数，再计算增加的个数.

【详解】

（1）由题意可知，，，

，；

又，，，

，

又，

得

，；

（2）

由（1）可知，

当时，，即，

又，

整理为，

，

解得：或，

，，

，得，，，,

设图2改造后的停车位有个，

则,

，

解得：，

，

停车位增加了个，

所以改造后的停车位增加了5个.

【点睛】

本题考查了三角函数模型的实际应用问题，意在考查推理，概括和应用的能力，同时也考查了计算能力，属于中档偏难题型，本题的难点是根据数形结合，推理与计算.

20．（1）证明见解析；（2）；（3）.

【解析】

【分析】

（1）由，得到，由此可证明出点、、三点共线；

（2）设点、，求出，，由，可得出，从而可求出的值；

（3）由，可得，再由，得出，，由此能求出的值.

【详解】

解：（1）证明：因为，为椭圆与双曲线的公共点，，分别为双曲线和椭圆上不同于，的动点，

又因为，

所以，即，

所以点，，三点共线.

（2）设，，直线的方程为，

联立，解得，，

所以，同理，解得，，解得，

则，又因为，，

联立，解得，

所以点到直线的距离，

则.

（3）因为，所以，

则，，

因为，所以，

所以，所以，

所以，

同理，而，

又，所以，

同理，所以.

21．（1）答案见解析；（2）证明见解析；（3）.

【解析】

【分析】

（1）先求定义域，当时，判断奇偶性，当时，利用奇偶性的定义判断与的关系即可判断；（2）先证充分性，取，代入，即可得出结论；再证必要性，直接把代入放缩即可得出结论；（3）由于可知：具有如下两个性质：1）对任意，均有；2）对任意负实数，不等式的解集为；①当时，利用性质1），2）得出的最小值为0；②当时，利用性质1），2）得出的最小值为，即可得出结论.

【详解】

（1）函数的定义域为，

当时，为偶函数；

当时，由，，

得，且，

为非奇非偶函数．

（2）证明：充分性：已知，

取

则

，

所以点在函数图像上．

必要性：已知存在实数，使得点在函数图像上，

则.

（3）由于可知：

具有如下两个性质：

1）对任意，均有；

2）对任意负实数，不等式的解集为，

①当时，的最小值为0，理由如下：

若，取，，

由性质2）可知，，即不满足，

由性质1）可知，满足．

②当时，的最小值为，理由如下：

若，取，

由性质2）可知，，

即不满足，

若，

当时，由性质1）可知：，

当时，

，由性质2），

所以对任意恒成立，

即满足.

综上：．

【点睛】

本题主要考查了函数的奇偶性的判断，利用函数的单调性求最值问题以及求函数的充要条件问题.主要考查了学生的理解分析问题和解决问题的能力.属于较难题.