河南省豫南省级示范高中联盟2021-2022学年高三下学期联考三理科数学试题-

绝密★启用前

河南省豫南省级示范高中联盟2021-2022学年高三下学期联考三理科数学试题

试卷副标题

考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

请点击修改第I卷的文字说明

1．设全集，集合，，则下面Venn图中阴影部分表示的集合是（       ）

A． B．

C． D．

2．设复数满足，则的虚部为（       ）

A． B． C． D．2

3．某市高三年级共有14000 人参加教学质量检测，学生的数学成绩近似服从正态分布（试卷满分150分），且，据此可以估计，这次检测数学成绩在80到90分之间的学生人数为（       ）

A．2800 B．4200 C．5600 D．7000

4．考拉兹猜想是引人注目的数学难题之一，由德国数学家洛塔尔·考拉兹在世纪年代提出，其内容是：任意正整数，如果是奇数就乘加，如果是偶数就除以，如此循环，最终都能够得到．下边的程序框图演示了考拉兹猜想的变换过程．若输入的值为，则输出的值为（       ）

A． B． C． D．

5．设为第二象限角，若，则=（       ）

A． B．

C． D．2

6．中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁，戊5名航天员开展实验，其中天和核心舱安排3人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人．若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有（       ）

A．8种 B．14种 C．20种 D．116种

7．函数（是自然对数的底数）的图象关于（       ）

A．直线对称 B．点对称

C．直线对称 D．点对称

8．将函数的图象上各点横坐标缩短为原来（纵坐标不变）后，再向左平移个单位长度得到函数的图象，当时，的值域为（       ）

A． B．

C． D．

9．抛物线的焦点为，为抛物线上一点，以为圆心，为半径的圆交抛物线的准线于，两点，，则直线的斜率为（       ）

A． B．

C． D．

10．已知直线过定点，直线过定点，与的交点为，则面积的最大值为（       ）

A． B．

C．5 D．10

11．在四面体中，， ，二面角的大小为，则四面体外接球的表面积为（       ）

A． B．

C． D．

12．过平面内一点作曲线两条互相垂直的切线，切点为（不重合），设直线分别与y轴交于点，则下列结论正确的个数是（       ）

①两点的横坐标之积为定值；

②直线的斜率为定值；

③线段的长度为定值；                       

④面积的取值范围为.

A．1 B．2 C．3 D．4

第II卷（非选择题）

请点击修改第II卷的文字说明

13．曲线在点（，2）处的切线方程是________．

14．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，椭圆上一点P满足|OP|＝3，则△F1PF2的面积为________．

15．如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2BC＝2CD＝2，将△ACD沿AC折叠形成三棱锥D1−ABC．当三棱锥D1−ABC体积最大时，则此时三棱锥外接球体积为________．

16．已知函数，（），（），给出下列四个命题，其中真命题有________．（写出所有真命题的序号）

①存在实数k，使得方程恰有一个根；

②存在实数k，使得方程恰有三个根；

③任意实数a，存在不相等的实数，使得；

④任意实数a，存在不相等的实数，使得．

17．已知，，分别为三个内角，，的对边，且.

(1)求证：；

(2)若为，的等差中项，且，求的面积.

18．2022年北京冬奥会防寒服中的“神奇内芯”—仿鹅绒高保暖絮片，是国家运动员教练员比赛服装的保暖材料.该“内芯”具有超轻超薄､湿态保暖､高蓬松度等特点，其研发是国家重点研发计划“科技冬奥”重点专项之一，填补了国内空白.为了保证其质量，厂方技术员从生产的一批保暖絮片中随机抽取了100处，分别测量了其纤维长度(单位：)的均值，并制成如下频率分布直方图：

(1)估计该批保暖絮片纤维长度的平均数和样本方差(同一组数据用该区间的中点值作代表)；

(2)该批保暖絮片进人成品库之前需进行二次检验，从中随机抽取15处测量其纤维长度均值，数据如下：31.8，32.7，28.2，34.3，29.1，34.8，37.2，30.8，30.6，25.2，32.9，28.9，33.9，29.5，34.5.请问该批保暖絮片是否合格？(若二次抽检纤维长度均值满足，则认为保暖絮片合格，否则认为不合格).

19．如图，为平行四边形，，将沿翻折到位置且.

(1)求P、C两点之间的距离；

(2)求二面角的余弦值.

20．已知椭圆的左，右焦点分别为､，动直线过与相交于，两点.若：是其中一个的内切圆.

(1)求椭圆的方程；

(2)求内切圆半径的最大值.

21．已知函数，函数在处取得最大值.

(1)求a的取值范围；

(2)当时，求证：.

22．在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.

(1)求曲线C的普通方程；

(2)若过点的直线l与曲线C交于A，B两点，求的取值范围.

23．已知函数，其中.

(1)当时，求不等式的解集；

(2)若时，恒成立，求a的取值范围.

参考答案：

1．A

【解析】

【分析】

由对数函数性质，二次根式定义确定集合，然后确定Venn图中阴影部分表示的集合并计算．

【详解】

由题意，或，

，

Venn图中阴影部分为．

故选：A．

2．C

【解析】

【分析】

根据复数的除法运算求出复数，再根据虚部的定义即可得解.

【详解】

解：因为，所以，

则.

所以的虚部为.

故选：C.

3．A

【解析】

【分析】

根据正态曲线的性质即可解出．

【详解】

因为，近似服从正态分布，

所以，

即这次检测数学成绩在80到90分之间的学生人数大约为．

故选：A．

4．C

【解析】

【分析】

根据程序框图列举出算法循环的每一步，即可得出输出结果.

【详解】

第一次循环，不成立，，，不成立；

第二次循环，成立，，，不成立；

第三次循环，成立，则，，不成立；

第四次循环，成立，则，，不成立；

第五次循环，成立，则，，成立.

跳出循环体，输出.

故选：C.

5．B

【解析】

【分析】

结合平方关系解得，由商数关系求得，再由两角和的正切公式计算．

【详解】

由得，，

是第二象限角，，，

所以由，解得：，

所以，

．

故选：B．

6．B

【解析】

【分析】

按照同个元素（甲）分类讨论，特殊元素和特殊位置优先考虑即可得解.

【详解】

按照甲是否在天和核心舱划分，

①若甲在天和核心舱，天和核心舱需要从除了甲乙之外的三人中选取两人，剩下两人去剩下两个舱位，则有种可能；

②若甲不在天和核心舱，需要从问天实验舱和梦天实验舱中挑选一个，剩下四人中选取三人进入天和核心舱即可，则有种可能；

根据分类加法计数原理，共有6+8=14种可能.

故选：B.

7．D

【解析】

【分析】

根据对称性进行检验．

【详解】

由题意，它与之间没有恒等关系，相加也不为0，AB均错，

而，所以的图象关于点对称．

故选：D．

8．C

【解析】

【分析】

利用三角函数图象变换可求得，由可求得的取值范围，结合正弦型函数的基本性质可求得函数的值域.

【详解】

将函数的图象上各点横坐标缩短为原来（纵坐标不变）后，可得到函数的图象，

再将所得图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则，

当时，，所以，.

故选：C.

9．D

【解析】

【分析】

根据题意求出点坐标，即可求出直线的斜率.

【详解】

由题意可知：，设准线与轴交于，

因为，所以，且，

所以，

设，由抛物线定义可知，

所以，代入抛物线中得，所以，且，

所以直线的斜率为.

故选：D

10．C

【解析】

【分析】

由直线方程求出定点，确定，即在以为直径的圆上，由圆的性质得点到的距离最大值为圆半径，由此可得面积最大值．

【详解】

由直线的方程是得直线过定点，同理直线方程为，即，所以定点，

又，所以，即在以为直径的圆上，

，由圆的性质知点到的距离最大值等于圆半径，即，

所以面积的最大值为．

故选：C．

11．B

【解析】

【分析】

取中点，中点，连接，证明是二面角的平面角，，是直角的外心，是直角的外心，在平面内过作，过作，交点为四面体外接球球心，求出球半径可得表面积．

【详解】

取中点，中点，连接，则，，

，，所以是直角的外心，，，

，，所以，，

所以是二面角的平面角，，

是中点，则是直角的外心，

由，，，平面得平面，

平面，所以平面平面，同理平面平面，

平面平面，平面平面，

在平面内过作，则平面，

在平面内过作，则平面，与交于点，

所以为四面体的外接球的球心，

中，，

所以，所以，

，

所以外接球表面积为．

故选：B．

12．C

【解析】

【分析】

当时，求得，当时，，可判定①正确；根据斜率公式和对数的运算性质，可判定②正确；求得的方程，得到，，求得，可判定③正确；联立方程组，得到，进而求得，可判定④不正确.

【详解】

作出曲线的图象，如图所示，

过平面内一点作曲线两条互相垂直的切线，切点为（不重合），

可得切点的横坐标在，的横坐标在，

当时，，则，所以；

当时，，则，所以，

所以，所以，所以①正确；

直线的斜率为，所以②正确；

过点的切线方程为，令，可得，即点，

过点的切线方程为，令，可得，即点，

所以，所以③正确；

由切线联立方程组，解得其交点的横坐标，

因为不重合，故等号不成立，

所以的横坐标，所以，所以④不正确.

故选：C.

13．

【解析】

【分析】

求导，利用导数的几何意义求出切线方程的斜率，进而求出切线方程.

【详解】

，所以，故在点（，2）处的切线方程为，即.

故答案为：

14．7

【解析】

【分析】

设出，列出方程组，求出，从而求出面积.

【详解】

由题意得：，解得：，所以，设出，则，解得：，故

故答案为：7

15．

【解析】

【分析】

找到体积最大时的状态，结合三棱锥的几何特点，求得外接球球心，再求半径和体积即可.

【详解】

在等腰梯形中，因为，

容易知，

当三棱锥D1−ABC体积最大时，此时平面平面，

又面面，且面，故面，

因为，故△为直角三角形，不妨取斜边的中点为，

则，过作平面的垂线，

取中点为，连接，因为，故，

又面面，面，面，故面，

故//，则四点共面.

因为，取△的外心为，过作的垂线交于点，

则，故该三棱锥的外接球球心为，设其半径为，

则由图可知：，又，

在△中，由正弦定理可得，故，

又，故，，

故三棱锥外接球体积.

故答案为：.

16．①②④

【解析】

【分析】

①②画出函数图象，结合经过定点，数形结合进行判断；③转化为两函数的交点问题，可以举出反例；④转化为两函数交点问题，能够得到一组二次函数，均过原点，且开口向下，利用图象，数形结合得以证明.

【详解】

画出的函数图象，如图：

经过定点，从图中可以看出存在实数k，使得方程恰有一个根；①正确；

存在实数k，使得方程恰有三个根，②正确；

要想对任意实数a，存在不相等的实数，使得，只需函数，（）始终有两个交点，当时，，开口向上，且最小值为，此时图象如图所示：由于指数函数的增长速度高于二次函数，显然此时两函数只有一个交点，故③错误；

要想对任意实数a，存在不相等的实数，使得，即，只需与，无论a取何值，都有两个交点，其中开口向下，且有最大值为，且恒过，画出两函数图象如下，其中为一组抛物线，用虚线表示：

无论a取何值，都有两个交点，④正确；

故答案为：①②④

【点睛】

利用函数图象研究函数零点是很重要的方法，需要数形结合进行求解，结合函数单调性，极值，最值，有时候需要用到导函数的方法.

17．(1)证明见解析

(2)

【解析】

【分析】

（1）根据题意得，再根据三角形性质求解即可；

（2）设，得，求解即可.

(1)

由已知及正弦定理得，

又

代入上式得，即

又，显然，所以，故

(2)

由（1）知，因为为，的等差中项，

不妨设

由余弦定理得，

整理得：①

由已知得，②

由①②联立，整理得：，所以.

所以，所以的面积为

18．(1)31，12.28；

(2)合格﹒

【解析】

【分析】

(1)根据频率分布直方图，求出每一组的频率和频数，根据方差计算公式即可计算方差；

(2)求出,比较的大小关系即可判断.

(1)

由频率分布直方图可得，纤维长度区间是､､､､､､､的频率分别为：0.04､0.09､0.16､0.24､0.18､0.14､0.10､0.05，

对应的频数分别为：4､9､16､24､18､14､10､5，

故样本均值为：

；

样本方差为：

﹒

∴估计该保暖絮片的纤维长度的平均数为，方差为；

(2)

二次抽检纤维长度均值：

，

∵，

∴该批保暖絮片合格﹒

19．(1)；

(2)﹒

【解析】

【分析】

(1)延长到E，使，连接.证明CE⊥平面PDE，根据勾股定理可求PC长度；

(2)取中点O，连接，以分别为x，z轴建立空间直角坐标系，求出平面DPB和平面CPB的法向量，利用向量法即可求解二面角的余弦.

(1)

延长到E，使，连接.

由己知得为平行四边形，故.

又，∴，

则，∵PD∩AE＝D，∴平面，

∴平面，∴，

∵，∴，又，

∴为等边三角形，故.

又，∴；

(2)

由(1)知为矩形，取中点O，连接，则OP⊥DE，则OP⊥平面BCED，

如图，以分别为x，z轴建立空间直角坐标系，

则.

.

设平面的法向量为，则，

即，取，故，

设平面的法向量为，则，

即，取，故，

∴，

由已知二面角为钝角，故二面角的余弦值为.

20．(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）根据题意得，

再利用椭圆定义求解即可；（2）根据题意得，，

设直线的方程为：，联立求出韦达定理，整理求最值即可.

(1)

由已知方程为：，圆心，半径为.由已知得，

故，

由，

解得

故，所以，.

所以椭圆的方程为.

(2)

设内切圆半径为，面积为，，

则，又，

所以，设直线的方程为：，

与椭圆联立整理得，

则.由，

所以

所以，

令，则，

当且仅当即时取等号.故内切圆半径的最大值为.

【点睛】

解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：

(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；

(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，

重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．

21．(1)

(2)证明见解析

【解析】

【分析】

（1）对求导，然后判断函数的单调性进而可求极值，从而可得出结论；

（2）方法一：结合（1）的结论可知只需证即可，然后构造函数，从而证得其最小值大于0即可；

方法二：结合（1）的结论可知只需证即可，进而分别构造函数令和，然后结合函数的图象与性质即可得出结论.

(1)

显然，由已知得.

故.

若，当时，；当正数时，.

有最小值，不符合题意.

若，当时，；当时，.

有最大值，故a的取值范围为.

(2)

由（1）知，当时，，所以.

当时，因为，只需证，

即证

令，

设，

故在上为增函数.

所以，

所以存在，使得，此时.

当时，，即；当时，，即.

故.

又因为在为减函数，且，

所以

故当时，，即，所以.

综上，当时，.

解法二：由（1）知，当时，，所以.

当时，因为，只需证，

即证.

令在上单递增，

所以；

令，由得.

当时，单调递增；

当时，单调递减.

当时，，故

所以

综上，当时，.

【点睛】

不等式证明问题是近年高考命题的热点，利用导数证明不等式的方法主要有两个：（1）不等式两边作差构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出函数最值即可；（2）观察不等式的特点，结合已解答问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，再化简或者进一步利用导数证明.

22．(1)；

(2).

【解析】

【分析】

（1）由题得，利用极坐标公式化简即得解；

（2）设直线l的倾斜角为，写出直线的参数方程，联立曲线C的普通方程得到韦达定理，再利用韦达定理和参数的几何意义求解.

(1)

解：由，故，因为

所以曲线C的普通方程为，即.

(2)

解：设直线l的倾斜角为，

则直线l的参数方程为（t是参数），

代入化简得：

由得，

设其两根分别为，则，

由参数的几何意义知，

又，其中，

所以，故.

故的取值范围为.

23．(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）分段讨论去绝对值后求解

（2）根据的值分类讨论，转化为最值问题求解

(1)

当时，

故原不等式等价于①或②或③

解①得：；解②得：；解③得：

综上：不等式的解集为

(2)

当时，；当时，

所以在单调递增，在上单调递减，

由时，，

故即，

解得，故.

故a的取值范围为.