2022届卓越高中千校联盟高考终极数学押题卷

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2022届卓越高中千校联盟高考终极数学押题卷

试卷副标题

考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

请点击修改第I卷的文字说明

1．已知集合，，则（       ）

A． B．

C． D．

2．若复数z满足，其中i是虚数单位，则z的共轭复数（       ）

A．3-2i B．3+2i C．2+3i D．2-3i

3．设是定义域为R的奇函数，且当时，，则方程的解集为（       ）

A． B．

C． D．

4．若“，使得”为假命题，则实数a的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

5．记为等差数列的前n项和．若，，则（       ）

A．3 B．7 C．11 D．15

6．抛物线的焦点与圆C：上动点的距离的最小值为（       ）

A．7 B．3 C． D．1

7．2022年，上海面临疫情加重的压力．某省一医院从传染科选出5名医生和4名护士支援上海市的A、B、C三所医院开展防治工作，其中A、B医院都至少需要1名医生和1名护士，C医院至少需要2名医生和2名护士，则不同的分派方法共有（       ）

A．2160种 B．1920种 C．960种 D．600种

8．在中，点F为线段BC上任一点（不含端点），若，则的最小值为（       ）

A．9 B．8 C．4 D．2

9．如图为某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积是（       ）

A． B． C． D．

10．若关于x的不等式的解集中恰有4个整数，则实数m的取值范围为（       ）

A． B．

C． D．

11．公元1202年意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…即，此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的应用．若记，数列的前n项和为，则（       ）

A．-1 B．0 C．2021 D．2022

12．已知，有以下结论：①；②；③；④，则其中正确的个数是（       ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

第II卷（非选择题）

请点击修改第II卷的文字说明

13．函数的最大值为______．

14．若数列前n项和为，则数列的通项公式是______．

15．已知直三棱柱中，，，则异面直线与所成角的余弦值为________．

16．一种药在病人血液中的量保持1000mg以上才有疗效，而低于500mg病人就有危险．现给某病人静脉注射了这种药2000mg，如果药在血液中以每小时10%的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过______小时内向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．（附：，，精确到0.1h）

17．从①，②这两个条件中选一个，补充到下面问题中，并完成解答．

已知锐角中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，且．

(1)求角B；

(2)已知，且______，求的值及的面积．

18．2022年春节期间，《长津湖之水门桥》、《狙击手》、《奇迹·笨小孩》三大片集体上映．春节过后某城市文化局统计得知大量市民至少观看了一部大片，在已观影的市民中随机抽取了100人进行调查观看情况和想法，其中观看了《长津湖之水门桥》的有49人，观看了《狙击手》的有46人，观看了《奇迹·笨小孩》的有34人，统计图如图．

(1)计算图中a，b，c的值；

(2)在已抽取的这100人中，文化局从只观看了其中两部大片的观众中采用分层抽样抽取了7人，调查了解其是否会看未看的第三部影片．调查得知他们均表示要观看其未看的第三部电影，现从这7人中随机选出4人，用X表示这4人中将要观看《长津湖之水门桥》的人数，求X的分布列及数学期望和方差．

19．如图，平面ABCD，，，，，，．

(1)求证：；

(2)求直线BE与平面CDE所成角的正弦值；

(3)求二面角的余弦值．

20．已知分别是长轴长为4的椭圆C：的左右焦点，是椭圆C的左右顶点，P为椭圆上异于的一个动点，O为坐标原点，点M为线段的中点，且直线与OM的斜率的积恒为．

(1)求椭圆C的方程

(2)设过点且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点N，点N的横坐标的取值范围是，求线段AB长的取值范围．

21．已知函数．

(1)当时，讨论的单调性；

(2)若有零点，求a的取值范围．

22．在直角坐标系xoy中，曲线C的参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为

(1)求曲线C的普通方程和直线的直角坐标方程；

(2)求曲线C上的点到直线距离的最大值．

23．已知函数．

(1)当时，求不等式的解集

(2)若恒成立，求实数a的取值范围．

参考答案：

1．D

【解析】

【分析】

利用并集运算法则进行计算.

【详解】

故选：D

2．B

【解析】

【分析】

根据复数运算法则进行化简计算，进而求出z的共轭复数.

【详解】

，故.

故选：B

3．D

【解析】

【分析】

先令解出，结合是定义域为R的奇函数，求出另外两个根，求出答案.

【详解】

当时，令，解得：，经检验满足题意，

因为是定义域为R的奇函数，所以，且，

故方程的解集为

故选：D

4．D

【解析】

【分析】

写出全称命题为真命题，利用辅助角公式求出，从而求出实数a的取值范围.

【详解】

因为“，使得”为假命题，

则“，使得”为真命题，

因为，

所以实数a的取值范围是

故选：D

5．D

【解析】

【分析】

由题干条件得到方程组，求出首项和公差，求出.

【详解】

由得：，

由得：

联立两式可得：，

所以，

所以

故选：D

6．B

【解析】

【分析】

确定抛物线的焦点坐标，以及圆的圆心和半径，根据抛物线的焦点与圆C：上动点的距离的最小值为： ,求得答案.

【详解】

抛物线的焦点为 ，

圆C：即，圆心为 ,半径 ，

则抛物线的焦点与圆C：上动点的距离的最小值为： ,

故选：B

7．C

【解析】

【分析】

根据题意，分两步依次分析4名护士和5名医生的分派方法，由分步乘法原理计算可得答案.

【详解】

根据题意，分2步完成，

第一步从4名护士中选2名安排到C医院，有种方法，

再将剩下的2名护士分派到A、B医院，有 种方法，

故护士的分派方法共有 种；

第二步将5名医生分派到3所医院，

若C医院安排3名，则有种方法，

若C医院安排2名，则有种方法，

故医生的分派方法共有 种方法，

则不同的分派方法共有 种，

故选;C

8．A

【解析】

【分析】

根据向量共线定理得推论得到，再利用基本不等式“1”的妙用求解最小值.

【详解】

因为点F为线段BC上任一点（不含端点），

所以，

故，

当且仅当，即时等号成立，

故选：A

9．C

【解析】

【分析】

从三视图还原直观图，求解出外接球半径，从而求出外接球表面积.

【详解】

从三视图可以还原直观图，如图：三棱锥A-BCD即为直观图，

可以看出该几何体的外接球即为正方体的外接球，

设外接球半径为R，则，所以，

故外接球的表面积为.

故选：C

10．C

【解析】

【分析】

讨论m与2的大小关系，求得不等式的解集， 根据解集中恰有4个整数，确定m的取值范围.

【详解】

不等式即 ，

当时，不等式解集为，此时要使解集中恰有4个整数，

这四个整数只能是3,4,5,6，故，

当时，不等式解集为 ，此时不符合题意；

当 时，不等式解集为，此时要使解集中恰有4个整数，

这四个整数只能是 ，故，，

故实数m的取值范围为，

故选：C

11．B

【解析】

【分析】

用递推式可得，所以是等比数列，再求前2022项的和.

【详解】

解：由题意可知，

又，因此，

故，

故选：B.

12．C

【解析】

【分析】

构造，，利用导函数得到其单调性，从而比较出①，②，在①的基础上得到④的正误，根据的单调性及④得到③的正误..

【详解】

设，，则

在上恒成立，

所以在上单调递增，

因为，

所以，即，

因为单调递增，所以，①正确；

，即，

因为单调递增，所以，②错误；

因为，所以，④正确；

因为单调递增，

所以，所以，③正确.

故选：C

【点睛】

比较大小是常考题目，本题难度稍大，要结合题目特征，构造函数，，通过求导得到其单调性，来进行比较大小.

13．2

【解析】

【分析】

利用三角诱导公式和恒等变换化简得到，从而求出最大值.

【详解】

故函数的最大值为2

故答案为：2

14．

【解析】

【分析】

利用来求解通项公式.

【详解】

①，

当时，，解得：，

当时，②，①-②得：，

解得：，

所以是首项为3，公比是的等比数列，

所以，经检验，符合要求

故答案为：

15．

【解析】

【分析】

补全图形,将直三棱柱补成直四棱柱,则根据直线的平行关系可知为异面直线AB1与BC1所成的角.在中由余弦定理先求得,再在中应用余弦定理求得即可.

【详解】

如图所示,将直三棱柱补成直四棱柱,

连接,则,所以或其补角为异面直线AB1与BC1所成的角．

因为,

所以, .

在中,,

所以

所以

故答案为:

【点睛】

本题考查了异面直角夹角的求法,将三棱柱补成四棱柱是常用方法,属于基础题.

16．6.6

【解析】

【分析】

写出血液中药物含量关于时间的关系式，解不等式求出答案.

【详解】

设h后血液中的药物量为mg，

则有，

令得：

故从现在起经过6.6h内向病人的血液补充这种药，才能保持疗效.

故答案为：6.6

17．(1)；

(2)①，或②，

【解析】

【分析】

（1）根据正弦定理把化为，结合余弦定理可得角B；

（2）若选①，由即可得的值，再由正弦定理求得的值，进而可得的面积；

若选②，由可得的值，再由正弦定理求得，再利用即可得的值，进而可得的面积.

(1)

根据正弦定理可由得，即，又为锐角，所以；

(2)

若选①，由，再由正弦定理，所以；

若选②，由，再由正弦定理，因为为锐角，所以，可得，.

18．(1)

(2)分布列见解析，，

【解析】

【分析】

（1）结合统计图，列出方程组，解得答案.

（2）根据题意确定X的可能取值，一次计算每个取值的概率，可得分布列，进而求得期望和方差.

(1)

由题意可得 ，解得 ，

故；

(2)

由题意可得，同时观看了《狙击手》和《长津湖之水门桥》的人数为9，

同时观看了《狙击手》和《奇迹▪笨小孩》的人数为6，

同时观看了《奇迹▪笨小孩》和《长津湖之水门桥》的人数为6，

所以按分层抽样的抽样比计算，

同时观看了《狙击手》和《奇迹▪笨小孩》的抽取人数为 ，

故用X表示这4人中将要观看《长津湖之水门桥》的人数，X取值为：0,1,2，

则 , ,

故的分布列为：

故的数学期望为 ,

X的方差为 .

19．(1)证明过程见解析；

(2)

(3)

【解析】

【分析】

（1）作出辅助线，证明BD⊥CD，进而证明线面垂直；（2）建立空间直角坐标系，用空间向量求解线面角的正弦值；（3）求出两平面的法向量，利用法向量求解二面角.

(1)

因为平面ABCD，，

所以平面ABCD，

因为平面ABCD，

所以AE⊥DB，

因为，，

所以，

取BC中点G，连接DG，

因为，

所以，

因为，，

所以四边形是正方形，

所以，

所以，

故三角形CDG为等腰直角三角形，

所以，，

即BD⊥CD，

因为，

所以平面CDF，

因为平面CDF，

所以BD⊥DF

(2)

因为AE⊥平面ABCD，平面ABCD

所以AE⊥AB，AE⊥AD，

以A为坐标原点，AB，AD，AE所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，

则，

设平面CDE的法向量为，

则，

令，则，

所以，

设直线BE与平面CDE所成角大小为，

则

直线BE与平面CDE所成角的正弦值为

(3)

设平面EBD的法向量为，

则，令，则，所以，

设平面BDF的法向量为，

则，令，则，所以，

则，

设二面角的余弦值为．显然为锐角

所以

20．(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）由已知，可得，再根据直线与OM的斜率的积恒为，可得，从而可得椭圆的方程；

（2）设直线，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系、中点坐标公式、弦长公式可得出答案.

(1)

由已知，，记，

因为，所以，

又点在椭圆上，故，

所以，

所以，即，

所以椭圆方程为.

(2)

设直线，联立直线与椭圆方程，

得，设.

由韦达定理可得，

可得，

所以的中点为，

所以线段AB的垂直平分线方程为，

所以，由已知条件得：，解得，

所以，

所以，

所以

21．(1)在上单调递减，在上单调递增；

(2)

【解析】

【分析】

（1）求导，根据导函数的正负求解单调性；（2）参变分离，构造函数，求导研究函数图象的单调性及极值，最值情况，求出a的取值范围.

(1)

当时，，定义域为R，

，

当时，，单调递增，当时，，单调递减，

所以在上单调递减，在上单调递增；

(2)

定义域为R，

有零点，即有解

当时，不成立，故不是零点，

当时，，

设，

则，

当或时，，当时，

所以在，上单调递减，在上单调递增，

且当时，恒成立，是的极小值点，

画出函数的图象如下：

综上：a的取值范围是.

【点睛】

已知函数有零点或零点个数，求解参数取值范围问题，通常思路，一是参变分离，构造函数，研究其单调性及极值，最值情况，求出参数的取值范围；二是整体求导，再对参数进行分类讨论，结合零点存在性定理进行求解参数的取值范围.

22．(1);

(2)

【解析】

【分析】

（1）根据曲线的参数方程，消去参数，即可求得普通方程；将代入直线的极坐标方程，即可求得其直角坐标方程；

（2）利用点到直线的距离公式，结合题意，即可求得答案.

(1)

曲线C的参数方程为 （为参数），

则曲线C的普通方程为 ，

将 代入直线的极坐标方程为，

可得直线的直角坐标方程为 ；

(2)

曲线C的普通方程为，其圆心为 ，

圆心为到直线的距离为： ，

故曲线C上的点到直线距离的最大值为.

23．(1)

(2)实数a的取值范围是

【解析】

【分析】

零点分段法求解绝对值不等式；（2）分与两种情况进行求解，最后求并集即可.

(1)

当时，，

所以或或，

解得：或，

所以不等式的解集为

(2)

当或时，，

当时，，

当时，，

当时，，

显然在上单调递减，在上单调递增，

故，

令，解得：或，

综合前提，可得：或，

当时，，

当时，，

当时，，

当时，，

显然在上单调递减，在上单调递增，

故，

令，解得：，

综合前提，可得，

综上：实数a的取值范围是.