吉林省吉林市2022届高三下学期第三次调研测试文科数学试题-

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吉林省吉林市2022届高三下学期第三次调研测试文科数学试题

试卷副标题

考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

请点击修改第I卷的文字说明

1．设集合，，则（       ）

A． B．

C． D．

2．已知复数，在复平面内对应点分别为，，则（       ）

A．1 B． C．2 D．3

3．下列函数在其定义域上单调递增的是（       ）

A． B． C． D．

4．将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，则函数在上的零点个数为(       )

A．1 B．2 C．3 D．4

5．已知向量，则与向量垂直的单位向量的坐标为（       ）

A． B．

C．或 D．或

6．已知两圆方程分别为和．则两圆的公切线有（       ）

A．1条 B．2条 C．3条 D．4条

7．在一个密闭透明的圆柱桶内装一定体积的水，将圆柱桶分别竖直、水平、倾斜放置时，圆柱桶内的水平面所在平面截圆柱桶所成的截口曲线的所有类型有：（       ）

①矩形   ②圆   ③椭圆   ④部分抛物线   ⑤部分椭圆

A．②③⑤ B．①②③④⑤ C．①②③⑤ D．①②③④

8．若函数在上单调递增，则实数a的取值范围(       )

A． B． C． D．

9．位于灯塔A处正西方向相距n mile的B处有一艘甲船需要海上救援，位于灯塔A处北偏东45°相距n mile的C处的一艘乙船前往营救，则乙船的目标方向线（由观测点看目标的视线）的方向是南偏西（          ）

A．30° B．60° C．75° D．45°

10．若椭圆C的方程为，则“”是“椭圆C的离心率为”的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

11．半正多面体（semiregular solid）亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美．二十四等边体就是一种半多正多面体．如图，棱长为的正方体截去八个一样的四面体，就得到二十四等边体，则下列说法错误的是（       ）

A．该几何体外接球的表面积为

B．该几何体外接球的体积为

C．该几何体的体积与原正方体的体积比为2：3

D．该几何体的表面积比原正方体的表面积小

12．已知，，，则（        ）

A． B．

C． D．

第II卷（非选择题）

请点击修改第II卷的文字说明

13．已知，则的最小值为_______.

14．抛物线的焦点F关于其准线的对称点坐标是______．

15．北京时间2022年4月16日09时56分，神州十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，将在太空“出差”半年的翟志刚､王亚平､叶光富送回到阔别已久的祖国大地.神州十三号载人飞行任务的圆满成功，标志着空间站关键技术验证阶段任务圆满完成，中国空间站即将进入建造阶段.某机构研究室通过随机抽样的方式，对18岁及以上人群进行了“你是否曾有过航天梦想”的调查研究，得到如下的统计结果：

根据调查结果，以下说法正确的是___________.

①在“曾有过航天梦想”的人群中，54岁及以上的人数最少

②在“曾有过航天梦想”的人群中，年龄越大，在航天相关方面的人均消费越少

③在“曾有过航天梦想”的人群中，18-29岁在航天相关方面的总消费最多

16．如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差都大于2，则称这个数列为“数列”.已知数列满足：，，则数列的通项公式___________；若，，且数列是“数列”，则t的取值范围是___________.

17．如图，在平面四边形APBC中，，，，.将沿AB折起得到三棱锥，使得.

(1)求证：平面ABC；

(2)若点E在棱上，，求三棱锥的体积.

18．北京于2022年2月成功地举办了第二十四届冬季奥林匹克运动会.共赴冰雪之约，共享冬奥机遇，“冰雪经济”逐渐升温，“带动三亿人参与冰雪运动”正在从愿景逐渐变为现实，某大型滑雪场为了了解“喜爱冰雪运动”是否与“性别"有关，用简单随机抽样的方法从不同地区进行调查统计，得到如下2×2列联表：

统计数据表明：男性喜欢冰雪运动的人数占男性人数的；女性喜欢冰雪运动的人数占女性人数的.

(1)完成2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为“喜欢冰雪运动”与“性别”有关系；（结果精确到0.001）

(2)根据数据统计，在参与调查的人员中年龄在40岁以上的占总体的，在20岁到40岁之间的占，20岁以下的占.现利用分层抽样的方法，从参加调查的人员中随机抽取5人参与抽奖活动，奖项设置如下：一等奖，享受全雪季雪场全部项目五折优惠，名额2人；二等奖，享受全雪季雪场全部项目八折优惠，名额3人.求获得一等奖的两人年龄都在20岁到40岁之间的概率.

参考公式：，其中.

19．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.

(1)求角A的大小；

(2)若，，∠BAC的内角平分线交BC于点D，求AD.

20．已知，分别为椭圆的左､右焦点，椭圆C的离心率为.过点的直线交椭圆于A，B两点，且的周长为8.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若直线l与椭圆C交于M，N两点，且与圆相切，求的大小.

21．已知函数.

(1)判断函数的单调性：

(2)若函数，求证：当时，.

22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程（a为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

(1)写出曲线C的普通方程和极坐标方程；

(2)设A，B是曲线C上的两点，且，求的值．

23．已知函数．

(1)解不等式；

(2)设时，函数的最小值为M．若实数a，b，c满足，求的最小值．

参考答案：

1．B

【解析】

【分析】

直接根据并集运算求解.

【详解】

因为，，

所以，

故选：B

2．B

【解析】

【分析】

根据复数模的几何意义计算．

【详解】

由题意，

故选：B．

3．A

【解析】

【分析】

利用基本初等函数的单调性逐项判断，可得出合适的选项.

【详解】

对于A选项，函数的定义域为，

设，则，则函数为奇函数，

且函数在上为增函数，故该函数在上也为增函数，

所以，函数在上为增函数，A满足条件；

对于B选项，在定义域上不单调，B不满足条件；

对于C选项，函数在定义域上不单调，C不满足条件；

对于D选项，函数在定义域上为减函数，D不满足条件.

故选：A.

4．B

【解析】

【分析】

根据图象变换求出g(x)的解析式，根据正弦函数的性质即可求其在上的零点个数．

【详解】

的图象向左平移个单位可得，

，则，

正弦函数y=sint在上有2个零点，故g(x)在上有2个零点．

故选：B．

5．D

【解析】

【分析】

先写出与之垂直的一个向量，然后再求得与此垂直向量平行的单位向量即得．

【详解】

易知是与垂直的向量，，

所以与平行的单位向量为或，

故选：D．

6．C

【解析】

【分析】

得出两圆的位置关系后判断

【详解】

两圆的圆心分别为和，半径分别为2和3，圆心距，则两圆外切，公切线有3条．

故选：C

7．C

【解析】

【分析】

对不同的放置情况分别判断，得出结论

【详解】

当圆柱桶竖直放置时，截口曲线为圆；

当圆柱桶水平放置时，截口曲线为矩形；

当圆柱桶倾斜放置时，若液面经过底面，则截口曲线为椭圆的一部分；

当圆柱桶倾斜放置时，若液面不经过底面，则截口曲线为椭圆；

故选：C

8．A

【解析】

【分析】

f(x)在上单调递增，等价于恒成立，据此即可求出a的范围．

【详解】

由题可知，恒成立，

故，即．

故选：A﹒

9．B

【解析】

【分析】

根据已知条件作出图形，找出要求的角为，运用解三角形的知识进行求解.

【详解】

依题意，过点作的延长线交于点，如图，

则，，，

在中，，

在中，，，

又

，

则乙船的目标方向线（由观测点看目标的视线）的方向是南偏西60°.

故选：B.

10．A

【解析】

【分析】

由椭圆的性质得推出关系后判断

【详解】

椭圆C的离心率为，即，

若椭圆焦点在轴上，则，得，

若椭圆焦点在轴上，则，得，

故“”是“椭圆C的离心率为”的充分不必要条件，

故选：A

11．C

【解析】

【分析】

由题意求该几何体的体积与表面积，由外接球的半径求体积与表面积，对选项逐一判断

【详解】

由题意得该几何体外接球的球心为原正方体的中心，故外接球半径为1，外接球的表面积为，体积为，故A，B正确

对于C，该几何体的体积，

正方体体积为，故该几何体的体积与原正方体的体积比为，故C错误，

对于D，该几何体有6个面为正方形，8个面为等边三角形

，故D正确

故选：C

12．D

【解析】

【分析】

构造函数以及函数，分别利用导数研究其单调性，进而根据单调性比较函数值的大小.

【详解】

令，，

当时，，，，单调递增，

，即，，即，

令，

，

令，

令，，

当时，，单调递增，

在上单调递减，，

，在上单调递减，

，即，

综上：.

故选：D.

13．4

【解析】

【分析】

直接利用基本不等式求解.

【详解】

由基本不等式得，当且仅当时取等.

所以的最小值为4.

故答案为4

【点睛】

本题主要考查基本不等式求最值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.

14．

【解析】

【分析】

求出给定抛物线的焦点坐标、准线方程，再结合轴对称求解作答.

【详解】

抛物线的焦点，准线方程为，

所以焦点F关于准线的对称点坐标是.

故答案为：

15．①③

【解析】

【分析】

观察“曾有过航天梦想”的人年龄分布图和在航天相关方面的人均消费可判断①②，再把各年龄阶段在航天相关方面的总消费算出，即可求出答案.

【详解】

对于①，从曾有过航天梦想的年龄分布图可知，在“曾有过航天梦想”的人群中，54岁及以上的人数最少，所以①正确；

对于②，在“曾有过航天梦想”的人群中，岁的消费最多，所以②错误；

对于③，设总人数为 ，18-29岁在航天相关方面的总消费约为：，

30-40岁在航天相关方面的总消费约为：，

41-53岁在航天相关方面的总消费约为：，

54岁及以上在航天相关方面的总消费约为：.

所以在“曾有过航天梦想”的人群中，18-29岁在航天相关方面的总消费最多.

故选：①③.

16．         

【解析】

【分析】

根据等比数列通项公式可求；利用对任意n≥2，均成立即可求出t的范围．

【详解】

∵，，∴是以2为首项，2为公比的等比数列，∴；

∴，则，

∵数列是“数列”，∴对任意n≥2，均成立，

即对于任意n≥2，均成立，

∵函数在R上单调递增，故≥，

∴，解得t<1；

又在t<1时也成立，

故当t<1时，对任意，均成立，故t的范围是．

故答案为：；．

【点睛】

本题第二空利用已知条件可得对任意n≥2，均成立，参变分离即可根据函数及数列单调性求出t的范围，验证该t的范围对任意均成立即可得t的范围．

17．(1)证明见解析

(2)

【解析】

【分析】

（1）利用全等三角形证明，然后由线面垂直判定定理得线面垂直；

（2）利用体积公式得，而三棱锥高是，利用体积公式计算可得．

(1)

∵，∴.

又∵，，∴.

即

∵，∴，

∵，平面ABC，平面ABC

∴平面ABC

(2)

法一：∵∴

由（1）可知，平面ABC，所以即为三棱锥的高

∵，.∴

∵平面ABC，∴在中，

所以.

即三棱椎的体积为．

18．(1)列联表答案见解析，不能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“喜欢冰雪运动”与“性别”有关系

(2)

【解析】

【分析】

（1）根据已知条件填写列联表，计算的值，进而得出结论.

（2）利用列举法，结合古典概型概率问题的计算公式，计算出所求概率.

(1)

参与调查的男性有人，女性有人，

根据已知条件，可得列联表如下：

的观测值.

所以不能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“喜欢冰雪运动”与“性别”有关系；

(2)

设“获得一等奖的两人年龄都在20岁到40岁之间”为事件A

利用分层抽样的方法抽取，在40岁以上的人员中抽取1人，记其为a；

在20岁到40岁之间的人员中抽取3人，记其为b，c，d；

在20岁以下的人员中抽取1人，记其为e.

在抽奖的5人中2人获得一等奖的基本事件为：ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de共10种，

满足条件的基本事件为：bc，bd，cd共3种，

所以.

即获得一等奖的两人年龄都在20岁到40岁之间的概率为.

19．(1)；

(2)﹒

【解析】

【分析】

(1)结合易知条件，利用正弦定理边化角和三角恒等变换即可求出A的大小；

(2)利用可得，从而可求AD．

(1)

∵，

由正弦定理得，

∵，∴，∴，

即，∴，∵，

∴；

(2)

方法一：∵，

∴，

∴，

∴．

方法二：在中，由余弦定理：

，

∴．

在中，由正弦定理，，

在中，由正弦定理，，

∵，，

∴，∴．

在中，由余弦定理：，

设，

则，即，解得或．

中，由余弦定理：，∴C是钝角．

在中，，∴．

方法三：在中，由正弦定理，，

在中，由正弦定理，，

∵，，

∴．

∴，

∴

∴．

20．(1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）由焦点三角形的周长求得，再由离心率得，然后由求得得椭圆方程；

（2）当直线l斜率存在时，设直线l方程：，，，由直线与圆相切得关系，直线方程代入椭圆方程整理后应用韦达定理得，计算可得大小，当直线l斜率不存在时，直接求得点坐标检验值是否相同即可得．

(1)

由已知：，，椭圆C的离心率，∴.

∵，∴.椭圆C的标准方程为.

(2)

当直线l斜率存在时，设直线l方程：，，

∵直线l与圆相切，∴圆心（0，0）到直线l的距离，

∴.

联立方程组，得，

，，

∴

∴OM⊥ON，∴

当直线l斜率不存在时，易知.

联立方程组得，，（横坐标同时取正或取负）

∴，∴，即.

综上所述，.

21．(1)答案见解析

(2)证明见解析

【解析】

【分析】

（1）求出导函数，分类讨论确定和的解，得单调区间；

（2）不等式等价变形为，然后求出的最小值，和的最大值，比较后即证得不等式成立．

(1)

的定义域为，

当时，恒成立，在上单调递增，

当时，令，.令，，

所以在上单调递增，在上单调递减.

综上，当时，在上单调递增；

当时，在上单调递增，在上单调递减.

(2)

欲证，只需证.

即证.令.

∴，∴在上单调递减，在上单调递增.

∴.再令，∴

∴在上单调递增，在上单调递减.

∴，∴.故成立.

22．(1)，

(2)

【解析】

【分析】

（1）将参数方程中消去参数，即可得普通方程；根据直角坐标和极坐标的互化，即可把普通方程转化得极坐标方程.

（2）根据两点的极坐标关系以及极坐标中的含义，可求解.

(1)

由曲线的参数方程（为参数），可得：

即曲线的普通方程为

由，代入上式可得曲线的极坐标方程为

即曲线的极坐标方程为

(2)

因为是曲线上的两点且

由在曲线上可知：．

同理在曲线上可知：

所以

23．(1)；

(2).

【解析】

【分析】

（1）根据给定不等式，分类去绝对值符号，求解作答.

（2）求出M，再利用柯西不等式求解作答.

(1)

不等式可转化为：

或或，

解得： 或或，则有，

所以不等式的解集为：.

(2)

由绝对值的三角不等式可得：，当且仅当时等号成立，

因此，函数的最小值，即，

由柯西不等式可知：，即，

当且仅当，即，，时等号成立，

所以的最小值为.