广东省茂名市2022届高三下学期调研（五）数学试题-

这是一份广东省茂名市2022届高三下学期调研（五）数学试题-，共27页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上，已知，则，设复数，满足，，则的最大值为，对于实数，下列结论正确的是等内容，欢迎下载使用。

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广东省茂名市2022届高三下学期调研（五）数学试题
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
题号
一
二
三
四
总分
得分





注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
评卷人
得分



一、单选题
1．设，，若，求实数组成的集合的子集个数有
A．2 B．3 C．4 D．8
2．用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得的圆台上下底面半径之比为，若截去的圆锥的母线长为，则圆台的母线长为
A． B． C． D．
3．已知，则(       )
A． B． C． D．
4．为了了解去年北京市乘坐地铁的每个人的月均花费情况，相关部门随机调查了人乘坐地铁的月均花费单位：元，绘制了如下频数分布直方图，根据图中信息，下面个推断中，合理的是(       )

①小明乘坐地铁的月均花费是元，那么在所调查的人中至少有一半以上的人月均花费超过小明；
②估计平均每人乘坐地铁的月均花费的范围是元；
③如果规定消费达到一定数额可以享受折扣优惠，并且享受折扣优惠的人数控制在左右，那么乘坐地铁的月均花费达到元的人可享受折扣．
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
5．已知向量 满足 ， ， ，若向量满足 ，则 的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
6．设复数，满足，，则的最大值为（       ）
A． B． C．6 D．
7．已知双曲线的右焦点为，为坐标原点，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线相交于，两点，若的面积等于2，则双曲线的离心率为（       ）．
A． B．2 C． D．
8．设是定义在上的奇函数，对任意的，满足：，且，则不等式的解集为（       ）
A． B．
C． D．
评卷人
得分



二、多选题
9．对于实数，下列结论正确的是（     ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍纵坐标保持不变，得到函数的图象，下列关于函数的说法正确的是（       ）
A．
B．的图象关于点对称
C．若，则的值域是
D．对任意，都成立
11．新冠肺炎疫情发生后，我国加紧研发新型冠状病毒疫苗，某医药研究所成立疫苗研发项目，组建甲、乙两个疫苗研发小组，且两个小组独立开展研发工作.已知甲小组研发成功的概率为，乙小组研发成功的概率为.该研发项目的奖金为100万元，分配方案是：若只有某一小组研发成功，则该小组获得全部奖金；若两个小组都研发成功，则平分全部奖金；若两个小组均未研发成功，则均不获得奖金.则（       ）
A．该研究所疫苗研发成功的概率为
B．乙小组获得全部奖金的概率为
C．在疫苗研发成功的情况下，是由甲小组研发成功的概率为
D．甲小组获得奖金的期望值为60万元
12．已知正方体的棱长为2，为棱上的动点，平面，下面说法正确的是（       ）
A．若N为中点，当最小时，
B．当点M与点重合时，若平面截正方体所得截面图形的面积越大，则其周长就越大
C．直线AB与平面所成角的余弦值的取值范围为
D．若点M为的中点，平面过点B，则平面截正方体所得截面图形的面积为
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
评卷人
得分



三、填空题
13．曲线在点处的切线方程为______．
14．的展开式中常数项是________.
15．已知圆，点A是圆C上任一点，抛物线的准线为l，设抛物线上任意一点Р到直线l的距离为m，则的最小值为_______
16．已知数列的前项和，若不等式，对恒成立，则整数的最大值为______．
评卷人
得分



四、解答题
17．已知的内角、、的对边分别为、、，且．
(1)判断的形状并给出证明；
(2)若，求的取值范围．
18．已知数列满足，.
(1)求，，；
(2)设，数列的前n项和为，求满足的正整数n的最小值.
19．如图，在三棱锥中，是正三角形，平面平面，，点，分别是，的中点.

(1)证明：平面平面；
(2)若，点是线段上的动点，问：点运动到何处时，平面与平面所成的锐二面角最小.
20．2020年1月15日教育部制定出台了《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》（也称“强基计划”），《意见》宣布：2020年起不再组织开展高校自主招生工作，改为实行强基计划，强基计划主要选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，据悉强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中通过笔试后才能进入面试环节．
（1）为了更好的服务于高三学生，某研究机构对随机抽取的5名高三学生的记忆力和判断力进行统计分析，得到下表数据

6
8
9
10
12

2
3
4
5
6

请用相关系数说明该组数据中与之间的关系可用线性回归模型进行拟合，并求关于的线性回归方程．
（2）现有甲、乙两所大学的笔试环节都设有三门考试科目且每门科目是否通过相互独立，若某考生报考甲大学，每门笔试科目通过的概率均为，该考生报考乙大学，每门笔试科目通过的概率依次为，，，其中，根据规定每名考生只能报考强基计划的一所试点高校，若以笔试过程中通过科目数的数学期望为依据作出决策，求该考生更希望通过乙大学笔试时的取值范围．
参考公式：
①线性相关系数，一般地，相关系数的绝对值在以上（含）认为线性相关性较强；否则，线性相关性较弱．
②对于一组数据，，…，其回归直线方程的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，．
21．函数.
（1）当时，讨论函数的单调性；
（2）当时，时，恒成立，求正整数的最大值.
22．已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率，P为椭圆上一动点，面积的最大值为2.
(1)求椭圆E的方程；
(2)若C，D分别是椭圆E长轴的左、右端点，动点M满足，连结CM交椭圆于点N，O为坐标原点.证明：为定值；
(3)平面内到两定点距离之比是常数的点的轨迹是圆.椭圆E的短轴上端点为A，点Q在圆上，求的最小值.

参考答案：
1．D
【解析】
【分析】
先解方程得集合A，再根据得，最后根据包含关系求实数，即得结果.
【详解】
,
因为，所以，
因此，对应实数的值为，其组成的集合的子集个数有，选D.
【点睛】
本题考查集合包含关系以及集合子集，考查基本分析求解能力，属中档题.
2．D
【解析】
【分析】
设圆台的母线长为，小圆锥底面与被截的圆锥底面半径分别是，利用相似知识，求出圆台的母线长.
【详解】
如图，设圆台的母线长为，小圆锥底面与被截的圆锥底面半径分别是，

根据相似三角形的性质可得，
解得，
所以圆台的母线长为，
故选D.
【点睛】
该题考查的是有关圆台的母线长的求解问题，涉及到的知识点有圆台的定义，相似三角形中对应的结论，属于简单题目.
3．B
【解析】
【分析】
利用正弦二倍角公式和辅助角公式化简已知等式求出，结合余弦二倍角公式即可求．
【详解】

，
，
∴．
故选：B．
4．D
【解析】
【分析】
①根据统计图求出月均消费超过80元的人数即可判断；②根据频数分布图数据集中在60-120即可判断；③计算出月均花费达到元的总人数，和进行比较即可．
【详解】
①月均花费超过元的有人，小明乘坐地铁的月均花费是元，
所调查的人中至少有一半以上的人月均花费超过小明，故①正确；
②根据图中信息，可得大多数人乘坐地铁的月均花费在之间，估计平均每人乘坐地铁的月均花费的范围是，②正确；
③，而，
乘坐地铁的月均花费达到元的人可享受折扣，③正确．
故选：D．
5．C
【解析】
【分析】
建立直角坐标系，用坐标表示向量，分析几何意义即可.
【详解】
解：，，，
以为y轴， 为x轴，建立直角坐标系
设，，，
所以，
由，
可得 ，
化简可得 ，
所以点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆，
原点到的距离为 ，
所以的取值范围是，即
故选：C．
6．D
【解析】
【分析】
根据复数模的几何意义，得到复数，在复平面内所表示的轨迹，结合圆的性质，即可求解.
【详解】
由题意，复数，满足，，
可得在复平面内对应的点是以为圆心，以为半径的圆，
复数在复平面内对应的点是以为圆心，以为半径的圆，
则的几何意义是两圆上点的距离，
所以的最大值为.
故选：D.
7．C
【解析】
设为中点，则，取渐近线，则可求的长，根据，结合题意，可求得a的值，代入公式即可求得答案.
【详解】
设为中点，则，如图所示：

渐近线方程为，不妨取，．其中，
则，
因为为中点．因为，
所以，．
则．解得，
所以离心率．
故选：C
8．A
【解析】
先由，判断出在上是增函数，然后再根据函数的奇偶性以及单调性即可求出的解集.
【详解】
解： 对任意的，都有 ，
在上是增函数，
令，
则，
为偶函数，
在上是减函数，
且，
，
当时，，
即，解得：，
当时，，
即，解得：，
综上所述：的解集为：.
故选：A.
【点睛】
方法点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
9．BCD
【解析】
【分析】
根据不等关系对选项一一分析即可.
【详解】
对于A，当时，，故A错误；
对于B，若，则，故B正确；
对于C，若，则，故C正确；
对于D，若，则 ，从而有，故正确.
故选：BCD
10．BD
【解析】
【分析】
首先根据题意得到，再依次判断选项即可.
【详解】
对选项A，将的图象向右平移个单位长度，
得到，
再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍纵坐标保持不变，
得到的图象，故A错误；
对选项B，当时，，故B正确.
对选项C，当时，，所以，故C错误，
对选项D，，
所以直线是函数图象的对称轴，
即对任意，都有，故D正确．
故选：BD
11．AC
【解析】
【分析】
于A和B选项，可利用对立事件、相互独立事件的概率公式求解并判断；对于C选项，可利用条件概率的计算公式求解判断；对于D选项，可先写出甲小组获得奖金数的可能取值，求出分布列，再计算期望值，进而判断即可.
【详解】
对由题，当甲、乙两个小组至少有一个小组研发成功时，该研究所疫苗研发成功，其概率为，故A选项正确；乙小组获得全部奖金，即甲小组没有研发成功，而乙小组研发成功，概率为，故B选项错误；设事件A为“疫苗研发成功”，事件B为“甲小组研发成功”，则，故C选项正确；设甲小组获得的奖金数为（单位：万元），则的可能取值为0，50，100，且，，，所以，故D选项错误.
故选：AC
【点睛】
关键点点睛：本题考查概率问题，关键考查建模能力，理解题意，正确转化为概率模型求解，试题从实际生活中的场景出发，对新型冠状病毒疫苗研发情况进行分析，需要考生选择随机变量刻画随机现象，并利用所学知识解决实际问题，体现对理性思维、数学应用、数学探索学科素养的考查.
12．AD
【解析】
【分析】
利用展开图判定、、三点共线，进而利用相似三角形判定选项A正确；通过两个截面的面积不相等且周长相等判定选项B错误；建立空间直角坐标系，利用空间向量求线面角的余弦值的取值范围，进而判定选项C正确；建立空间直角坐标系，利用线面垂直得出点的位置、判定截面的形状是梯形，利用空间向量求梯形的高，进而求出截面的面积，判定选项D正确.
【详解】
对于A：将矩形与矩形展开成一个平面（如图所示）

若最小，则、、三点共线，
因为，所以，
所以，
即，
即选项A正确；
对于B：当点M与点重合时，
连接、、、、（如图所示）

在正方体中，平面，
平面，所以，
又因为，且，
所以平面，
又平面，所以，
同理可证，
因为，
所以平面.
易知是边长为的等边三角形，
其面积为，
周长为；
设分别是的中点，
易知六边形是边长为的正六边形，
且平面平面，
正六边形的周长为，
面积为，
则的面积小于正六边形的面积，
它们的周长相等，
即选项B错误；
对于C：以点为原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系（如图所示）

则，，设，
因为平面，所以是平面的一个法向量，
且 ，，
，
所以直线AB与平面所成角的正弦值的取值范围为
则直线AB与平面所成角的余弦值的取值范围为.
即选项C错误；
对于D：以点为原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系（如图所示）

连接、，设平面交棱于点，，
所以，因为平面，平面，
所以，即
，得，
所以，即点是的中点，
同理点是的中点，则且，
所以四边形是梯形，且，，
设，，
则，，
所以梯形的高，即点到直线的距离
为，
所以梯形的面积为，
即选项D正确.
故选：AD.
13．
【解析】
【分析】
求出f（x）在的导数值，根据导数的几何意义即可求切线方程.
【详解】
，
则曲线在处的切线斜率，
∴切线方程为，即．
故答案为：．
14．
【解析】
【分析】
由二项展开式的性质，列出常数项的表达式，即可求解.
【详解】
由二项式的展开式的计算方法和性质，
可得展开式的常数项为.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查了二项式定理的应用，其中解答中熟记二项展开式的计算方法是解答的关键，着重考查了推理与计算能力.
15．
【解析】
由抛物线的定义可知，结合圆的性质，当且仅当三点共线时等号成立取得最值.
【详解】
由圆可得圆心，，

设的焦点为，则，，
抛物线上任意一点Р到直线l的距离为，
过点作于点，则，
由抛物线的定义可知，
所以
，
当且仅当三点共线时等号成立，
所以的最小值为，
故答案为：.
【点睛】
关键点点睛：本题解题的关键点是利用抛物线的定义转化为抛物线上一点到焦点的距离与到圆上一点的距离之和的最小值，利用三点共线即可求解.
16．4
【解析】
【详解】
当时，，得，
当时，，
又，
两式相减得，得，
所以．
又，所以数列是以2为首项，1为公差的等差数列，
，即．
因为，所以不等式，等价于．
记，
时，．
所以时，
综上，，
所以，所以整数的最大值为4．
考点：1．数列的通项公式；2．解不等式．
17．(1)为等腰三角形或直角三角形，证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简可得出，可得出或，可得出或，即可得出结论；
（2）分析可得，且，利用诱导公式以及辅助角公式可得出，利用正弦型函数的基本性质可求得的取值范围.
(1)
解：为等腰三角形或直角三角形，证明如下：
由及正弦定理得，，
即，
即，
整理得，所以，
故或，
又、、为的内角，所以或，
因此为等腰三角形或直角三角形．
(2)
解：由（1）及知为直角三角形且不是等腰三角形，
且，故，且，
所以，
因为，故，
得，所以，
因此的取值范围为．
18．(1)，，
(2)31
【解析】
【分析】
(1)由递推公式，分别将代入，结合条件可得答案.
(2)由条件可得，由裂项相消法可得，从而可得答案.
(1)
,所以
,所以
,所以
(2)
，
所以


则，所以
所以满足的正整数n的最小值为31.
19．(1)证明见解析；
(2)点G为BD的中点时.
【解析】
【分析】
（1）由面面垂直可得AE平面BCD，得出CDAE，再由CDEF可得CD平面AEF，即可得出平面平面；
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求出锐二面角的余弦值，当最大，最小，即可得出此时点G为BD的中点.
(1)
(1)因为△ABC是正三角形，点E是BC中点，所以AEBC，
又因为平面ABC平面BCD，平面ABC∩平面BCD=BC，AE平面ABC，
所以AE平面BCD，
又因为CD平面BCD，所以CDAE，
因为点E，F分别是BC，CD的中点，所以EF//BD，
又因为BDCD，所以CDEF，又因为CDAE，AE∩EF，
AE平面AEF，EF平面AEF，所以CD平面AEF，
又因为CD平面ACD，所以平面ACD平面AEF.
(2)
在平面BCD中，过点E作EH⊥BD，垂足为H,
设BC=4，则，DF=FC=l，.
以为正交基底，建立如图空间直角坐标系E-xyz,

则,
设，则,，
设平面AEG的法向量为,
由，得，令，故，
设平面ACD的法向量为，
则,即，令，则,
设平面AEG与平面ACD所成的锐二面角为,
则，
当最大，此时锐二面角最小，
故当点G为BD的中点时，平面AEG与平面ACD所成的锐二面角最小.
20．（1）相关系数，与之间的关系可用线性回归模型进行拟合，回归直线方程；（2）．
【解析】
【分析】
（1）根据表格中的数据，求得相关系数，得到与之间的关系可用线性回归模型进行拟合，进而求得，即可求的回归直线的方程；
（2）通过甲大学的考试科目数，得到，设通过乙大学的考试科目数可能的取值为0，1，2，3，求得相应的概率，求得，根据考生更希望通过乙大学的笔试考试，列出不等式，即可求解．
【详解】
（1）根据表格中的数据，可得，，
，，
，
可得相关系数，
故与之间的关系可用线性回归模型进行拟合，
又由，可得．
综上回归直线方程．
（2）通过甲大学的考试科目数，则，
设通过乙大学的考试科目数为，则可能的取值为0，1，2，3，
则，
，
，
，
所以，
因为该考生更希望通过乙大学的笔试考试，所以，即，
又由，解得，
即为该考生更希望通过乙大学的笔试时的范围为．
【点睛】
求随机变量的期望与方差的方法及步骤：
1、理解随机变量的意义，写出可能的全部值；
2、求取每个值对应的概率，写出随机变量的分布列；
3、由期望和方差的计算公式，求得数学期望；
4、若随机变量的分布列为特殊分布列（如：两点分布、二项分布、超几何分布），可利用特殊分布列的期望和方差的公式求解.
21．（1）见解析
（2）
【解析】
【分析】
（1）对求导，再因式分解，讨论每个因式的正负，再判断的正负，进而判断的单调性；（2）代入，将不等式中的和分离在不等号两边，然后讨论不等号含有一边的函数的单调性，进而判断最值，再计算的取值范围，由是正整数的条件可求出的最大值.
【详解】
解：（1）函数的定义域为，
①当时，因为，故有.
此时函数在区间单调递减.
②当，有，方程的两根分别是：

函数在上单调递减；
当函数在上单调递增；
当函数在上单调递减.
③当时，易知在上单调递增，在上单调递减.
综上所述，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，
在上单调递增；
当时，在上单调递增，在单调递减.
（2）当
设
当时，有，
设
在上单调递增，
又在上的函数图像是一条不间断的曲线，
且，
存在唯一的，使得，即.
当；
当，
在上单调递减，在上单调递增，

在上单调递减，
，
时，不等式对任意恒成立，
正整数的最大值是3.
【点睛】
本题是典型的导数和不等式的综合题，这种题需要分情况讨论函数单调性再进行判断，属于较难题.
22．(1)；
(2)见解析；
(3).
【解析】
【分析】
（1）结合离心率和面积的最大值列出关于的方程，解方程即可；
（2）设直线CM方程，写出点M坐标，联立椭圆方程，求点N坐标，通过向量数量积计算即可；
（3）设点坐标，借助点在圆上，将转化成，再借助椭圆定义将转化成，最后通过三点共线求出最小值.
(1)
当P为短轴端点时，的面积最大，，
解得，
故椭圆的方程为.
(2)
由（1）知，,
设直线，，
，
联立整理得，
由得，，
,，
故为定值4.
(3)


由题意，设，使，
，整理得，
又点Q在圆上，解得，
由椭圆定义得，，
当三点共线时，有最小值.
【点睛】
（1）关键在于建立的方程；
（2）关键在于设出直线方程，联立得出点N坐标；
（3）关键在于利用题目中给出的圆的定义将转化成，再结合椭圆定义，将问题简化成共线问题.