高中数学北师大版 (2019)必修 第一册1.2 利用二分法求方程的近似解课后作业题

5.1.2利用二分法求方程的近似解

一、选择题

1．用二分法求如图所示的函数f(x)的零点时，不可能求出的零点是(　　)

A.x1　　　B．x2　　　C．x3　　　D．x4

2．用“二分法”可求近似解，对于精度ε说法正确的是(　　)

A.ε越大，零点的精度越高

B.ε越大，零点的精度越低

C.重复计算次数就是ε

D.重复计算次数与ε无关

3．设f(x)＝3x＋3x－8，用二分法求方程3x＋3x－8＝0在x∈(1，2)内近似解的过程中得f(1)<0，f(1.5)＞0，f(1.25)<0，则方程3x＋3x－8＝0的根落在区间(　　)

A.(1.25，1.5)    B．(1，1.25)

C.(1.5，2)    D．不能确定

4．用二分法求方程ln x－＝0的零点时，初始区间大致可选在(　　)

A.(1，2)    B．(2，3)

C.(3，4)    D．(e，＋∞)

5．用二分法求函数f(x)＝2x＋3x－7在区间[0，4]上的零点近似值，取区间中点2，则下一个存在零点的区间为(　　)

A.(0，1)    B．(0，2)

C.(2，3)    D．(2，4)

二、填空题

6．设函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不间断曲线，且f(a)·f(b)<0，取x0＝，若f(a)·f(x0)<0，则利用二分法求方程根时，取有根区间为________．

7．在用二分法求方程f(x)＝0在区间[0，1]上的近似解时，经计算，f(0.625)<0，f(0.75)>0，f(0.687 5)<0，即可得出方程的一个近似解为________(精度为0.1).

8．用“二分法”求方程2x＋log2x－4＝0在区间(1，3)内的根，如果取区间的中点x0＝2，那么下一个有根的区间是________．

三、解答题

9．求函数f(x)＝x2－5的一个零点近似解．(精度为0.1)

10．求函数y＝2x＋3x－7的近似零点．(精度为0.1)

11．若函数f(x)在(1，2)内有1个零点，要使零点的近似值满足精度为0.01，则对区间(1，2)至少二等分(　　)

A．5次　　　B．6次　　　C．7次　　　D.8次

12．函数f(x)＝log3x－在区间[1，3]内有零点，则用二分法判断含有零点的区间为(　　)

A．    B．    C．    D．

13．用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：

根据此数据，可得方程3x－x－4＝0的一个近似解(精度0.01)为________．

14.在用二分法求方程的近似解时，若初始区间的长度为1，精度为0.05，则取中点的次数不小于________．

15．求方程ln x＋x－3＝0在(2，3)内的近似解．(精度为0.1)

参考答案

1.C　[能用二分法求零点的函数必须满足在区间[a，b]上连续，且f(a)f(b)<0.而x3两边的函数值都小于零，不符合二分法求零点的条件，故选C.]

2.B　[依“二分法”的具体步骤可知，ε越大，零点的精度越低．]

3.A　[易知f(x)在R上是增函数．由题意可知f(1.25)·f(1.5)<0，故函数f(x)＝3x＋3x－8的零点落在区间(1.25，1.5)内．故选A.]

4.B　[设f(x)＝ln x－，由于f(2)＝ln 2－1<0，f(3)＝ln 3－＞0，f(2)·f(3)<0，故初始区间可选(2，3).]

5.B　[因为f(0)＝20＋0－7＝－6<0，

f(4)＝24＋12－7>0，

f(2)＝22＋6－7>0，所以f(0)·f(2)<0，所以零点在区间(0，2)内．]

6.(a，x0)　[由于f(a)·f(x0)<0，则(a，x0)为有根区间．]

7.0.75　[0.75－0.687 5＝0.062 5<0.1，又精度为0.1，故可取近似解为0.75.]

8.(1，2)　[设f(x)＝2x＋log2x－4，因为f(1)·f(2)＝(2＋0－4)×(4＋1－4)＝－2<0，所以下一个有根的区间为(1，2).]

9.[解]　由于f(－2)＝－1<0，f(－3)＝4＞0，

故取区间(－3，－2)作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如下：

由于|－2.25－(－2.187 5)|＝0.0625<0.1，所以函数的一个近似解可取－2.25.

10.[解]　设f(x)＝2x＋3x－7，根据二分法逐步缩小方程的解所在的区间．

经计算，f(1)＝－2<0，f(2)＝3>0，所以函数f(x)＝2x＋3x－7在(1，2)内存在零点，

即方程2x＋3x－7＝0在(1，2)内有解．

取(1，2)的中点1.5；经计算，f(1.5)≈0.33>0，

又f(1)＝－2<0，所以方程2x＋3x－7＝0在(1，1.5)内有解．

如此下去，得到方程2x＋3x－7＝0实数解所在的区间，如下表：

由表可以看出，区间(1.375，1.437 5)内的所有值都可以看成是函数精度为0.1时的近似零点．

所以函数y＝2x＋3x－7的一个近似零点可以是1.4

11.C　[设对区间(1，2)至少二等分n次，初始区间长为1.

第1次二等分后区间长为；

第2次二等分后区间长为；

第3次二等分后区间长为；

…；

第n次二等分后区间长为.

根据题意，得<0.01，∴n＞log2100.

∵6<log2100<7，∴n≥7.

故对区间(1，2)至少二等分7次．]

12.C　[f(1)＝－<0，f(3)＝>0，f(2)＝log32－＝log32－log33＝log3＝log3<0，f＝log3－＝log3－log33＝log3>log3＝log3>0，因此，函数f(x)的零点在区间内，故选C.]

13.  1.56　[由题表知f(1.562 5)＞0，f(1.556 2)＜0，|1.562 5－1.556 2|＝0.006 3＜0.01，

所以f(x)＝3x－x－4的一个零点在区间(1.556 2，1.562 5)上，可得方程3x－x－4＝0的一个近似解为1.56.]

14.5　[∵初始区间的长度为1，精度为0.05，∴≤0.05，即2n≥20.又∵n∈N＋，∴n≥5，

∴取中点的次数不小于5.]

15.[解]　令f(x)＝ln x＋x－3，求函数f(x)＝0在(2，3)内的零点．

∵f(2)＝ln 2－1<0，f(3)＝ln 3>0，取(2，3)作为初始区间，用二分法列表如下：

∵2.25－2.187 5＝0.062 5<0.1，

∴在区间(2.187 5，2.25)内任意实数都是函数的零点的近似值，即方程的近似解可取为2.2.