数学北师大版 (2019)2.1 实际问题的函数刻画课后测评

5.1.2实际问题的函数刻画

一、选择题

1．已知正方形ABCD的边长为4，动点P从B点开始沿折线BCDA向A点运动．设点P运动的路程为x，△ABP的面积为S，则函数S＝f(x)的图象是(　　)

A　　　　　B

C　　　　　D

2．已知每生产100克饼干的原材料加工费为1.8元．某食品加工厂对饼干采用两种包装，包装费用、销售价格如下表所示：

则下列说法中正确的是(　　)

①买小包装实惠；②买大包装实惠；③卖3小包比卖1大包盈利多；④卖1大包比卖3小包盈利多．

A.①③　　　B．①④　　　C．②③　　　D．②④

3．如图，矩形ABCD的周长为8，设AB＝x(1≤x≤3)，线段MN的两端点在矩形的边上滑动，且MN＝1，当N沿A→D→C→B→A在矩形的边上滑动一周时，线段MN的中点P所形成的轨迹为G，记G围成的区域的面积为y，则函数y＝f(x)的图象大致为(　　)

A　　　　B　　　C　　　　D

4．某汽车销售公司在A，B两地销售同一种品牌的汽车，在A地的销售利润(单位：万元)为y1＝4.1x－0.1x2，在B地的销售利润(单位：万元)为y2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是(　　)

A.10.5万元   B．11万元

C.43万元  D．43.025万元

5．如图所示，液体从一个圆锥形漏斗漏入一个圆柱形桶中，开始时漏斗中盛满液体，经过3秒漏完，圆柱形桶中液面上升速度是一个常量，则漏斗中液面下降的高度H与下降时间t之间的函数关系的图象只可能是(　　)

二、填空题

6．某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数).若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时．

7．西北某羊皮手套公司准备投入适当的广告费对其生产的产品进行促销．在一年内，根据预算得羊皮手套的年利润L万元与广告费x万元之间的函数解析式为L＝－(x＞0).则当年广告费投入________万元时，该公司的年利润最大．

8．一个容器装有细沙a cm3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min后剩余的细沙量为y＝ae－bt(cm3)，经过8 min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min，容器中的沙子只有开始时的八分之一．

三、解答题

9．甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是2 km，甲10时出发前往乙家．如图所示，表示甲从家出发到达乙家为止经过的路程y(km)与时间x(min)的关系．求函数y＝f(x)的解析式．

10．某地西红柿从2月1日开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/100 kg)与上市时间t(单位：天)的数据如下表：

(1)根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系：Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝a·logbt；

(2)利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低时的上市天数以及最低种植成本．

11．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是(　　)

A.消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米

B.以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多

C.甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油

D.某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油

12．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常数)，如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为________分钟．

13．某公司为了发展业务制定了一个激励销售人员的奖励方案，在销售额x为8万元时，奖励1万元．销售额x为64万元时，奖励4万元．若公司拟定的奖励模型为y＝alog4x＋b.某业务员要得到8万元奖励，则他的销售额应为________万元．

14．某商品在近30天内每件的销售价格P(元)与时间t(天)之间的函数关系式为P＝且该商品的日销售量Q(件)与时间t(天)之间的函数关系式为Q＝－t＋40(0<t≤30，t∈N)，则这种商品日销售金额最大的一天是30天中的第________天．

15．牧场中羊群的最大畜养量为m只，为保证羊群的生长空间，实际畜养量不能达到最大畜养量，必须留出适当的空闲量．已知羊群的年增长量y只和实际畜养量x只与空闲率的乘积成正比，比例系数为k(k>0).

(1)写出y关于x的函数解析式，并指出这个函数的定义域；

(2)求羊群年增长量的最大值；

(3)当羊群的年增长量达到最大值时，求k的取值范围．

1.D　[依题意知当0≤x≤4时，f(x)＝2x；当4＜x≤8时，f(x)＝8；当8＜x≤12时，f(x)＝24－2x，观察四个选项知D项符合要求．]

2.D　[买小包装时每克费用为元，买大包装时每克费用为＝元，而＞，所以买大包装实惠，卖3小包的利润为3×(3－1.8－0.5)＝2.1(元)，卖1大包的利润是8.4－1.8×3－0.7＝2.3(元)，而2.3＞2.1，所以卖1大包盈利多，故选D.]

3.D　[由题意可知点P的轨迹为图中虚线所示，其中四个角均是半径为的扇形．

因为矩形ABCD的周长为8，AB＝x，则AD＝＝4－x，

所以y＝x(4－x)－＝－(x－2)2＋4－(1≤x≤3)，显然该函数的图象是二次函数图象的一部分，且当x＝2时，y＝4－∈(3，4)，故选D.]

4.C　[设公司在A地销售该品牌的汽车x辆，则在B地销售该品牌的汽车(16－x)辆，所以可得利润y＝4.1x－0.1x2＋2(16－x)＝－0.1x2＋2.1x＋32＝－0.1＋0.1×＋32.因为x∈[0，16]且x∈N，所以当x＝10或11时，总利润取得最大值43万元．]

5.B　[由于所给的圆锥形漏斗上口大于下口，

当时间取t时，漏斗中液面下落的高度不会达到漏斗高度的，对比四个选项的图象可得结果．故选B.]

6.24　[依题意有192＝eb，48＝e22k＋b＝e22k·eb，所以e22k＝＝＝，所以e11k＝或－(舍去)，于是该食品在33 ℃的保鲜时间是e33k＋b＝(e11k)3·eb＝×192＝24(小时).]

7.4　[由题意得L＝－≤－2＝21.5，当且仅当＝，即x＝4时等号成立．

此时L取得最大值21.5.故当年广告费投入4万元时，该公司的年利润最大．]

8.16　[当t＝8时，y＝ae－8b＝a，所以e－8b＝.

容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即y＝ae－bt＝a，e－bt＝＝(e－8b)3＝e－24b，则t＝24.

所以再经过16 min，容器中的沙子只有开始时的八分之一．]

9.[解]　当x∈[0，30]时，设y＝k1x＋b1，

由已知得解得即y＝x.

当x∈(30，40)时，y＝2；

当x∈[40，60]时，设y＝k2x＋b2，

由已知得解得即y＝x－2.

综上，f(x)＝

10.[解]　(1)根据表中数据可知函数不单调，所以Q＝at2＋bt＋c，且开口向上．

(2)对称轴t＝－＝＝120，

代入数据解得

所以Q＝0.01t2－2.4t＋224，

所以西红柿种植成本最低时的上市天数是120，

最低种植成本是14 400a＋120b＋c＝14 400×0.01＋120×(－2.4)＋224＝80(元/100 kg).

11.D　[对于A选项：由题图可知，当乙车速度大于40 km/h时，乙车每消耗1升汽油，行驶里程都超过5 km，则A错；对于B选项：由题意可知，以相同速度行驶相同路程，燃油效率越高，耗油越少，故三辆车中甲车耗油最少，则B错；对于C选项：甲车以80千米/小时的速度行驶时，燃油效率为10 km/L，则行驶1小时，消耗了汽油80×1÷10＝8(升)，则C错；对于D选项：速度在80 km/h以下时，丙车比乙车燃油率更高，所以更省油，故D对．]

12. 3.75　[根据图表，把(t，p)的三组数据(3，0.7)，(4，0.8)，(5，0.5)分别代入函数关系式，

联立方程组得

解得

所以p＝－0.2t2＋1.5t－2＝－＋－2＝－＋，所以当t＝＝3.75时，p取得最大值，即最佳加工时间为3.75分钟．]

13.1 024　[依题意解得

∴y＝2log4x－2，令2log4x－2＝8，得x＝45＝1 024.]

14.25　[设日销售金额为W(t)元，则W(t)＝P·Q＝

令f(t)＝(t＋20)(－t＋40)＝－t2＋20t＋800(0<t<25，t∈N)，易知f(t)max＝f(10)＝900，

令g(t)＝(－t＋100)(－t＋40)＝t2－140t＋4 000(25≤t≤30，t∈N)，

易知g(t)max＝g(25)＝1 125.

综上，当t＝25，即第25天时，日销售金额W(t)最大．]

15.[解]　(1)根据题意，由于最大畜养量为m只，实际畜养量为x只，则畜养率为，故空闲率为1－，由此可得y＝kx(0<x<m).

(2)对原二次函数配方，得y＝－(x2－mx)＝－＋.

即当x＝时，y取得最大值.

(3)由题意知为给羊群留有一定的生长空间，

则实际畜养量与年增长量的和小于最大畜养量，即0<x＋y<m.

因为当x＝时，ymax＝，所以0<＋<m，解得－2<k<2.

又因为k>0，所以0<k<2.即k的取值范围是(0，2).