高中数学北师大版 (2019)必修 第一册4.1 样本的数字特征精练

6.4.1样本的数字特征

一、选择题

1．下列选项中，能反映一组数据的离散程度的是(　　)

A．平均数　 B．中位数

C．方差     D．众数

2．某商家统计了去年P，Q两种产品的月销售额(单位：万元)，绘制了月销售额的雷达图，图中A点表示P产品2月份销售额约为20万元，B点表示Q产品9月份销售额约为25万元．

根据图中信息，下面统计结论错误的是(　　)

A．P产品的销售额极差较大

B．P产品销售额的中位数较大

C．Q产品的销售额平均值较大

D．Q产品的销售额波动较小

3．对一组样本数据xi(i＝1，2，…，n)，如将它们改为xi－m(i＝1，2，…，n)，其中m≠0，则下面结论正确的是(　　)

A．平均数与方差都不变 

B．平均数与方差都变了

C．平均数不变，方差变了   

D．平均数变了，方差不变

4．以下为甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)

甲：9　12　x　24　27

乙：9　15　y　18　24

已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为(　　)

A．12, 15     B．15, 15

C．15, 18     D．18, 18

5．王明同学随机抽查某市10个小区所得到的绿化率情况如下表所示：

则关于这10个小区绿化率情况，下列说法错误的是(　　)

A．方差是13%　     B．众数是25%

C．中位数是25%　  D．平均数是26.2%

二、填空题

6．甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示：

则参加奥运会的最佳人选应为________．

7．从观测所得到的数据中取出m个a，n个b，p个c组成一个样本，那么这个样本的平均数是________．

8．五个数1，2，3，4，a的平均数是3，则a＝________，这五个数的标准差是________．

三、解答题

9．为调查甲、乙两校高三年级学生某次联考数学成绩情况，现用简单随机抽样从这两个学校高三年级学生中各抽取30名，以他们的数学成绩(百分制)作为样本，样本数据如下：

甲：47 52 53 53 55 60 60 61 63 63

63 64 65 65 70 70 71 71 72 72

76 76 78 82 84 84 85 87 90 92

乙：45 53 53 58 60 60 60 61 61 62

62 63 63 65 70 70 72 72 72 73

73 76 76 79 81 81 85 85 88 90

(1)若甲校高三年级每位学生被抽到的概率为0.05，求甲校高三年级学生总人数，并估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率(60分及60分以上为及格)；

(2)设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为1，2，估计1－2的值．

10．某小区广场上有甲、乙两群市民正在进行晨练，两群市民的年龄如下(单位：岁)：

甲群：13，13，14，15，15，15，15，16，17，17；

乙群：54，3，4，4，5，5，6，6，6，57.

(1)甲群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪个统计量能较好地反映甲群市民的年龄特征？

(2)乙群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪个统计量能较好地反映乙群市民的年龄特征？

11．若样本1＋x1，1＋x2，1＋x3，…，1＋xn的平均数是10，方差为2，则对于样本2＋x1，2＋x2，…，2＋xn，下列结论正确的是(　　)

A．平均数是10，方差为2

B．平均数是11，方差为3

C．平均数是11，方差为2      

D．平均数是10，方差为3

12．为了普及环保知识，增强保护环境意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(10分制)如图所示，假设得分值的中位数为me，众数为m0，平均值为，则(　　)

A．me＝m0＝ B．m0<<me

C．me<m0<     D．m0<me<

13．已知样本9，10，11，x，y的平均数是10，方差是4，则xy＝________．

14．由正整数组成的一组数据x1，x2，x3，x4(x1≤x2≤x3≤x4)，其平均数和中位数都是2，且标准差等于1，则这组数据为________(从小到大排列).

15．高一(3)班有男同学27名、女同学21名，在一次语文测验中，男同学的平均分是82分，中位数是75分，女同学的平均分是80分，中位数是80分．

(1)求这次测验的全班平均分(精确到0.01)；

(2)估计全班成绩在80分以下(含80分)的同学至少有多少人？

(3)男同学的平均分与中位数相差较大说明了什么？

参考答案

1.C　[由方差的定义，知方差反映了一组数据的离散程度．]

2.B　[据图可以看出，P产品的销售额的波动较大，Q产品的销售额的波动较小，并且Q产品的销售额只有两个月的销售额比25万元稍小，其余都在25万元至30万元之间，所以P产品的销售额的极差较大，中位数较小，Q产品的销售的平均值较大，销售的波动较小，故选B.]

3.D　[若x1，x2，…，xn的平均数为，方差为s2，则ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b(a≠0)的平均数为a＋b，方差为a2s2，标准差为，故选D.]

4.C　[因为甲组数据的中位数为15，所以x＝15，又乙组数据的平均数为16.8，所以＝16.8，y＝18，选C.]

5.A　[根据表格数据，众数为25%，选项B正确；

中位数为25%，选项C正确；

平均数为＝26.2，选项D正确；

方差为[2(20－26.2)2＋4(25－26.2)2＋3(30－26.2)2＋(32－26.2)2]＝15.96；

选项A错误．故选A.]

6.丙　[因为丙的平均数最大，方差最小，故应选丙．]

7.　[样本中个体数为m＋n＋p，数据总和为ma＋nb＋pc，故平均数为.]

8.5　　[由＝3，得a＝5；

由s2＝[(1－3)2＋(2－3)2＋(3－3)2＋(4－3)2＋(5－3)2]＝2得，标准差s＝.]

9.[解]　(1)设甲校高三年级总人数为n，则＝0.05，解得：n＝600，

又样本中甲校高三年级这次联考数学成绩的不及格人数为5，

∴估计甲校高三年级这次联考数学成绩的及格率为：1－＝.

(2)用样本估计总体，甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别为1，2，由题中数据可知：

301＝47＋52＋53＋···＋87＋90＋92＝2084；

302＝45＋53＋53＋···＋85＋88＋90＝2069；

∴1－2＝＝＝0.5，

∴估计1－2的值为0.5.

10.[解]　(1)甲群市民年龄的平均数为

＝15(岁)，

中位数为15岁，众数为15岁．平均数、中位数和众数相等，因此它们都能较好地反映甲群市民的年龄特征．

(2)乙群市民年龄的平均数为

＝15(岁)，

中位数为5.5岁，众数为6岁．

由于乙群市民大多数是儿童，所以中位数和众数能较好地反映乙群市民的年龄特征，而平均数的可靠性较差．

11.C　[若x1，x2，…，xn的平均数为，方差为s，那么x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的平均数为＋a，方差为s.]

12.D　[由题图知30名学生的得分情况依次为2个人得3分，3个人得4分、10个人得5分、6个人得6分、3个人得7分，2个人得8分、2个人得9分、2个人得10分，中位数为第15，16个数的平均数，即me＝＝5.5，5出现次数最多，故m0＝5，＝(2×3＋3×4＋10×5＋6×6＋3×7＋2×8＋2×9＋2×10)≈5.97.于是m0<me<.]

13.91　[由题意得

即

解得或

所以xy＝91.]

14.1，1，3，3　[不妨设x1≤x2≤x3≤x4且x1，x2，x3，x4为正整数．

由条件知

即

又x1，x2，x3，x4为正整数，

∴x1＝x2＝x3＝x4＝2或x1＝1，x2＝x3＝2，x4＝3或x1＝x2＝1，x3＝x4＝3.

∵s＝＝1，

∴x1＝x2＝1，x3＝x4＝3.

由此可得4个数分别为1，1，3，3.]

15.[解]　(1)这次测验全班平均分＝(82×27＋80×21)≈81.13(分).

(2)因为男同学的中位数是75，

所以至少有14人得分不超过75分．

又因为女同学的中位数是80分，

所以至少有11人得分不超过80分．

所以全班至少有25人得分低于80分．

(3)男同学的平均分与中位数的差别较大，说明男同学的得分两极分化现象严重，得分高的和得分低的相差较大．