2021-2022学年湖北省武汉市新洲区阳逻街三校联考八年级（下）期中数学试卷

这是一份2021-2022学年湖北省武汉市新洲区阳逻街三校联考八年级（下）期中数学试卷，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年湖北省武汉市新洲区阳逻街三校联考八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）在二次根式中，m的取值范围是（　　）
A．m≠3 B．m＞3 C．m≥3 D．m≥﹣3
2．（3分）下列各式计算正确的是（　　）
A．8 B．3 C．（）2＝10 D．（）2＝﹣3
3．（3分）如图，在▱ABCD中，∠ABC＝140°，∠BCD的平分线交BA的延长线于点E，则∠E的度数为（　　）

A．30° B．35° C．20° D．25°
4．（3分）有公共边的两个直角三角形，称为“双生直角三角形”，例如边长为3，4，5的Rt△和边长为5，12，13的Rt△．下列给定的数组中，不能构成“双生直角三角形”边长的是（　　）
A．3，4，5，12，13 B．5，6，8，10，5
C．5，8，12，13，4 D．2，3，4，5，3
5．（3分）已知，四边形ABCD，AC，BD交于点O，请从给定四个条件
①AB＝CD；
②AD∥BC；
③∠BAD＝∠BCD；
④BO＝DO中
选择两个，使得四边形ABCD可判定为平行四边形，你的选择是（　　）
A．①② B．②④ C．①③ D．①④
6．（3分）菱形ABCD的边长为4，∠A＝60°，点G为AB的中点，以BG为边作菱形BEFG，其中点E在CB的延长线上，点P为FD的中点，则PB＝（　　）

A． B．2 C．1 D．
7．（3分）如图，在矩形ABCD中，AD＞AB且均为定长，如果E、F分别是AD、BC上的动点且直线EF平分AC，G，H是对角线AC上的点．下列判断：
①在AC上存在无数组G，H，使得四边形EGFH是平行四边形；
②在AC上存在无数组G，H，使得四边形EGFH是矩形；
③在AC上存在无数组G，H，使得四边形EGFH是菱形；
④在AC上有且只有一组G，H，使得四边形EGFH是正方形．
其中正确的是（　　）

A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
8．（3分）将一张正方形纸片按如图的步骤，通过折叠得到④，再沿虚线剪去一个角，展开平铺后得到⑤，其中FM、GN为折痕，若正方形EFGH与五边形MCNGF的面积之比为4：7，则的值为（　　）

A． B． C． D．
9．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝2，点E从D向C以每秒1个单位的速度运动，以AE为一边在AE的左上方作正方形AEFG，同时垂直于CD的直线MN也从C向D以每秒2个单位的速度运动，当点F落在直线MN上，设运动的时间为t，则t的值为（　　）

A．1 B．4 C． D．
10．（3分）如图，边长为2的正方形EFGH在边长为6的正方形ABCD所在平面上平移，在平移过程中，始终保持EF∥AB，线段BH的中点为M，AF的中点为N，则线段MN的长为（　　）

A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）计算：　 　．
12．（3分）已知n是正整数，是整数，则n的最小值是 　 　．
13．（3分）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，点D是边AC的中点，连接BD，点E为AC延长线上的一点，连接BE，∠E＝30°，则CE的长为 　 　．

14．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，且正方形对角线交于点O，连接OC，已知AC，OC＝2，则另一直角边BC的长为 　 　．

15．（3分）若正方形ABCD的边长为8，E为BC边上一点，BE＝6，M为线段AE上一点，射线BM交正方形的一边于点F，且BF＝AE，则BM的长为　 　．
16．（3分）已知，如图：一张矩形纸片ABCD，AB＝6，AD＝8，E为AD边上一动点，将矩形沿BE折叠，要使点A落在BC上，则折痕BE的长度是　 　；若点A落在AC上，则折痕BE与AC的位置关系是　 　；若翻折后A点的对应点是A'点，连接DA'，则在点E运动的过程中，DA'的最小值是　 　．

三、解答题（共8题，共72分）
17．（8分）计算：
（1）（）；
（2）8x．
18．（8分）如图，△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，CF⊥AE于F，AB＝12，AC＝6，求DF的长．

19．（8分）如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上（点E与点C、D不重合），过点E作FG⊥BE，FG与边AD相交于点F，与边BC的延长线相交于点G．
（1）线段DF，CE和CG有什么样的数量关系？并证明你所得到的结论．
（2）如果正方形的边长是2，FG＝3，求点A到直线BE的距离．

20．（8分）四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，点E在边AB上，点F在AD的延长线上，且点E与点F关于直线CD对称，过点E作EG∥AF交CD于点G，连接FG，DE．
（1）求证：四边形DEGF是菱形；
（2）若AB＝10，AF＝BC＝8，求四边形DEGF的面积．

21．（8分）如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E．

（1）如图1，作AF⊥CD于点F，连接EF，BD，求证：EF∥BD；
（2）如图2，设AE与对角线BD相交于点G，若CE＝4，BE＝6，四边形CDGE和△AGD的面积分别是S1和S2，求S1﹣S2的值．

22．（10分）在每个小正方形的边长为1的网格中，用无刻度的直尺，按下列要求画图．

（1）如图①，点A，M在格点上，则AM的长度为 　 　；
（2）在图①中画出以AM为一边的正方形MABC；
（3）如图②，线段NF与图①中的线段AM平行且相等并经过格点O，在图②中画出以NF为一边的菱形FNPQ（FNPQ不是正方形）．
23．（10分）菱形ABCD中，E，F为边AB，AD上的点，CF，DE相交于点G．
（1）如图1，若∠A＝90°，DE⊥CF，求证：DE＝CF；
（2）如图2，若DE＝CF．试探究此时∠EGF和∠A满足什么关系？并证明你的结论；
（3）如图3，在（1）的条件下，平移线段DE到MN，使G为CF的中点，连接BD交MN于点H，若∠FCD＝15°，求的值．

24．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分别为A（a，m），B（b，0），C（c，0），D（d，n），且BD平分∠ABC，且a，b，c，d，m，n满足关系式|m﹣n|＝0．
（1）判断四边形ABCD的形状并证明你的结论．
（2）在图1中，若∠ABC＝60°，BD交y轴于点F，点P为线段FD上一点，连接PA，且点E与点B关于y轴对称，连接PE，若PE＝PA，
①试求∠APE的度数；
②试求的值．
（3）如图2，在（2）的条件下，若PE与CD交于点M，且∠CME＝45°，请直接写出的值 　 　．


2021-2022学年湖北省武汉市新洲区阳逻街三校联考八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）在二次根式中，m的取值范围是（　　）
A．m≠3 B．m＞3 C．m≥3 D．m≥﹣3
【解答】解：∵m﹣3≥0，
∴m≥3．
故选：C．
2．（3分）下列各式计算正确的是（　　）
A．8 B．3 C．（）2＝10 D．（）2＝﹣3
【解答】解：A、原式，故A不符合题意．
B、原式3，故B符合题意．
C、原式＝5，故C不符合题意．
D、原式＝3，故D不符合题意．
故选：B．
3．（3分）如图，在▱ABCD中，∠ABC＝140°，∠BCD的平分线交BA的延长线于点E，则∠E的度数为（　　）

A．30° B．35° C．20° D．25°
【解答】解：∵∠BCD的平分线交BA的延长线于点E，
∴∠BCE＝∠DCE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AE∥DC，
∴∠DCF＝∠E，
∴∠E＝∠BCE，
∵∠ABC＝140°，
∴∠E＝20°，
故选：C．

4．（3分）有公共边的两个直角三角形，称为“双生直角三角形”，例如边长为3，4，5的Rt△和边长为5，12，13的Rt△．下列给定的数组中，不能构成“双生直角三角形”边长的是（　　）
A．3，4，5，12，13 B．5，6，8，10，5
C．5，8，12，13，4 D．2，3，4，5，3
【解答】解：A．∵32+42＝52，52+122＝132，
∴能构成“双生直角三角形”，故本选项不符合题意；
B．∵62+82＝102，2，52+（5）2≠＝102，
∴能构成“双生直角三角形”，故本选项不符合题意；
C．∵52+122＝132，82+（4）2＝122，
∴能构成“双生直角三角形”，故本选项不符合题意；
D．∵22＝4，32＝9，42＝16，52＝25，（3）2＝18，
∴32+42＝52，
∴不能构成“双生直角三角形”，故本选项符合题意；
故选：D．
5．（3分）已知，四边形ABCD，AC，BD交于点O，请从给定四个条件
①AB＝CD；
②AD∥BC；
③∠BAD＝∠BCD；
④BO＝DO中
选择两个，使得四边形ABCD可判定为平行四边形，你的选择是（　　）
A．①② B．②④ C．①③ D．①④
【解答】解：选择②③或②④，理由如下：
选择②③时，
∵AD∥BC，
∴∠BAD+∠ABC＝180°，
∵∠BAD＝∠BCD，
∴∠BCD+∠ABC＝180°，
∴AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形；
选择②④时，
∵AD∥BC，
∴∠OAD＝∠OCB，
在△OAD和△OCD中，
，
∴△OAD≌△OCD（AAS），
∴OA＝OC，
又∵OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形；
故选：B．

6．（3分）菱形ABCD的边长为4，∠A＝60°，点G为AB的中点，以BG为边作菱形BEFG，其中点E在CB的延长线上，点P为FD的中点，则PB＝（　　）

A． B．2 C．1 D．
【解答】解：如图，连接BF、BD，
∵菱形ABCD的边长为4，
∴AB＝BC＝CD＝4，
∵∠A＝60°，
∴△BCD是等边三角形，
∴BD＝BC＝4，∠DBC＝60°，
∴∠DBA＝60°，
∵点G为AB的中点，
∴菱形BEFG的边长为2，
即BE＝EF＝BG＝2，
∵点E在CB的延长线上，∠GBE＝60°，
∴∠FBG＝30°，
连接EG，交BF于O，
∵四边形BEFG是菱形，
∴EG⊥FB，∠OBG＝30°，OB＝OF，
∴OGBG＝1，
∴OBOG，
∴FB＝2OB＝2，
∵∠DBF＝∠DBA+∠FBG＝90°，
∴DF2，
∵点P为FD的中点，
∴PBDF．
故选：A．

7．（3分）如图，在矩形ABCD中，AD＞AB且均为定长，如果E、F分别是AD、BC上的动点且直线EF平分AC，G，H是对角线AC上的点．下列判断：
①在AC上存在无数组G，H，使得四边形EGFH是平行四边形；
②在AC上存在无数组G，H，使得四边形EGFH是矩形；
③在AC上存在无数组G，H，使得四边形EGFH是菱形；
④在AC上有且只有一组G，H，使得四边形EGFH是正方形．
其中正确的是（　　）

A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【解答】解：①在AC上存在无数组G，H，使得四边形EGFH是平行四边形，故该说法正确；
②在AC上存在无数组G，H，使得四边形EGFH是矩形，故该说法正确；
③在AC上存在无数组G，H，使得四边形EGFH是菱形，故该说法正确；
④当AG时，存在E、F、H，使得四边形EGFH是正方形，在AC上有且只有一组G，H，使得四边形EGFH是正方形，说法正确；
故选：D．
8．（3分）将一张正方形纸片按如图的步骤，通过折叠得到④，再沿虚线剪去一个角，展开平铺后得到⑤，其中FM、GN为折痕，若正方形EFGH与五边形MCNGF的面积之比为4：7，则的值为（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：如图，连接HF，直线HF与AD交于点P，

∵正方形EFGH与五边形MCNGF的面积之比为4：7，
设正方形EFGH与五边形MCNGF的面积为4x2，7x2，
∴GF2＝4x2，
∴GF＝2x，
∴HF2x，
由折叠可知：
正方形ABCD的面积为：4x2+4×7x2＝32x2，
∴PM2＝32x2，
∴PM＝4x，
∴FM＝PH（PM﹣HF）（4x﹣2x）x，
∴．
故选：B．
9．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝2，点E从D向C以每秒1个单位的速度运动，以AE为一边在AE的左上方作正方形AEFG，同时垂直于CD的直线MN也从C向D以每秒2个单位的速度运动，当点F落在直线MN上，设运动的时间为t，则t的值为（　　）

A．1 B．4 C． D．
【解答】解：过点F作FH⊥CD，交直线CD于点H，如图所示：

则∠EHF＝90°，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ADE＝90°，
∴∠ADE＝∠EHF，
在正方形AEFG中，∠AEF＝90°，AE＝EF，
∴∠AED+∠HEF＝90°，
∵∠HEF+∠EFH＝90°，
∴∠AED＝∠EFH，
∴△ADE≌△EHF（AAS），
∴EH＝AD＝2，
∵AB＝8，
根据题意，得t+2t＝2+8，
∴t，
故选：C．
10．（3分）如图，边长为2的正方形EFGH在边长为6的正方形ABCD所在平面上平移，在平移过程中，始终保持EF∥AB，线段BH的中点为M，AF的中点为N，则线段MN的长为（　　）

A． B． C． D．
【解答】解：连接EH，AH，取AH的中点P，连接MP、NP，过N作NQ⊥MP于点Q，如图，

∵M、N分别是BH、AF的中点，
∴MP∥AB，NP∥FH，MP，NP，
∵AB∥EF∥GH，
∴MP∥GH，
∴∠MPN＝∠GHF＝45°，
∴NQ＝PQPN＝1，
∴MN．
故选：C．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）计算：　5　．
【解答】解：原式5．
故答案为：5．
12．（3分）已知n是正整数，是整数，则n的最小值是 　3　．
【解答】解：n为正整数，是整数，
则5n+1是一个完全平方数，
所以n最小值为3．
故答案为：3．
13．（3分）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，点D是边AC的中点，连接BD，点E为AC延长线上的一点，连接BE，∠E＝30°，则CE的长为 　　．

【解答】解：∵△ABC是等腰三角形，
∴BA＝BC＝2，
∴AC，
∵D是边AC的中点，
∴BD⊥AC，BD＝AD＝CD，
∴BD⊥DE，
∵∠E＝30°，
∴BE＝2BD＝2，
∴DE，
∴CE＝DE﹣DC，
故答案为：．
14．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，且正方形对角线交于点O，连接OC，已知AC，OC＝2，则另一直角边BC的长为 　　．

【解答】解：过O作OF⊥BC于F，过A作AM⊥OF于M，

∵∠ACB＝90°，
∴∠AMO＝∠OFB＝90°，∠ACB＝∠CFM＝∠AMF＝90°，
∴四边形ACFM是矩形，
∴AM＝CF，AC＝MF，
∵四边形ABDE为正方形，
∴∠AOB＝90°，OA＝OB，
∴∠AOM+∠BOF＝90°，
∵∠AMO＝90°，
∴∠AOM+∠OAM＝90°，
∴∠BOF＝∠OAM，
在△AOM和△OBF中，
，
∴△AOM≌△OBF（AAS），
∴AM＝OF，OM＝FB，
∴OF＝CF，
∵∠CFO＝90°，
∴△CFO是等腰直角三角形，
∵OC＝2，由勾股定理得：CF＝OF＝2，
∴BF＝OM＝OF﹣FM＝2，
∴BC＝2．
故答案为：．
15．（3分）若正方形ABCD的边长为8，E为BC边上一点，BE＝6，M为线段AE上一点，射线BM交正方形的一边于点F，且BF＝AE，则BM的长为　　．
【解答】解：如图，当BF如图位置时，
∵AB＝AB，∠BAF＝∠ABE＝90°，AE＝BF，
∴△ABE≌△BAF（HL），
∴∠ABM＝∠BAM，
∴AM＝BM，AF＝BE＝6，
∵AB＝8，BE＝6，
∴AE10，
过点M作MS⊥AB，由等腰三角形的性质知，点S是AB的中点，BS＝4，SM是△ABF的中位线，
∴SMBE6＝3，
∴BMAE10＝5，
当BF为BG位置时，易得Rt△BCG≌Rt△ABE，
∴BG＝AE＝10，∠AEB＝∠BGC，
∴△BHE∽△BCG，
∴BH：BC＝BE：BG，
∴BH．

16．（3分）已知，如图：一张矩形纸片ABCD，AB＝6，AD＝8，E为AD边上一动点，将矩形沿BE折叠，要使点A落在BC上，则折痕BE的长度是　6　；若点A落在AC上，则折痕BE与AC的位置关系是　AC⊥BE　；若翻折后A点的对应点是A'点，连接DA'，则在点E运动的过程中，DA'的最小值是　4　．

【解答】解：若将矩形沿BE折叠，点A落在BC上，
∴AB＝AE＝6，
∴BE＝6，
若将矩形沿BE折叠，点A落在AC上，
∴AC⊥BE，
如图，连接BD，

∵AB＝6，AD＝8，
∴BD10，
若翻折后A点的对应点是A'点，
∴BA＝BA'＝6，
∴点A'在以点B为圆心，6为半径的圆上，
∴当点A'在线段BD上时，DA'有最小值＝10﹣6＝4，
故答案为：6；AC⊥BE；4．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（8分）计算：
（1）（）；
（2）8x．
【解答】解：（1）原式＝32
＝23；

（2）原式38x•
＝24
＝5．
18．（8分）如图，△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，CF⊥AE于F，AB＝12，AC＝6，求DF的长．

【解答】解：延长CF交AB于G，
∵AE是角平分线，
∴∠GAF＝∠CAF，
在△GAF和△CAF中，
，
∴△GAF≌△CAF（ASA），
∴AG＝AC＝6，CF＝FG，
∴BG＝AB﹣AG＝6，
∵CF＝FG，CD＝DB，
∴DFBG＝3．

19．（8分）如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上（点E与点C、D不重合），过点E作FG⊥BE，FG与边AD相交于点F，与边BC的延长线相交于点G．
（1）线段DF，CE和CG有什么样的数量关系？并证明你所得到的结论．
（2）如果正方形的边长是2，FG＝3，求点A到直线BE的距离．

【解答】解：（1）DF+CG＝CE，理由如下：
∵FH∥DC，AD∥BC，∠BCD＝90°，
∴四边形FHCD为矩形，
∴DF＝HC，
如图，过点F作FH∥DC交BC于H，

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，BC＝CD，AD∥BC，
∵FH∥DC，
∴∠FHG＝90°，FH＝CD，
∵∠BCD＝90°，FG⊥BE，
∴∠EBC+∠BEC＝90°，∠EBC+∠G＝90°，
∴∠G＝∠BEC，
在△BEC和△FGH中，
，
∴△BEC≌△FGH（AAS），
∴BE＝FG，HG＝CE，
∵HG＝HC+CG＝DF+CG，
∴DF+CG＝CE；
（2）如图，连接AE，过点A作AP⊥BE于P，

∵△BEC≌△FGH，
∴BE＝FG＝3，
∵正方形的边长为2，
∴△ABE的面积AB•AD2×2＝2，
则BE×AP＝2，即3×AP＝2，
解得，AP，即点A到直线BE的距离为．
20．（8分）四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，点E在边AB上，点F在AD的延长线上，且点E与点F关于直线CD对称，过点E作EG∥AF交CD于点G，连接FG，DE．
（1）求证：四边形DEGF是菱形；
（2）若AB＝10，AF＝BC＝8，求四边形DEGF的面积．

【解答】证明：（1）∵点E与点F关于直线 CD对称，
∴FD＝ED，FG＝EG，且DG＝DG，
∴△FDG≌△EDG（SSS），
∴∠EDG＝∠FDG，
∵EG∥AF，
∴∠EGD＝∠FDG，
∴∠EGD＝∠EDG，
∴ED＝EG，
∴FD＝ED＝FG＝EG，
∴四边形DEGF是菱形；
（2）连接FC，EC，

∵∠A＝∠B＝90°，
∴AF∥CB，且AF＝BC＝8，
∴四边形ABCF是平行四边形，且∠A＝90°，
∴四边形ABCF是矩形，
∴CE＝CF＝AB＝10，
∴BE＝6，
∴AE＝4，
设FD＝ED＝FG＝EG＝x，则AD＝8﹣x，
在Rt△ADE中，42+（8﹣x）2＝x2，
∴x＝5．
∴S＝5×4＝20．
21．（8分）如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E．

（1）如图1，作AF⊥CD于点F，连接EF，BD，求证：EF∥BD；
（2）如图2，设AE与对角线BD相交于点G，若CE＝4，BE＝6，四边形CDGE和△AGD的面积分别是S1和S2，求S1﹣S2的值．

【解答】（2）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABE＝∠ADF，AB＝AD＝BC＝CD，
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEB＝∠AFD＝90°，
在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（AAS），
∴BE＝DF，
∵BC＝CD，
∴CE＝CF，
∴∠CEF＝∠CBD（180°﹣∠C），
∴EF∥BD；
（3）解：连接CG，如图所示：

∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ADG＝∠CDG，AD＝CD，
在△ADG和△CDG中，
，
∴△ADG≌△CDG（SAS），
∴AG＝CG，△ADG和△CDG的面积相等，
∴S1﹣S2＝S△CGE，
AB＝BC＝CE+BE＝6+4＝10，
∵AE⊥BC，
∴AE8，
设EG＝x，则AG＝CG＝8﹣x，
∵AE⊥BC，
∴EG2+EC2＝CG2，即：x2+42＝（8﹣x）2，
解得：x＝3，即EG＝3，
∴S1﹣S2＝S△CGECE•EG4×3＝6．
22．（10分）在每个小正方形的边长为1的网格中，用无刻度的直尺，按下列要求画图．

（1）如图①，点A，M在格点上，则AM的长度为 　　；
（2）在图①中画出以AM为一边的正方形MABC；
（3）如图②，线段NF与图①中的线段AM平行且相等并经过格点O，在图②中画出以NF为一边的菱形FNPQ（FNPQ不是正方形）．
【解答】解：（1）AM，
故答案为：；

（2）如图①中，正方形MABC即为所求；

（3）如图②中，菱形FNPQ即为所求．

23．（10分）菱形ABCD中，E，F为边AB，AD上的点，CF，DE相交于点G．
（1）如图1，若∠A＝90°，DE⊥CF，求证：DE＝CF；
（2）如图2，若DE＝CF．试探究此时∠EGF和∠A满足什么关系？并证明你的结论；
（3）如图3，在（1）的条件下，平移线段DE到MN，使G为CF的中点，连接BD交MN于点H，若∠FCD＝15°，求的值．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∠A＝90°，
∴四边形ABCD是正方形，
∴∠EAD＝∠FDC＝90°，AD＝CD，
∵DE⊥CF，
∴∠FCD+∠GDC＝90°＝∠GDC+∠ADE，
∴∠FCD＝∠ADE，
∴△ADE≌△DCF（ASA），
∴DE＝CF；
（2）解：∠EAF+∠EGF＝180°；证明如下：
过D作DR⊥AB于R，过C作CS⊥AD于S，如图：

∵S菱形ABCD＝AB•DR＝AD•CS，AB＝AD，
∴DR＝CS，
∵DE＝CF，
∴Rt△DRE≌Rt△CSF（HL），
∴∠CFS＝∠RED，
∵∠CFS+∠AFG＝180°，
∴∠RED+∠AFG＝180°，
∴∠EAF+∠EGF＝180°；
（3）解：连接FM，过H作TK∥AB交AD于T，交BC于K，连接CH，如图：

由（1）知MN⊥CF，又G为CF中点，
∴MN是CF的垂直平分线，
∴MF＝CM，CH＝FH，
∴∠MFC＝∠MCF＝15°，
∴∠FMD＝30°，
设DF＝x，则MF＝CM＝2x，DMx，
∴AB＝CD＝（2）x，
∵AE＝DF＝x，EN＝DMx，
∴BN＝AB﹣AE﹣EN＝x，
∵BN∥DM，
∴，
∵DT∥BK，
∴，HK+TK＝AB＝（2）x，
∴HKx，TKx，
∵正方形ABCD，
∴∠HBK＝45°，
∴BK＝HKx，BHHKx，
∴CK＝BC﹣BK＝（2）xxx，
∴tan∠HCK，
∴∠HCK＝30°，
∴CH＝2HK＝（1）x＝FH，
∴．
24．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分别为A（a，m），B（b，0），C（c，0），D（d，n），且BD平分∠ABC，且a，b，c，d，m，n满足关系式|m﹣n|＝0．
（1）判断四边形ABCD的形状并证明你的结论．
（2）在图1中，若∠ABC＝60°，BD交y轴于点F，点P为线段FD上一点，连接PA，且点E与点B关于y轴对称，连接PE，若PE＝PA，
①试求∠APE的度数；
②试求的值．
（3）如图2，在（2）的条件下，若PE与CD交于点M，且∠CME＝45°，请直接写出的值 　　．

【解答】解：（1）四边形ABCD是菱形．
证明：∵
∵|m﹣n|＝0．
∴d﹣a﹣c+b＝0，m﹣n＝0，
∴d﹣a＝c﹣b，m＝n，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝AD，
∴▱ABCD是菱形．
（2）①如图1，连接PC，过点P作PQ⊥x轴于点Q，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝CB，∠ABD＝∠CBD，
∵BP＝BP，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴PA＝PC，∠APB＝∠CPB，
∵PE＝PA，
∴PC＝PE，
∵PQ⊥CE，
∴∠CPQ＝∠EPQ，
∵∠ABC＝60°，
∴∠PBC＝30°，
∵∠BQP＝90°，
∴∠BPQ＝60°，即∠BPC+∠CPQ＝60°，
∴∠APE＝∠APB+∠BPC+∠CPQ+∠EPQ＝2（∠BPC+∠CPQ）＝120°；
②如图1，连接AC交BD于点S，
则AC⊥BD，BD＝2BS，
∵B（b，0），C（c，0），
∴BC＝c﹣b，
∵∠CBS＝30°，∠BSC＝90°，
∴CSBC（c﹣b），
∵BS（c﹣b），
∴BD（c﹣b），
在Rt△BFO中，OFBF，BF2﹣OF2＝OB2，
∴BFb，
在Rt△BPQ中，PQBP，BQ＝BCCE＝c﹣b，BP2﹣PQ2＝BQ2，
∴BP（c﹣3b），
∴PF＝BP﹣BF（c﹣3b）﹣（b）（c﹣b），
∴BF+PD＝BD﹣PF（c﹣b）（c﹣b）（c﹣b），
∴．
（3）∵点E与点B关于y轴对称，
∴E（﹣b，0），
∴BE＝﹣b﹣b＝﹣2b，
∵∠CME＝45°，
∴∠DMP＝45°，
∵∠BDC＝30°，
∴∠BPE＝∠BDC+∠DMP＝30°+45°＝75°，
∵∠DCE＝∠ABC＝60°，
∴∠BEP＝180°﹣∠DCE﹣∠CME＝180°﹣60°﹣45°＝75°，
∴∠BPE＝∠BEP，
∴BP＝BE＝﹣2b，
∵∠DBC＝30°，PQ⊥x轴，
∴PQBP＝﹣b，
∴BQb，
由（2）②知：BQ，
∴b，
∴c＝（3﹣2）b，
∴，
故答案为：．


声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2022/5/30 7:40:44；用户：朱文磊；邮箱：fywgy23@xyh.com；学号：21522783