高中数学北师大版 (2019)必修 第一册4.2 简单幂函数的图像和性质课后测评

2.4.2　简单幂函数的图象和性质

1.函数y=3xα-2的图象过定点(　　)

A.(1,1) B.(-1,1) 

C.(1,-1) D.(-1,-1)

2.在下列幂函数中,既是奇函数又在区间(0,+∞)上单调递增的是(　　)

A.f(x)=x-1 B.f(x)=x-2

C.f(x)=x3 D.f(x)=

3.(多选题)下列结论不正确的是(　　)

A.幂函数的图象都过点(0,0),(1,1)

B.幂函数的图象可以出现在第四象限

C.当幂指数α取1,3,时,幂函数y=xα都是增函数

D.当幂指数α=-1时,幂函数y=xα在其整个定义域上是减函数

4.当x∈(1,+∞)时,函数y=xα的图象恒在直线y=x的下方,则α的取值范围是(　　)

A.0<α<1 B.α<0

C.α<1 D.α>1

5.幂函数y=xm与y=xn在第一象限内的图象如图所示,则(　　)

A.-1<n<0<m<1                     B.n<-1,0<m<1

C.-1<n<0,m>1                      D.n<-1,m>1

6.(多选题)(2020山东日照高一期末)已知函数f(x)=xα图象经过点(4,2),则下列命题正确的有(　　)

A.函数f(x)为增函数

B.函数f(x)为偶函数

C.若x>1,则f(x)>1

D.若0<x1<x2,则<f

7.已知函数f(x)=(m2-m-1)是幂函数,对任意x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,满足>0,若a,b∈R,且a+b>0,ab<0,则f(a)+f(b)的值(　　)

A.恒大于0 B.恒小于0

C.等于0 D.无法判断

8.已知幂函数f(x)=mxn的图象过点(,2),设a=f(m),b=f(n),c=f(ln 2),则(　　)

A.c<b<a B.c<a<b

C.b<c<a D.a<b<c

9.(多选题)已知实数a,b满足等式,则下列关系式可能成立的是(　　)

A.0<b<a<1 B.-1<a<b<0

C.1<a<b D.a=b

10.若(a+1<(3-2a,则a的取值范围是　　　　　.

11.已知幂函数f(x)=(m∈Z)的图象关于y轴对称,并且f(x)在第一象限内是单调递减函数,则m=　　　　　. 

12.为了保证信息的安全传输,有一种密钥密码系统,其加密、解密原理为:发送方由明文到密文(加密),接收方由密文到明文(解密).现在加密密钥为y=xα(α为常数),如“4”通过加密后得到密文“2”.若接收方接到密文“3”,则解密后得到的明文是　　　　　. 

13.已知函数y=(a2-3a+2)(a为常数),问:

(1)当a为何值时,此函数为幂函数?

(2)当a为何值时,此函数为正比例函数?

(3)当a为何值时,此函数为反比例函数?

14.已知幂函数f(x)=(m-1)2在区间(0,+∞)上单调递增,函数g(x)=2x-k.

(1)求实数m的值;

(2)当x∈(1,2]时,记ƒ(x),g(x)的值域分别为集合A,B,若A∪B=A,求实数k的取值范围.

15.已知幂函数f(x)=(2m2-6m+5)xm+1为偶函数.

(1)求f(x)的解析式;

(2)若函数y=f(x)-2(a-1)x+1在区间(2,3)上为单调函数,求实数a的取值范围.

16.已知幂函数f(x)=x(2-k)(1+k),k∈Z,且f(x)在区间(0,+∞)上单调递增.

(1)求实数k的值,并写出相应的函数f(x)的解析式.

(2)若F(x)=2f(x)-4x+3在区间[2a,a+1]上不单调,求实数a的取值范围.

(3)试判断是否存在正数q,使函数g(x)=1-qf(x)+(2q-1)x在区间[-1,2]上的值域为,若存在,求出q的值;若不存在,请说明理由.

参考答案

1.A

2.C

3.ABD

4.C      解析：由幂函数的图象特征知α<1.

5.B   解析：由于y=xm在区间(0,+∞)上单调递增,且为上凸函数,故0<m<1.由于y=xn在区间(0,+∞)上单调递减,且在直线x=1的右侧时,y=xn的图象在y=x-1的图象的下方,故n<-1.故选B.

6.ACD  

解析：因为函数f(x)=xα的图象经过点(4,2),

所以α=.所以f(x)=.

显然f(x)在定义域[0,+∞)上为增函数,所以A正确;

f(x)的定义域为[0,+∞),所以f(x)不具有奇偶性,所以B不正确;

当x>1时,>1,即f(x)>1,所以C正确;

当0<x1<x2时,2-f2

=2-

=

==-<0.

即<f成立,所以D正确.

7.A

解析：由已知函数f(x)=(m2-m-1)是幂函数,可得m2-m-1=1,解得m=2或m=-1,当m=2时,f(x)=x3,当m=-1时,f(x)=x-3,对任意的x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,满足>0,函数f(x)单调递增,所以m=2,此时f(x)=x3.又a+b>0,ab<0,可知a,b异号,且正数的绝对值大于负数的绝对值,则f(a)+f(b)恒大于0,故选A.

解析：幂函数f(x)=mxn的图象过点(,2),则所以幂函数的解析式为f(x)=x3,且函数f(x)单调递增.又ln 2<1<3,所以f(ln 2)<f(1)<f(3),即c<a<b,故选B.

8.B

9.ACD

解析：画出y=与y=的图象如图所示,

设=m,作直线y=m.

从图象知,若m=0或m=1,则a=b;

若0<m<1,则0<b<a<1;

若m>1,则1<a<b.

故其中可能成立的是ACD.

10.    解析：因为函数f(x)=的定义域为R,且为增函数,所以由不等式可得a+1<3-2a,解得a<.

11.1           解析：因为幂函数f(x)=(m∈Z)的图象关于y轴对称,所以函数f(x)是偶函数,所以m2-2m-3为偶数,所以m2-2m为奇数.又因为f(x)在第一象限内是单调递减,所以m2-2m-3<0,即-km<3,又m∈Z,所以m=1.

12.9     解析：由题目可知加密密钥y=xα(α是常数)是一个幂函数模型,所以要想求得解密后得到的明文,就必须先求出α的值.由题意,得2=4α,解得α=,则y=.由=3,得x=9,即明文是9.

13.解(1)由题意知a2-3a+2=1,即a2-3a+1=0,

解得a=.

(2)由题意知解得a=4.

(3)由题意知解得a=3.

14.解：(1)依题意得(m-1)2=1.∴m=0或m=2.

当m=2时,f(x)=x-2在区间(0,+∞)上单调递减,与题设矛盾,舍去.∴m=0.

(2)由(1)可知f(x)=x2,当x∈(1,2]时,函数f(x)和g(x)均单调递增.

∴集合A=(1,4],B=(2-k,4-k].

∵A∪B=A,∴B⊆A.∴

∴0≤k≤1.∴实数k的取值范围是[0,1].

15.解：(1)由f(x)为幂函数知2m2-6m+5=1,即m2-3m+2=0,得m=1或m=2,当m=1时,f(x)=x2是偶函数,符合题意;

当m=2时,f(x)=x3为奇函数,不符合题意,舍去.

故f(x)=x2.

(2)由(1)得y=x2-2(a-1)x+1,

函数y的对称轴为x=a-1,

由题意知函数y在区间(2,3)上为单调函数,

∴a-1≤2或a-1≥3,解得a≤3或a≥4.

∴a的取值范围为(-∞,3]∪[4,+∞).

16.解：(1)由题意知(2-k)(1+k)>0,解得-1<k<2.

又k∈Z,∴k=0或k=1,分别代入原函数,得f(x)=x2.

(2)由已知得F(x)=2x2-4x+3.要使函数F(x)在区间[2a,a+1]上不单调,

则2a<1<a+1,则0<a<.

(3)由已知,g(x)=-qx2+(2q-1)x+1.

假设存在这样的正数q符合题意,

则函数g(x)的图象是开口向下的抛物线,其对称轴为x==1-<1,因而,函数g(x)在区间[-1,2]上的最小值只能在x=-1或x=2处取得,

又g(2)=-1≠-4,

从而必有g(-1)=2-3q=-4,解得q=2.

此时,g(x)=-2x2+3x+1,其图象的对称轴x=∈[-1,2],

∴g(x)在区间[-1,2]上的最大值为g=-2×+3×+1=,符合题意.

∴存在q=2,使函数g(x)=1-qf(x)+(2q-1)x在区间[-1,2]上的值域为.