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2021-2022学年北京市房山区八年级（下）期中数学试卷
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这是一份2021-2022学年北京市房山区八年级（下）期中数学试卷，共32页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年北京市房山区八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本题共8道小题，每小题2分，共16分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的.
1．（2分）在平面直角坐标系中，点A（2，﹣1）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2分）下列曲线中，y不是x的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2分）下列多边形中，内角和与外角和相等的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2分）在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°．如果再添加一个条件可推出四边形是正方形，那么这个条件可以是（ ）
A．AB＝CD B．BC＝CD C．∠D＝90° D．AC＝BD
5．（2分）如图，平面直角坐标系中有A、B、C、D四个点，一次函数y＝mx+n（m＞0）的图象经过点D和另外三个点中的一个，判断下列哪一个点一定不在一次函数y＝mx+n（m＞0）的图象上（ ）
A．点A B．点B C．点C D．不确定
6．（2分）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AO＝3，∠AOB＝60°，则AD的长为（ ）
A．6 B．3 C．3 D．3
7．（2分）如图，已知正比例函数y1＝ax与一次函数y2x+b的图象交于点P，下面四个结论中正确的是（ ）
A．a＞0 B．b＜0
C．当x＜0时，y1＞y2 D．当x＞2时，y1＜y2
8．（2分）小苏和小林在一条300米的直道上进行慢跑，先到终点的同学会在跑道的尽头等待．在整个过程中，小苏和小林之间的距离y（单位：米）与跑步时间t（单位：秒）的对应关系如图所示，下列命题中正确的是（ ）
①小苏和小林在第19秒时相遇；
②小苏和小林之间的最大距离为30米；
③先到终点的同学用时58秒跑完了全程；
④先到终点的同学用时50秒跑完了全程；
A．①② B．①②③ C．①②④ D．②③
二、填空题（本题共8道小题，每小题2分，共16分）
9．（2分）函数中，自变量x的取值范围是 ．
10．（2分）已知点A（﹣3，y1）和点B（1，y2）在一次函数y＝2x+1的图象上，则y1 y2（填“＞”，“＝”或“＜”）
11．（2分）若一个多边形的内角和是540°，则这个多边形是 边形．
12．（2分）▱ABCD中，若∠A：∠B＝2：3，则∠C＝ ．
13．（2分）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A，B，D的坐标分别是（0，0），（5，0），（2，3），则顶点C的坐标是 ．
14．（2分）如图1，菱形纸片ABCD的面积为30cm2，对角线AC的长为6cm，将这个菱形纸片沿对角线剪开，得到四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形按图2所示的方法拼成正方形．则大正方形中空白小正方形的边长是 cm．
15．（2分）若直线y＝kx+3与两坐标轴围成的三角形的面积为6，则这条直线与x轴的交点坐标为 ．
16．（2分）在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．现存在以下四个条件：
①AB∥CD； ②AO＝OC；③AB＝AD；④AC平分∠DAB．
从中选取三个条件，可以判定四边形ABCD为菱形．则可以选择的条件序号是 （写出所有可能的情况）．
三、解答题（本题共12道小题，共68分）
17．（5分）在直角坐标系xOy中，已知一次函数yx+1的图象与x轴交于点A，交y轴交于点B
（1）求A，B两点的坐标；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出该函数的图象；
（3）根据图象回答：当y＞0时，x的取值范围是 ．
18．（5分）如图，浩宇的家、食堂、图书馆在同一条直线上．浩宇从家去食堂吃早餐，吃完早餐发现忘带借书卡了，回家途中遇到妈妈给他送来了借书卡，便高兴地去图书馆读书，然后回家．下图反映了这个过程中浩宇离家的距离y与时间x之间的对应关系．
根据图象回答下列问题：
（1）浩宇吃早餐用了 分钟，浩宇与妈妈相遇时他离图书馆 千米，浩宇从图书馆回家的平均速度是每分钟 千米；
（2）浩宇到达食堂之前离家的距离y与时间x之间的函数关系式为 ；
（3）你还能从图中发现什么信息（写出一条即可）
19．（6分）尺规作图：作一条线段的中点．
已知：线段AB，如图1所示．
求作：点O，使点O是线段AB的中点．
作法：
（1）如图2，在AB上方选取一点C，连接AC，BC；
（2）以点A为圆心，线段BC的长为半径作弧；再以点B为圆心，线段AC的长为半径作弧，两弧在AB下方交于点D；
（3）连结CD，与线段AB交于点O．所以点O就是所求作的线段AB的中点．
（1）请你根据作法用尺规作图将图2补全，保留作图痕迹；
（2）补全以下证明过程：
连接AD、BD，
由作图可知：BD＝ ，AD＝ ．
∴四边形ACBD是平行四边形（ ）
∴点O是线段AB中点（ ）．
20．（6分）如图，点E、F在▱ABCD的对角线AC上，且AE＝CF．求证：DE＝BF．
21．（6分）如图，▱ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E，CF平分∠BCD交AD于点F．请你判断AF与DE的数量关系并证明．
22．（6分）已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与x轴交点的横坐标为4，且过点A（﹣2，﹣3）．
（1）求一次函数y＝kx+b的表达式；
（2）过点P（0，n）作与x轴平行的直线，与一次函数y＝kx+b的图象交于点B，当线段PB≥2时，求n的取值范围．
23．（5分）已知：如图，▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，OB＝OC．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）如图，AM为射线，过点C作CP⊥射线AM于点P，连接PO、PD．请你补全图形，判断∠OPD与∠ODP的数量关系，并证明．
24．（5分）某蔬菜商人需要租赁货车运输蔬菜，经了解，当地运输公司有大、小两种型号货车，其租金和运力如表：
租金（元/辆）
最大运力（箱/辆）
大货车
650
50
小货车
560
40
（1）若该商人计划租用大、小货车共10辆，其中大货车x辆，共需付租金y元，请写出y与x的函数关系式；
（2）在（1）的条件下，若这批蔬菜共460箱，所租用的10辆货车可一次将蔬菜全部运回，请给出最节省费用的租车方案，并求出最低费用．
25．（5分）有这样一个问题：探究函数y＝x24的图象与性质．
思宇根据学习函数的经验，对函数y＝x24的图象与性质进行了探究．
下面是思宇的探究过程，请补充完整：
（1）函数y＝x24的图象与y轴 交点；（填写“有”或“无”）
（2）下表是y与x的几组对应值：
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
1
2
…
y
…
﹣2
n
…
则n的值为 ；
（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，思宇描出各对对应值为坐标的点．请你根据描出的点，帮助思宇画出该函数的大致图象；
（4）结合函数的图象，写出该函数的其他性质（一条即可）： ．
26．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy中，我们把横、纵坐标都为整数的点叫做整点．一次函数y＝kx﹣2（k≠0）的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B．
（1）若点A的坐标为（﹣5，0），则k的值为 ；
（2）在（1）的条件下，△AOB内的整点有 个（不包括三角形边上的整点）；
（3）已知点P（3，2），过点P作平行于x轴的直线，交直线y＝kx﹣2（k≠0）于点M；过点P作平行于y轴的直线，交直线y＝kx﹣2（k≠0）于点N．若△PMN存在且△PMN内（不含三角形的边）没有整点，结合图象求出k的取值范围．
27．（7分）如图1，在正方形ABCD中，点E为AD边上一点，连接BE．点M在CD边上运动．
（1）当点M和点C重合时（如图2），过点C做BE的垂线，垂足为点P，交直线AB于点N．请直接写出MN与BE的数量关系 ．
（2）当点M在CD边上运动时，过点M做BE的垂线，垂足为点P，交直线AB于点N（如图3），（1）中的结论依旧成立吗？请证明；
（3）如图4，当点M在CD边上运动时，N为直线AB．上一点，若MN＝BE，请问是否始终能证明MN⊥BE？请你说明理由．
28．（6分）在平面直角坐标系xOy中，对于P，Q两点给出如下定义：若点P的横、纵坐标之和等于点Q的横、纵坐标之和，则称P，Q两点为同和点，下图中的P，Q两点即为同和点．
（1）已知点A的坐标为（﹣3，1）．
①在点R（0，4），S（﹣4，2），T（3，﹣5）中，为点A的同和点的是 ．
②若点B在x轴上，且A，B两点为同和点，则点B的坐标为 ．
（2）直线y＝2x+4与x轴、y轴分别交于点M，N，点C为线段MN上一点．
①若点C与点D（﹣3，4）为同和点，求点C坐标；
②若存在点E（m，﹣3）与点C为同和点，求m的取值范围．
2021-2022学年北京市房山区八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共8道小题，每小题2分，共16分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的.
1．（2分）在平面直角坐标系中，点A（2，﹣1）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】解：∵2＞0，﹣1＜0，
∴点A（2，﹣1）在第四象限．
故选：D．
2．（2分）下列曲线中，y不是x的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、对于自变量x的每一个值，y不是都有唯一的值与它对应，所以y不是x的函数，故A符合题意；
B、对于自变量x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，所以y是x的函数，故B不符合题意；
C、对于自变量x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，所以y是x的函数，故C不符合题意；
D、对于自变量x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，所以y是x的函数，故D不符合题意；
故选：A．
3．（2分）下列多边形中，内角和与外角和相等的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：设所求多边形的边数为n，根据题意得
（n﹣2）•180°＝360°，
解得n＝4．
故选：B．
4．（2分）在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°．如果再添加一个条件可推出四边形是正方形，那么这个条件可以是（ ）
A．AB＝CD B．BC＝CD C．∠D＝90° D．AC＝BD
【解答】解：∵四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，∠D＝90°，AC＝BD，
故A，C，D不符合题意，
当AB＝AD时，即一组邻边相等时，矩形ABCD为正方形，
故B符合题意，
故选：B．
5．（2分）如图，平面直角坐标系中有A、B、C、D四个点，一次函数y＝mx+n（m＞0）的图象经过点D和另外三个点中的一个，判断下列哪一个点一定不在一次函数y＝mx+n（m＞0）的图象上（ ）
A．点A B．点B C．点C D．不确定
【解答】解：∵一次函数y＝mx+n（m＞0），
∴y随x的增大而增大，
∵一次函数y＝mx+n（m＞0）的图象经过点D，
∴点C一定不在一次函数y＝mx+n（m＞0）的图象上，
故选：C．
6．（2分）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AO＝3，∠AOB＝60°，则AD的长为（ ）
A．6 B．3 C．3 D．3
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝2AO，BD＝2BO，AO＝3，
∴AO＝OB＝3，AC＝BD＝6，
∵∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠ABO＝60°，AB＝3＝OA，
∴AD，
故选：B．
7．（2分）如图，已知正比例函数y1＝ax与一次函数y2x+b的图象交于点P，下面四个结论中正确的是（ ）
A．a＞0 B．b＜0
C．当x＜0时，y1＞y2 D．当x＞2时，y1＜y2
【解答】解：因为正比例函数y1＝ax的图象经过第一、三象限，所以a＞0，故A选项正确；
因为一次函数y2x+b的图象与y轴交于正半轴，所以b＞0，故B选项错误；
由图象可得：当x＜0时，y1＜y2，故C选项错误；
当x＞2时，y1＞y2，故D选项错误；
故选：A．
8．（2分）小苏和小林在一条300米的直道上进行慢跑，先到终点的同学会在跑道的尽头等待．在整个过程中，小苏和小林之间的距离y（单位：米）与跑步时间t（单位：秒）的对应关系如图所示，下列命题中正确的是（ ）
①小苏和小林在第19秒时相遇；
②小苏和小林之间的最大距离为30米；
③先到终点的同学用时58秒跑完了全程；
④先到终点的同学用时50秒跑完了全程；
A．①② B．①②③ C．①②④ D．②③
【解答】解：由图象可知，
①小苏和小林在第19秒时相遇，故①说法正确；
②小苏和小林之间的最大距离为30米，故②说法正确；
③先到终点的同学用时50秒跑完了全程，故③说法正确，④说法正确．
所以命题中正确的是①②④．
故选：C．
二、填空题（本题共8道小题，每小题2分，共16分）
9．（2分）函数中，自变量x的取值范围是 x≥3 ．
【解答】解：根据题意得：x﹣3≥0，
解得：x≥3．
故答案是：x≥3．
10．（2分）已知点A（﹣3，y1）和点B（1，y2）在一次函数y＝2x+1的图象上，则y1 ＜ y2（填“＞”，“＝”或“＜”）
【解答】解：∵k＝2＞0，
∴y随x的增大而增大，
又∵点A（﹣3，y1）和点B（1，y2）在一次函数y＝2x+1的图象上，且﹣3＜1，
∴y1＜y2．
故答案为：＜．
11．（2分）若一个多边形的内角和是540°，则这个多边形是 五 边形．
【解答】解：设多边形的边数是n，则
（n﹣2）•180°＝540°，
解得n＝5，
故答案为：五．
12．（2分）▱ABCD中，若∠A：∠B＝2：3，则∠C＝ 72° ．
【解答】解：依题意设∠A＝2x，∠B＝3x，
由平行四边形的性质，得∠A+∠B＝180°，
∴2x+3x＝180°，解得x＝36°，
∴∠A＝2x＝72°，
∵∠A＝∠C，
∴∠C＝72°．
故答案为72°．
13．（2分）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A，B，D的坐标分别是（0，0），（5，0），（2，3），则顶点C的坐标是 （7，3） ．
【解答】解：因CD∥AB，所以C点纵坐标与D点相同．为3．
又因AB＝CD＝5，故可得C点横坐标为7．
故答案为（7，3）．
14．（2分）如图1，菱形纸片ABCD的面积为30cm2，对角线AC的长为6cm，将这个菱形纸片沿对角线剪开，得到四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形按图2所示的方法拼成正方形．则大正方形中空白小正方形的边长是 2 cm．
【解答】解：∵菱形的一条对角线AC的长为6cm，
∴它的一半为3cm，
∵菱形纸片ABCD的面积为30cm2，菱形对角线互相垂直，
∴另一条对角线长为30×2÷6＝10（cm），
∴它的一半5cm，
∴图2所示的空白小正方形边长为5﹣3＝2（cm），
故答案为：2．
15．（2分）若直线y＝kx+3与两坐标轴围成的三角形的面积为6，则这条直线与x轴的交点坐标为 （4，0）或（﹣4，0） ．
【解答】解：当x＝0时，y＝k×0+3＝3，
∴这条直线与y轴的交点坐标为（0，3）；
当y＝0时，kx+3＝0，
解得：x，
∴这条直线与x轴的交点坐标为（，0）．
又∵直线y＝kx+3与两坐标轴围成的三角形的面积为6，
∴3×||＝6，
∴k＝±，
经检验，k＝±是原方程的解，且符合题意，
∴这条直线与x轴的交点坐标为（4，0）或（﹣4，0）．
故答案为：（4，0）或（﹣4，0）．
16．（2分）在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．现存在以下四个条件：
①AB∥CD； ②AO＝OC；③AB＝AD；④AC平分∠DAB．
从中选取三个条件，可以判定四边形ABCD为菱形．则可以选择的条件序号是 ②③④ （写出所有可能的情况）．
【解答】解：如：若②AO＝OC；③AB＝AD；④AC平分∠DAB，
则四边形ABCD是菱形，
证明：∵AC平分∠DAB，
∴∠DAO＝∠BAO，
在△AOD和△AOB中，
，
∴△AOD≌△AOB（ASA），
∴DO＝CB，
∵AO＝OC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AB＝AD，
∴四边形ABCD是菱形，
故答案为：②③④．
三、解答题（本题共12道小题，共68分）
17．（5分）在直角坐标系xOy中，已知一次函数yx+1的图象与x轴交于点A，交y轴交于点B
（1）求A，B两点的坐标；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出该函数的图象；
（3）根据图象回答：当y＞0时，x的取值范围是 x＜2 ．
【解答】解：（1）令y＝0，则x＝2，
令x＝0，则y＝1，
所以点A的坐标为（2，0），
点B的坐标为（0，1）；
（2）如图：
（3）当y＞0时，x的取值范围是x＜2
故答案为：x＜2
18．（5分）如图，浩宇的家、食堂、图书馆在同一条直线上．浩宇从家去食堂吃早餐，吃完早餐发现忘带借书卡了，回家途中遇到妈妈给他送来了借书卡，便高兴地去图书馆读书，然后回家．下图反映了这个过程中浩宇离家的距离y与时间x之间的对应关系．
根据图象回答下列问题：
（1）浩宇吃早餐用了 17 分钟，浩宇与妈妈相遇时他离图书馆 0.6 千米，浩宇从图书馆回家的平均速度是每分钟 0.08 千米；
（2）浩宇到达食堂之前离家的距离y与时间x之间的函数关系式为 yx ；
（3）你还能从图中发现什么信息（写出一条即可）
【解答】解：（1）由图可知：浩宇吃早餐用了25﹣8＝17（分钟），浩宇与妈妈相遇时他离图书馆0.8﹣0.2＝0.6（千米），浩宇从图书馆回家的平均速度是每分钟0.8÷（135﹣125）＝0.08（千米/分钟），
故答案为：17，0.6，0.08；
（2）设浩宇到达食堂之前离家的距离y与时间x之间的函数关系式为y＝kx，
将（8，0.6）代入得：8k＝0.6，
解得k，
∴浩宇到达食堂之前离家的距离y与时间x之间的函数关系式为yx，
故答案为：yx；
（3）图中还有的信息，比如：浩宇从食堂返回0.4千米与妈妈相遇拿到借书卡，拿到借书卡后浩宇用6分钟到达图书馆，浩宇在图书馆看书时间是90分钟等（写出一条即可）．
19．（6分）尺规作图：作一条线段的中点．
已知：线段AB，如图1所示．
求作：点O，使点O是线段AB的中点．
作法：
（1）如图2，在AB上方选取一点C，连接AC，BC；
（2）以点A为圆心，线段BC的长为半径作弧；再以点B为圆心，线段AC的长为半径作弧，两弧在AB下方交于点D；
（3）连结CD，与线段AB交于点O．所以点O就是所求作的线段AB的中点．
（1）请你根据作法用尺规作图将图2补全，保留作图痕迹；
（2）补全以下证明过程：
连接AD、BD，
由作图可知：BD＝ AC ，AD＝ BC ．
∴四边形ACBD是平行四边形（ 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ）
∴点O是线段AB中点（ 平行四边形的对角线互相平分 ）．
【解答】（1）解：如图，点O即为所求；
（2）证明：连接AD、BD，
由作图可知：BD＝AC，AD＝BC．
∴四边形ACBD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）
∴点O是线段AB中点（平行四边形的对角线互相平分）．
故答案为：AC，BC，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，平行四边形的对角线互相平分；
20．（6分）如图，点E、F在▱ABCD的对角线AC上，且AE＝CF．求证：DE＝BF．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC．
∴∠DAE＝∠BCF．
在△ADE和△CBF中，．
∴△ADE≌△CBF（SAS）．
∴DE＝BF．
21．（6分）如图，▱ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E，CF平分∠BCD交AD于点F．请你判断AF与DE的数量关系并证明．
【解答】解：AE＝DF．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EBC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE，
同理可得：DF＝CD，
∴AE＝DF，
即AF+EF＝DE+EF，
∴AF＝DE．
22．（6分）已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与x轴交点的横坐标为4，且过点A（﹣2，﹣3）．
（1）求一次函数y＝kx+b的表达式；
（2）过点P（0，n）作与x轴平行的直线，与一次函数y＝kx+b的图象交于点B，当线段PB≥2时，求n的取值范围．
【解答】解：（1）将（4，0），A（﹣2，﹣3）代入一次函数解析式得：，
解得：k，b＝﹣2．
∴一次函数的解析式为：yx﹣2．
（2）
如图，当n＝﹣1或n＝﹣3时，PB＝2，
当PB＞2时，直线y＝n在直线y＝﹣3和y＝﹣1之外．
∴当PB≥2时，n≤﹣3或n≥﹣1．
23．（5分）已知：如图，▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，OB＝OC．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）如图，AM为射线，过点C作CP⊥射线AM于点P，连接PO、PD．请你补全图形，判断∠OPD与∠ODP的数量关系，并证明．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝OC，BO＝OD，
∵OB＝OC，
∴AO＝OD＝OC＝OB，
∴AO+OC＝OB+OD，
∴AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）解：∠OPD＝∠ODP，
理由：∵CP⊥AM，
∴∠CPM＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝CO＝OD，
∴OPAC＝AO，
∴OP＝OD，
∴∠OPD＝∠ODP．
24．（5分）某蔬菜商人需要租赁货车运输蔬菜，经了解，当地运输公司有大、小两种型号货车，其租金和运力如表：
租金（元/辆）
最大运力（箱/辆）
大货车
650
50
小货车
560
40
（1）若该商人计划租用大、小货车共10辆，其中大货车x辆，共需付租金y元，请写出y与x的函数关系式；
（2）在（1）的条件下，若这批蔬菜共460箱，所租用的10辆货车可一次将蔬菜全部运回，请给出最节省费用的租车方案，并求出最低费用．
【解答】解：（1）由题意可得，
y＝650x+560（10﹣x）＝90x+5600，
即y与x的函数关系式为y＝90x+5600；
（2）由题意可得，
50x+40（10﹣x）≥460，
解得，x≥6，
∵y＝90x+5600，
∴k＝90，y随x的增大而增大，
∴当x＝6时，y取得最小值，此时y＝6140，10﹣x＝4，
答：最节省费用的租车方案是大货车6辆，小货车4辆，最低费用是6140元．
25．（5分）有这样一个问题：探究函数y＝x24的图象与性质．
思宇根据学习函数的经验，对函数y＝x24的图象与性质进行了探究．
下面是思宇的探究过程，请补充完整：
（1）函数y＝x24的图象与y轴 无 交点；（填写“有”或“无”）
（2）下表是y与x的几组对应值：
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
1
2
…
y
…
﹣2
n
…
则n的值为 ﹣4 ；
（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，思宇描出各对对应值为坐标的点．请你根据描出的点，帮助思宇画出该函数的大致图象；
（4）结合函数的图象，写出该函数的其他性质（一条即可）： 函数的图象与x轴交点有三个交点（答案不唯一） ．
【解答】解：（1）∵函数y＝x24自变量x的取值范围为x≠0，
∴函数y＝x24的图象与y轴无交点；
故答案为：无；
（2）把x＝1代入y＝x24得，y＝1﹣1﹣4＝﹣4，
∴n＝﹣4，
故答案为：﹣4；
（3）根据列表、描点、连线得出函数y＝x24的图象，所画的图象如图所示：
（4）通过图象直观得出函数的图象与x轴交点有三个交点（答案不唯一），
故答案为：函数的图象与x轴交点有三个交点（答案不唯一）．
26．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy中，我们把横、纵坐标都为整数的点叫做整点．一次函数y＝kx﹣2（k≠0）的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B．
（1）若点A的坐标为（﹣5，0），则k的值为 ；
（2）在（1）的条件下，△AOB内的整点有 2 个（不包括三角形边上的整点）；
（3）已知点P（3，2），过点P作平行于x轴的直线，交直线y＝kx﹣2（k≠0）于点M；过点P作平行于y轴的直线，交直线y＝kx﹣2（k≠0）于点N．若△PMN存在且△PMN内（不含三角形的边）没有整点，结合图象求出k的取值范围．
【解答】解：（1）将A（﹣5，0）代入一次函数解析式得：0＝﹣5k﹣2，
∴k．
故答案为：．
（2）由（1）知，一次函数为：yx﹣2．
当x＝0时，y＝﹣2，y＝0时，x＝﹣5．
∴A（﹣5，0），B（0，﹣2）．
如图：
∴△AOB内的整点有2个．
故答案为：2．
（3）如图：
如图，当直线y＝kx﹣2在直线m和n之间时，符合题意．
当直线y＝kx﹣2与直线n重合时，将点（4，1）代入直线得：4k﹣2＝1，
∴k．
当直线y＝kx﹣2与直线m重合时，将点（2，3）代入得：2k﹣2＝3，
∴k．
当直线y＝kx﹣2过点（3，2）时，不合题意，
此时k．
∴k的取值范围是：k且k．
27．（7分）如图1，在正方形ABCD中，点E为AD边上一点，连接BE．点M在CD边上运动．
（1）当点M和点C重合时（如图2），过点C做BE的垂线，垂足为点P，交直线AB于点N．请直接写出MN与BE的数量关系 MN＝BE ．
（2）当点M在CD边上运动时，过点M做BE的垂线，垂足为点P，交直线AB于点N（如图3），（1）中的结论依旧成立吗？请证明；
（3）如图4，当点M在CD边上运动时，N为直线AB．上一点，若MN＝BE，请问是否始终能证明MN⊥BE？请你说明理由．
【解答】解：（1）MN＝BE，
理由：如图2，∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠BAE＝90°，AB＝BC，AB＝BC，
∴∠ABE+∠BNC＝∠BNC+∠BCN＝90°，
∴∠ABE＝∠BCN，
在△ABE和△BCN中，
，
∴△ABE≌△BCN（ASA），
∴MN＝BE；
（2）（1）中的结论依旧成立，
证明：如图3，过N作NH⊥CD于H，交BE于K，
∴∠ANH＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝DA，
则四边形ADHN是矩形，
∴HN＝DA＝AB，∠BNH＝90°，
∵MN⊥BE，
∴∠PNK+∠PKN＝∠ABK+∠PKN＝90°，
∴∠PNK＝∠ABK，
在△ABE和△HNM中，
，
∴△ABE≌△HNM（ASA），
∴MN＝BE；
（3）始终能证明MN⊥BE，
理由：如图4，过N作NH⊥CD于H，交BE于K，设AM与BE交于P，
∴∠ANH＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝DA，
则四边形ADHN是矩形，
∴HN＝DA＝AB，∠BNH＝90°，
∴∠EBA+∠BKN＝90°，
在△ABE和△HNM中，
，
∴△ABE≌△HNM（SAS），
∴∠MNH＝∠EBA，
∴∠MNH+∠BKN＝90°，
∴∠NPK＝90°，
∴MN⊥BE．
28．（6分）在平面直角坐标系xOy中，对于P，Q两点给出如下定义：若点P的横、纵坐标之和等于点Q的横、纵坐标之和，则称P，Q两点为同和点，下图中的P，Q两点即为同和点．
（1）已知点A的坐标为（﹣3，1）．
①在点R（0，4），S（﹣4，2），T（3，﹣5）中，为点A的同和点的是 S，T ．
②若点B在x轴上，且A，B两点为同和点，则点B的坐标为 （﹣2，0） ．
（2）直线y＝2x+4与x轴、y轴分别交于点M，N，点C为线段MN上一点．
①若点C与点D（﹣3，4）为同和点，求点C坐标；
②若存在点E（m，﹣3）与点C为同和点，求m的取值范围．
【解答】解：（1）①∵点A的坐标为（﹣3，1），
∴﹣3+1＝﹣2，
∵点R（0，4），S（﹣4，2），T（3，﹣5），
∴0+4＝4，﹣4+2＝﹣2，3+（﹣5）＝﹣2，
∴点A的同和点的是S，T，
故答案为：S，T；
②∵点B在x轴上，且A，B两点为同和点，
∴点B（﹣2，0），
故答案为：（﹣2，0）；
（2）①∵直线y＝2x+4与x轴、y轴分别交于点M，N，
∴点M（﹣2，0），点N（0，4），
∵点C与点D（﹣3，4）为同和点，
∴设点C（a，1﹣a），
∴1﹣a＝2a+4，
∴a＝﹣1，
∴点C坐标为（﹣1，2）；
②设点C坐标为（b，2b+4），
∵点E（m，﹣3）与点C为同和点，
∴m+（﹣3）＝b+2b+4，
∴m＝3b+7，
∵点C为线段MN上一点，
∴﹣2≤b≤0，
∴1≤m≤7．
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2021-2022学年北京市房山区八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本题共8道小题，每小题2分，共16分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的.
1．（2分）在平面直角坐标系中，点A（2，﹣1）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2分）下列曲线中，y不是x的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2分）下列多边形中，内角和与外角和相等的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2分）在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°．如果再添加一个条件可推出四边形是正方形，那么这个条件可以是（ ）
A．AB＝CD B．BC＝CD C．∠D＝90° D．AC＝BD
5．（2分）如图，平面直角坐标系中有A、B、C、D四个点，一次函数y＝mx+n（m＞0）的图象经过点D和另外三个点中的一个，判断下列哪一个点一定不在一次函数y＝mx+n（m＞0）的图象上（ ）
A．点A B．点B C．点C D．不确定
6．（2分）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AO＝3，∠AOB＝60°，则AD的长为（ ）
A．6 B．3 C．3 D．3
7．（2分）如图，已知正比例函数y1＝ax与一次函数y2x+b的图象交于点P，下面四个结论中正确的是（ ）
A．a＞0 B．b＜0
C．当x＜0时，y1＞y2 D．当x＞2时，y1＜y2
8．（2分）小苏和小林在一条300米的直道上进行慢跑，先到终点的同学会在跑道的尽头等待．在整个过程中，小苏和小林之间的距离y（单位：米）与跑步时间t（单位：秒）的对应关系如图所示，下列命题中正确的是（ ）
①小苏和小林在第19秒时相遇；
②小苏和小林之间的最大距离为30米；
③先到终点的同学用时58秒跑完了全程；
④先到终点的同学用时50秒跑完了全程；
A．①② B．①②③ C．①②④ D．②③
二、填空题（本题共8道小题，每小题2分，共16分）
9．（2分）函数中，自变量x的取值范围是 ．
10．（2分）已知点A（﹣3，y1）和点B（1，y2）在一次函数y＝2x+1的图象上，则y1 y2（填“＞”，“＝”或“＜”）
11．（2分）若一个多边形的内角和是540°，则这个多边形是 边形．
12．（2分）▱ABCD中，若∠A：∠B＝2：3，则∠C＝ ．
13．（2分）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A，B，D的坐标分别是（0，0），（5，0），（2，3），则顶点C的坐标是 ．
14．（2分）如图1，菱形纸片ABCD的面积为30cm2，对角线AC的长为6cm，将这个菱形纸片沿对角线剪开，得到四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形按图2所示的方法拼成正方形．则大正方形中空白小正方形的边长是 cm．
15．（2分）若直线y＝kx+3与两坐标轴围成的三角形的面积为6，则这条直线与x轴的交点坐标为 ．
16．（2分）在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．现存在以下四个条件：
①AB∥CD； ②AO＝OC；③AB＝AD；④AC平分∠DAB．
从中选取三个条件，可以判定四边形ABCD为菱形．则可以选择的条件序号是 （写出所有可能的情况）．
三、解答题（本题共12道小题，共68分）
17．（5分）在直角坐标系xOy中，已知一次函数yx+1的图象与x轴交于点A，交y轴交于点B
（1）求A，B两点的坐标；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出该函数的图象；
（3）根据图象回答：当y＞0时，x的取值范围是 ．
18．（5分）如图，浩宇的家、食堂、图书馆在同一条直线上．浩宇从家去食堂吃早餐，吃完早餐发现忘带借书卡了，回家途中遇到妈妈给他送来了借书卡，便高兴地去图书馆读书，然后回家．下图反映了这个过程中浩宇离家的距离y与时间x之间的对应关系．
根据图象回答下列问题：
（1）浩宇吃早餐用了 分钟，浩宇与妈妈相遇时他离图书馆 千米，浩宇从图书馆回家的平均速度是每分钟 千米；
（2）浩宇到达食堂之前离家的距离y与时间x之间的函数关系式为 ；
（3）你还能从图中发现什么信息（写出一条即可）
19．（6分）尺规作图：作一条线段的中点．
已知：线段AB，如图1所示．
求作：点O，使点O是线段AB的中点．
作法：
（1）如图2，在AB上方选取一点C，连接AC，BC；
（2）以点A为圆心，线段BC的长为半径作弧；再以点B为圆心，线段AC的长为半径作弧，两弧在AB下方交于点D；
（3）连结CD，与线段AB交于点O．所以点O就是所求作的线段AB的中点．
（1）请你根据作法用尺规作图将图2补全，保留作图痕迹；
（2）补全以下证明过程：
连接AD、BD，
由作图可知：BD＝ ，AD＝ ．
∴四边形ACBD是平行四边形（ ）
∴点O是线段AB中点（ ）．
20．（6分）如图，点E、F在▱ABCD的对角线AC上，且AE＝CF．求证：DE＝BF．
21．（6分）如图，▱ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E，CF平分∠BCD交AD于点F．请你判断AF与DE的数量关系并证明．
22．（6分）已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与x轴交点的横坐标为4，且过点A（﹣2，﹣3）．
（1）求一次函数y＝kx+b的表达式；
（2）过点P（0，n）作与x轴平行的直线，与一次函数y＝kx+b的图象交于点B，当线段PB≥2时，求n的取值范围．
23．（5分）已知：如图，▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，OB＝OC．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）如图，AM为射线，过点C作CP⊥射线AM于点P，连接PO、PD．请你补全图形，判断∠OPD与∠ODP的数量关系，并证明．
24．（5分）某蔬菜商人需要租赁货车运输蔬菜，经了解，当地运输公司有大、小两种型号货车，其租金和运力如表：
租金（元/辆）
最大运力（箱/辆）
大货车
650
50
小货车
560
40
（1）若该商人计划租用大、小货车共10辆，其中大货车x辆，共需付租金y元，请写出y与x的函数关系式；
（2）在（1）的条件下，若这批蔬菜共460箱，所租用的10辆货车可一次将蔬菜全部运回，请给出最节省费用的租车方案，并求出最低费用．
25．（5分）有这样一个问题：探究函数y＝x24的图象与性质．
思宇根据学习函数的经验，对函数y＝x24的图象与性质进行了探究．
下面是思宇的探究过程，请补充完整：
（1）函数y＝x24的图象与y轴 交点；（填写“有”或“无”）
（2）下表是y与x的几组对应值：
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
1
2
…
y
…
﹣2
n
…
则n的值为 ；
（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，思宇描出各对对应值为坐标的点．请你根据描出的点，帮助思宇画出该函数的大致图象；
（4）结合函数的图象，写出该函数的其他性质（一条即可）： ．
26．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy中，我们把横、纵坐标都为整数的点叫做整点．一次函数y＝kx﹣2（k≠0）的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B．
（1）若点A的坐标为（﹣5，0），则k的值为 ；
（2）在（1）的条件下，△AOB内的整点有 个（不包括三角形边上的整点）；
（3）已知点P（3，2），过点P作平行于x轴的直线，交直线y＝kx﹣2（k≠0）于点M；过点P作平行于y轴的直线，交直线y＝kx﹣2（k≠0）于点N．若△PMN存在且△PMN内（不含三角形的边）没有整点，结合图象求出k的取值范围．
27．（7分）如图1，在正方形ABCD中，点E为AD边上一点，连接BE．点M在CD边上运动．
（1）当点M和点C重合时（如图2），过点C做BE的垂线，垂足为点P，交直线AB于点N．请直接写出MN与BE的数量关系 ．
（2）当点M在CD边上运动时，过点M做BE的垂线，垂足为点P，交直线AB于点N（如图3），（1）中的结论依旧成立吗？请证明；
（3）如图4，当点M在CD边上运动时，N为直线AB．上一点，若MN＝BE，请问是否始终能证明MN⊥BE？请你说明理由．
28．（6分）在平面直角坐标系xOy中，对于P，Q两点给出如下定义：若点P的横、纵坐标之和等于点Q的横、纵坐标之和，则称P，Q两点为同和点，下图中的P，Q两点即为同和点．
（1）已知点A的坐标为（﹣3，1）．
①在点R（0，4），S（﹣4，2），T（3，﹣5）中，为点A的同和点的是 ．
②若点B在x轴上，且A，B两点为同和点，则点B的坐标为 ．
（2）直线y＝2x+4与x轴、y轴分别交于点M，N，点C为线段MN上一点．
①若点C与点D（﹣3，4）为同和点，求点C坐标；
②若存在点E（m，﹣3）与点C为同和点，求m的取值范围．
2021-2022学年北京市房山区八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共8道小题，每小题2分，共16分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的.
1．（2分）在平面直角坐标系中，点A（2，﹣1）在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解答】解：∵2＞0，﹣1＜0，
∴点A（2，﹣1）在第四象限．
故选：D．
2．（2分）下列曲线中，y不是x的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、对于自变量x的每一个值，y不是都有唯一的值与它对应，所以y不是x的函数，故A符合题意；
B、对于自变量x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，所以y是x的函数，故B不符合题意；
C、对于自变量x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，所以y是x的函数，故C不符合题意；
D、对于自变量x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，所以y是x的函数，故D不符合题意；
故选：A．
3．（2分）下列多边形中，内角和与外角和相等的是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：设所求多边形的边数为n，根据题意得
（n﹣2）•180°＝360°，
解得n＝4．
故选：B．
4．（2分）在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°．如果再添加一个条件可推出四边形是正方形，那么这个条件可以是（ ）
A．AB＝CD B．BC＝CD C．∠D＝90° D．AC＝BD
【解答】解：∵四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，∠D＝90°，AC＝BD，
故A，C，D不符合题意，
当AB＝AD时，即一组邻边相等时，矩形ABCD为正方形，
故B符合题意，
故选：B．
5．（2分）如图，平面直角坐标系中有A、B、C、D四个点，一次函数y＝mx+n（m＞0）的图象经过点D和另外三个点中的一个，判断下列哪一个点一定不在一次函数y＝mx+n（m＞0）的图象上（ ）
A．点A B．点B C．点C D．不确定
【解答】解：∵一次函数y＝mx+n（m＞0），
∴y随x的增大而增大，
∵一次函数y＝mx+n（m＞0）的图象经过点D，
∴点C一定不在一次函数y＝mx+n（m＞0）的图象上，
故选：C．
6．（2分）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AO＝3，∠AOB＝60°，则AD的长为（ ）
A．6 B．3 C．3 D．3
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝2AO，BD＝2BO，AO＝3，
∴AO＝OB＝3，AC＝BD＝6，
∵∠AOB＝60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠ABO＝60°，AB＝3＝OA，
∴AD，
故选：B．
7．（2分）如图，已知正比例函数y1＝ax与一次函数y2x+b的图象交于点P，下面四个结论中正确的是（ ）
A．a＞0 B．b＜0
C．当x＜0时，y1＞y2 D．当x＞2时，y1＜y2
【解答】解：因为正比例函数y1＝ax的图象经过第一、三象限，所以a＞0，故A选项正确；
因为一次函数y2x+b的图象与y轴交于正半轴，所以b＞0，故B选项错误；
由图象可得：当x＜0时，y1＜y2，故C选项错误；
当x＞2时，y1＞y2，故D选项错误；
故选：A．
8．（2分）小苏和小林在一条300米的直道上进行慢跑，先到终点的同学会在跑道的尽头等待．在整个过程中，小苏和小林之间的距离y（单位：米）与跑步时间t（单位：秒）的对应关系如图所示，下列命题中正确的是（ ）
①小苏和小林在第19秒时相遇；
②小苏和小林之间的最大距离为30米；
③先到终点的同学用时58秒跑完了全程；
④先到终点的同学用时50秒跑完了全程；
A．①② B．①②③ C．①②④ D．②③
【解答】解：由图象可知，
①小苏和小林在第19秒时相遇，故①说法正确；
②小苏和小林之间的最大距离为30米，故②说法正确；
③先到终点的同学用时50秒跑完了全程，故③说法正确，④说法正确．
所以命题中正确的是①②④．
故选：C．
二、填空题（本题共8道小题，每小题2分，共16分）
9．（2分）函数中，自变量x的取值范围是 x≥3 ．
【解答】解：根据题意得：x﹣3≥0，
解得：x≥3．
故答案是：x≥3．
10．（2分）已知点A（﹣3，y1）和点B（1，y2）在一次函数y＝2x+1的图象上，则y1 ＜ y2（填“＞”，“＝”或“＜”）
【解答】解：∵k＝2＞0，
∴y随x的增大而增大，
又∵点A（﹣3，y1）和点B（1，y2）在一次函数y＝2x+1的图象上，且﹣3＜1，
∴y1＜y2．
故答案为：＜．
11．（2分）若一个多边形的内角和是540°，则这个多边形是 五 边形．
【解答】解：设多边形的边数是n，则
（n﹣2）•180°＝540°，
解得n＝5，
故答案为：五．
12．（2分）▱ABCD中，若∠A：∠B＝2：3，则∠C＝ 72° ．
【解答】解：依题意设∠A＝2x，∠B＝3x，
由平行四边形的性质，得∠A+∠B＝180°，
∴2x+3x＝180°，解得x＝36°，
∴∠A＝2x＝72°，
∵∠A＝∠C，
∴∠C＝72°．
故答案为72°．
13．（2分）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A，B，D的坐标分别是（0，0），（5，0），（2，3），则顶点C的坐标是 （7，3） ．
【解答】解：因CD∥AB，所以C点纵坐标与D点相同．为3．
又因AB＝CD＝5，故可得C点横坐标为7．
故答案为（7，3）．
14．（2分）如图1，菱形纸片ABCD的面积为30cm2，对角线AC的长为6cm，将这个菱形纸片沿对角线剪开，得到四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形按图2所示的方法拼成正方形．则大正方形中空白小正方形的边长是 2 cm．
【解答】解：∵菱形的一条对角线AC的长为6cm，
∴它的一半为3cm，
∵菱形纸片ABCD的面积为30cm2，菱形对角线互相垂直，
∴另一条对角线长为30×2÷6＝10（cm），
∴它的一半5cm，
∴图2所示的空白小正方形边长为5﹣3＝2（cm），
故答案为：2．
15．（2分）若直线y＝kx+3与两坐标轴围成的三角形的面积为6，则这条直线与x轴的交点坐标为 （4，0）或（﹣4，0） ．
【解答】解：当x＝0时，y＝k×0+3＝3，
∴这条直线与y轴的交点坐标为（0，3）；
当y＝0时，kx+3＝0，
解得：x，
∴这条直线与x轴的交点坐标为（，0）．
又∵直线y＝kx+3与两坐标轴围成的三角形的面积为6，
∴3×||＝6，
∴k＝±，
经检验，k＝±是原方程的解，且符合题意，
∴这条直线与x轴的交点坐标为（4，0）或（﹣4，0）．
故答案为：（4，0）或（﹣4，0）．
16．（2分）在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．现存在以下四个条件：
①AB∥CD； ②AO＝OC；③AB＝AD；④AC平分∠DAB．
从中选取三个条件，可以判定四边形ABCD为菱形．则可以选择的条件序号是 ②③④ （写出所有可能的情况）．
【解答】解：如：若②AO＝OC；③AB＝AD；④AC平分∠DAB，
则四边形ABCD是菱形，
证明：∵AC平分∠DAB，
∴∠DAO＝∠BAO，
在△AOD和△AOB中，
，
∴△AOD≌△AOB（ASA），
∴DO＝CB，
∵AO＝OC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AB＝AD，
∴四边形ABCD是菱形，
故答案为：②③④．
三、解答题（本题共12道小题，共68分）
17．（5分）在直角坐标系xOy中，已知一次函数yx+1的图象与x轴交于点A，交y轴交于点B
（1）求A，B两点的坐标；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出该函数的图象；
（3）根据图象回答：当y＞0时，x的取值范围是 x＜2 ．
【解答】解：（1）令y＝0，则x＝2，
令x＝0，则y＝1，
所以点A的坐标为（2，0），
点B的坐标为（0，1）；
（2）如图：
（3）当y＞0时，x的取值范围是x＜2
故答案为：x＜2
18．（5分）如图，浩宇的家、食堂、图书馆在同一条直线上．浩宇从家去食堂吃早餐，吃完早餐发现忘带借书卡了，回家途中遇到妈妈给他送来了借书卡，便高兴地去图书馆读书，然后回家．下图反映了这个过程中浩宇离家的距离y与时间x之间的对应关系．
根据图象回答下列问题：
（1）浩宇吃早餐用了 17 分钟，浩宇与妈妈相遇时他离图书馆 0.6 千米，浩宇从图书馆回家的平均速度是每分钟 0.08 千米；
（2）浩宇到达食堂之前离家的距离y与时间x之间的函数关系式为 yx ；
（3）你还能从图中发现什么信息（写出一条即可）
【解答】解：（1）由图可知：浩宇吃早餐用了25﹣8＝17（分钟），浩宇与妈妈相遇时他离图书馆0.8﹣0.2＝0.6（千米），浩宇从图书馆回家的平均速度是每分钟0.8÷（135﹣125）＝0.08（千米/分钟），
故答案为：17，0.6，0.08；
（2）设浩宇到达食堂之前离家的距离y与时间x之间的函数关系式为y＝kx，
将（8，0.6）代入得：8k＝0.6，
解得k，
∴浩宇到达食堂之前离家的距离y与时间x之间的函数关系式为yx，
故答案为：yx；
（3）图中还有的信息，比如：浩宇从食堂返回0.4千米与妈妈相遇拿到借书卡，拿到借书卡后浩宇用6分钟到达图书馆，浩宇在图书馆看书时间是90分钟等（写出一条即可）．
19．（6分）尺规作图：作一条线段的中点．
已知：线段AB，如图1所示．
求作：点O，使点O是线段AB的中点．
作法：
（1）如图2，在AB上方选取一点C，连接AC，BC；
（2）以点A为圆心，线段BC的长为半径作弧；再以点B为圆心，线段AC的长为半径作弧，两弧在AB下方交于点D；
（3）连结CD，与线段AB交于点O．所以点O就是所求作的线段AB的中点．
（1）请你根据作法用尺规作图将图2补全，保留作图痕迹；
（2）补全以下证明过程：
连接AD、BD，
由作图可知：BD＝ AC ，AD＝ BC ．
∴四边形ACBD是平行四边形（ 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 ）
∴点O是线段AB中点（ 平行四边形的对角线互相平分 ）．
【解答】（1）解：如图，点O即为所求；
（2）证明：连接AD、BD，
由作图可知：BD＝AC，AD＝BC．
∴四边形ACBD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）
∴点O是线段AB中点（平行四边形的对角线互相平分）．
故答案为：AC，BC，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，平行四边形的对角线互相平分；
20．（6分）如图，点E、F在▱ABCD的对角线AC上，且AE＝CF．求证：DE＝BF．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC．
∴∠DAE＝∠BCF．
在△ADE和△CBF中，．
∴△ADE≌△CBF（SAS）．
∴DE＝BF．
21．（6分）如图，▱ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E，CF平分∠BCD交AD于点F．请你判断AF与DE的数量关系并证明．
【解答】解：AE＝DF．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EBC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE，
同理可得：DF＝CD，
∴AE＝DF，
即AF+EF＝DE+EF，
∴AF＝DE．
22．（6分）已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与x轴交点的横坐标为4，且过点A（﹣2，﹣3）．
（1）求一次函数y＝kx+b的表达式；
（2）过点P（0，n）作与x轴平行的直线，与一次函数y＝kx+b的图象交于点B，当线段PB≥2时，求n的取值范围．
【解答】解：（1）将（4，0），A（﹣2，﹣3）代入一次函数解析式得：，
解得：k，b＝﹣2．
∴一次函数的解析式为：yx﹣2．
（2）
如图，当n＝﹣1或n＝﹣3时，PB＝2，
当PB＞2时，直线y＝n在直线y＝﹣3和y＝﹣1之外．
∴当PB≥2时，n≤﹣3或n≥﹣1．
23．（5分）已知：如图，▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，OB＝OC．
（1）求证：四边形ABCD是矩形；
（2）如图，AM为射线，过点C作CP⊥射线AM于点P，连接PO、PD．请你补全图形，判断∠OPD与∠ODP的数量关系，并证明．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝OC，BO＝OD，
∵OB＝OC，
∴AO＝OD＝OC＝OB，
∴AO+OC＝OB+OD，
∴AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形；
（2）解：∠OPD＝∠ODP，
理由：∵CP⊥AM，
∴∠CPM＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝CO＝OD，
∴OPAC＝AO，
∴OP＝OD，
∴∠OPD＝∠ODP．
24．（5分）某蔬菜商人需要租赁货车运输蔬菜，经了解，当地运输公司有大、小两种型号货车，其租金和运力如表：
租金（元/辆）
最大运力（箱/辆）
大货车
650
50
小货车
560
40
（1）若该商人计划租用大、小货车共10辆，其中大货车x辆，共需付租金y元，请写出y与x的函数关系式；
（2）在（1）的条件下，若这批蔬菜共460箱，所租用的10辆货车可一次将蔬菜全部运回，请给出最节省费用的租车方案，并求出最低费用．
【解答】解：（1）由题意可得，
y＝650x+560（10﹣x）＝90x+5600，
即y与x的函数关系式为y＝90x+5600；
（2）由题意可得，
50x+40（10﹣x）≥460，
解得，x≥6，
∵y＝90x+5600，
∴k＝90，y随x的增大而增大，
∴当x＝6时，y取得最小值，此时y＝6140，10﹣x＝4，
答：最节省费用的租车方案是大货车6辆，小货车4辆，最低费用是6140元．
25．（5分）有这样一个问题：探究函数y＝x24的图象与性质．
思宇根据学习函数的经验，对函数y＝x24的图象与性质进行了探究．
下面是思宇的探究过程，请补充完整：
（1）函数y＝x24的图象与y轴 无 交点；（填写“有”或“无”）
（2）下表是y与x的几组对应值：
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
1
2
…
y
…
﹣2
n
…
则n的值为 ﹣4 ；
（3）如图，在平面直角坐标系xOy中，思宇描出各对对应值为坐标的点．请你根据描出的点，帮助思宇画出该函数的大致图象；
（4）结合函数的图象，写出该函数的其他性质（一条即可）： 函数的图象与x轴交点有三个交点（答案不唯一） ．
【解答】解：（1）∵函数y＝x24自变量x的取值范围为x≠0，
∴函数y＝x24的图象与y轴无交点；
故答案为：无；
（2）把x＝1代入y＝x24得，y＝1﹣1﹣4＝﹣4，
∴n＝﹣4，
故答案为：﹣4；
（3）根据列表、描点、连线得出函数y＝x24的图象，所画的图象如图所示：
（4）通过图象直观得出函数的图象与x轴交点有三个交点（答案不唯一），
故答案为：函数的图象与x轴交点有三个交点（答案不唯一）．
26．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy中，我们把横、纵坐标都为整数的点叫做整点．一次函数y＝kx﹣2（k≠0）的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B．
（1）若点A的坐标为（﹣5，0），则k的值为 ；
（2）在（1）的条件下，△AOB内的整点有 2 个（不包括三角形边上的整点）；
（3）已知点P（3，2），过点P作平行于x轴的直线，交直线y＝kx﹣2（k≠0）于点M；过点P作平行于y轴的直线，交直线y＝kx﹣2（k≠0）于点N．若△PMN存在且△PMN内（不含三角形的边）没有整点，结合图象求出k的取值范围．
【解答】解：（1）将A（﹣5，0）代入一次函数解析式得：0＝﹣5k﹣2，
∴k．
故答案为：．
（2）由（1）知，一次函数为：yx﹣2．
当x＝0时，y＝﹣2，y＝0时，x＝﹣5．
∴A（﹣5，0），B（0，﹣2）．
如图：
∴△AOB内的整点有2个．
故答案为：2．
（3）如图：
如图，当直线y＝kx﹣2在直线m和n之间时，符合题意．
当直线y＝kx﹣2与直线n重合时，将点（4，1）代入直线得：4k﹣2＝1，
∴k．
当直线y＝kx﹣2与直线m重合时，将点（2，3）代入得：2k﹣2＝3，
∴k．
当直线y＝kx﹣2过点（3，2）时，不合题意，
此时k．
∴k的取值范围是：k且k．
27．（7分）如图1，在正方形ABCD中，点E为AD边上一点，连接BE．点M在CD边上运动．
（1）当点M和点C重合时（如图2），过点C做BE的垂线，垂足为点P，交直线AB于点N．请直接写出MN与BE的数量关系 MN＝BE ．
（2）当点M在CD边上运动时，过点M做BE的垂线，垂足为点P，交直线AB于点N（如图3），（1）中的结论依旧成立吗？请证明；
（3）如图4，当点M在CD边上运动时，N为直线AB．上一点，若MN＝BE，请问是否始终能证明MN⊥BE？请你说明理由．
【解答】解：（1）MN＝BE，
理由：如图2，∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠BAE＝90°，AB＝BC，AB＝BC，
∴∠ABE+∠BNC＝∠BNC+∠BCN＝90°，
∴∠ABE＝∠BCN，
在△ABE和△BCN中，
，
∴△ABE≌△BCN（ASA），
∴MN＝BE；
（2）（1）中的结论依旧成立，
证明：如图3，过N作NH⊥CD于H，交BE于K，
∴∠ANH＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝DA，
则四边形ADHN是矩形，
∴HN＝DA＝AB，∠BNH＝90°，
∵MN⊥BE，
∴∠PNK+∠PKN＝∠ABK+∠PKN＝90°，
∴∠PNK＝∠ABK，
在△ABE和△HNM中，
，
∴△ABE≌△HNM（ASA），
∴MN＝BE；
（3）始终能证明MN⊥BE，
理由：如图4，过N作NH⊥CD于H，交BE于K，设AM与BE交于P，
∴∠ANH＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝DA，
则四边形ADHN是矩形，
∴HN＝DA＝AB，∠BNH＝90°，
∴∠EBA+∠BKN＝90°，
在△ABE和△HNM中，
，
∴△ABE≌△HNM（SAS），
∴∠MNH＝∠EBA，
∴∠MNH+∠BKN＝90°，
∴∠NPK＝90°，
∴MN⊥BE．
28．（6分）在平面直角坐标系xOy中，对于P，Q两点给出如下定义：若点P的横、纵坐标之和等于点Q的横、纵坐标之和，则称P，Q两点为同和点，下图中的P，Q两点即为同和点．
（1）已知点A的坐标为（﹣3，1）．
①在点R（0，4），S（﹣4，2），T（3，﹣5）中，为点A的同和点的是 S，T ．
②若点B在x轴上，且A，B两点为同和点，则点B的坐标为 （﹣2，0） ．
（2）直线y＝2x+4与x轴、y轴分别交于点M，N，点C为线段MN上一点．
①若点C与点D（﹣3，4）为同和点，求点C坐标；
②若存在点E（m，﹣3）与点C为同和点，求m的取值范围．
【解答】解：（1）①∵点A的坐标为（﹣3，1），
∴﹣3+1＝﹣2，
∵点R（0，4），S（﹣4，2），T（3，﹣5），
∴0+4＝4，﹣4+2＝﹣2，3+（﹣5）＝﹣2，
∴点A的同和点的是S，T，
故答案为：S，T；
②∵点B在x轴上，且A，B两点为同和点，
∴点B（﹣2，0），
故答案为：（﹣2，0）；
（2）①∵直线y＝2x+4与x轴、y轴分别交于点M，N，
∴点M（﹣2，0），点N（0，4），
∵点C与点D（﹣3，4）为同和点，
∴设点C（a，1﹣a），
∴1﹣a＝2a+4，
∴a＝﹣1，
∴点C坐标为（﹣1，2）；
②设点C坐标为（b，2b+4），
∵点E（m，﹣3）与点C为同和点，
∴m+（﹣3）＝b+2b+4，
∴m＝3b+7，
∵点C为线段MN上一点，
∴﹣2≤b≤0，
∴1≤m≤7．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2022/5/18 9:11:52；用户：朱文磊；邮箱：fywgy23@xyh.com；学号：21522783
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